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专题19.10 一次函数（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数，叫做
1
一次函数.例如：y=2x-1，y= x+1等都是一次函数.
2
【知识点二】待定系数法求一次函数解析式
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法
叫做待定系数法.
2 .待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
（1）设出含有待定系数k的函数解析式y=kx（k≠0）.
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方
程.
（3）解方程，求出待定系数k.
（4）将求得的待定系数k的值代入解析式.
【知识点三】一次函数的图象与性质
1. 一次函数的图象特征
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，通常也称为直线y=kx+b.
2. 一次函数的性质
一次函数 y=kx+b（k≠0）
k＞0 k＜0
K、b的符号
b＞0 b＜0 b＞0 b＜0
图象
图象过第一、 图象过第一、 图象过第一、 图象过第二、
图象的位置 二、三象限 三、四象限 二、四象限 三、四象限
增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小【知识点四】k、b符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
b b
直线y=kx+b（k≠0），令y=0，得x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于点（- ，0）
k k
b
（1）当- ＞0，即k,b异号时，直线与x轴交于正半轴.
k
b
（2）当- =0，即b=0时，直线经过原点.
k
b
（3）当- ＜0，即k,b同号时，直线与x轴交于负半轴.
k
【知识点四】知识拓展
两直线y=k x+b （k ≠0）与y=k x+b （k ≠0）的位置关系：
1 1 1 2 2 2
1. 当k =k ，b ≠b 时，两直线平行；
1 2 1 2
2. 当k =k ，b =b 时，两直线重合；
1 2 1 2
3. 当k ≠k ，b =b 时，两直线交于y轴上一点；
1 2 1 2
4. 当k ·k =-1时，两直线垂直.
1 2
【考点目录】
【考点1】一次函数的定义；
【考点2】待定系数法求一次函数解析式；
【考点3】一次函数的图象；
【考点4】由一次函数的解析式判断图象经过的象限；
【考点5】由一次函数图象经过的位置判断参数取值范围；
【考点6】求一次函数图象与坐标轴交点坐标；
【考点7】一次函数图象的平移；
【考点8】一次函数的增减性与图象位置关系；
【考点9】由一次函数的增减性求参数；
【考点10】比较一次函数的大小.
【考点1】一次函数的定义；
【例1】已知函数 ．
（1）当 为何值时， 是 的一次函数，并写出关系式；
（2）当 为何值时， 是 的正比例函数，并写出关系式．
【答案】（1）当m=-2，n为任意实数时， 是 的一次函数，关系式为 ；（2）当m=-2，n=-4时， 是 的正比例函数，关系式为
【分析】（1）根据一次函数的定义即可求出结论；（2）根据正比例函数的定义即可求出结论．
解：（1）由题意可得 ，n可以取任意实数
解得：m=-2
∴
∴当m=-2，n为任意实数时， 是 的一次函数，关系式为 ；
（2）由题意可得 ，
解得：
∴
∴当m=-2，n=-4时， 是 的正比例函数，关系式为 ．
【点拨】此题考查的是根据一次函数和正比例函数的定义，求参数问题，掌握一次函数和正比例函数
的定义是解题关键．
【变式1】已知函数y＝（m﹣3） +4是关于x的一次函数，则m的值是（ ）
A．m＝±3 B．m≠3 C．m＝3 D．m＝﹣3
【答案】D
【分析】根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m﹣3≠0，再求出m即可．
解：∵函数y＝（m﹣3） +4是关于x的一次函数，
∴m2﹣8＝1且m﹣3≠0，
解得：m＝﹣3．
故选：D．
【点拨】本题考查了一次函数的定义，能根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m-3≠0是解此题的关键，
注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数．【变式2】已知点 在一次函数 的图像上，则 的值是 ．
【答案】6
【分析】直接把点 代入一次函数 ，求出 的值，代入代数式进行计算即可．
解： 点 在一次函数 的图象上，
，
，
．
故答案为：6．
【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函
数的解析式是解题的关键．
【考点 2】待定系数法求一次函数解析式；
【例2】已知一次函数图象经过（-2，1）和（1，3）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，求y的值．
【答案】（1） ；（2）y的值是 ．
【分析】（1）设该直线解析式为 ，把（-2，1）和（1，3）代入可得关于k、b的二元
一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得答案；
（2）把x=3代入（1）中所求的解析式，求出y值即可得答案．
解：（1）设该直线解析式为 ，
∵一次函数图象经过（-2，1）和（1，3）两点，
∴ ，
解得 ．
故该一次函数解析式为： ；（2）把 代入（1）中的函数解析 得： ，
∴ 时，y的值是 ．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，根据一次函数图象上的点的坐标特征列出方
程组求解是解题关键．
【变式1】已知直线 经过点 和点 ，则m的值为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】C
【分析】先利用点 求出直线的表达式，再根据当 时即可求解．
解：由题意得：
，解得： ，
直线的表达式为： ，
当 时， ，
故选：C．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数表达式、根据自变量的值求函数值，熟练掌握待定系数法求函
数表达式方法是解题的关键．
【变式2】在平面直角坐标系中，若一次函数 的图象过点 ， ，则
的值为 ．
【答案】
【分析】把代入 代入一次函数 求得 ，进而代入x= 即可求得m的值．
解： 一次函数 的图象过点 ，
，
解得 ，
，
过 ，
，故答案为-4044．
【点拨】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征,把点的坐标代入求解一元- 次方程即可．
【考点3】一次函数的图象；
【例3】设一次函数 （ 为常数，且 ），图象过 ， ．
（1）求该一次函数的解析式，并画出它的图象；
（2）判断点 是否在该一次函数图象上．
【答案】（1）一次函数解析式为 ；图像见分析；（2）点 不在该一次函数图象上，
理由见分析
【分析】（1）把 点和 点坐标代入 得到关于 的方程组，然后解方程组即可；
（2）把 代入一次函数 的解析式中，可得 ，即可得到答案．
（1）解：把 ， 分别代入 得：
，
解得： ，
一次函数解析式为 ，
画出图如图所示：；
（2）解：当 时， ，
点 不在该一次函数图象上．
【点拨】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，凡是图象
经过的点都能满足一次函数关系式．
【变式1】下列图象中，可以表示一次函数 与正比例函数 （k，b为常数，且
）的图象不可能的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，根据正比例函数的性质和一次函数的图象，
可以得到 的正负和 、 的正负，然后即可判断哪个选项符合题意．
解：A、由一次函数的图象可知 ， ，由正比例函数的图象可知 ，故选项A不可能，符
合题意；
B、由一次函数的图象可知 ， ，由正比例函数的图象可知 ，故选项B可能，不符
合题意；
C、由一次函数的图象可知 ， ，由正比例函数的图象可知 ，故选项C可能，不符
合题意；
D、由一次函数的图象可知 ， ，由正比例函数的图象可知 ，故选项D可能，不符
合题意；故选：A．
【变式2】在平面直角坐标系 中，直线 （ 是常数，且 ）的图象经过定点
．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，由 可知，当 时，
不论 取何值，总有 ，则可求解，图象上点的坐标适合解析式的解题的关键．
解： ，
则当 时，不论 取何值，总有 ，
∴直线 必经过点 ，
故答案为： ．
【考点4】由一次函数的解析式判断图象经过的象限；
【例4】已知函数 的图象经过点 和 ．
（1）求这个函数的表达式；
（2）该函数图象经过哪几个象限？
（3）点 是否在该函数图象上？
【答案】（1） ；（2）这个函数经过一、二、三象限；（3） 不在这个函数图象上
【分析】本题考查了求一次函数表达式，一次函数的图象和性质，熟练掌握用待定系数法求解函数表
达式的方法和步骤，以及一次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）把 和 代入 ，求出k和b的值，即可得出这个函数的表达式；
（2）根据k和b的值，即可判断该函数经过的象限，
（3）求出当 时的函数值，即可解答．
（1）解：把 和 代入 得：，
解得： ，
∴这个函数的表达式为 ；
（2）解：∵ ， ，
∴这个函数经过一、二、三象限；
（3）解：把 代入 得： ，
∴ 不在这个函数图象上．
【变式1】直线 经过一、二、四象限，则直线 的图象只能是图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与 、 的关系．根据直线 经过第一、
二、四象限可以确定 、 的符号，则易求 的符号，由 的符号来求直线 所经过的象限．
解：∵直线 经过第一、二、四象限，
∴直线 经过第一、二、三象限．
故选：B．
【变式2】若 有意义，则一次函数 的图像经过第 象限．
【答案】一、三、四
【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，一次函数的图像．熟练掌握分式有
意义的条件，二次根式有意义的条件，一次函数的图像是解题的关键．
由题意知， ，则 ，进而判断作答即可．解：由题意知， ，
∴ ，
∴ 的图像经过第一、三、四象限，
故答案为：一、三、四．
【考点5】由一次函数图象经过的位置判断参数取值范围；
【例5】已知一次函数 为常数，且 ．
（1）当函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上时，求m的取值范围．
（2）当函数图象经过第二、三、四象限时，求m的取值范围．
（3）当 时，一次函数的最大值为4，求m的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）2或 ．
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、一次函数的增减性等知识点，掌握一次函数的性质
是解题的关键．
（1）根据一次函数 的图象与y轴的交点在y轴正半轴上时，b为正数列不等式求解即可；
（2）根据一次函数 的图象经过第二、三、四象限时， 列不等式组求解即可；
（3）分 和 两种情况，分别根据函数增减性求解即可．
（1）解：∵函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵图象经过第二、三、四象限，
∴ ，解得： ．
（3）解：①当 时，即 时，y随x增大而增大，
∴当 时，最大值为4，
∴ ，解得： ；
②当 时，即 时，y随x增大而减小，
∴当 时，最大值为4，
∴ ，解得： ，综上所得m的值为2或 ．
【变式1】如图，平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是 ， ， ，当直线
与 有交点时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】考查了一次函数的综合应用．利用数形结合的思想，确定边界点的值，是解题的关键．将
， 的坐标分别代入直线中求得b的值，即可得到b的取值范围．
解：直线 经过点B时，将 代入直线 中，可得 ，解得 ；
直线 经过点C时，将 代入直线 中，可得 ，解得 ；
故b的取值范围是 ．
故选：B．
【变式2】一次函数 的图象如图所示，则化简 的结果是 ．【答案】1
【分析】
本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解系数对函数图象的影响，难度不大．根
据一次函数的图象经过第一、二、三象限确定有关 的不等式组，求解即可．
解：由一次函数 的图象知 ，
解得 ，
所以 ．
故答案为：1
【考点6】求一次函数图象与坐标轴交点坐标；
【例6】已知一次函数的图像经过点 和点 ．
（1）求这个函数的解析式；
（2）求这个一次函数图像与 轴的交点坐标．
【答案】（1）一次函数解析式为 ；（2）该函数图像与 轴的交点坐标为
【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、已知函数值求自变量值等，熟练
掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键
（1）根据题意，一次函数解析式为 ，把点 和点 代入，解二元一次方程组即可得
到答案；
（2）由（1）中求得解析式，令 ，解方程 即可得到答案．
（1）解：设一次函数解析式为 ，把点 和点 代入得，
解得 ，
一次函数解析式为 ；
（2）解：令 ，则 ，
解得： ，
该函数图像与 轴的交点坐标为 ．
【变式1】一次函数 的图象与 轴的交点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与 轴的交点坐标，把 代入 计算即可求解，掌握一次函
数的图象与 轴的交点坐标特征是解题的关键．
解：把 代入 得，
，
∴ ，
∴一次函数 的图象与 轴的交点坐标是 ，
故选： ．
【变式2】若一次函数 的图象与坐标轴围成的三角形面积为3，则 ．
【答案】
【分析】先求出一次函数 与坐标轴交点坐标，再利用面积公式，得到关于 的方程，即可求
解，本题考查了一次函数与坐标轴交点，解题的关键是：熟练掌握求一次函数与坐标轴交点．
解：当 时， ，
当 时， ，解得： ，
一次函数 与坐标轴交于点 ， ，与坐标轴围成的三角形面积为： ，解得： ，
故答案为： ．
【考点7】一次函数图象的平移；
【例7】根据下列条件，分别确定一次函数的解析式：
（1）图象过 ， ；
（2）直线 与直线 平行，且过点 ；
（3）在坐标系中画出以上两函数图象，与x轴交点分别为A、B，两直线的交点C，求 的面积
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】本题考查了待定系数法求直线解析式，两直线平行的问题，根据两平行直线的解析式的 值
相等求解是解题的关键．
（1）设直线解析式为 ，把点 、 的坐标代入解析式得到关于 、 的二元一次方程组，求
解得到 、 的值，即可得解；
（2）根据平行直线的解析式的 值相等求出 ，然后把经过的点代入求出 的值，即可得解；
（3）根据题意画出图象，利用三角形的面积公式求解即可．
（1）解：设直线解析式为 ，
图象过 ， ，
，
解得 ，
故一次函数解析式为 ；
（2）解： 直线 与直线 平行，
，
直线过点 ，，
解得 ，
故直线解析式为 ；
（3）解：令 ，则 ， ，
解得 ， ，
∴ ， ，
联立 ，解得 ，
∴ ，
画出图象如图，
∴ ．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ， 沿x轴向右平移后得到 ，
且点A的对应点在直线 上一点，则点B与其对应点 间的距离（ ）A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函
数的解析式是解答此题的关键．根据平移的性质知 ．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点
的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段 的长度，即 的长度．
解：如图，连接 、 ．
∵点 的坐标为 ， 沿 轴向右平移后得到 ，
∴点 的纵坐标是3．
又∵点 在直线 上一点，
∴ ，解得 ．
∴点 的坐标是 ，
∴ ．
∴根据平移的性质知 ．
故选：D．
【变式2】把直线 向左平移a个单位后，与直线 的交点的纵坐标为8，则a的值为
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图象性质以及平移规律，左加右减，上加下减，据此得直线
向左平移a个单位后得 ，把 代入 求出交点的坐标，即可作答．
解：∵直线 向左平移a个单位，∴
∵把直线 向左平移a个单位后，与直线 的交点的纵坐标为8，
∴把 代入 ，得 ，即交点的坐标为
故把 代入
得
解得 ，
故答案为：
【考点8】一次函数的增减性与图象位置关系；
【例8】已知关于x的一次函数 ．
（1）当k满足什么条件时，它的图象经过原点？
（2）当k满足什么条件时，y随x的增大而减小？
（3）当k满足什么条件时，它的图象经过第一、二、四象限？
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】此题考查了一次函数的定义与性质，是基础知识，需熟练掌握．
（1）由一次函数 经过原点可得 ，由此求出满足条件的k值；
（2）根据一次函数图象的性质可知 ，据此求出k满足的条件；
（3）由该函数的图象经过第一、二、四象限，可得 且 ，解不等式组即可确定k的
取值．
（1）解：∵一次函数 的图象过原点，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵一次函数 的图象y随x的增大而减小，
∴ ，解得 ；
（3）解：∵该函数的图象经过第一、二、四象限，
∴ 且 ，
解得
【变式1】已知一次函数 的图象与y轴交于 ，且y随x值的增大而增大，则m的
值为（ ）
A．2 B． C． 或4 D．2或
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的增减性质，牢记： ，y随x值的
增大而增大；反之，y随x值的增大而减小．
把 代入一次函数 中，解得 或 ，又y随x值的增大而增大，故 ．
解：把 代入一次函数 中，可得 ，
解得： 或 ，
又y随x值的增大而增大，故 （舍去负值）．
故选：A．
【变式2】若一次函数 中 的值随 值的增大而增大，则该函数图象不经过第 象限．
【答案】四
【分析】
本题考查了一次函数的性质，掌握根据函数的增减性判断函数图象经过的象限是解题的关键．
根据一次函数 中 的值随 值的增大而增大，可以得到 ，然后即可得到一次函数
的图象经过的象限．
解：∵一次函数 ， 的值随 值的增大而增大，
∴ ，
∴该函数图象经过第一、二、三象限，
则该函数图象不经过第四象限．
故答案为：四．
【考点9】由一次函数的增减性求参数；【例9】在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点 和 ．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若点 在该一次函数图象上，当 时，求n的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）由（1）得一次函数的图象y随x的增大而减小，即可求解．
（1）解：设一次函数解析式为
∵一次函数的图像经过 和
解得：
∴一次函数解析式为 ；
（2）解：由（1）得： ，
一次函数的图像y随x的增大而减小，
∵点 在该一次函数图象上，
∴当 时， ，
当 时， ，
当 时， ．
【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握利用待定系数解答是
解题的关键．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中， 、 两点在一次函数的图象上，其坐标分别为 ，
，下列结论正确的是（ ）A． ， B． ， C． ， D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了点的坐标以及一次函数的性质．依据点A与点B的位置，即可得到点B的横
坐标以及纵坐标都比点A的横坐标以及纵坐标大．
解：由题意可得，函数图象y随x增大而增大，
∴ ，
∴ ， ，
故选：B．
【变式2】如图是函数 的一部分图象，
（1）自变量 的取值范围是 ；
（2）当 取 时， 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数的性质，一次函数的性质．
（1）由点 在函数图象上，将 代入直线方程求得 的值，再结合函数图象可求得 的取值范围；
（2）由图象可知直线 的图象呈下降趋势，在点 处， 有最小值，据此确定 最小时 的
取值和 的最小值．
解：（1）观察函数图象，将 代入一次函数 中，可得 ，
所以自变量 的取值范围是 ．故答案为： ；
（2）由函数图象可知，随着 的增大， 值在变小，
由函数图象可知， 有最小值，即当 时， 为最小值．
故答案为： ， ．
【考点10】比较一次函数的大小.
【例10】已知： 与x成正比例，且当 时，y的值为7．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点 、点 是该函数图象上两点，比较m、n的大小，并说明理由．
【答案】（1） ；（2） ，理由见详解；
【分析】（1）本题考查待定系数法求一次函数的解析式，根据正比例设出函数解析式，将点代入求
解即可得到答案；
（2）本题考查一次函数的性质，根据一次函数 ： ， 随 增大而增大， ， 随
增大而减小；
（1）解：∵ 与x成正比例，
∴可以设： ，
∵当 时，y的值为7，
∴ ，解得： ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ 随 增大而减小，
∵点 、点 是该函数图象上两点， ，
∴ ．
【变式1】已知 ， 为直线 （ 为常数）上的两个点，则下列判断正
确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则【答案】C
【分析】本题考查一次函数的性质，当 时，y随x增大而增大；当 时，y随x增大而减小．
据此首先判定 ，得出y随x增大而增大，再逐项判定即可．
解：∵
∴
∴y随x增大而增大，
A、若 ，则 ，故此选项不符合题意；
B、若 ，则 ，故此选项不符合题意；
C、若 ，即 ，则 ，即 ，故此选项符合题意；
D、若 ，即 ，则 ，即 ，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式2】已知一次函数 的图象经过 ， ，则 （填“＞”
“＜”或“＝”）．
【答案】＞
【分析】根据一次函数的解析式 得出y随x的增大而减小，即可得出答案．
解： ，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∵ ，
∴ ，
故答案为：＞．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征的应用，能理解一次函数的性质
是解此题的关键．
