专题19.24一次函数（全章知识梳理与考点分类讲解）-（人教版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_专题突破练习-V4

专题 19.24 一次函数（全章知识梳理与考点分类讲解） 【要点一】函数的相关概念 x y x y 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一 x y x 确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数. y x x a y b b a 是 的函数，如果当 ＝ 时 ＝ ，那么 叫做当自变量为 时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 【要点二】一次函数的相关概念 y kxb k b k b 一次函数的一般形式为 ，其中 、 是常数， ≠0.特别地，当 ＝0时，一次函数 y kxb y kx k 即 （ ≠0），是正比例函数. 【要点三】一次函数的图象及性质 1、函数的图象 如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图 形，就是这个函数的图象. y kxb y kx b b b 直线 可以看作由直线 平移| |个单位长度而得到（当 ＞0时，向上平移；当 ＜0 y kxb y kx 时，向下平移）.说明通过平移，函数 与函数 的图象之间可以相互转化. 2、一次函数性质及图象特征 掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）特别提醒： k b ykxb 理解 、 对一次函数 的图象和性质的影响： k y kxb  b y （1） 决定直线 从左向右的趋势（及倾斜角 的大小——倾斜程度）， 决定它与 轴交 k b ykxb 点的位置， 、 一起决定直线 经过的象限． l y k xb l y k xb （2）两条直线 1： 1 1和 2： 2 2的位置关系可由其系数确定： k k l l 1 2  1与 2相交； k k b b l l 1 2，且 1 2  1与 2平行； k k b b l l 1 2，且 1 2  1与 2重合； （3）直线与一次函数图象的联系与区别 xa y b 一次函数的图象是一条直线；特殊的直线 、直线 不是一次函数的图象. 【要点四】用函数的观点看方程、方程组、不等式 函 数 问 题 方程（组）、不等式问题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于x、 y 的一元一次 确定直线 y axb与 x轴 x为何值时，函数 y axb的 方程axb＝0（a≠0） （即直线 y ＝0）交点的横坐 值为0？ 的解 标 求关于x、 y 的二元一次 ya xb， x为何值时，函数 y a xb 确定直线 y a xb 与直线 1 1 1 1 1 1 方 程 组  的 ya xb． 与函数y a xb 的值相等？ y a xb 的交点的坐标 2 2 2 2 2 2 解． 求关于 x 的一元一次不等 x为何值时，函数 y axb的 确定直线 y axb在 x轴式axb＞0（a≠0）的 （即直线 y ＝0）上方部分的 值大于0？ 解集 所有点的横坐标的范围 【考点目录】 【考点1】函数的概念； 【考点2】一次函数的解析式； 【考点3】一次函数的图象与性质； 【考点4】一次函数与方程（组）、不等式； 【考点5】一次函数的应用； 【考点6】一次函数综合. 【考点1】函数的概念； 【例1】（20-21六年级下·山东烟台·期末）如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上， 这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示： 数量/只 1 2 3 4 5 … 高度/cm 4 5.2 6.4 7.6 8.8 … （1）上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）用 h（cm）表示这摞碗的高度，用 x（只）表示这摞碗的数量，请用含有 x 的代数式表示 h； （3）若这摞碗的高度为 11.2cm，求这摞碗的数量． 【答案】（1）碗的数量是自变量，高度是因变量；（2）h=1.2x+2.8；（3）7只； 【分析】（1）根据碗的高度随着碗的数量变化而改变，即可判断； （2）求出每只碗增加的高度即可解答； （3）根据（2）h和x的关系式代入求值即可； （1）解：通过表格所列举的变量可知，碗的数量是自变量，高度是因变量； （2）解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加1.2cm， ∴h=4+1.2（x-1）=1.2x+2.8， ∴h=1.2x+2.8； （3）解：∵h=1.2x+2.8，∴11.2=1.2x+2.8， 解得：x=7， ∴碗的数量是7只； 【点拨】本题考查了函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的 每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 【变式1】（21-22八年级上·广东茂名·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数就是在一个变化过程中有两个变量x和y，当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就 说y是x的函数，x是自变量． 解：根据函数的定义可知，每给定自变量x一个值，都有唯一的函数值y与之相对应， 所以A、C、D不合题意． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了函数的概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直 线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 【变式2】（21-22八年级上·安徽六安·阶段练习）函数y= 中，自变量x的取值范围是 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求得自变量x的取值范围 解： 故答案为： 【点拨】本题考查了函数解析式，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【考点 2】一次函数的解析式； 【例2】（21-22八年级下·福建福州·期中）已知一次函数 的图象经过点 和 .（1）求该函数的表达式； （2）若点 是 轴上一点，且 的面积为10，求点 的坐标. 【答案】（1）y＝x−2；（2）（−3，0）或（7，0） 【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式一般步骤：将自变量x的值及与它对应的函数值y的 值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程组，解方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式； （2）根据题意，设p（x，0），表示BP＝|x−2|，再根据面积公式列等式，计算即可． （1）解：∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点A（−2，−4）和B（2，0）， 进而得 ， 解得k＝1，b＝−2， ∴该函数的表达式：y＝x−2； （2）∵点P是x轴上一点， ∴设P（x，0）， ∴BP＝|x−2|， ∵△ABP的面积为10， ∴ ×4×|x−2|＝10， ∴|x−2|＝5， ∴x−2＝5或x−2＝−5， 解得x＝−3或x＝7， 1 2 ∴点P的坐标（−3，0）或（7，0）． 【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法 求一次函数解析式一般步骤，求点P的坐标分两种情况是解题关键．【变式1】（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线 绕点B按顺时针方向旋转 ，交x轴于点C，则 的面 积是（ ） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】B 【分析】根据已知条件得到 ， ，过A作 交 于F，过F作 轴于E， 得到 是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到 ，求得 ， 求得直线 的函数表达式，据此求解可得到结论． 解：∵一次函数 的图象分别交x、y轴于点A、B， ∴令 ，得 ，令 ，则 ， ∴ ， ， ∴ ， 过A作 交 于F，过F作 轴于E， ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设直线 的函数表达式为： ， ∴ ，解得 ， ∴直线 的函数表达式为： ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的面积是 ， 故选：B． 【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性 质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式2】（2020·上海·中考真题）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反 映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明 从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 米． 【答案】350． 【分析】当8≤t≤20时，设s=kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s=70t+400，求出t=15时s 的值，从而得出答案． 解：当8≤t≤20时，设s=kt+b， 将（8，960）、（20，1800）代入，得：， 解得： ， ∴s=70t+400； 当t=15时，s=1450， 1800﹣1450=350， ∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米． 故答案为：350． 【点拨】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模 型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式． 【考点3】一次函数的图象与性质； 【例3】（23-24七年级上·山东济宁·期末）已知一次函数 的图象经过 ， 两 点． （1）求k、b的值． （2）若点 ， 在此函数的图象上，且 ，则 ______ 填“>”，“=”或“<” （3）将一次函数 的图象向下平移3个单位长度，若平移后的图象与x轴的交点为点C，求点 C坐标． 【答案】（1） ， ；（2）>；（3） 【分析】本题考查了一次函数图象及性质，一次函数的几何变换． （1）利用待定系数法即可求解，把点M，N的坐标代入一次函数 中，求解方程组即可解答； （2）根据 ，y随x的增大而增大，即可判断 ； （3）根据平移“上加下减”法则得到平移后的解析式，再令 ，求出x值即可得到点C坐标． （1）解：∵一次函数 的图象经过 ， 两点．∴ ， 解得 ， ， ； （2）解：∵ ， ∴一次函数 ，y随x的增大而增大， ∵ ， ∴ ； 故答案为： ； （3）解：一次函数 图象向下平移3个单位后的解析式为： ， 即 ， 令 ，则 ， 解得： ， ∴点C的坐标为 ． 【变式1】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数 的图像交y轴于点 ， 交x轴于点 ，则下列说法正确的是（ ）A．该函数的表达式为 B．点 不在该函数图象上 C．点 ， 在图象上，若 ，则 D．将图象向上平移1个单位得到直线 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质、一次函数的平移等知识点，掌握一次 函数图像的性质成为解题的关键． 先运用待定系数法求得函数解析式即可判断A选项，将 代入解析式即可判断B选项；根据一 次函数增减性即可判断C选项；根据一次函数的平移规律可判断D选项． 解：A．由题意可得： ，解得 ，即函数解析式为 ，故A选项不符合题意； B．当 时， ，即点 在该函数图像上，故B选项不符合题意． C．在 中，y随x的增大而增大，则当 时， ，故C选项不符合题意． D． 图像向上平移1个单位得到直线 ，故D选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（22-23八年级上·江苏连云港·期末）如图，一次函数 的图像与x轴、y轴分别交 于A、B两点，C是 上的一点，若 将沿 折叠，点A恰好落在y轴上的点 处，则点C的坐标是 . 【答案】 【分析】先求出线段 的长，再利用 ，得 ，求出 的长，设 为x，利用 ，求出x的长，即可得答案． 解：一次函数 与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当 时， ，当 时， ， ， ， 将沿 折叠，点A恰好落在y轴上的点 处， ， ， ， 设 为x，那么 ， ，即 解得： ， ， 故答案为： ．【点拨】本题考查了一次函数，勾股定理，三角形全等判定与性质，解题的关键是证明 ． 【例4】（19-20八年级上·全国·单元测试）已知函数 . （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若这个函数的图象与 平行，求 . 【答案】（1） （2）1 【分析】（1）将 代入 可求m;（2）由题意，得 ，求m，再代入求 值. 解：（1）将 代入 ，得 .所以 . （2）由题意，得 .解得 .所以 【点拨】考核知识点：一次函数性质.理解一次函数性质是关键. 【变式1】（2023·安徽亳州·模拟预测）已知一次函数 和 ，则函数 和 的 图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图形的性质，结合 和 的图象，即可得到答案． 解：由解析式与图象可得，两个函数的交点的横坐标为 ， ①当 ，则 ， ， 、 的图象都经过一、三、四象限， 故此时D符合题意； ②当 ，则 ， ， 、 的图象都经过一、二、四象限， 此时都不符合题意；③当 ，则 ， ， 的图象都经过一、二、三象限， 的图象都经过二、三、 四象限， 此时都不符合题意； ④当 ，则 ， ， 的图象都经过二、三，四象限， 的图象都经过一、二、 三象限， 此时都不符合题意； 满足题意的只有D． 故选D． 【点拨】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟记一次函数的图象，清晰的分类讨论是解本题的关 键． 【变式2】（21-22八年级下·江西赣州·期末）若方程组 无解，则 图象不经 过第 象限． 【答案】二 【分析】根据方程组无解可得k=1，根据一次函数的性质即可判断y=kx-2图象不经过的象限． 解：方程组 ， ∴2kx-3=（3k-1）x+2， ∴（k-1）x=-5， ∵方程组 无解， ∴k-1=0， ∴k=1， ∴y=kx-2即y=x-2图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的性质和解二元一次方程组是解 题的关键． 【考点4】一次函数与方程（组）、不等式；【例5】（21-22八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交 于点 ，直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点B，将直线 向下平移5个单位长度得到直线 ， 与y轴交于点D，与 交于点E，连接 ． （1）求直线 的解析式； （2）求 的面积． （3）在平面直角坐标系中存在点P，使得以A、E、D、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出 点P的坐标． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 或 【分析】（1）根据待定系数法求函数解析式即可； （2）过点A作 轴，交 于点F，先求出直线 的函数关系式，再根据平移写出 的函数关系式， 求出点E、F的坐标，即可求出 的面积； （3）根据AP为平行四边形的一条边或一条对角线两种情况进行讨论，利用平移的方法求出点P的坐 标即可． （1）解：设直线 的函数关系式为 ，把点A（−2，3），C（4，0）代入得： ，解得： ， 直线 的函数关系式为 ．（2）过点A作 轴，交 于点F，如图所示： 把A（−2，3）代入直线 的函数关系式得： ，解得： ， ∴直线 的函数关系式为 ， ∵将直线l 向下平移5个单位长度得到直线l， 2 3 ∴直线l 的函数关系式为 ， 3 把 代入 得： ， 点D的坐标为（0，-3）， 联立 ，解得： ， 点E的坐标为 ， 把 代入 得： ， ， ．（3）① 为平行四边形的一条边时， ， 此时点P一定在直线 上，设点P坐标为： ， ∵当P点在A点上方时，点D向左平移 个单位，向上平移 个单位可以到点E， ∴点A向左平移 个单位，向上平移 个单位可以到点P， ∴ ，即 ，则 ， ∴此时点P的坐标为 ； ∵当P点在A点下方时，点E向右平移 个单位，向下平移 个单位可以到点D， ∴点A向右平移 个单位，向下平移 个单位可以到点P， ∴ ，即 ，则 ， ∴此时点P的坐标为 ； ② 为平行四边形的一条对角线时， ， ∵点A向右平移2个单位，向下平移6个单位可以到D点， ∴点E向右平移2个单位，向下平移6个单位可以到P点， ∴点P的横坐标为 ，纵坐标为 ， ∴此时点P的坐标为： ； 综上所述，点P的坐标为： 或 或 ． 【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、平移的性质、平行四边形的性质，求出点 和点D的坐标是解题的关键．【变式1】（21-22八年级下·重庆渝中·期末）如图，直线 与 交点的横坐标为1， 则关于 的二元一次方程组 的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将横坐标为1代入 ，即可求出对应纵坐标． 解： 代入 得 ， 则方程组 的解集为： ， 故选：C 【点拨】本题考查了二元一次方程组解与一次函数的交点坐标的关系，掌握相关知识是解题关键． 【变式2】（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，函数 和 的图象相交于点 ， 则关于 x 的不等式 的解集为 ． 【答案】【分析】先把点A的坐标代入 中求解m的值，然后根据一次函数与不等式的关系可进行求解． 解：由题意得： 把点A代入 可得 ， 解得： ， ∴点A的坐标为 ， 由图象可得当关于x的不等式 时，则需满足在点A的右侧，即 的图象在 的图象下方， ∴不等式 的解集为 ； 故答案为： ． 【点拨】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数与一元一次不等式是解题的关 键． 【考点5】一次函数的应用； 【例6】（2022·四川南充·中考真题）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围 巾两种产品，它们的进价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价 －进价） 种类 真丝衬衣 真丝围巾 进价（元/件） a 80 售价（元/件） 300 100 （1）求真丝衬衣进价a的值． （2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数 不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ （3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销 并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？ 【答案】（1）a=260；（2）真丝衬衣件数进货100件，真丝围巾进货200件，最大利润为8000元； （3）每件最多降价8元．【分析】（1）根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设真丝衬衣件数进货x件，则真丝围巾进货（300-x）件，根据题意列出不等式得出x≤100；设总 利润为y，由题意得出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可得出； （3）设降价z元，根据题意列出不等式求解即可． （1）解：根据表格数据可得： 50a+25×80=15000， 解得：a=260； （2）解：设真丝衬衣件数进货x件，则真丝围巾进货（300-x）件， 根据题意可得：300-x≥2x， 解得：x≤100； 设总利润为y， 根据题意可得y=（300-260）x+（100-80）（300-x）=20x+6000， ∵20>0， ∴y随x的增大而增大， 当x=100时，y最大为：20×100+6000=8000元， 此时方案为：真丝衬衣件数进货100件，真丝围巾进货200件，最大利润为8000元； （3）设降价z元， 根据题意可得（100-80） +100×（300-260）+100×（100-80-z） ≥8000×90%， 解得：z≤8， ∴每件最多降价8元． 【点拨】题目主要考查一元一次方程及不等式的应用，一次函数的应用，理解题意，列出相应方程不 等式是解题关键． 【变式1】（2022·山东聊城·中考真题）如图，一次函数 的图象与x轴，y轴分别交于点A， B，点 是x轴上一点，点E，F分别为直线 和y轴上的两个动点，当 周长最小时， 点E，F的坐标分别为（ ）A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】C 【分析】作C（ 2，0）关于y轴的对称点G（2，0），作C（2，0）关于直线y=x+4的对称点D，连 接AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，此时 CEF周长最小，由y=x+4得A（-4，0），B（0，4）， △ ∠BAC=45°，根据C、D关于AB对称，可得D（-4，2），直线DG解析式为 ，即可得 ， 由 ，得 ． 解：作 关于 轴的对称点 ，作 关于直线 的对称点D，连接AD，连接 DG交AB于E，交 轴于F，如图： ∴ ， ， ∴ ，此时 周长最小，由 得 ， ， ∴ ， 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵C、D关于AB对称， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 由 ， 可得直线DG解析式为 ， 在 中，令 得 ， ∴ ， 由 ，得 ， ∴ ， ∴ 的坐标为 ， 的坐标为 ， 故选：C． 【点拨】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定 CEF周长 最小时，E、F的位置． △ 【变式2】（2022·四川德阳·中考真题）如图，已知点 ， ，直线 经过点 ．试探究：直线与线段 有交点时 的变化情况，猜想 的取值范围是 ．【答案】 或 / 或 【分析】根据题意，画出图象，可得当x=2时，y≥1，当x=-2时，y≥3，即可求解． 解：如图， 观察图象得：当x=2时，y≥1， 即 ，解得： ， 当x=-2时，y≥3， 即 ，解得： ， ∴ 的取值范围是 或 ． 故答案为： 或 【点拨】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【考点6】一次函数综合； 【例7】（23-24八年级上·重庆·期中）如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点 B，直线 与x轴交于点C，与y轴交于D点， ， ． （1）求直线 的解析式；（2）点Q为直线 上一动点，若有 ，请求出Q点坐标； （3）点M为直线 上一动点，点N为y轴上一动点，是否存在以点M， N， C为顶点且以 为 直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程， 若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）点 的坐标为 或 或 或 ，求解过程见分析 【分析】（1）先求出点A，B的坐标，再求出点C，D的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）作 交 于点E，设 ， ， ，表示 出 的长，根据 列式求解即可； （3）分 和 两种情况求解即可． 解：（1）当 时， ， ∴ ． 当 时， ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ，∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 设直线 的解析式为 ， 则 ， ∴ ， ∴ ； （2）作 交 于点E，设 ， ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， 解得 或 ，∴ 或 ； （3）当 时，如图，作 于点E，作 于点F． ∴ ． ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 设 ，则 ， ∴ ， 解得 或 ， ∴ 或 ． 当 时，如图过点N作 ，作 于点E，作 于点F． 同理可证 ， ∴ ．设 ， ，则 ， ∴ ， ， 解得 或 或 （此时 ，舍去）， ∴ 或 ． 综上可知，点 的坐标为 或 或 或 ． 【点拨】本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，等腰直角 三角形的定义，数形结合是解答本题的关键． 【变式1】（22-23八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线 交 轴， 轴于点 ，点 在 第一象限内，且纵坐标为4．若点 关于直线 的对称点 恰好落在 轴的正半轴上，则点 的横坐标 为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线 ，可得 ，易知 ；连接 ，交直线 与点 ， 连接 ，由轴对称的性质可得 垂直平分 ，根据垂直平分线的性质可得 ，再证明 ，由全等三角形的性质可得 ；设 ，则 ， ，由 勾股定理可得 ，解得 ，即可确定点 的横坐标． 解：对于直线 ， 当 时， ，当 时， ，∴ ， ∴ ， 连接 ，交直线 与点 ，连接 ，如下图， ∵点 与点 关于直线 对称， ∴ ，且 ， ∴ ， ∵点 在第一象限内，且纵坐标为4， ∴ 轴， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴在 中， ， 即 ，解得 ， ∴ ， ∴点 的横坐标为 ． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了坐标与图形、一次函数与坐标轴交点、轴对称的性质、垂直平分线的性质、 全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 【变式2】（2022九年级下·浙江·专题练习）如图，平面直角坐标系中，已知直线 上一点 ，连接 ，以 为边做等腰直角三角形 ， ，过点 作线段 轴，直线 与直线 交于点 ，且 ，直线 与直线 交于点 ，则 点的坐标是 ． 【答案】 【分析】过 作 轴，交 轴于 ，交 于 ，过 作 轴，交 轴于 ， ，求出 ，证 ，推出 ， ，设 ，求出 ，得出 ，求出 ，得出 的坐标，由两点坐标公式求出 ， 在 中，由勾股定理求出 ，得出 的坐标，设直线 的解析式是 ，把 代入求 出直线 的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可． 解：过 作 轴，交 轴于 ，交 于 ，过 作 轴，交 轴于 ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中，， ， ， ， 设 ， ， ， ， 则 ， ，即 ． 直线 ， ， 点 ， 在 中，由勾股定理得： ， 则 的坐标是 ， 设直线 的解析式是 ， 把 代入得： ， 即直线 的解析式是 ， 组成方程组 解得： 点 ， ， 故答案为： ， ．【点拨】本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和 判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的 能力，题目比较好，但是有一定的难度．