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专题19.34 一次函数几何分类专题（动点问题）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24七年级上·山东济南·期末）如图，直线 与x轴、y轴分别相交于E，F．点F的坐
标为 ，点P是直线 上的一动点，若 的面积为4，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．（23-24八年级下·全国·假期作业）在平面直角坐标系上有一动点P（x，y），已知点P到x轴，y
轴的距离之和等于5，则点P所在的直线的函数表达式为（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或 或 或
3．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，已知M，N分别是x轴上两动点，且M
坐标为 ，N坐标为 ，过M、N点作x轴的垂线，交一次函数 的图像于点E、
F，当 时，k的值为（ ）
A．－1 B．－4 C． D．
4．（22-23八年级下·福建宁德·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，过点 的直线
与直线 相交于点 ，过动点 且垂于x轴的直线与 、 ．的交点分别为
C，D．当点C位于点D上方时，则n的取值范围是（ ）A． B． C． D．
5．（22-23八年级上·广西南宁·期末）如图，在直角坐标系中，点 的坐标分别为 和 ，
点 是 轴上一个动点，当 的周长最小时点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24九年级上·江苏南通·开学考试）如图，直线 交x轴于点A，交y轴于点 ，
点 在直线l上，已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐
标为（ ）
A． B． C． 或 D． 或7．（22-23八年级下·天津滨海新·期末）若点 是x轴上的一个动点，它与x轴上表示3的点的距
离是y，则y关于x的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，在 中，已知 ，BC边上的高线 ，动点
由点C沿CB向点B移动（不与点B重合），设 的长为x， 的面积为S，则S与x之间的关
系式为（ ）
3
A． B． C． D．
9．（23-24八年级上·广东佛山·期中）已知，如图，直线 ： ，分别交平面直角坐标系
于 两点，直线 ： 与坐标轴交于 两点，两直线交于点 ；点 是 轴上一动
点，连接 ，将 沿 翻折， 点对应点刚好落在 轴负半轴上，则 所在直线解析式为
（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，于点 ，点 为直线 上不与点 、 重合的一个动点．在 轴上存在（ ）个点 ，使得以 、
、 为顶点的三角形与 全等．
A．2 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（18-19九年级·河北邢台·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点M是直线y=﹣x上的动点，
过点M作MN⊥x轴，交直线y=x于点N，当MN≤8时，设点M的横坐标为m，则m的取值范围为 ．
12．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，一次函数 的图像与x轴、y轴交于A、B
两点，P是x轴正半轴上的一个动点，连接 ，将 沿 翻折，点O恰好落在 上，则点P的坐标
为： ．
13．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、
轴分别交于点 、 ， 是 轴上的动点（不与点 重合），若将 沿直线 翻折，点 恰好落
在 轴上，则点 的坐标为14．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，射线 射线 与 的平分线交于
点E， ，点P是射线 上的一动点，连结 并延长交射线 于点Q．若 ，
，则y关于x的函数表达式为 ．
15．（23-24八年级上·河南焦作·期末）如图，直线 与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线
于点A．若点C是射线 上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三
角形与 全等，则点D的坐标为 ．
16．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 交
轴于点 ，交 轴于点 ，点 是直线 上方第一象限内的动点．当 为等䁏直角三角形时，请直接写出点 的坐标 ．
17．（22-23八年级下·福建福州·期中）如图，直线 与x轴、y轴分别交于 ， 两点，点
C，D分别为线段 ， 的中点，点 为 上一动点，当 时，点 的坐标为 ．
18．（22-23八年级下·河南商丘·期末）如图,在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 与x
轴交于点A，一次函数 的图象 与x轴交于点B，与 交于点P，直线 过点A且与x轴垂直，若
上有一动点C，使得 ，则点C的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（17-18八年级上·浙江宁波·期末）已知平面直角坐标系内的点A（m﹣3，2m﹣2）在第
二象限，且m为整数，B（3，1）．
（1）求点A的坐标；
（2）点P是x轴上一动点，当PA+PB最小时，求：①点P的坐标；②PA+PB的最小值．20．（8分）（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，一次函数 的图象交 轴于 点，交
轴于 点，且 ，点 是第一象限内直线 上的动点，连结 ．
（1）求出点 的坐标及 的值；
（2）设点 ，求出 的面积 与 的函数表达式．
21．（10分）（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，直线 与x轴相交于点A，与y轴相交
于点B．
（1）求点A、B的坐标；（2）点M是x轴上的一个动点，要使以A、B、M为顶点的三角形是以 为腰的等腰三角形，请探
究并求出符合条件的所有点M的坐标．
22．（10分）（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 轴
交于点 ，与 轴交于点 ，且 ， 满足： ．
（1）求： 的值；
（2） 为 延长线上一动点，以 为直角边作等腰直角 ，连接 ，求直线 与 轴交点
的坐标；
（3）在（2）的条件下，当 时，在坐标平面内是否存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的
四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点 的坐标，若不存在，说明理由．23．（10分）（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图（1），点 为平面直角坐标系
中两点，过点 作 交 于 ，交 轴于点 ．且 ．
（1）求直线 解析式；
（2）如图2，点 是线段 上一动点（不与点 、 重合）， 交 于点 ，连接 ．
①点 移动过程中，线段 与 数量关系是否不变，并证明；
②当 面积最小时，求点 的坐标和 面积．24．（12分）（23-24八年级上·山东济南·期末）【建立模型】
（1）如图1．等腰 中， ， ，直线 经过点C，过点A作 于
点D，过点B作 于点E，求证∶ ；
【模型应用】
（2）如图2．已知直线 与 轴交于点A，与 轴交于点B，将直线 绕点A逆时针旋转
至直线 ，求直线 的函数表达式∶
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点 ，过点B作 轴于点A， 轴于点C，点Q
是线段 上的动点，点 是y轴右侧一动点．试探究 能否成为以P为直角顶点的等腰
直角三角形？若能，直接写出所有符合要求的点P的坐标，若不能，请说明理由．参考答案：
1．D
【分析】本题考查了一次函数的解析式以及一次函数与坐标轴的交点问题．将 代入 可
得解析式，令 ，可得 ，据此即可求解．
解：将 代入 可得：
∴
令 ，可得 ；
∴
设点
∴ 的面积 ，
解得： 或
∴ 或
∴点P的坐标为 或
故选：D．
2．D
【解析】略
3．D
【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式，勾股定理等，先表示出 ， ，再根据勾股定理
列出方程，求出答案．
解：当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ．
根据勾股定理，得 ，解得 或 （舍）．
故选：D．
4．A
【分析】根据题意先画图，满足点C位于点D上方，再根据图象作答即可．
解：∵直线 与直线 相交于点 ，过动点 且垂于x轴的直线与 、 ．
的交点分别为C，D．
当点C位于点D上方时，即是直线 在直线 上方，如图：
由图象可知： ．
故选A
【点拨】本题是一次函数综合题，相交问题，解题的关键是学会利用图象，根据条件确定横坐标的取
值范围．
5．B
【分析】本题主要考查了最短路径问题、一次函数的应用、关于坐标轴对称的点的坐标特征等知识，
解题关键是运用数形结合的思想分析问题．作点 关于 轴的对称点 ，作直线 ，交 轴于点 ，此
时 的周长最小，设直线 的解析式为 ，利用待定系数法解得直线 的解析式，
然后确定点 的坐标即可．
解：如下图，作点 关于 轴的对称点 ，作直线 ，交 轴于点 ，此时 的周长最小，∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将点 ， 代入，
可得 ，解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，可有， ，
解得 ，
∴ ．
故选：B．
6．C
【分析】利用待定系数法求出直线l的解析式，然后求出点A、P的坐标，再分 和
两种情况，分别画出图形进行求解即可．
解：将 代入直线 得： ，
∴直线 ，
令 ，即 ，
解得： ，则A点坐标为 ，
将 代入 ，得： ，
解得： ，
∴P点坐标为 ，
①如图，当 时，则 轴，
∴ ；
②如图，当 时，过点P作 轴于N，则 ，
∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐标为 或 ，
故选：C．【点拨】本题考查了一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法，正确分类讨论是解题的关键．
7．D
【分析】根据距离的非负性判断即可．
解：根据题意，y关于x的函数解析式为 ，
故选D．
【点拨】本题考查了数轴上两点间的距离，距离的非负性，熟练掌握距离的非负性是解题的关键．
8．D
【分析】首先设 的长为 ，得出 的长为 ，然后再根据三角形的面积公式列出关系式即
可．
解：设 的长为 ，则 的长为 ，
，
∵
，
∴
故选：D．
【点拨】本题考查了求函数关系式，根据实际问题确定函数关系式的关键是读懂题意，建立函数的数
学模型来解决问题．
9．A
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法，折叠，勾股定理，过点 作 轴于 ，
过点 作 轴于 ，先求出点 的坐标，再求出直线 的解析式，然后求出点 坐标，得到
，设点 的坐标为 ，利用勾股定理可求出 ，由待定系数法即可求出 所在直线解
析式，求出点 的坐标是解题的关键．
解：如图，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，点 为点 在 轴负半轴上的对应点，把 代入直线 ： 得，
，
∴ ，
∴ ，
把 代入直线 ： 得，
，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
∴点 坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴设点 的坐标为 ，则 ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
设 所在直线解析式为 ，把 、 代入得，
，
解得 ，
∴ ，
故选： ．
10．B
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定，根据题意，可知 ，
要使以 、 、 为顶点的三角形与 全等，则 ，再根据 ，只需再确定一组对
边相等，即可得到两个三角形全等，进行讨论即可．
解：∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 为直线 上不与点 、 重合的一个动点，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∵要使以 、 、 为顶点的三角形与 全等，则 ，
又∵ ，
∴分两种情况进行讨论，
①当 时，此时 或 ， ，如图所示：
或 ，
②当 时，此时 或 ， ，如图所示，
或 ；
综上，共存在 个点 ；
故选B．
11．﹣4≤m≤4
【分析】此题涉及的知识点是根据平面直角坐标系建立不等式，先确定出M，N的坐标，进而得出
MN=|2m|，即可建立不等式，解不等式即可得出结论.
解：∵点M在直线y=﹣x上，
∴M（m，﹣m），
∵MN⊥x轴，且点N在直线y=x上，
∴N（m，m），
∴MN=|﹣m﹣m|=|2m|，
∵MN≤8，
∴|2m|≤8，
∴﹣4≤m≤4，故答案为﹣4≤m≤4．
【点拨】此题重点考查学生对于平面直角坐标系的性质，根据平面直角坐标系建立不等式，熟练掌握
不等式计算方法是解题的关键．
12．
【分析】此题主要考查了翻折的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点及应用，正确掌握各知识
点是解题的关键．根据一次函数的解析式求出点A，B的坐标，根据勾股定理求出 ，由翻折的性质
得到 ， ，设 ，根据勾股定理 ，列
方程求出 ，得到 ．
解：令 中 ，得 ；令 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
根据勾股定理得 ，
∵将 沿 翻折，点 恰好落在 上的点D处，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
根据勾股定理 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．故答案为： ．
13． 或
【分析】本题主要考查了一次函数综合应用、勾股定理、折叠的性质等知识，解题关键是分两种情况
讨论，避免遗漏．首先确定点 坐标，利用勾股定理解得 ，然后分点 在 轴负半
轴上和点 在 轴正半轴上两种情况讨论，结合折叠的性质和勾股定理求解即可．
解：对于直线 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
分两种情况讨论：
①点 在 轴负半轴上时，如下图，
由折叠可知， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，可有 ，
即 ，解得 ，
∴ ，
∴ ；②点 在 轴正半轴上时，如下图，
由折叠可知， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，可有 ，
即 ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
综上所述，点 的坐标为为 或 ．
故答案为： 或 ．
14．
【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和
性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
由 ，推出 ，由 ， ，即可推出
，再证明 ，证明 ，可得 即可解决
问题．
解：如图延长 交 于 ．，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
故答案为：
15． 或
【分析】
本题考查一次函数与几何的综合应用，先求出 两点的坐标，进而求出 的长，分或 两种情况进行讨论求解即可．利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解
是解题的关键．
解：当 时， ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ，
当 时， ，
解得： ，
∴点A的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
当以C、D、A为顶点的三角形与 全等时，共有 或 两种情况，
当 时， ，
∴点D的坐标为 ，即 ；
当 时， ，
∴点D的坐标为 ．
综上所述，点D的坐标为 或 ．故答案为： 或 ．
16． ， ，
【分析】本题考查一次函数综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形对
应边相等解决问题．分三种情况：当 ， 时，过点P作 轴， ，根据条
件证明 ，根据对应边相等求解即可；当 ， 时，过点P作
轴，当 ， 时，过点P作 轴，同理可求．
解：把 代入 得： ，解得： ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
当 ， 时，过点P作 轴， ，如图，
∵ 轴， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
设
∴ ， ， ， ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
当 ， 时，过点P作 轴，如图，
同理可得：
，
∵ ， ，
设
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，解得： ，
∴ ；
当 ， 时，过点P作 轴，如图，同理可得：
∴ ，
∵ ， ，
设
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，解得： ，
∴ ；
综上所述：点 的坐标为 ， ， ，
故答案为： ， ， ．
17． /
【分析】连接 ，过点 作 于点 ，由点 ， 分别为线段 ， 的中点，可得出 是
的中位线，进而可得出 ，利用“两直线平行，内错角相等”及 ，可得出
，结合等腰三角形的三线合一，可得出点 为线段 的中点，利用一次函数图象上点的
坐标特征，可得出点 ， 的坐标，结合点 为线段 的中点，可得出点 的坐标，进而可得出点 的
坐标．
解：连接 ，过点 作 于点 ，如图所示．点 ， 分别为线段 ， 的中点，
是 的中位线，
，
， ，
又 ，
，
点 为线段 的中点．
当 时， ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ；
当 时， ，
解得： ，
点 的坐标为 ，
又 点 为线段 的中点，
点 的坐标为 ， ，
点 的坐标为 ， ．
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的中位线、平行线的性质以及等腰三角形
的判定与性质，利用平行线的性质及等腰三角形的性质，确定点 的位置是解题的关键．
18． 或
【分析】先求出A、B、P三点的坐标和 的长度，作 于点E，如图，根据角的代换得出，然后分点C在A点下方与点C在A点上方两种情况，利用等腰三角形的性质求解即可．
解：对于 ，当 时， ，解得 ，
∴ ，
对于 ，当 时， ，解得 ，
∴ ，
解方程组 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
作 于点E，如图，
∵直线 过点A且与x轴垂直，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
当点C在A点下方时，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
当点C在A点上方时，即为点 ，同理可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点、两条直线的交点、等腰三角
形的性质、三角形的外角性质等知识，具有较强的综合性，熟练掌握一次函数的相关知识、明确求解的方
法是解题的关键．
19．（1）A（﹣1，2）；（2）①P（ ，0）；②5
【分析】（1）依据点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，即可得到A（﹣1，2）；
（2）作点A关于x轴的对称点C，则C（﹣1，﹣2），利用待定系数法即可得到直线BC的解析式，
进而得到点P的坐标；依据勾股定理依据轴对称的性质，即可得到PA+PB的最小值．
解：（1）∵点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，
∴ ，
解得1＜m＜3，
∴m＝2，
∴A（﹣1，2）；
（2）如图，作点A关于x轴的对称点C，则C（﹣1，﹣2），
连接BC交x轴于P，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则
，解得 ，
∴y＝ x﹣ ；
①令y＝0，则x＝ ，即P（ ，0）；
②如图，过C作CD∥x轴，过B作BD∥y轴，则CD＝4，BD＝3，
∴Rt BCD中，BC＝ ＝5，
△
即PA+PB的最小值为5．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，
一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
20．（1） ， ；（2）
【分析】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数图象上点，三角形的面积等，熟练掌握一次函数
的图象，理解一次函数图象上点的坐标满足一次函数的表达式是解决问题的关键．
（1）先求出点 ，则 ，再根据 得 ，由此可得点 的坐标；然后将点 的坐
标代入 之中即可求出 的值；
（2）由（1）可知直线 的表达式为 ，根据点 且在第一象限内直线 上，得
，且 ，进而得点 到 轴的距离为 ，然后根据三角形的面积公式可得 与 的函数表
达式．
（1）解：对于 ，当 时， ，
点 的坐标为 ，，
，
，
点 ，
将 代入 ，得， ，
解得： ；
（2）解：由（1）可知：直线 的表达式为： ，
点 ，且在第一象限内直线 上，
，且 ，
点 到 轴的距离为 ，
由（1）可知： ，
，
，
与 的函数表达式： ．
21．（1） ， ；（2）点M的坐标为 或 或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，以及一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合
及分类讨论的思想．
（1）首先令 求出 的值，再令 求出 的值即可得出 两点的坐标；
（2）分两种情况讨论：当A为顶点时、B为顶点时，求出相应线段，根据点在x轴上的位置选择合适
的符号，进而写出坐标．
（1）解：当 时， ，
∴点B的坐标为 ．
令 ，则 ，
解得 ，∴点A的坐标为 ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
①当 时，则 ，且点M在x轴上，
∴当点M在点A左侧时， ，
∴此时点M的坐标为 ；
当点M在点A右侧时， ，
∴此时点M的坐标为 ；
②当 时，点M位于y轴右侧，
∵ ，
∴ ，
∴此时点M的坐标为 ；
综上可得，点M的坐标为 或 或 ．
22．（1） ；（2） ；（3）存在，点 的坐标为 ， ，
【分析】（1）根据非负数的性质求得 ， 的坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解；
（2）过点 作 轴于 ，证明 ，得出 ， ，设 ，
则 ，得出 点的坐标为 ，求得 的解析式为 ，令 ，
即可求得点 的坐标；
（3）由 得出 点的坐标，进而根据题意，分类讨论，利用平行四边形对角线的中点坐标相等，
即可求解．
（1）解：∵ ， ， ，∴ ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的值为 ；
（2）如图所示，过点 作 轴于 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 点的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，过点 ， ，，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∴当 时， ，
∴直线 与 轴的交点 坐标为 ；
（3）存在，点 的坐标为 ， ， ．
∵ ， ，
∴ ，
又∵以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，且 ， ，
设 ，
当 为对角线时，
得： ，
解得： ，
∴ ；当 为对角线时，
得： ，
解得：
∴ ，
当 为对角线时，
得： ，
解得： ，
∴ ，
综上所述，点 的坐标为 ， ， ．
【点拨】本题考查非负数的性质，一次函数与几何图形综合，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，
平行四边形的性质等知识点，综合运用以上知识是解题的关键．
23．（1）直线 的解析式为 ；（2）①线段 与 数量关系是 保持不变，证
明见分析；②点 ， 面积是
【分析】（1）根据 求出点E的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）①先证明 ，根据全等三角形的判定和性质得出 ；②根据三角形的面积
公式可得 面积= ，从而得到当 最小时， 的面积最小，则当
时， 最小，此时 的面积最小，即可求解．
（1）解：∵ ，
∴ ，∴ ．
设 解析式为 ，
把 ， 代入得：
，解得： ，
∴ 解析式为 ；
（2）解：①线段 与 数量关系不变， ，证明如下：
∵ ，
，
∴ ，
，
∴ ，
，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ；
②由①得： ，
∵ ，
∴ 的面积 ，
∴当 最小时， 的面积最小，
∴当 时， 最小，此时 的面积最小，
∵ ，
，∵ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
联立得： ，解得 ，
∴ ；
∴ ，
∴ 的面积 ．
【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像的交点
与二元一次方程组解的关系，以及全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握一次函数
图像的交点与二元一次方程组解的关系是解答本题的关键．
24．（1）见分析；（2） ；（3） 或
【分析】（1）根据垂直定义得到 ，根据 结合 的余角性质得到
，根据 ，得到 ；
（2）过点B作 交 于点C， 轴于点D， 得到 ，推出
，根据 ，推出 ，得到 ，得到 ， ，根
据直线 推出 ， ，得到 ， ，得到 ，得到 ，设 的函数表达式为 ，得到 ，解得： ，即得直线 的
函数表达式；
（3）过点P作 轴于点G，交直线 于点H，得到 ，根据等腰直角三角
形性质得到 ， ，推出 ，得到 ，得到 ，
根据 ， ，当点P在 上方时， ， ，得到 ，解得
，推出 ；当点P在 下方时， ， ，得到 ，解得 ，推
出 ．
解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）过点B作 交 于点C，过点C作 轴于点D，如图2所示，：
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵直线 中， 时， ， 时， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 的函数表达式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的函数表达式为 ；（3） 能成为以P为直角顶点的等腰直角三角形，理由：
过点P作 轴于点G，交直线 于点H，
则 ，
∴ ，
∵ 为以P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
当点P在 上方时，
， ，
∴ ，
解得， ，
∴ ,
∴ ；
当点P在 下方时，
， ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
∴故 能成为以P为直角顶点的等腰直角三角形，所有符合要求的点P的坐标为： 或 ．
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形，旋转，全等三角形，一次函数．熟练掌握等腰直角三角形
的判定和性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，
分类讨论，是解决问题的关键．
