文档内容
第 03 讲 复数
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：复数的概念............................................................................................................................2
题型二：复数的运算............................................................................................................................3
题型三：复数的几何意义....................................................................................................................5
题型四：复数的相等与共轭复数........................................................................................................6
题型五：复数的模................................................................................................................................7
题型六：复数的三角形式....................................................................................................................8
题型七：与复数有关的最值问题......................................................................................................10
题型八：复数方程..............................................................................................................................12
02 重难创新练....................................................................................................................................14
03 真题实战练....................................................................................................................................20题型一：复数的概念
1．（2024·河南信阳·模拟预测）复数 的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为 ，所以复数 的虚部为 .
故选：B
2．（2024·陕西安康·模拟预测）若 的虚部为2，则 （ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】D
【解析】由题得 ，
则 .
故 .
故选：D.
3．（2024·甘肃张掖·三模）已知复数z满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】C
【解析】因为 ，
则 ，所以 ，
所以复数 的虚部为 .故选：C.
题型二：复数的运算
4．（多选题）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知复数 满足： ， ，若
在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】设复数 在复平面内对应的点分别为 ， 为坐标原点，
则复数 在复平面内对应的向量为 ，且 ，
， ，
所以四边形 为菱形，且 ，
又 ， 与 轴正半轴所成的角为 ，
所以 与 轴正半轴所成的角为 ，所以 与 关于 轴对称，
所以 ，则 ，所以 ，故B正确；
因为 ，所以 ，故A错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：BC
5．（多选题）下列各式的运算结果是实数的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】AC
【解析】A项中， ，故A正确；
B项中， ，故B错误；
C项中， ，故C正确；
D项中， ，故D错误.
故选：AC.
6．（多选题）（2024·福建泉州·一模）已知复数z满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】设复数 ，可得
因为复数z满足 ，可得 ，则 ，
可得 且 ，
由 时，可得 或 ，
当 时，可得 ，此时 ；当 时，方程 ，无解；
对于A中，当 ，可得 ，可得 ；
当 ，可得 ，可得 ，所以A正确；
对于B中，当 ，可得 ，且 ，
则 ，所以B不正确；
对于C中，当 ，可得 ，可得 ，所以C不正确；
对于D中，当 ，可得 ，可得 ，则 ；
当 ，可得 ，可得 ，则 ，所以D正确.
故选：AD.7．（2024·北京西城·三模）在复平面，复数z对应的点坐标为 ，则 （ ）
A．i B．-i C． D．
【答案】B
【解析】z对应的点坐标为 ，所以 ，
所以
故选：B.
8．（2024·高三·黑龙江绥化·期中）已知复数 和 （i是虚数单位），则 ．
【答案】 /
【解析】由题意，得 ，
，
则 .
故答案为： .
题型三：复数的几何意义
9．（2024·陕西·模拟预测）已知复数 ， ， ，若 ，则在复平面内 对应的
点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为 ， ，
所以 ，
则有 ，解得 ，
所以 ，复平面内 对应的点为 ，在第一象限.
故选：A.
10．（2024·青海海西·模拟预测）已知 ，复数 ，则“ ”是“复数z在复平面内所对应的点位于第一象限”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由 ，若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，
则 可得 ，
故“ ”是“复数z在复平面内所对应的点位于第一象限”的充要条件．
故选：C．
11．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知 是虚数单位，复数 满足 ，则复数 在复平面内对应
的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，
则 ，则 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第四象限.
故选：D.
12．（2024·高三·湖南岳阳·期中）已知复数 的共轭复数为 ，且满足 ，则 在复平面内的对
应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】设 ，则 ，
代入 ，得 ，
∴ ， ．
∴ ．
∴ 在复平面内的对应点的坐标为： ，位于第二象限．
故选：B．
题型四：复数的相等与共轭复数
13．（2024·北京海淀·二模）若 ，则 .
【答案】1【解析】因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 .
故答案为：1.
14．（2024·重庆·模拟预测）复数 满足 （ 为虚数单位），则 ．
【答案】
【解析】依题意， ，所以 ，
所以 .
故答案为：
15．（2024·陕西安康·模拟预测）已知复数 （ 为虚数单位），则 的虚部为 .
【答案】 /0.5
【解析】 ，
所以 ，
则 的虚部为 .
故答案为：
16．（2024·山东青岛·二模）已知复数 满足 ，则复数 .
【答案】
【解析】易知 ，所以 .
故答案为： .
题型五：复数的模
17．（2024·高三·上海·期中）已知复数z满足 （i为虚数单位），则复数z的模等于 ．
【答案】
【解析】设 ，
由 可得 ，则 ，解得： ，故 ，
所以复数z的模等于 .
故答案为： .
18．（2024·高三·上海嘉定·期中）若复数 （ 为虚数单位），则 ．
【答案】
【解析】 ，
，
故答案为：
19．（2024·高三·辽宁大连·期中）设复数 ， 满足 ， ，则 .
【答案】
【解析】由题意设： ， ， ，
所以得： ，化简得： ， ，
，化简得： ， ，
所以得：
，
所以得： .
故答案为： .
20．若复数z满足 ，则
【答案】
【解析】 ，则 ，故 .
故答案为： .
题型六：复数的三角形式
21．（2024·高三·辽宁·期中）欧拉公式 （其中 为虚数单位， ），是由瑞士著名数
学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式， 的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ，故 .
故选：A.
22．（2024·全国·模拟预测）欧拉公式 把自然对数的底数 、虚数单位 、三角函数联系在
一起，充分体现了数学的和谐美．已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以， .
故选：B.
23．复数 的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，令 ，
则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 的三角形式是 .
故选：D.
24．欧拉公式 （ 为自然对数的底数， 为虚数单位）由瑞士数学家 （欧拉）首先发
现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则
下列运算一定正确的是（ ）A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】 .
故选：C.
题型七：与复数有关的最值问题
25．（2024·安徽·模拟预测）若 为虚数单位， ，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【解析】根据题意，复数 对应的点的轨迹为以点 为圆心，1为半径的圆，
所求式子 的几何意义表示点 到圆上点的距离的最大值，
如图所示，最大值为 .
故选：D.
26．（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【解析】 的几何意义是复数z对应的点Z到点 的距离为1，
即点Z在以点 为圆心，1为半径的圆上，的几何意义是点Z到点 的距离．
如图所示，故 ．
故选：B．
27．（2024·辽宁·模拟预测）已知 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
即 ，由于 ，故 ，解得 ，
则 ，
故选：D
28．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知复数 满足： ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．
C． D．3
【答案】B
【解析】设 ，其中 ，则 ，
∵ ，
∴ ，即点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
∴ 即为圆上动点到定点 的距离，
∴ 的最大值为 .
故选：B.
29．（2024·全国·模拟预测）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D
【解析】设 ，在复平面内对应的点 的坐标为 ，
由 ，得 ，即 ，
因此点 在圆 上运动，圆心 的坐标为 ，半径 ，
又 ，
于是 可以看成是点 到点 的距离，显然此点在圆 外，
所以 .
故选：D
30．已知复数z满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】设复数 在复平面内对应的点为 ，
因为复数 满足 ，
所以由复数的几何意义可知，点 到点 和 的距离相等，
所以在复平面内点 的轨迹为 ，
又 表示点 到点 的距离，
所以问题转化为 上的动点 到定点 距离的最小值，
当 为 时，到定点 的距离最小，最小值为1，
所以 的最小值为1，
故选：A．
题型八：复数方程
31．（2024·上海浦东新·二模）已知 ， 为实数， 是关于 的方程 的一个根，其中 是
虚数单位，则 ．
【答案】0
【解析】 是关于 的方程 的一个根，
是关于 的方程 的另一个根，
则 ，即 ，
，.
故答案为：0
32．（2024·上海嘉定·二模）设 ，则 ．
【答案】5.
【解析】由 ，则 ．
故答案为：5
33．复数 （i为虚数单位）的平方根为
【答案】
【解析】设复数 （i为虚数单位）的平方根为 ，则 ，即 ，所
以 ，解得 或 ，
所以 或 ，
故答案为： 或
34．已知关于 的方程 的两根为 、 ，满足 ，则实数 的值为
【答案】4或
【解析】 ，
若 ，则方程 的两根为实数，且 ，解得 .
若 ，则方程 的两根为虚数，该方程可化简为：
，故两根分别为 ， ，
所以 ，故 ，
故答案为 或 .
35．已知方程 有两个虚根 ，则 的取值范围是
【答案】
【解析】因为 为方程两个根，所以 ， ，方程有虚根，所以 ，
故 ，故填 .1．（2024·西藏·模拟预测）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ．
故选：A．
2．（2024·甘肃兰州·三模）已知复数 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】 ，
故 .
故选：D
3．（2024·山西阳泉·三模）已知 是实系数方程 的一个复数根，则 （ ）
A． B． C．1 D．9
【答案】A
【解析】因为 是实系数方程 的一个复数根，
则 也是实系数方程 的一个复数根，
所以 ，解得 ，
所以 .
故选：A
4．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知 是虚数单位，则复数 （ ）
A． B．1 C． D．【答案】B
【解析】因为 ，所以 .
故选：B.
5．（2024·浙江·三模）已知复数z满足 ，其中i是虚数单位，则 （ ）
A．2 B． C． D．5
【答案】D
【解析】设 ，a， ，则
则 ， ．∴ ， ，
所以 ，
故选：D．
6．（2024·安徽安庆·模拟预测） （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 .
故选： .
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）虚数 满足 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【答案】C
【解析】由已知 ， ，
所以 ， ，
所以 ，解得 .
故选：C.
8．（2024·福建泉州·模拟预测）若复数z满足 ，则z的一个可能值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，由 ，得 ，即 ，整理得 ，
显然选项ACD不满足要求，B符合要求.
故选：B
9．（多选题）（2024·湖北襄阳·二模）已知复数 满足 ， （ 为虚数单
位）， 是方程 在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为4
C．当 时，则 D．当 时，则
【答案】AD
【解析】设在复平面内 的对应点分别为 ，
由 得 ，所以 在直线 上.
由 得 ，所以 在圆 上.
如图所示：
对于A： 表示复平面内圆 上的点 到直线 上点 的距离，
所以 的最小值为 ，故A正确；
对于B： 表示复平面内圆 上的点 到直线 上点 的距离，
所以 的最小值为 ，故B错误；
对于CD：因为 是方程 在复数范围内的两根，
所以 .
若 ，即 或 ，此时 ，由 得 或 ，
当 或 时， ；
∴
当 时， ，故C错误；
若 ，即 ，此时， 为一对共轭虚根，
，故D正确.
故选：AD.
10．（多选题）（2024·广西贵港·模拟预测）已知复数 ， ， ，则下列说法中正确的有（ ）
A．若 ，则 或 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABD
【解析】对于A， 或 ，故A正确．
对于B，方法： ， ， ，所以 以3为周期，所以
，故B正确．
方法二（复数的三角表示）： ，所以 的模为1，辐角为 ，则 的模为1，辐角
为 ，
所以 ．故B正确．
对于C，取 ， ，则 ，此时 ，故C错误．
对于D， ， ，所以 ，故D正确．
故选：ABD
11．（多选题）（2024·山东菏泽·二模）下列选项正确的有（ ）
A．若 是方程 的一个根，则
B．复数 与 分别表示向量 与 ，则向量 表示的复数为C．若复数 满足 ，则 的最大值为
D．若复数 ，满足 ，则
【答案】BCD
【解析】对于A：若 是方程 的一个根，
则方程的两个根分别 ，
所以 ，
所以 ，故A错误；
对于B：由题意可知 ，
所以 ，
所以向量 表示的复数为 ，故B正确；
对于C：设 ，
若复数 满足 ，
则在复平面内点 在圆 上，
圆 的圆心 ，半径 ，
则 的几何意义为原点 到圆 上点的距离，又 ，
则 的最大值为 ，C正确；
对于D：因为 ，
所以 ，
，
所以 ，D正确．
故选：BCD.
12．（多选题）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知复数 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 为纯虚数，则
B．若 是 的共轭复数，则C．若 ，则
D．若 ，则 取最大值时，
【答案】CD
【解析】对于A：复数 的实部为 ，虚部为 ，若 为纯虚数，则 ，
故 ，错误；
对于B：因为 ，所以 ，则 ，错误；
对于C： ，则 ，正确；
对于D：因为 ，所以 ，即 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以当 时， 取到最大值2，
此时 ，所以 ，正确.
故选：CD
13．（2024·天津南开·二模） 是虚数单位，复数 .
【答案】
【解析】由题 .
故答案为： .
14．（2024·天津北辰·三模） 是虚数单位，复数 的虚部为 .
【答案】
【解析】 ，
所以复数Z的虚部为 .
故答案为：
15．（2024·河南南阳·三模）若 ，则【答案】 /
【解析】 ，
所以 ，
故答案为： .
16．（2024·上海·三模）已知关于 的一元二次方程 有两个虚根 ，且 ，
则实数 的值为 .
【答案】3
【解析】因为关于 的一元二次方程 有两个虚根 ，
所以 ，即 ，得 或 ，
所以 中 ，
因为 ，
整理得 ，解得 或 （舍），故 ，
所以实数 的值为3.
故答案为：3
17．（2024·湖南衡阳·三模）已知 是关于 的方程 （其中p、q为实数）的一个根，则
的值为 .
【答案】
【解析】方法一：由已知可得 ，即 ，
所以 ，解得 ，所以 .
方法二：因为 是关于 的方程 （其中p、q为实数）的一个根，
所以 也是该方程的一个根，
由韦达定理得 ，解得 ，所以 .
故答案为： .1．（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 在复平面对应的点是 ，根据复数的几何意义， ，
由共轭复数的定义可知， .
故选：D
2．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题） （ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【解析】由题意可得 ，
则 .
故选：C.
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题） （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
故选：C.
4．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设 ，则 （ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，解得： ．
故选：C.
5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ，
则 .
故选：B.
6．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，即 ．
故选：A．
7．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内， 对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为 ，
则所求复数对应的点为 ，位于第一象限.
故选：A.
8．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知 （ 为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，而 为实数，故 ，
故选：B.
9．（2022年新高考全国II卷数学真题） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
故选：D.10．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）设 ，其中 为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 R， ，所以 ，解得： ．
故选：A.
11．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）若 ．则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以 ．
故选：D.
12．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
故选 ：C
13．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 ，且 ，其中a，b为实数，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由 ,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得 ,即
故选:
14．（2022年新高考北京数学高考真题）若复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B【解析】由题意有 ，故 ．
故选：B．
15．（2022年新高考全国I卷数学真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】由题设有 ，故 ，故 ，
故选：D
16．（2024年天津高考数学真题）已知 是虚数单位，复数 ．
【答案】
【解析】 .
故答案为： .
17．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知虚数 ，其实部为1，且 ，则
实数 为 ．
【答案】2
【解析】设 ， 且 .
则 ，
， ，解得 ，
故答案为：2.
18．（2023年天津高考数学真题）已知 是虚数单位，化简 的结果为 ．
【答案】 /
【解析】由题意可得 .
故答案为： .
19．（2022年新高考天津数学高考真题）已知 是虚数单位，化简 的结果为 ．
【答案】 /【解析】 ．
故答案为： ．
