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专题19.23 课题学习 选择方案（一次函数的实际应用）（直通中考）
（综合练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象
如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、
乙两人距地面的高度差为 米的时刻不可能是（ ）
A．5分钟 B．9分钟 C． 分钟 D． 分钟
2．已知：如图，直线 分别与 轴， 轴交于 、 两点，从点 射出的光线经直线
反射后再射到直线 上，最后经直线 反射后又回到 点，则光线所经过的路程是（ ）
A． B．6 C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 是线段 的
中点，点 是 轴上的一个动点，连接 ，以 为直角边，点 为直角顶点作等腰直角 ，连接
．则 长度的最小值是（ ）A．1 B．2 C． D．3
4．如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， 于点 ，点 为直线 上不
与点 、 重合的一个动点．在 轴上存在（ ）个点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形与 全
等．
A．2 B．4 C．5 D．6
5．甲，乙两车在笔直的公路 上行驶，乙车从 之间的 地出发，到达终点 地停止行驶，甲车
从起点A地与乙车同时出发到达 地休息半小时后立即以另一速度返回 地并停止行驶，在行驶过程中，
两车均保持匀速，甲、乙两车相距的路程 千米 与乙车行驶的时间 小时 之间的关系如图所示，下列
说法中正确的有（ ）
①甲车行驶的速度为每小时 千米；
② 两地之间的距离为 千米；
③甲车返回 地的速度为每小时 千米；
④甲车返回 地比乙车到 地时间晚 小时．
A． 个 B． 个
C． 个 D． 个6．如图，在正六边形 中，以点O为原点建立直角坐标系，边 落在x轴上，对角线 与
交于点F．若点A的坐标为 ，则点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知 、 、 、 是平面坐标系中坐标轴上的点，且 ，设直线 、直
线 交于点 ，两条直线表达式分别为 ， ，下列结论中正确的个数有（ ）
① ；② 平分 ；③ ．
A． B． C． D．
8．如图，已知正方形 的边长为2，点E是 的中点，连结 ，点F在 上，且 ，
连结 并延长交 于点G．则 的长是（ ）．A． B． C． D．1
9．如图，在平面直角坐标系中，直线 相交于点 ， ．下列四个说法：
； 为线段 中点；
； 点 的坐标为 ．其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在平面直角坐标系 中，平行四边形 的一边 在 轴上， ， 在第二象限，
在 左侧， ， ， ，直线 的解析式为 ，现将平行四边形沿 轴
向右平移，当直线 恰好平分平行四边形 的面积时，此时的平移距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．定义：若实数a，b满足 （k为常数），则称点 为“k倍幸福点”，如点 为
“3倍幸福点”．在平面直角坐标系 中，点 ，点B为直线l： 上两点，其中点B为“k
倍幸福点”，且 的面积为 ，则k的值为 ．12．如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 与直线 ： 交于点A，直线 与x轴交
于点B，直线 ： 过点 ，点C是横轴上任意一点，满足： 是等腰三角形的点C坐标
是 ．
13．如图，直线 与坐标轴相交于点A，B，点 ，点P在线段 上运动，连接 ．
将 沿 翻折，使A点落在点 处，若 平行于坐标轴时，则 ．
14．如图，边长为2的正方形 分别在x轴、y轴上，D为 中点，过点O的直线
交边 于点E（不与A、B重合），连接 ，当 平分 时，则k的值为 ．
15．在一条笔直的公路上，甲、乙两人分别从A，B两地同时出发匀速行走前往C地（到C地停止）．
设行走x分钟后，甲、乙到B地的距离分别为 ﹐ 与x的函数关系式如图所示：由于天气的关系．只有在距离不超过 时，两人才能相互看见．从开始出发至乙到达C地，乙能看
见甲时x的取值范围是 ．
16．如图，直线 的解析式为 分别与 ， 轴交于 两点，点 的坐标为 ，过点
的直线交 轴负半轴于点 ，且 ，在 轴上方存在点 ，使以点 为顶点的三角形与
全等，则点 的坐标为 ．
17．如图，直线l： ， ，若P关于直线l的对称点为Q，则Q坐标为 ；
18．如图，将矩形 置于平面直角坐标系中，其中 边在 轴上， ，直线
沿 轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形 的边截得的线段长度为
，平移时间为 与 的函数图象如图2所示．有下列说法：①点 的坐标为 ；②矩形 的面积为8；③ ；④ ，其中正确的有 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）某人在银行的储蓄卡中存入 万元，每次取出 元，若卡内余钱为 （元），取钱的次
数为 （次）（利息忽略不计）．
（1）写出 与 之间的函数关系式；
（2）写出自变量 的取值范围；
（3）取多少次钱以后，余额为原存款额的 ？
20．（8 分）如图，平面直角坐标系中， ， ， ， ，直线
过A点，且与y轴交于D点．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）试说明： ；
（3）若点M是直线 上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四
边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．21．（10分）为了缓解大气污染，贵阳市公交公司决定将某一条线路上的柴油公交车替换为新能源公
交车，计划购买A型和B型两种新能源公交车共10辆．若购买A型公交车3辆，B型公交车 2辆，共需
180万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需195 万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元；
（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100 万人次，若该公司购
买A型和B型公交车的总费用不超过 360万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于
680 万人次，则该公司有哪几种购车方案，哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少?
22．（10分）阅读理解：对于线段 和点 ，定义：若 ，则称点 为线段 的“等距
点”；特别地，若 ，则称点 是线段 的“完美等距点”．
解决问题：如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 的坐标为 ，点 是直线
上一动点．
（1）已知3个点： 则线段 的“等距点”是______，线段 的“完美等距点”是______；
（2）若 ，点 在 轴上，且 是线段 的“等距点”，求点 的坐标；
（3）当 ，是否存在这样的点 ，使点 是线段 的“等距点”且为线段 的“完美等距
点”，请直接写出所有这样的点P的坐标．
23．（10分）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种
服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲
种服装 件，两种服装全部售完，商场获利 元．
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元?
（3）在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠 元的价格进行优惠促销活动，
乙种服装每件进价减少 元，售价不变，且 ，若最大利润为4000元，求 的值．
24．（12分）如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与正比例函
数 的图象交于点 ，且点 的横坐标为2，点 为 轴上的一个动点．
（1）求 点的坐标和 的值；
（2）连接 ，当 与 的面积相等时，求点 的坐标；（3）连接 ，是否存在点 使得 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了一次函数的应用，绝对值方程，一元一次方程等知识．从图像中获取正确的信息，
正确的表示函数关系式是解题的关键．根据图像与题意求甲的函数关系式为 ，乙的函数关系式为
；然后令 ，分情况求解即可．
解：由图像可知，甲的速度为 米/分钟，当 时，乙的速度为 米/分钟，当
时，乙的速度为 米/分钟，
∴甲的函数关系式为 ，乙的函数关系式为 ；
令 ，
当 时， ，
解得 （舍去）；
当 时， ，
当 时，解得 ；
当 时，解得 ；
当 时，可得 ，
解得 ；
综上， 的值可能为5或11或17，不可能为9，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了一次函数的综合题，主要利用物理中反射角等于入射角，以及形成三角形之间的
关系来解．由题意由题意知 的点 ，点 ，也可知点 ，设光线分别射在 、
上的 、 处，由于光线从点 经两次反射后又回到 点，反射角等于入射角，则 ；
．由 而求得．
解：由题意知 的点 ，点则点
设光线分别射在 、 上的 、 处，由于光线从点 经两次反射后又回到 点，
根据反射规律，则 ； ．
作出点 关于 的对称点 ，作出点 关于 的对称点 ，则：
， ，
， ， ， 共线，
，
即 ；
．
故选：A
3．D
【分析】作 轴且 ，连接 ，延长 交 轴于 ，求出 点坐标为 ， 点
坐标为 ，得出 ，得出点 ，设点 ，则 ，证明
得出 ， ，得出 ， ， 三点共线，从而得到 ，得出
，再由勾股定理表示出 ，即可得出答案．
解：如图，作 轴且 ，连接 ，延长 交 轴于 ，，
直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
令 ，则 ，解得 ，令 ， ，
点坐标为 ， 点坐标为 ，
，
轴，
， ，
点坐标为 ，
设点 ，则 ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
， ， 三点横坐标相同，都为 ，
， ， 三点共线，
，，
点 是线段 的中点，
，
，
，
当 即 时， 最小，为 ，
的最小值为 ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形
的判定与性质，勾股定理等知识点，综合程度较高，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线
是解此题的关键．
4．B
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定，根据题意，可知 ，
要使以 、 、 为顶点的三角形与 全等，则 ，再根据 ，只需再确定一组对
边相等，即可得到两个三角形全等，进行讨论即可．
解：∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 为直线 上不与点 、 重合的一个动点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵要使以 、 、 为顶点的三角形与 全等，则 ，又∵ ，
∴分两种情况进行讨论，
①当 时，此时 或 ， ，如图所示：
或 ，
②当 时，此时 或 ， ，如图所示，
或 ；
综上，共存在 个点 ；
故选B．
5．B
【分析】根据第三段函数图象甲车到达B地后休息半小时，求出乙车的速度，然后根据第一段函数图
象，求出甲去B地速度；求出甲车从A到B所用的时间，即可求出 的长度；根据返回时，两车在
小时内行驶的路程为60千米，算出甲返回C的速度，求出 间的长度，即可求出返回C
地时甲用的时间，算出乙到达目的地B比甲到达B地多用的时间，即可求出甲车返回 地比乙车到 地时
间晚3小时．
解：乙车速度 （千米/时），
甲车去B地的速度为： （千米/时），
甲车去B地时，两车速度差， （千米/时），
第一次相遇后甲车到达B地时间， （小时），
∴甲车从A地到B地所用时间为 （小时），∴ 两地之间的距离为 （千米），故②正确；
甲车返回时速度， （千米/时），故①错误，故③正确；
∴A、B两地距离420千米，
∴B、C两地相距， （千米），
甲车返回C地用时， （小时），
乙车比甲车晚到达B地时间， （小时），
甲车比乙车晚到达目的地时间， （小时），故④错误；
综上分析可知，正确的有2个，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了从函数图象中获取信息，解决行程问题，解决问题的关键是熟练掌握甲、乙
两车行驶路程与速度、时间的关系．
6．A
【分析】根据几何的性质，分别求出点B、C、D的坐标，运用待定系数法求出一次函数解析式，再根
据一次函数图像有交点，联立方程解二元一次方程组即可求解．
解：正六边形 中，每个内角的度数为 ，如图所示，过点 作 轴于
，连接 ，点 的坐标为 ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ， ，∴ ，则 ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 是正六边形的对称轴，
∴ ，
∴ ，
∴在 是直角三角形，且 ， ，
∴在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设过点 ，点 的直线的解析式为 ，
∴ ，解得， ，
∴ 所在直线的解析式为 ，
同理，设过点 ，点 的直线的解析式为 ，
∴ ，
解得， ，
∴ 所在直线的解析式为 ，
∵点 是 、 的交点，∴联立方程组得， ，
解得： ，
∴点 的坐标为 ，
故选： ．
【点拨】本题主要考查几何图形与坐标，一次函数图像的交点问题，掌握几何图形的性质，待定系数
法求一次函数解析式，一次函数图像的性质等知识是解题的关键．
7．C
【分析】过点 作 于点 ， 于点 ，由 ，全等三角形对应高相等，
得 ，根据角平分线的判定定理可证 平分 ，再证明 ，可得 ，
直线 与 轴交点 的坐标 ，与 轴交点 的坐标 ，得 ， ，同理可
得 ， ，由 ， ，得 ， ，得 ， ，可证
．
解：过点 作 于点 ， 于点 ，
∵ ．∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 平分 ，故②正确；
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故①正确；
直线 与 轴交点 的坐标 ，与 轴交点 的坐标 ，
∴ ， ，
同理可得 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，故③正确．
故选：C．
【点拨】本题考查了两条直线相交问题，交点坐标与线段长度之间的关系，角平分线的判定，三角形
全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
8．A
【分析】如图：以点B为坐标原点建立直角坐标系，则 ，再根据题意可得 、
，然后用待定系数法求得直线 的解析式为 ；设 、 ，再根据 运用两点间距离公式求得m，进而求得 ；再运用待定系数法求得直线 的
解析式为 ，最后令 ，求得点G的坐标即可解答．
解：如图：以点B为坐标原点建立直角坐标系，则
∵正方形 的边长为2，点E是 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
则有 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ， ，
∵ ，
∴ ，解得： 或 （不合题意舍去），
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
则有 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ， ，即 ，∴ ．
故选A．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质、一次函数的应用等知识点，正确建立直角坐标系、运用一次
函数解决几何问题是解答本题的关键．
9．D
【分析】先用待定系数法分别求出直线 的解析式，再根据两条直线的斜率相乘是否等于 即可判
断 ；求出点 的坐标，即可判断 ；用两点间的坐标公式求出 的长，从而可以得出两个
三角形的边的关系，从而可以判断 ；点 为直线 与 轴的交点，根据解析式即可求出坐标，从而可以
判断 ．
解： ，
点坐标为 ， 点坐标为 ，
设直线 的解析式为： ，
直线 经过 两点，
，
解得 ，
直线 的解析式为： ，
设直线 的解析式为： ，
直线 经过 两点，，
解得 ，
直线 的解析式为： ，
，
，
，故 正确，符合题意；
点 为直线 与 轴的交点，
当 时， ，
点 坐标为 ，
，
为线段 中点，故 正确，符合题意；
由图象得
， ，
，
（SSS），故 说法正确，符合题意；
点 为直线 与 轴的交点，
当 时， ，
点 的坐标为 ，故 说法正确，符合题意；故选：D．
【点拨】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式、判断两条直线垂直、判断点是线段的中点、三
角形全等的判定、求点的坐标等知识点，解题的关键是先用待定系数法求出两条直线的解析式．
10．A
【分析】作 于 ，解直角三角形求得Ａ、Ｃ的坐标，即可求得 中点的坐标，根据题意
当直线 恰好平分平行四边形 的面积时，则 必经过 的中点，把中点的纵坐标答题直线
求得横坐标，即可求得平移的距离．
解：作 于 ，
， ， ，
， ，
，
，
， ，
的中点为 ，
平行四边形沿 轴向右平移，当直线 恰好平分平行四边形 的面积时，则 必经过 的中
点，
把 代入 得， ，解得 ，
，
平移距离为 ．
故选： ．【点拨】本题主要考查了一次函数图像与平移变换、平行四边形的性质、一次函数图像上点的坐标特
征等知识点，明确直线经过平行四边形对角线的交点平分平行四边形 的面积是解题的关键．
11．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
依据题意，由点 在直线 上，可得直线 的函数解析式为 ，又 在直线
上，从而可设 ，又 为“ 倍幸福点”， ，即 ，故 或
．又设直线 与 轴交于点 ，令 ，则 ，可得 ，然后分情形讨论计算可
以得解．
解：∵点 在直线 上，
解得： ，
∴直线 的函数解析式为 ．
又 在直线 上，
∴可设 ．
又 为“ 倍幸福点”，
即
，即 ，
设直线 与 轴交于点 ，
令 ，则 ．
①若 在 上方，又
②若 在 下方，在C上方，
又
③若 在 下方，在C下方，
又
不符合题意，
综上
故答案为： ．
12． 或 或 或
【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用，先求得 两点的坐标，再根据 是等腰三角
形，分情况讨论求解即可．解：由直线 ： 过点 可得：
，即 ，
直线 ： 与x轴交于点B，
则 时， ，即 ，
联立直线 ： 和直线 ： 可得
，
解得 ，即 ，
点C是横轴上任意一点，设 ，
由勾股定理可得： ， ，
是等腰三角形，则 或 或 ，
当 时，即 ，
解得 或 （舍去），
即 ；
当 时， ，
解得
即 ；
当 时， ，
解得 或 ，
即 或 ，故答案为： 或 或 或 ．
13． 的长为 或2或10
【分析】分三种情况： 平行于y轴时，由平行线的性质及等腰三角形性质、对称性质即可求解；
平行于x轴时，过点C作 于N，设 交y轴于点M；设 ，点 ， 则可得
，M的坐标，从而求得 ，再由折叠性质得 ，可得 ；由
求得a与m的关系；再由勾股定理得 ，从而可
求得m及a的值；当P靠近A且 平行于x轴时，延长 交y轴于点M，求法与上面 平行x轴的求
法类似．
解：当 平行于y轴时，如图，
则 ，
由折叠知： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
对于 ，令 ，得 ；令 ，得 ；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；平行于x轴时，如图，过点C作 于N，设 交y轴于点M；
设 ，点 ，则 ，
则 ， ，
∴ ， ；
由折叠性质知： ，
∵ ， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
即 ；
另一方面， ，
即 ，
因 ，故 ；
把 代入 中，得： ，
解得： （舍去），
∴ ，
即 ；当P靠近A且 平行于x轴时，延长 交y轴于点M，此时M位于点C上方，如图，
设 ，点 ，则 ，
则 ， ，
∴ ， ；
由折叠性质知： ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
即 ；
另一方面， ，
即 ，
因 ，故 ；
把 代入 中，得： ，
解得： （舍去），∴ ，
即 ；
综上， 的长为 或2或10．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的性质，等腰三角形的性质角平分线的性
质，勾股定理，等积法，利用等积法是解题的关键与难点．
14．
【分析】如图，作 交 于点F，连接 ；再通过证明三角形全等可得 、
，然后根据勾股定理求得 ，进而确定点E的坐标，进而求出k的值即可．
解：如图，作 交 于点F，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵正方形 ，
∴
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵点D是 边的中点，
∴ ，
∴ ；
同理可证： ，
∴ ,
∴ ，
∵在 中， ，
即 ，解得 ，
∴ ，
把点E的坐标代入 得： ，解得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了一次函数综合题、角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，正方形的性
质理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
15． 或
【分析】甲到B地前，乙不能看见甲，过B地后，根据甲 行 求出甲的速度，结合 过
求出 ，根据 过 求出 ，甲到达C地前，
，解得 ；甲到达C地后， ，解得 ．
本题主要考查了一次函数的实际应用．熟练掌握一次函数图象的关键点关键信息，待定系数法求函数
解析式，函数与不等式组的关系，是解决问题的关键．
解：甲到B地前，乙不能看见甲，过B地后，设 ，
∵甲的速度为， ，
∴ ，
∵ 与x的函数关系图象过点 ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
设 ，
∵ 与x的函数关系图象过点 ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
甲到达C地前， ，
即 ，
解得 ；
甲到达C地后， ，
解得 ．
综上 或 ．
故答案为： 或 。
16． 或
【分析】本题考查的是一次函数图像上的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质、勾股定理的
运用等，将点 的坐标代入直线 的解析式为 ，可求得直线 的解析式，从而可得到
的长度，再分 和 两种情况进行讨论即可得到
答案．解： 点 在直线 ： 上，
，
，
直线 的解析式为： ，
当 时， ，当 时， ，解得 ，
点 坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
，
，
，
，
由勾股定理得： ， ，
以点 为顶点的三角形与 全等，
当 时，如图所示，
此时 ，且 ，
，即 ，
点 的横坐标为3，纵坐标为4，
点 的坐标为： ；
当 时，如图所示，此时 ， ，
，
点 的横坐标为4，纵坐标为3，
点 的坐标为： ，
综上所述：点 的坐标为 或 ．
17．
【分析】设 关于直线l的对称点为 ，连接 交直线l于点 ，求出P，Q中点坐标，
利用中点在直线l上，以及等腰三角形三线合一，结合两点间距离公式即可求出Q点坐标．
解：设 关于直线l的对称点为 ，连接 交直线l于点 ，
中点坐标为 ，且中点坐标在直线l上，
，
P，Q关于直线l对称，
， ，
，，
联立 ，
解得： （关于原点对称，不关于直线对称，舍掉），
，
Q坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了两点间距离公式，等腰三角形的判定与性质，坐标关于轴对称，坐标与图形，找
点 中点坐标，利用等腰三角形三线合一进行求解是解答本题的关键．
18．②③④
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，从函数图象获取信息的能力，勾股定理，坐标与图形性
质；
由函数图象可知，当 时，直线 经过点 ，求出 可得 ，①错误；由函数图象可知，
当 时，直线 经过点 ，求出点 的坐标，可得 ，即可计算出矩形 的面积为8，②正
确；求出直线 经过点 时的函数解析式，可得此时与 轴的交点坐标为 ，利用勾股定理求出
即可得到 ，③正确；求出直线 经过点 时的函数解析式，可得此时与 轴的交点坐标为
，然后计算出 可得 ，④正确．
解：令直线 ，
解得： ，
点 的坐标为 ，
由函数图象可知：当 时，直线 经过点 ，∴ ，
点 的坐标为 ，①错误；
由函数图象可知：当 时，直线 经过点 ，
∴ ，
点 的坐标为 ，
，
矩形 的面积 ，②正确；
如图1所示；当直线 经过点 时，直线 交 于点 ．
点 的坐标为 ， ，
点 的坐标为
设此时直线 的解析式为 ，
将点 代入得: ，
，
此时直线 的解析式为 ，
当 时，
解得 ，
点 的坐标为 ，
∴ ，
，
∴ ，③正确；
如图2所示，当直线 经过点 时，直线 交 轴于点 ．点 的坐标为 ， ，
点 的坐标为 ，
设此时 的解析式为 ，
将 代入得： ，
解得 ，
此时直线 的解析式为 ，
当 时，
解得 ，
点 的坐标为 ，
∴ ，
，④正确；
故答案为：②③④．
19．（1） ；（2） ，且 为整数；（3） 次
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确列出等量关系式．
（1）根据“余额 存入的钱 取出的钱”，即可求解；
（2）根据储蓄卡中存入 万元，每次取出 元，可以求出最多可取几次，即可求解；
（3）根据题意列方程即可求解．
（1）解：根据题意得： ，
与 之间的函数关系式为 ；
（2） （次），且 ，
自变量 的取值范围： ，（3）由题意得：
解得： ，
即取 次钱以后，余额为原存款额的 ．
20．（1） ， ；（2）见分析；（3）存在， 或 或
【分析】
（1）根据题意利用矩形性质及判定可得点 坐标，令 即可得到 的值，即为点 坐标；
（2）根据直线解析式求出点 坐标，得到 的值，根据矩形对边相等， ，然后证明
，再利用全等性质即可得到结论；
（3）根据平行四边形对边平行且相等可得 ， ，令 求出点 坐标，从而得到
长度，再分情况讨论求出点 坐标．
（1）解：当 时， ，解得： ，
∴点 坐标为 ，
∵ ， ， ，
∴过点 作 于 ，则四边形 是矩形，
，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ；
（2）解：当 时， ，
∴点 坐标为 ，
∴ ，
根据（1）中结论，四边形 是矩形，
∴ ， ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：存在
∵点 在 轴上，O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴ 轴且 ，
根据（1），点 ，
∴ ，解得： ，
∴点 ，
∴ ，
①点 在点 的左边时， ，
∴点 的坐标为 ，
②点 在点 的右边时， ，
∴点 的坐标为 ，
③作 关于 的对称点 ，则 也符合，点 的坐标为 ，
综上所述： 或 或 ．
【点拨】
本题考查坐标与图形，一次函数与坐标轴交点，矩形性质及判定，平行四边形性质，全等三角形判定
及性质．
21．（1）购买每辆A型公交车需要30万元，每辆B型公交车需要45万元；（2）三种购买方案，购
进8辆A型公交车，2辆B型公交车时总费用最少，最少费用为330万元
【分析】
本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组．
（1）根据题意列方程组求解；
（2）根据题意列不等式组．再求其整数解，再根据题意列一次函数，求其最值．
解：（1）设购买每辆A型公交车需要x万元，每辆B型公交车需要y万元，
依题意，得： ，解得：
答：购买每辆A型公交车需要30万元，每辆B型公交车需要45万元．
（2）设购进A型公交车m辆，则购进B型公交车 辆，
依题意，得： ，
解得： ，因为m为整数，所有 ，
所以，该公司有三种购车方案，
方案1：购进6辆A型公交车，4辆B型公交车；
方案2：购进7辆A型公交车，3辆B型公交车；
方案3：购进8辆A型公交车，2辆B型公交车．
该公司购买这10辆公交车的总费用为w元，则
，
因为， ，w随m的增大而减小，当 时，w取得最小值，最小值为330，
答：购进8辆A型公交车，2辆B型公交车时总费用最少，最少费用为330万元．
22．（1） 和 ； ；（2）点 的坐标为 或 ；；（3）点P的坐标为 或
．
【分析】
本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键．
（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到 ， 的距离，根据等距点和完美等距点做出判断；
（2）设出 点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论；
（3）假定存在，设出 点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论．（1）解： ， ，
，
为等距点．
， ，
，
为等距点．
， ，
，
不为等距点．
，
， ， ， ，
为完美等距点，
故答案： 和 ； ；
（2）解： 在 上，
，
，
，
，
或 ．
设 的坐标为 ，
或 ，
， ，
或 ，
解得： 或 ．的坐标为 或 ；
（3）
解：设 点的坐标为 ，
，
， ，
点 是线段 的“等距点”，
，
，
解得： ，
为线段 的“完美等距点”，
，
为等腰直角三角形，
，
， ，
，
解得： 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
点的坐标为 或 ．
23．（1） ；（2）当 时取最大值4500元；（3）【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数
关系式是求解本题的关键．
（1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式．
（2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值．
（3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于a，b的方程组求值即可．
（1）解：
（2）解：由题意得： ，
∴ ，
∵ 中， ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， （元）．
（3）解：∵ ，
∴ ，
由题意得：
．
∵ ，
∴当 时， ，
∴y随x的增大而增大，
∴当 时， ，
∴ ，符合题意．
当 时， ， 不合题意．
当 时， ， y随x的增大而减小．
∴当 时， ， ∴ ，不合题意，舍去．综上， ．
24．（1） ， ；（2） 或 ；（3）存在点 使得 为等腰三角形，点 的
坐标为： 或 或 或
【分析】（1）将 代入 中，可得点B的坐标，然后通过点 ，点 ，利用待定系
数法即可求出k、b的值；
（2）通过点A、点B坐标，求出 ，利用点C坐标，即 中， 边上的高为2.5，从而可得
，进而可得点P坐标；
（3）根据勾股定理求得 的长，然后分三种情况：①当 时，②当 时，③当
时，分别进行讨论求解即可．
（1）解：将 代入 ，得 ，
点 的坐标为 ．
一次函数 的图象与 轴交于点 ，
，即 ．
将点 代入 ，得 ，
解得 ；
（2）
解： ，
， 中 边上的高为2，
．
，
在 中，令 ，得 ，，即 中， 边上的高为2.5，
，
解得 ．
又 ，
或 ；
（3）解：存在，理由：
如图1，过点 作 轴于点 ，则 ，
， ，
．
①当 时， ．
，
此时点 的坐标为 或 ；
②当 时，由等腰三角形的性质易得 ．
，
，
，此时点 的坐标为 ；
③当 时，如图2，
设 ，则 ，
，
，
解得： ，
此时点 的坐标为 ．
综上可知，存在点 使得 为等腰三角形，点 的坐标为： 或 或 或
．
【点拨】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、三角形的面积、等腰三角形存在问题等知识，解题
的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．
