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专题 10 利用导函数研究函数的极值点偏移问题
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
1、极值点偏移的含义
函数 满足对于定义域内任意自变量 都有 ，则函数 关
于直线 对称．可以理解为函数 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若
为单峰函数，则 必为 的极值点，如图(1)所示，函数 图象的顶点的
横坐标就是极值点 ；
①若 的两根为 ， ，则刚好满足 ，则极值点在两根的正中
间，也就是极值点没有偏移（如图1）．
若 ，则极值点偏移．若单峰函数 的极值点为 ，且函数 满足
定义域 左侧的任意自变量 都有 或 ，则函数
极值点 左右侧变化快慢不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数 定义域内任意不
同的实数 ， ，满足 ，则 与极值点 必有确定的大小关系：若
，则称为极值点左偏如图（2）；若 ，则称为极值点右偏如图
（3）．
2、极值点偏移问题的一般解法
学科网（北京）股份有限公司2.1对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为 )，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极
值点 ．
(2)构造函数，即对结论 型，构造函数 或
；
(3)对结论 型，构造函数 ，通过研究 的单调性获得
不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
(5)比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的大小关
系．
(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将 与 的大小关系转化为 与
之间的关系，进而得到所证或所求．
2.2．差值代换法（韦达定理代换令 .）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然
后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用 表示)
表示两个极值点，即 ，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关
于 的函数问题求解．
2.3．比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然
后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用 表
示)表示两个极值点，即 ，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于
的函数问题求解．
学科网（北京）股份有限公司二、典型题型
1．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ，
．
(1)若 在 上为增函数，求实数 的取值范围．
(2)当 时，设 的两个极值点为
，且 ，求 的最小值．
2．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，判断 在区间 内的单调性；
(2)若 有三个零点 ，且 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： .
学科网（北京）股份有限公司3．（2024高三下·江苏·专题练习）已知函数 （其中e为自然对数的底）
若 ， 是 的极值点且 .若 ，且 .证明：
.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 .
(1)当 时，判断函数 的单调性；
(2)若关于 的方程 有两个不同实根 ，求实数 的取值范围，并证明
.
5．（2022·全国·模拟预测）设函数 .
(1)若 ，求函数 的最值；
(2)若函数 有两个不同的极值点，记作 ，且 ，求证：
.
学科网（北京）股份有限公司6．（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系 中， 的直角顶点 在 轴上，另一
个顶点 在函数 图象上
(1)当顶点 在 轴上方时，求 以 轴为旋转轴，边 和边 旋转一周形成的面
所围成的几何体的体积的最大值；
(2)已知函数 ，关于 的方程 有两个不等实根
.
（i）求实数 的取值范围;
（ii）证明： .
7．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，讨论 的单调性．
(2)已知关于 的方程 恰有 个不同的正实数根 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）求证： ．
学科网（北京）股份有限公司三、题型归类练
1．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数 的导函数为 ，
若 存在两个不同的零点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： .
2．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知函数 （其中 为
自然对数的底数）.
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 为两个不相等的实数，且满足 ，求证： .
3．（2024·广东湛江·一模）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若方程 有两个根 ， ，求实数a的取值范围，并证明： ．
学科网（北京）股份有限公司4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 有两个零点 ， ，且 ，求证： ．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若对任意的 都有 ，求实数 的取值范围；
(2)若 且 ， ，证明： ．
6．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 的图像与直线 交于不同的两点
， ，求证： ．
学科网（北京）股份有限公司7．（2023·云南大理·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的极值；
(2)若 （e是自然对数的底数），且 ， ， ，证明：
．
8．（22-23高二下·河北张家口·期末）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)若方程 的两个解为 、 ，求证： .
学科网（北京）股份有限公司9．（21-22高三上·广东深圳·期末）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)①证明函数 （ 为自然对数的底数）在区间 内有唯一的零点；
②设①中函数 的零点为 ，记 （其中 表示 中的较
小值），若 在区间 内有两个不相等的实数根 ，证明：
.
10．（2023·北京通州·三模）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知 有两个零点 ， ，求实数a的取值范围并证明 .
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