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专题19.35 一次函数几何分类专题（旋转问题）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021·陕西西安·二模）若把一次函数y＝kx+b的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位
长度后，恰好经过点A（4，0）和点B（0，﹣2），则原一次函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣ x﹣1 B．y＝﹣ x+1 C．y＝ x+1 D．y＝ x﹣1
2．（2019·陕西西安·模拟预测）已知一次函数y＝﹣ x+2的图象，绕x轴上一点P（m，0）旋转
180°，所得的图象经过（0．﹣1），则m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
3．（2018·陕西西安·三模）把直线l：y=kx+b绕着原点旋转180°，再向左平移1个单位长度后，经过
点A（-2,0）和点B（0,4），则直线l的表达式是（ ）
A．y=2x+2 B．y=2x-2 C．y=-2x+2 D．y=-2x-2
4．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分
别交x、y轴于点A、B，将直线 绕点B按顺时针方向旋转 ，交x轴于点C，则 的面积是
（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
5．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，直线y＝2x+2与直线y＝﹣x+5相交于点A，将直线y＝
2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（ ）A．（﹣8，0） B．（3，0）
C．（﹣11，0），（ ，0） D．（﹣10，0），（2，0）
6．（2018·江苏扬州·三模）在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，
OA=3，OB=4．把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC．边OB上的一点M旋转后的对应点为M′，当
AM′+DM取得最小值时，点M的坐标为（ ）
A．（0， ） B．（0， ） C．（0， ） D．（0，3）
7．（18-19八年级·甘肃·期中）如图,直线 与 轴交于点P，将它绕着点P旋转90°所得的
直线的解析式为
A． B． C． D．
8．（2022·广东佛山·一模）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，把线段AB以A为旋转中心，逆时针方向旋转90°，得到线段AC，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示
y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
9．（19-20八年级下·浙江·期中）如图所示，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 轴上
有一点 为 轴上一动点，把线段 绕 点按逆时针方向旋转 得到线段 ，连结 ，
则当 长度最小时，线段 的长为（ ）
A． B． C．5 D．
10．（18-19九年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A,与
y轴交于点B,点C是AB的中点，∠ECD绕点C按顺时针旋转，且∠ECD=45°,∠ECD的一边CE交y轴于点F,开
始时另一边CD经过点O,点G坐标为（-2,0）,当∠ECD旋转过程中，射线CD与x轴的交点由点O到点G的
过程中，则经过点B、C、F三点的圆的圆心所经过的路径长为（ ）A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像与x
轴、y轴分别交于点A、B，将直线 绕点A顺时针旋转 ，则旋转后的直线的函数表达式为 ．
12．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，
以点 为中心，把点 按逆时针方向旋转 得到点 ，若点 的横坐标为 ，在 ，
， ， 四个点中，直线 经过的点是 ．13．（20-21八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像分别
交 ， 轴于点 ， ，将直线 绕点 按顺时针方向旋转45°，交 轴于点 ，则直线 的函数表达式
是 ．
14．（15-16八年级下·福建泉州·期末）已知函数y=2x+b经过点A（2，1），将其图象绕着A点旋转一
定角度，使得旋转后的函数图象经过点B（﹣2，7）．则①b= ；②旋转后的直线解析式为 ．
15．（2019·湖南邵阳·一模）如图，在平面鱼角坐标系xOy中，A（﹣3，0），点B为y轴正半轴上一
点，将线段AB绕点B旋转90°至BC处，过点C作CD垂直x轴于点D，若四边形ABCD的面积为36，则
线AC的解析式为 ．
16．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，现
将直线 绕点 按逆时针方向旋转 交 轴于点 ，则点 的坐标是 ．17．（2023·江苏南通·一模）已知点 为直线 上一点，将一直角三角板的直角顶点放
在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点， 为y轴上一点，连接 ， ，则四边形
面积的最小值为 ．
18．（19-20八年级上·浙江丽水·期末）在平面直角坐标系中，已知直线 与x轴，y轴分别
交于点A，B，线段AB绕点A顺时针方向旋转90°得线段AC，连接BC．
（1）线段AB的长为 ；
（2）若该平面内存在点P（a，1），使 ABP与 ABC的面积相等，则a的值为 ．
△ △
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023八年级上·全国·专题练习）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，将 绕点O逆时针方向旋转 后得到 ．
（1）填空：点C的坐标是（ ___________，___________），点D的坐标是（ ___________，
___________）；
（2）设直线 与 交于点M，求点M坐标；
（3）在y轴上是否存在点P，使得 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的
坐标；若不存在，请说明理由．
20．（8分）（2023八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，直线 经过点 和
点 ，与x轴交于点A，与直线 交于点P．
（1）求出直线 的解析式；
（2）当 时，直接写出 时自变量x的取值范围；
（3）直线 绕着点P任意旋转，与x轴交于点B，当 是等腰三角形时，请直接写出符
合条件的所有点B的坐标．21．（10分）（2023八年级下·全国·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，
点B的坐标为 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）点M是坐标轴上的一点，若以 为直角边构造 ，请求出满足条件的所有点M的坐标；
（3）如图2，以A为直角顶点作 ，射线 交x轴的正半轴于点C，射线 交y轴的负
半轴于点D，当 绕点A旋转时，求 的值．
22．（10分）（22-23八年级上·四川南充·期末）在直角坐标系中， 的顶点 与原点重合，
， ．
（1）如图1，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，若点 的坐标为 ，求点 的
坐标．（2）如图2，将 绕点 任意旋转．若点 的坐标为 ，求点 的坐标．
（3）若点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，试求 ， 的值．
23．（10分）（22-23八年级上·陕西西安·期中）问题提出：
如图，等腰 中， ， ，直线 经过点C，过点A作 于点D，过
点B作 于点E，求证： ；
问题探究：
如图2，在平面直角坐标系中，一次函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第
二象限作等腰直角 ， ，求点C的坐标；
问题解决：
古城西安已经全面迎来地铁时代！继西安地铁2号线于2011年9月16日通车试运行以来，共有八条
线路开通运营，极大促进了西安市的交通运输，目前还有多条线路正在修建中．如图，地铁某线路原计划
按OA-AB的方向施工，由于在AB方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将
AB段绕点A顺时针或逆时针方向旋转45°至AC或AD方向，则可以绕开此区域．已知OA长为1千米，以
点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AB与直线 平
行，请帮助施工队计算出AC和AD所在直线的解析式．24．（12分）（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如图，直线 与坐标轴分别交于点A，
，与直线 交于点 ，线段 上的点 以每秒1个长度单位的速度从点 出发向点A做匀速运动，运
动时间为 秒，连接 ．
（1）写出点 的坐标________；
（2）若 是等腰直角三角形，则 的值为________；
（3）若 平分 的面积，求直线 对应的函数关系式；
（4）若点 与点 、 、 组成的四边形为平行四边形，则点 为________；
（5）点 是直线 上一点，点 是直线 上一点，连接线段 ，若 轴，且 ，写
出符合条件的点 的坐标________；
（6）将 绕点 旋转 后，交 轴于点 ，则 长为________．参考答案：
1．C
【分析】设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意，得 ，得到直线解析式为y＝ x-2，将其
向左平移2个单位，得到y＝ x-1，绕着原点旋转180°，得解．
解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
根据题意，得 ，解得 ，
∴直线解析式为y＝ x-2，
将其向左平移2个单位，得y＝ （x+2）-2，
即y＝ x-1，
∴与y轴的交点为（0，-1），与x轴的交点为（2,0），
∵绕着原点旋转180°，
∴新直线与与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（-2,0），
∵设直线的解析式为y=mx+1，
∴-2m+1=0，
解得m= ，
∴y＝ x+1，
故选C．
【点拨】本题考查了一次函数的图像平移，旋转问题，熟练掌握平移规律是解题的关键．
2．C
【分析】根据题意得出旋转后的函数解析式为y=- x-1，然后根据解析式求得与x轴的交点坐标，结
合点的坐标即可得出结论．
解：∵一次函数y＝﹣ x+2的图象，绕x轴上一点P（m，0）旋转180°，所得的图象经过（0．﹣
1），
∴设旋转后的函数解析式为y＝﹣ x﹣1，
在一次函数y＝﹣ x+2中，令y＝0，则有﹣ x+2＝0，解得：x＝4，
即一次函数y＝﹣ x+2与x轴交点为（4，0）．
一次函数y＝﹣ x﹣1中，令y＝0，则有﹣ x﹣1＝0，解得：x＝﹣2，即一次函数y＝﹣ x﹣1与x轴交点为（﹣2，0）．
∴m＝ ＝1，
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转后的函数解析式．本题属于基
础题，难度不大．
3．B
【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出将直线AB向右平移1个单位长度后得到的
解析式，然后将所得解析式绕着原点旋转180°即可得到直线l．
解：设直线AB的解析式为y＝mx＋n．
∵A（−2，0），B（0，4），
∴ ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝2x＋4．
将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式为y＝2（x−1）＋4，即y＝2x＋2，
再将y＝2x＋2绕着原点旋转180°后得到的解析式为−y＝−2x＋2，即y＝2x−2，
所以直线l的表达式是y＝2x−2．
故选B．
【点拨】本题考查了一次函数图象平移问题，掌握解析式“左加右减”的规律以及关于原点对称的规
律是解题的关键．
4．B
【分析】根据已知条件得到 ， ，过A作 交 于F，过F作 轴于E，
得到 是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到 ，求得 ，
求得直线 的函数表达式，据此求解可得到结论．
解：∵一次函数 的图象分别交x、y轴于点A、B，∴令 ，得 ，令 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
过A作 交 于F，过F作 轴于E，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的函数表达式为： ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的函数表达式为： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积是 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性
质，正确的作出辅助线是解题的关键．5．C
【分析】先求出点A的坐标；设直线y=2x+2与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，可求出AC和
BC的长；若将直线y=2x+2绕点A旋转45°，则需要分两种情况：当直线AB绕点A逆时针旋转45°时，如
图1，设此时直线与x轴的交点为P；过点B作BD⊥AB交直线AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，可得
△ACB≌△BED，进而可得点D的坐标，用待定系数法可求出直线AP的表达式，进而求出点P的坐标；当
直线AB绕点A顺时针旋转45°时，如图2，设此时直线与x轴的交点为Q，延长DB交AQ于点F，则
△ADF是等腰直角三角形，根据中点坐标公式可求出点F的坐标，进而求出直线AQ的表达式，最后可求
出点Q的坐标．
解：令2x+2=-x+5，解得x=1，
∴A（1，4）．
设直线y=2x+2与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，
∴OC=1，AC=4，
令y=2x+2=0，则x=-1，
∴OB=1，
∴BC=2．
将直线y=2x+2绕点A旋转45°，需要分两种情况：
①当直线AB绕点A逆时针旋转45°时，如图1，设此时直线与x轴的交点为P，此时∠BAP=45°，
过点B作BD⊥AB交直线AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，
∴∠ACO=∠ABD=90°，
∴∠ABC+∠DBE=∠DBE+∠BDE=90°，∴∠ABC=∠BDE，
∵∠ABD=90°，∠BAP=45°，
∴∠BDA=∠BAP=45°，
∴AB=BD，
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BC=DE=2，BE=AC=4，
∴OE=3，
∴D（3，-2），
设直线AP的解析式为y=kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线AP的解析式为y=-3x+7，
令y=0，则x= ，
∴P（ ，0）；
②当直线AB绕点A顺时针旋转45°时，如图2，设此时直线与x轴的交点为Q，延长DB交AQ于点
F，
则∠BAQ=45°，
∵∠ABF=∠ABD=90°，
∴∠BAF=∠BFA=45°，
∴BF=BA=BD，即点B为DF的中点，∵B（-1，0），D（3，-2），
∴F（-5，2），
设直线AQ的解析式为：y=mx+n，
∴ ，解得 ，
∴直线AQ的解析式为：y= x+ ．
令y=0，则x=-11，
∴Q（-11，0），
综上所述，将直线y=2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（-11，0），（ ，0）．
故选：C．
【点拨】本题属于一次函数与几何综合题目，涉及全等三角形的性质与判定，图象的交点，等腰三角
形的性质等内容，解题的关键是根据45°角作出垂线构造全等．本题若放在九年级可用相似解决．
6．A
【分析】根据旋转的性质得到AM＝AM′，得出AM′＋DM的最小值＝AM＋DM的最小值，作点D关于
直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，则AD′＝AM′＋DM的最小值，过D作DE⊥x轴于E，解直角三角
形得到DE＝ ×3＝ ，AE＝ ，求出D（ ， ），根据轴对称的性质得到D′（− ， ），求
出直线AD′的解析式为y＝− x＋ ，于是得到结论．
解：∵把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC，点M是BO边上的一点，
∴AM＝AM′，
∴AM′＋DM的最小值＝AM＋DM的最小值，
作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，则AD′＝AM′＋DM的最小值，
过D作DE⊥x轴于E，
∵∠OAD＝120°，
∴∠DAE＝60°，
∵AD＝AO＝3，
∴DE＝ ×3＝ ，AE＝ ，
∴D（ ， ），
∴D′（− ， ），
设直线AD′的解析式为y＝kx＋b，
∴ ，
∴
∴直线AD′的解析式为y＝− x＋ ，
当x＝0时，y＝ ，∴M（0， ），
故选A．
【点拨】本题考查了坐标与图形的变换−旋转，待定系数法求函数的解析式，轴对称的性质，正确的
作出辅助线是解题的关键．
7．D
【分析】根据题意可得绕P点旋转90°，首先直线解析式的b值是不变的，再根据旋转后的图形和原图
形相似,根据一次函数的解析式,即可得到答案.
解：
根据题意可得
设原图形与x轴交于A点，新函数与x轴交于B点
那么OA=1，OP=
利用旋转90°后的图形和原图形相似可得OB=3，所以B点坐标为（3,0）
代入一次函数的解析式可得 .
【点拨】本题主要考查旋转图形的相似性，关键在于b是表示在y轴的交点的纵坐标，根据相似求图
象与x轴的交点．
8．A
【分析】作出适当的辅助线，证得 ，即可建立y与x的函数关系，确定出答案．
解：过点 作 轴于点 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵点B是x轴正半轴上的一动点，
∴ ，
故选： .
【点拨】本题考查了动点问题的函数图象问题，解题的关键是明确题意，建立函数关系，从而判断出
正确的函数图象．
9．A
【分析】作EH⊥x轴于H，通过证明△DBO≌△BEH，可得HE=OB，从而确定点 的运动轨迹是直线
m： ，根据垂线段最短确定出点E的位置，然后根据勾股定理求解即可．
解：作EH⊥x轴于H，如图所示：
∵∠DBE=90°，
∴∠DBC+∠CBE=90°.
∵∠BHE=90°，
∴∠BEH+∠CBE=90°，
∴∠DBC=∠BEH，∵∠BOD=∠BHE=90°，BD=BE，
∴△DBO≌△BEH（AAS），
∴HE=OB，HB=OD，
当y=0时， ，
∴x=2，
∴HE=OB=2，
∴点 的运动轨迹是直线m： ，B（2，0），
∴当 ⊥m时，CE最短，如图所示，此时点C与点H重合，点 的坐标为（-1，-2），
∵C（-1，0），B（2，0），
∴BC=3，
∴OD= ，
∴CD= ，
故选A．
【点拨】本题考查一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形的变化，全等三角形的判定与性质，垂线段
最短以及勾股定理等知识，解题的关键是确定点E的位置．
10．A
【分析】先确定点B、A、C的坐标，①当点G在点O时，点F的坐标为（0,2），此时点F、B、C三点
的圆心为BC的中点，坐标为（1,3）；②当直线OD过点G时，利用相似求出点F的坐标，根据圆心在弦的
垂直平分线上确定圆心在线段BC的垂直平分线上，故纵坐标为 ，利用两点间的距离公式求得圆心的坐
标，由此可求圆心所走的路径的长度.
解：∵直线 与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴B（0,4）,A（4,0）,
∵点C是AB的中点，
∴C（2,2）,
①当点G在点O时，点F的坐标为（0,2），此时点F、B、C三点的圆心为BC的中点，坐标为
（1,3）；
②当直线OD过点G时，如图，连接CN,OC,则CN=ON=2，∴OC= ,
∵G（-2，0）,
∴直线GC的解析式为： ，∴直线GC与y轴交点M（0，1）,
过点M作MH⊥OC,∵∠MOH=45 ，∴MH=OH= ,
∴CH=OC-OH= ,
∵∠NCO=∠FCG=45 ,∴∠FCN=∠MCH,
又∵∠FNC=∠MHC,
∴△FNC∽△MHC,
∴ ,即 ，得FN= ,∴F（ ,0）,
此时过点F、B、C三点的圆心在BF的垂直平分线上，设圆心坐标为（x， ），
则 ，解得 ，
当∠ECD旋转过程中，射线CD与x轴的交点由点O到点G的过程中，则经过点B、C、F三点的圆的圆
心所经过的路径为线段，即由BC的中点到点（ ， ），
∴所经过的路径长= .
故选：A.【点拨】此题是一道综合题，考查一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定
及性质定理，两点间的距离公式，综合性比较强，做题时需时时变换思想来解题.
11．
【分析】先求出点A、B的坐标，作 轴，交x轴于点D，然后由全等三角形的判定和性质，求出
点C的坐标，再利用待定系数法，即可求出答案．
解：将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
过点C作 轴，交x轴于点D，
∵一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
设直线 的函数表达式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，
正确的作出辅助线，从而进行解题．
12．
【分析】本题主要考查了图形的旋转变换，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是求出点 的
坐标．过点 作 轴于点 ，根据旋转的性质可得 ， ，进而推出 ，
结合勾股定理可求出点 的坐标，再利用待定系数法求出直线 的解析式，最后一次将四个点代入直线
的解析式中即可求解．
解：如图，过点 作 轴于点 ，
点 ，点 ，
轴， ，
由旋转得： ， ，，
， ，
，
设直线 的解析式为： ，
则 ，
解得： ，
直线 的解析式为： ，
当 时， ，
点 不在直线 上，
当 时， ，
点 在直线 上，
当 时， ，
点 不在直线上 ，
当 时， ，
点 不在直线 上，
故答案为： ．
13．y=3x-2
【分析】根据已知条件得到A（-1，0），B（0，-2），求得OA=1，OB=2，过A作AF⊥AB交BC于
F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB=AF，根据全等三角形的性质得到AE=OB=2，EF=OA=1，求得F（1，1），设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，解方程组于是得到结论．
解：∵一次函数y=-2x-2的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令x=0，得y=-2，令y=0，则x=-1，
∴A（-1，0），B（0，-2），
∴OA=1，OB=2，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC=45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB=AF，
∵∠OAB+∠ABO=∠OAB+∠EAF=90°，
∴∠ABO=∠EAF，
在△ABO和△FAE中，
，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE=OB=2，EF=OA=1，
∴F（1，1），
设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，
∴ ，解得 ，∴直线BC的函数表达式为：y=3x-2，
故答案为：y=3x-2．
【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性
质，正确的作出辅助线是解题的关键．
14． -3 y=
【分析】把A点的坐标代入y=2x+b，即可求出b，设旋转后的直线的解析式为y=kx+a，把A、B的坐标
代入就，即可求出k、a，即可得出答案．
解：把A（2，1）代入y=2x+b得：1=4+b，
解得：b=﹣3，
即y=2x﹣3，
设旋转后的直线的解析式为y=kx+a，
把A、B的坐标代入得： ，
解得：k=﹣ ，a=4，
即旋转后的直线的解析式为y= ，
故答案为﹣3，y= ．
【点拨】本题考查了一次函数与几何变换，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，灵活运用知识
点进行计算是解此题的关键．
15．y＝ x+1或y＝﹣3x﹣9．
【分析】过C作CE⊥OB于E，则四边形CEOD是矩形，得到CE＝OD，OE＝CD，根据旋转的性质得
到AB＝BC，∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到BO＝CE，BE＝OA，求得OA＝BE＝3，设OD＝
a，得到CD＝OE＝|a﹣3|，根据面积公式列方程得到C（﹣6，9）或（6，3），设直线AB的解析式为y
＝kx+b，把A点和C点的坐标代入即可得到结论．
解：过C作CE⊥OB于E，
则四边形CEOD是矩形，
∴CE＝OD，OE＝CD，
∵将线段AB绕点B旋转90°至BC处，∴AB＝BC，
∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBO＝∠CBO+∠BCE＝90°，
∴∠ABO＝∠BCE，
∵∠AOB＝∠BEC＝90°，
∴△ABO≌△BCO（AAS），
∴BO＝CE，BE＝OA，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝BE＝3，
设OD＝a，
∴CD＝OE＝|a﹣3|，
∵四边形ABCD的面积为36，
∴ AO•OB+ （CD+OB）•OD＝ ×3×a+ （a﹣3+a）×a＝36，
∴a＝±6，
∴C（﹣6，9）或（6，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A点和C点的坐标代入得， 或
解得： 或 ，
∴直线AB的解析式为 或y＝﹣3x﹣9．
故答案为 或y＝﹣3x﹣9．【点拨】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，
正确的作出图形是解题的关键．
16．
【分析】过 作 轴于 ，过 作 ，证明 是等腰直角三角形，则有 ，
再通过角度的和差，证明 ，根据性质得出点 ，最后通过待定求出直线 的
函数表达式即可．
解：如图，过 作 轴于 ，过 作 ，交直线 于D，作 轴于 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的函数表达式为： ，
把 ， 代入得 ，
解得 ，
∴直线 的函数表达式为： ，
令 ，则 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了一次函数与几何变换，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性
质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
17．6
【分析】取 的中点E，连接 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 ，
当 时， 最小，推出四边形 面积的最小，根据点 在直线 上，得到
，推出 ， ，根据 ，得到 ，根据 即可得到答案．
解：取 的中点E，连接 ，
∵ ，
∴ ，当 时， 最小， 就最小， 与 都最小， 就最小，
∵点 为直线 上一点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
．
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查了一次函数，直角三角形，垂线段，三角形面积等，解决问题的关键是熟练掌
握一次函数图象上的点坐标适合解析式，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂线段最短等性质，
三角形面积计算公式．
18． 5 -4或
【分析】（1）根据直线解析式可以求出A、B两点坐标，然后运用勾股定理即可求出AB的长度；（2）由（1）中AB的长度可求等腰直角 ABC的面积，进而可知 ABP的面积，由于没有明确点P的
位置，要分类讨论利用三角形的和或差表示出△面积，列出并解出方程即△可得到答案．
解：（1）∵直线 与x轴，y轴分别交于点A、B，
∴A（3,0），B（0,4），
∴ ；
（2）∵AB=5，
∴ ，
∴ ，
当P在第二象限时，如图所示，连接OP，
∵
即 ，
∴ ；
当P在第一象限时，如图所示，连接OP，
∵
即 ，
∴ ；故答案为：5；-4或 ．
【点拨】本题考查了一次函数的综合应用，做题时要认真观察图形，要会对图象进行拼接来表示出三
角形的面积，而分类讨论是正确解答本题的关键．
19．（1）0，1； ，0；（2） ；（3） 、 、 、
【分析】 根据已知求得点A和B，结合旋转得点C和D的坐标；
结合点C和点D的坐标利用待定系数法求得直线 的解析式，联立即可求得点M；
分两种情况讨论：①以 为腰时，②以 为底时，分别对应求得点P即可．
（1）解： ，
当 时， ，
当 时，
∴ ， ，
∵将 绕点O逆时针方向旋转 后得到 ，
∴ ， ，
∴点C的坐标是 ，点D的坐标是 ；
故答案为：0，1； ，0；
（2）设直线 的解析式为 ，把点C的坐标是 ，点D的坐标是 代入解析式得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，联立方程得： ，解得 ，
∴ ；
（3）存在，分两种情况讨论：
①以 为腰时，
∵ ，又点P在y轴上，且 ，
此时满足条件的点P有两个，如图，
它们是 、 ，
过点M作 轴于点E，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，此时满足条件的点P有一个，它是 ；
②以 为底时，作 的垂直平分线，分别交y轴、 于点P、F，如图，
设点 ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
则 ．
此时满足条件的点P有一个，它是 ，
综上所述，符合条件的点P有四个，
它们是： 、 、 、 ．
答：存在，所有满足条件的点P的坐标是 、 、 、 ．
【点拨】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、解二元一次方程组、旋转的性质、
平行线所截线段成比例、解一元一次方程、勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键是分类讨论的应用．
20．（1） ；（2） ；（3） ， 、 ，
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由函数图象可以直接得到答案；
（3）对于本题中的等腰 的腰不确定，需要分类讨论：以 为底和 为腰，由两点间的距离
公式和方程思想解答．（1）解：把 和点 分别代入 ，
得 ，
解得 ，
则直线 的解析式为： ；
（2）解：如图所示， ，
所以，当 时， ；
（3）解：过点P作 轴，交于点M，
由题意可知 ， ， ， ，
当 时，点B有3种位置使得 为等腰三角形
①当 时， ，
∴ ，
②当 时， ，
∴ ，
③当 时，设 ，由等面积法可得 ，
解得 ，
∴ ，
当 时，点B有1种位置使得 为等腰三角形，
当 时， ，
∴ ，综上所述，点B有4种位置使得 为等腰三角形，坐标分别为 ， 、 ，
．
【点拨】本题考查一次函数的综合应用，主要运用了待定系数法确定函数解析式、一次函数图象上点
的坐标特征、勾股定理、三角形面积公式、等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解题的关键．
21．（1） ；（2）M点的坐标为 或 或 ；（3）8
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据题意进行分类讨论：①当 时，过A作 的垂线，交y轴于点 ，交x轴于点
，根据两点之间的距离公式以及勾股定理，列出方程求解即可；②当 时，过点B作 的
垂线交y轴于点 ，用相同的方法即可求解；
（3）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，通过证明 ，得出
，即可得出 ．
（1）解：设直线 的解析式为： ，
∵ ， 在直线 上，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ；
（2）解：∵ 是以 为直角边的直角三角形，
∴有 或 ，
①当 时，如图：
设点 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ， ， ，
，
在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，解得： ，
∴ ，
②当 时，如图：
过点B作 的垂线交y轴于点 ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，
解得： ，
∴ ．
综上：M点的坐标为： 或 或 ．
（3）解：过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，如图：则 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查案例一次函数的图象和性质，勾股定理，两点之间的距离公式，三角形全等的
判定和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，坐标轴上点的坐标特征．
22．（1） ；（2） ；（3） ，
【分析】（1）根据 点坐标可以得出 ， ，由 轴， 轴，可得∴
，结合 ，可得 ，证明 即可得出结论．（2）作 轴于 ，作 轴于 ．如图2，若点 在第一象限，则 ，
．可证 ，则 ， ．
则第四象限点 为 即可得出结论．
（3）由（2），可得 即可求解．
解：（1）∵ ，∴ ， ．
∵ 轴， 轴，∴ ．
∵ ，∴ ．
∴ ．
∵ ，∴ ．
∴ ， ．
∴点 的坐标为 ．
（2）作 轴于 ，作 轴于 ．
如图2，若点 在第一象限，则 ， ．
由（1），同理可证 ．则 ， ．
则第四象限点 为 ．
同理，若点 在第二象限，则第一象限点 为 ．
若点 在第三象限，则第二象限点 为 ．
若点 在第四象限，则第三象限点 为 ．
综上，若点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
（3）由（2），可得由①，解得 ．
把 代入②，得 ．
解得 ．检验符合．
∴ ， ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定以及一次函数的性质及图象特点，熟练掌握全等三角形的
判定及一次函数的性质是解决本题的关键．
23．问题提出：见分析；问题探究： ；问题解决：直线 ，直线
【分析】问题提出：利用同角的余角相等和AAS证明 即可；
问题探究：先求出 的坐标，过点 作 轴，交 轴与点 ，证明 ，即可得
解；
问题解决：求出 点坐标和直线 的解析式，延长 交 轴与点 ，延长 至点 ，使
，设 ，过点 分别作 轴，得到 ，表示出 的坐标，利用
的中点在直线 上，求出 的坐标，再用待定系数法求解析式即可．
解：问题提出：
证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ （AAS）；
问题探究：
解： ，
当 时： ；
当 时： ；
∴ ， ，
∴ ，
过点 作 轴，交 轴与点 ，
同上法可证： （AAS），
∴ ，
∴ ，
∴ ；
问题解决：解：由题意得： ，
∵射线AB与直线 平行，
设直线 的解析式为： ，
则： ，解得： ；
∴ ；
延长 交 轴与点 ，延长 至点 ，使 ，设 ，过点 分别作 轴，
由问题提出可知： （AAS），
∴ ，
∴ ，
∴ 的中点坐标为： ，
由题意可知 在直线AB上，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ，
设 的解析式为： ，
则： ，
解得： ，
∴ ；
设 的解析式为： ，则： ，
解得： ，
∴ ；
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质以及一次函数与几何的综合应用．根据问题提出，理解并
掌握一线三直角的全等模型，然后通过构建全等模型探究和解决问题是解题的关键．
24．（1） ；（2） 或 ；（3） ；（4） 或 或 ；（5）
或 ；（6） ， ；
【分析】（1）联立两个函数求解即可得到答案；
（2）根据题意得到 ， ，结合等腰直角三角形分类讨论即可得到答案；
（3）根据 平分 的面积得到 是中线， 是 的中点，列式求解即可得到答案；
（4）根据平行四边形对角线互相平分，结合中点公式分类讨论，列等式求解即可得到答案；
（5）根据平行于x轴的直线上点纵坐标相等及两点间距离公式列式求解即可得到答案；
（6）分类讨论旋转情况作出高线，结合 角、 角，根据勾股定理求解即可得到答案；
（1）解：联立 与 可得，，
解得： ， ，
∴ ；
（2）解：由题意可得，
， ，
∵ 是等腰直角三角形，
①当 时，则： ，
即可得到： ，
，
②当 时，则： ，
即可得到： ，
解得： ；
综上所述： 或 ；
（3）解：∵ 平分 的面积，
∴ 是中线， 是 的中点，
当 时， ，
解得： ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 的解析式为 ，将 ， 代入可得，
，
解得： ，
∴ ；
（4）解：当 时， ，
∴ ，
设点 ，
∵点 与点 、 、 组成的四边形为平行四边形，
当 为对角线时，
，
解得： ，
∴ ，
当 为对角线时，
，
解得： ，
∴ ，
当 为对角线时，
，解得： ，
∴ ，
综上所述： 或 或 ；
（5）解：设点 ，
∵ 轴，且 ，
∴ ， ，
解得： 或 ，
∴ 或 ；
（6）解：当逆时针旋转时，如图所示，过D作 ，设 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
根据勾股定理可得，
，
解得： ， （不符合题意舍去），
∴ ，
②当顺时针旋转时，如图所示， 交y轴于点M，过M作 ，设 ，∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
根据勾股定理可得，
，
解得： ， （不符合题意舍去），
∴ ，
设 ： ，将 ， 代入得，
，
解得： ，
∴ ，
当 时，
，
解得： ，∴ ，
综上所述： 长为 ， ；
【点拨】本题考查一次函数几何应用，解题的关键是根据题意结合几何关系找到相应的线段关系，分
类讨论列式求解．
