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专题19.22 课题学习 选择方案（一次函数的实际应用）（分层练习）
（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为 时两种消费卡所需费用分别为 ， 元，
， 与 的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（ ）
A．甲种更合算 B．乙种更合算
C．两种一样合算 D．无法确定
2．水果店购买一种葡萄所付款金额（元）与购买量（千克）情况如图，萌萌一次购买6千克这种葡萄
比她分三次购买每次购2千克这种葡萄可节省（ ）元．
A．18 B．12 C．9 D．6
3．某商场销售一种儿童滑板车，经市场调查，售价x（单位：元）、每星期销量y（单位：件）、单
件利润w（单位：元）之间的关系如图1、图2所示．若某星期该滑板车单件利润为20元，则本星期该滑
板车的销量为（ ）A．94 B．96 C．1600 D．1800
4．如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线
AB组成，则一次购买5千克这种苹果比分五次购买1千克这种苹果可节省（ ）元．
A．4 B．5 C．6 D．7
5．在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ， ， ．当直线 与
有交点（包括顶点）时，b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》中有这样一道数学题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一
百步，善行者追之．问：几何步及之?”如图是善行者与不善行者行走的路程S（单位：步）与行走时间t
（单位：分）之间的函数图象，则两图象交点P的纵坐标为（ ）
A．200 B．250 C．300 D．350
7．小冬和小天沿同一条笔直的公路相向而行，小冬从甲地前往乙地，小天从乙地前往甲地，两人同
时发出，当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带，立刻掉头提速返回甲地，用时4分钟，拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地（掉头和拿物品的时间忽略不计），小天始终以一个速度保持行驶，二人相距的
路程y（米）与小冬出发时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）
A．小冬返回甲地的所用时间为4分钟
B．小冬和小天出发时的速度分别为160米 分钟和200米 分钟
C．小天出发 分钟两人相遇
D．小冬最终达到乙地的时间是20分钟
8．如图，在 中， ， ，点 在边 上，且 ，点 为 的中点，
点 为直线 上的动点，当 时， 点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．小明用刻度不超过 的温度计，估计某种食用油的沸点温度（沸腾时的温度）．他将该食用油
倒入锅中均匀加热，每隔 测量一次油温，得到如下数据：
时间t（s）
油温y（℃）
当加热 时，油沸腾了．可以估计该食用油的沸点温度是（ ）
A． B． C． D．
10．小明用的练习本可以在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是1元/本，甲商店的优惠条
件是：10本以上，从第11本开始按标价的七折出售；乙商店的优惠条件是从第一本开始打折出售，其中，
购买金额y（元）与购买数量x（本）之间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）A．在甲商店购买20本练习本需要花费19元 B．购买15本练习本时，甲商店更合算
C．购买30本练习本时，乙商店更合算 D．乙商店给出的折扣是八五折
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．某人用面值50元的IC卡从A地向B地打长途电话，按通话时间收费，3min内收费2.4元，以后每
超过1min加收1元．若此人第一次通话tmin（3≤t≤45），则IC卡的余额y（元）与通话时间t（min）之间
的关系式是 ．
12．已知 ，且 ．若设 ，则m的最大值是 ．
13．某公司新产品上市 天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表
示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元；已知当 时，单
件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为 ，则第 天的日销售利润为 元．
14．我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列举措．复课返校后，为了拉开学生锻炼的间距，某
学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，原来购进 根跳绳和 个毽子共需 元；购进
根跳绳和 个毽子共需 元．学校计划购进跳绳和毽子两种器材共 个，由于受疫情影响，商场决定
对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量
的 倍，跳绳的数量不多于 根，则最少费用是 元．
15．甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发 分钟，
甲、乙两人之间的距离 （米）与甲出发的时间 （分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息
了 分钟．16．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休
息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的
关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了30分钟；③乙用12分钟追上
甲；④乙到达终点时，甲离终点还有360米．其中正确的结论有 ．（填序号）
17．如图，在长方形 中，点 为坐标原点，点 的坐标为 ，点 在坐标轴上，直线
与 交于点 ，与 轴交于点 ．动点 在直线 上，动点 在直线 上．若
是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，则点 的坐标为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，点C在直线 上．若 ，
则点C的坐标为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）现如今快递包裹越来越多，2024年某蜂巢物流决定在沈阳新建社区安装智能四分类物流
箱和智能六分类物流箱，若安装2个智能四分类物流箱和3个智能六分类物流箱共需14.3万元，且智能六
分类物流箱单价比智能四分类物流箱单价高0.6万元．
（1）求智能四分类物流箱和智能六分类物流箱的单价；
（2）如果你是该事项规划负责人，获知该社区需安装智能四分类物流箱和智能六分类物流箱共30个，
其中智能六分类物流箱至少要安装20个，且总费用不超过88.2万元，请你列举出所有安装方案，如果选
取最省钱的方案你选取哪一种，是多少万元？
20．（8分）“人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份
朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度，某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进
腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元．
（1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？
（2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜
花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的 ，两种鲜花全部销售完
时，求销售的最大利润及相应的进货方案．21．（10分）小东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地走去，
如图所示， ， 分别表示小东、小明离B地的距离 与所用时间 的关系．
（1）试用文字说明交点P所表示的实际意义；
（2）试求 ， 的函数表达式；
（3）在什么时间范围内，两人至少相距 ？
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与 ， 轴交于 ，
两点，正比例函数的图象 与 交于点 ．
（1）填空： _______， _______，不等式 的解集是_____；
（2）若点 是直线 上的一个动点，连接 ，当 的面积是 面积的2倍时，
求出符合条件的点 的坐标；23．（10分）某电商根据市场需求购进一批 两种型号的电脑小音箱进行销售，每台 型音箱的进
价比A型音箱的进价多 元，用 元购进A型音箱与用 元购进B型音箱的台数相同．
（1）求A， 两种型号的电脑小音箱每台的进价：
（2）该电商计别购进A，B两种型号的电脑小音箱共 台进行销售，其中A型音箱台数不少于B型
音箱台数的 倍，A型音箱每台售价为 元，B型音箱每台售价为 元，怎样安排进货才能使售完这
台电脑小音箱所获利润最大？最大利润是多少元？
24．（12 分）如图，平面直角坐标系中， ， ， ， ，直线
过A点，且与y轴交于D点．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）试说明： ；
（3）若点M是直线 上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四
边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案
1．B
【分析】根据一次函数的图象，哪个函数图象在上面，哪个就大，直接得出答案即可．
解：利用图象，当游泳次数大于10次时，
在 上面，即 ＞ ，
∴当游泳次数为30次时，选择乙种方式省钱．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了一次函数的应用以及利用函数图象比较函数大小，利用数形结合得出是解题
关键．
2．B
【分析】先求出直线AB的解析式，当 时，可求得一次购买6千克这种葡萄的钱数，当购买量不
多于2千克时，每2千克葡萄的价格为38元，求差即可求解．
解：设直线AB的解析式为 ，将（2，38）、（4，70）代入得， ，
解得： ，
当 时， ，
即萌萌一次购买6千克这种葡萄需要 元；
她分三次购买每次购2千克这种葡萄需要 （元），
∴ （元），
萌萌一次购买6千克这种葡萄比她分三次购买每次购2千克这种葡萄可节省12元．
故选：B．
【点拨】本题考查了一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知
识解决问题，利用数形结合的思想解答．
3．D
【分析】先由图1求出y与x的函数解析式，再由图2求出x与w的函数解析式，然后把w＝20代入
即可．
解：由图1可设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
把（92，1400）和（98，2000）代入得，
解得： ，
∴y与x的函数解析式为：y＝100x﹣7800；
由图2可设x与w的函数解析式为x＝mw+n，
把（18，98）和（24，92）代入得：
解得：
∴x与w的函数解析式为：x＝﹣w+116，
当w＝20时，x＝﹣20+116＝96，
y＝100×96﹣7800＝9600﹣7800＝1800（件），∴本星期该滑板车的销量为1800件，
故选：D．
【点拨】本题考查一次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是根据图象求出函数解析式．
4．C
【分析】观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段OA和设AB的函数关系式，再分别求
出当x=1和x=5时，y值，用10×5-44即可求出一次购买5千克这种苹果比分五次购买1千克这种苹果节省
的钱数．
解：设y关于x的函数关系式为y=kx+b，
当0≤x≤2时，将（0，0）、（2，20）代入y=kx+b中，
，解得： ，
∴y=10x（0≤x≤2）；
当x>2时，将（2，20），（4，36）代入y=kx+b中，
，解得： ，
∴y=8x+4（x≥2）．
当x=1时，y=10x=10，
当x=5时，y=44，
10×5-44=6（元），
故选C．
【点拨】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特
征，观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段OA和设AB的函数关系式是解题的关键．
5．D
【分析】
本题考查一次函数解析，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键，分别将 代入
一次函数 中求出b，即可得到b的取值范围．
解：将点 代入直线 中，得： ，
∴ ，
将点 代入直线 中，得： ，∴ ，
将点 代入直线 中，得： ，
∴ ，
∴要使直线 与 有交点，且 ，
∴ ．
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数关系式是解题的关键．根据题意I去除
善行者和不善行者的函数关系式，再联立求两个一次函数交点坐标即可．
解：设点A、B的坐标为： ，
则直线 的表达式为： t①，
设直线 的表达式为： ，
将点B的坐标代入上式得： ，
解得： ，
则直线 的表达式为： ②，
联立①②得： ，
解得： ，两图象交点P的纵坐标为250，
故选：B
7．D
【分析】
本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程等知识，解答本题的关键是明确题意，采用数形结合的思想．
由图象可知前5分钟，两人共行驶了 米，故两人速度和为 米 分钟，
再根据小东提速返回的路程，小天用4分钟的时间，可知小天的速度是小东的 倍，即可算出两人开始的
速度；然后根据总路程和小东继续去乙地的速度，分别求出小天和小东用的相遇时间即可；小东在加上开
始5分钟和返回4分钟即总时间，逐一判断即可．
解：A．当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带发现重要物品没带，立刻掉头提速返回甲地甲地，用
时4分钟，此选项不符合题意；
B． 小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变，
小东提速前5分钟的路程，相当于小天只需4分钟就可走完，
小天速度是小东提速前的速度的 倍，
设小东原速度为 米分钟，则提速后为米 分钟，小天的速度为米 分钟，则
，
小冬和小天出发时的速度分别为160米 分钟和200米/分钟，故此选项不符合题意；
C． 两人同时发出，当行驶5分钟到达B点 ，小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天
相距的路程不变，
此时两人相距2200米，拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地，
小东提速后速度为200米/分钟，两人继续行驶 分钟相遇，小天一共行驶了分
钟， 故此选项不符合题意；
D．小东行驶时间为开始5分钟，返回甲地4分钟，重新返回乙地 分钟，小冬最终达到
乙地的时间是29分钟，故此选项符合题意．
故选：D ．
8．B
【分析】
本题考查了坐标与图形，勾股定理、一次函数的应用，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位
置是解题的关键．根据已知条件得到 解析式为 ，设点 P 的坐标为 ，得到，求得 ，得到 ，根据 建立方程，
即可得到结论．
解：点 为直线 上的动点，且
∴设 解析式为
把 代入，解得
即 解析式为 ，
设点P的坐标为 ，
∵， ， ，点 在边 上，且 ，点 为 的中点，
∴
∴
则
∵
∴
解得
∴
故选：B
9．C
【分析】本题考查了一次函数的应用，利用表格中数据求出函数表达式是解题的关键．根据表格中的
数据求出油温 和时间 之间的函数表达式，再将 代入即可．
解：由表中数据可知油温 随着时间 的增长而匀速增长，
设 ，将 ， 代入，
得： ，解得： ，
，
当 时， ，即这时油的沸点温度是 ，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可．
解：A、在甲商店购买20本练习本需要花费 元，故选项错误；
B、由图象可知，乙商店每本练习本的费用为 元，故购买15本时，在甲商店购买需花
费： 元，在乙商店购买需花费： 元，故乙商店更合算，选项错
误；
C、由图象可知：当 时，乙图象在甲图象的上方，即在乙商店购买花费的多，所以购买30本练
习本时，甲商店更合算，选项错误；
D、由图象可知，乙商店每本练习本的费用为 元，即乙商店给出的折扣是八五折，选
项正确；
故选D．
11．y=﹣t+50.6．
解：试题分析：由题意知，前3分钟话费是固定不变的，若通话时间小于3分钟，则话费是2.4元，
若大于等于3分钟，则所需费用是2.4加上超过的部分，然后用IC卡上的总价钱（即50元），减去所需的
费用，即为IC卡上所余的费用．
解：由题意得：y=50﹣[2.4+（t﹣3）×1]=50﹣（t﹣0.6）=50.6﹣t，（3≤t≤45）．
故答案为y=﹣t+50.6．
12．7
【分析】本题考查了一次函数的性质以及解一元一次不等式．用含x的代数式表示y，并代入 中
即可求出x的取值范围，再用含x的代数式表示m，再根据x的取值范围即可求出m的最大值．
解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，解得 ，
∵ ，
∴ ，
即
又 ， ，
∴当 ， 有最大值为 ，
∴ 最大值为 ．
故答案为： ．
13．
【分析】设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为 ，把 代入得 ，解
得 ，则 ，再求出 的b值，然后把 代入算得 ，根据日销
售利润＝单件产品的利润×销售量进行计算即可．
解：由题图①知，当天数 天时，市场日销售量达到最大 件，
由题图②知，当天数 天时，每件产品销售利润达到最大 元，
所以当天数 天时，市场的日销售利润最大，最大利润为 元；
设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
∴日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为 ，
将点 代人 ，
解得 ，
所以当 时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为 ，
当 时， ，
将 时 ，
∴此时日销售利润为 （元）．
故答案为： ， ．【点拨】本题考查一次函数的应用，关键是读懂图中信息，利用函数的性质进行解答．
14．
【分析】设打折前跳绳的单价为 元，毽子的单价为 元，根据“打折前，购进 根跳绳和 个毽子共
需 元；购进 根跳绳和 个毽子共需 元”，可列出关于 ， 的二元一次方程组，解之可得出跳绳
及毽子的单价，设购买跳绳 根，则购买 个，根据“购进跳绳的数量不少于毽子数量的 倍，且
跳绳的数量不多于 根”，可列出关于 的一元一次不等式组，解之可得出 的取值范围，设购买跳绳
和毽子的总费用为 元，利用总价 单价 数量，可找出 关于 的函数关系式，再利用一次函数的性质，
即可解决最值问题．
解：设打折前跳绳的单价为 元，毽子的单价为 元，
根据题意得： ，
解得： ，
打折前跳绳的单价为 元，毽子的单价为 元．
设购买跳绳 根，则购买毽子 个，
根据题意得： ，
解得： ．
设购买跳绳和毽子的总费用为 元，则 ，
即 ，
，
随 的增大而增大，
又 ，且 为正整数，
当 时， 取得最小值，最小值 ，
最少费用是 元．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出 关于 的函数关系式是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象，求出甲、乙的速度，再求出它们到达终点的时
间即可求解，看懂函数的图象是解题的关键．
解：由图可得，甲的速度为 米 分，
设乙的速度为 米 分，
由图可得， ，
解得 ，
∴乙的速度为 米 分，
∴甲到达终点的时间为 分钟，
乙达到终点的时间为 分钟，
∵甲先出发 分钟，
∴乙先到终点原地休息了 分钟，
故答案为： ．
16．①②③④
【分析】本题考查一次函数的应用．根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正
确，从而可以解答本题．
解：由题意可得：甲步行速度 （米 分），
故①正确；
设乙速度为 米 分，
由题意得： ，
解得： ．
∴乙的速度为80米 分．
∴乙走完全程的时间为 （分 ，
故②正确；
由图可知，乙追上甲的时间为： （分 ，
故③正确；
乙到达终点时，甲离终点的距离是： （米 ，
故④正确．故答案为：①②③④．
17． 或
【分析】
本题考查等腰直角三角形，坐标与图形，全等三角形的性质以及分类讨论思想，根据题意设出点 的
坐标，通过作辅助线得到全等三角形，再根据全等三角形的等边建立关系，求出 坐标中的未知数，从而
求得 的坐标．解决本题的关键是合理根据顶点的位置进行分类讨论．
解：∵在长方形 中，点 为坐标原点，点 的坐标为 ，
∴ ， ，
动点 在直线 上，设 ，
如图，当 为直角顶点，在 上方时，过点 作 轴于 ，延长 交 于 ，
则 ， ， ， ，
∴ ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，即： ，
解得： ，则 ，
∴此时点 的坐标为 ；如图，当 为直角顶点，在 下方时，过点 作 轴于 ，交 于 ，
则 ， ， ， ，
∴ ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，即： ，
解得： ，则 ，
∴此时点 的坐标为 ；
综上，点 的坐标为 或 ．
18．
【分析】本题主要考查了一次函数的的几何应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三
角形的判定和性质．过点B作直线 轴，过点B作 交于点D，过点A，D作直线l的垂线，垂
足分别为E，F，由点A，B的坐标得 ，证 为等腰直角三角形，再求出 ，，再证 和 全等得 ，据此得点D的横坐标为 ，设点D的
纵坐标y，由两点间的距离公式得： ，可得点D的坐标，然后求出直线
的表达式，最后联立解方程，即可求出点C的坐标．
解：过点B作直线 轴，过点B作 交于点D，过点A，D作直线l的垂线，垂足分别为
E，F，如图所示：
∵点 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 直线l， 直线l，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴点D的横坐标为 ，设点D的纵坐标y，
由两点间的距离公式得： ，
∴ ，
解得： ，
∴点D的坐标为 或 ，
①当点 时，由两点间的距离公式得： ，
∴点 ，符合题意，
②当 时，由两点间的距离公式得： ，
∴点 不符合题意，舍去，
设直线 的表达式为 ，
将点 ，点 代入得：
，解得： ，
∴直线 的表达式为： ，
解方程组 ，得： ，
∴点C的坐标为 ．
故答案为： ．19．（1）智能四分类物流箱单价为2.5万元，智能六分类物流箱单价为3.1万元；；（2）见分析
【分析】
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明
确题意，列出相应的方程组和不等式组，写出相应的函数关系式．
（1）根据购买2个智能四分类物流箱和3个智能六分类物流箱共需14.3万元，且智能六分类物流箱
单价比智能四分类物流箱单价高0.6万元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意可以写出所需费用与购买的六分类物流箱的个数的函数关系式，然后根据智能六分类
物流箱至少要安装20个，且总费用不超过88.2万元，可以得到相应的不等式组，然后求出不等式组的解
集，再根据物流箱个数为整数，即可写出相应的购买方案，再计算出各种方案下的花费情况，即可解答本
题．
解：（1）设智能四分类物流箱单价为 万元，智能六分类物流箱单价为 万元，
由题意可得： ，
解得 ，
答：智能四分类物流箱单价为2.5万元，智能六分类物流箱单价为3.1万元；
（2）设购买智能六分类物流箱 个，则购买智能四分类物流箱 个，花费为 元，
由题意可得： ，
智能六分类物流箱至少要安装20个，且总费用不超过88.2万元，
，
解得 ，
为整数，
，21，22，
共有三种购买方案，
方案一：购买购买智能四分类物流箱10个，购买智能六分类物流箱20个，需要花费：
（万元）；
方案二：购买购买智能四分类物流箱9个，购买智能六分类物流箱21个，需要花费：
（万元）；方案三：购买购买智能四分类物流箱8个，购买智能六分类物流箱22个，需要花费：
（万元）；
由上可得：方案一：购买购买智能四分类物流箱10个，购买智能六分类物流箱20个所需资金最少，
最少是87万元．
20．（1）腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束；；（2）当购进腊梅30束，百合50束时，
销售利润最大，销售的最大利润为840元．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一次函数，一元一次不等式组的应用，熟练掌握利润
与进购量之间的数量关系是解决问题的关键．
（1）设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购进腊梅m束，则购进百合 束，根据题意列出不等式组求出 ，然后表示出
总利润 ，然后利用一次函数的性质求解即可．
解：（1）设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，
根据题意得： ，
解得： ．
答：腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束；
（2）设购进腊梅m束，则购进百合 束，
根据题意得： ，
解得： ，
设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元，
则 ，
即 ，
∵ ，
∴w随m的增大而减小，
∴当 时，w取得最大值， （元），
此时 （束）．答：当购进腊梅30束，百合50束时，销售的最大利润为840元．
21．（1）点P表示出发 后两人相遇；；（2） ， ；（3）在出发后 内（包括
）及出发 后（包括 ），两人至少相距 ；
【分析】
本题考查一次函数的实际应用：
（1）根据两直线的交点到B地的距离相同即可得到答案；
（2）设出解析式，将图中点代入求解即可得到答案；
（3）根据两个相距最少 列式求解即可得到答案；
（1）解：由图像可得，
∵点P， ， 相同，
∴点P表示出发 后两人相遇；
（2）解：设 ．
∵函数 的图象经过点 ， ，
∴ ，解得 ，
∴ 的函数表达式为 ，
直线 经过原点，设 ，
∵函数 的图象经过点 ，
∴ ，解得 ，
∴y 的函数表达式为 ；
2
（3）解：由题意得，
或 ，
解得 或 ，
答：在出发后 内（包括 ）及出发 后（包括 ），两人至少相距 ．22．（1）5，4， ；（2）点 的坐标为 或
【分析】
本题是一次函数综合题，主要考查两直线的交点，两直线相交或平行问题，待定系数法求函数解析式、
三角形的面积及分类讨论思想等．解决问题的关键是利用图象求解各问题．
（1）先求得 点坐标，将点 坐标代入次函数 可得 的值，利用图象直接判断不等式的
解集即可；
（2）设 ，根据 ，即可求解．
解：（1）
将点 代入 得： ，
然后将 代入 得： ，
解得： ，
由图象可知，不等式 的解集为： ；
故答案为：5，4， ；
（2）
由（1）得：一次函数 ，
点 在直线 上，
设点 的坐标为 ，把 代入 ，得 ，
点坐标为 ， ，
点坐标 ，
，
把 代入 ，得 ，
点坐标为 ， ，
，
解得： 或14，
当 时， ；
当 时， ；点 的坐标为 或 ；
23．（1）每台A型音箱的进价为 元，则每台 型音箱的进价为 元；（2）购进 台A型音箱，
购进 台 型音箱所获利润最大，最大利润是 元
【分析】
本题考查了一次函数和分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出函数解析式和方程．
（1）设每台A型音箱的进价为 元，每台A型音箱的进价为 元，根据用 元购进A型音箱
与用 元购进 型音箱的台数相同列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）设最大利润是 元，购进 台A型音箱，则购进 台 型音箱，根据总利润 两种音响的
利润之和列出函数解析式，再根据 的取值范围，由函数的性质求最值．
（1）解：设每台A型音箱的进价为 元，每台 型音箱的进价为 元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答：每台A型音箱的进价为 元，则每台 型音箱的进价为 元；
（2）解：设所获利润是 元，购进 台A型音箱，则购进 台 型音箱，
根据题意得： ，
型音箱台数不少于 型音箱台数的 倍，
，
解得 ，
，
随 的增大而减小，
当 时，w取最大值，最大值为 ．
答：购进 台A型音箱，购进 台 型音箱所获利润最大，最大利润是 元．
24．（1） ， ；（2）见分析；（3）存在， 或 或
【分析】（1）根据题意利用矩形性质及判定可得点 坐标，令 即可得到 的值，即为点 坐标；
（2）根据直线解析式求出点 坐标，得到 的值，根据矩形对边相等， ，然后证明
，再利用全等性质即可得到结论；
（3）根据平行四边形对边平行且相等可得 ， ，令 求出点 坐标，从而得到
长度，再分情况讨论求出点 坐标．
（1）解：当 时， ，解得： ，
∴点 坐标为 ，
∵ ， ， ，
∴过点 作 于 ，则四边形 是矩形，
，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ；
（2）解：当 时， ，
∴点 坐标为 ，
∴ ，
根据（1）中结论，四边形 是矩形，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（3）解：存在
∵点 在 轴上，O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴ 轴且 ，
根据（1），点 ，
∴ ，解得： ，
∴点 ，
∴ ，
①点 在点 的左边时， ，
∴点 的坐标为 ，
②点 在点 的右边时， ，
∴点 的坐标为 ，
③作 关于 的对称点 ，则 也符合，点 的坐标为 ，
综上所述： 或 或 ．
【点拨】本题考查坐标与图形，一次函数与坐标轴交点，矩形性质及判定，平行四边形性质，全等三
角形判定及性质．
