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专题17.4 勾股定理（分层练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023上·山东淄博·七年级统考期中）如图，点 为 的边 上一点，已知
，折线 与折线 的长度相等，则直角边 的长为（ ）
A． B．7 C． D．8
2．（2024上·广东河源·八年级统考期末）如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长 ，高
的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为 ，则共需购买红地毯（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·湖南永州·八年级统考期末）勾股定理现约有500多种证明方法，是数学定理中证明方法
最多的定理之一，在中国周朝的商定提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，古埃及人用“结绳法”
在金字塔等建筑的拐角处作出直角；“普林顿322”的古巴比伦泥板上记载了很多勾股数；公元前6世纪古
希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了勾股定理．下面图例中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·湖北随州·八年级统考期末）在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的
直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：
6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为 （ ，m为正整数），则其弦（结果用含 的式子表示）是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·河北廊坊·八年级校联考期末）如图，学校计划在该三角形空地上铺上绿色植被美化校园，
已知绿色植被每平方米造价40元，则铺满这块空地需要（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
6．（2023下·安徽合肥·八年级合肥寿春中学校考期末）如图， 与 均为直角三角形，且
， ， ，点E是 的中点，则 的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
7．（2024上·山东淄博·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴负半轴，
轴正半轴分别交于点 ， ，在 轴上取点 ，点 是直线 上的一个动点，以 为边，
在 的右侧作等边三角形 ，使得点 落在第一象限，连接 ．若 ，则 的最小
值为（ ）A．6 B． C．8 D．
8．（2023上·福建漳州·八年级统考期末）如图，在 中， ，将 沿
折叠得到 ，点 与点 重合，连接 ，交 于点 ，在线段 上取一点 ，使得
．连接 ，则点 到 的距离是（ ）
A． B． C．8 D．
9．（2023·湖北武汉·校联考一模）小明发现墙上有四边形涂鸦，如图，
， ， ，现在小明想用一个最小的圆形纸板对
其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·广东深圳·八年级校考期中）如图，在等腰直角三角形 中， ，
， 平分 交 于点D，以 为一条直角边作 ，其中 交 于点
F，交 于点G，线段 上有一动点P， 于点Q，连接 ，则下列结论中：
① ；② 为等腰三角形；
③ ；
④ ，
⑤ 的最小值是 ；
正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023下·河北石家庄·八年级统考期末）如图， 是一块等腰三角形空地示意图量得
， ，若从点B向 铺设一条输水管道，则管道的最小长度是 m．
12．（2022上·山西太原·八年级统考期末）已知 与 中， ，
，将 与 按如图位置摆放，其中点B，C，E，F在同一直线上，点A，D
在直线 的同侧，点E是 的中点，B，D两点之间的距离为 ．
13．（2023下·四川·八年级统考期末）如图， 中， ， ， ，将三角板
的直角顶点D放在 的斜边 的中点处， 交 于点M， 交 于点N．将三角板
绕点D旋转，当 时， 的长为 ．14．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）在 中，点D，E分别为 ， 上的动点．如
图， ， ， ，当 时，则 的值最小为 ．
15．（2023上·广西玉林·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，
，以 为圆心， 为半径画弧，交斜边 于点 ， ，则下列说法正确的是 ．（填
序号）
① 是等边三角形，② ，③ ，④
16．（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两
端点B，C构成等腰三角形 ．图甲是梯子两脚架夹角A为 时的示意图，图乙是由图甲当点
与点 的距离缩小 ，而点A与地面的距离增大 时的示意图，若点A与地面的距离为 时，
则此时点 与点 的距离是 ．17．（2023·四川成都·成都七中校考三模）如图，在平面直角坐标系 中，经过点 并且平行
于x轴的直线记作直线y=m．给出如下定义：点 先关于直线 对称得到点 ，再将点 关于直
线 对称得点 ，则称点 为点P关于直线 和直线 的二次对称点．若点 关于直线
对称得到点 ，点 为点C关于直线 和直线 的二次对称点，当 是直角三角形时，
则 ．
18．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）在 中 ，
， 为 上一点，连接 交 于 ， 交 于 ，若 ， ，
，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2024上·江苏苏州·八年级统考期末）如图， 为海中的两座小岛， 为海岸上的信
号塔．已知小岛A在信号塔C的北偏西 方向80海里处，小岛B在信号塔C的南偏西 方向60海里处．
（1）求小岛A与小岛B之间的距离；
（2）一艘轮船从小岛A出发，沿直线向小岛B航行．若信号塔的信号有效覆盖半径为50海里，问：
轮船在航行过程中，能否收到信号塔C的信号？
20．（8分）（2024上·河北保定·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中， ， ，
，点 在线段 上（不与点 ，A重合），连接 ，将 沿 折叠得到 ，延长 交
于点 ，连接 ．
（1）求证： ．
（2）当点 位于不同位置时， 的周长是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其周
长．（3）设 ， ，直接写出当点A， 的距离最小时， 的值．
21．（10分）（2024上·广东茂名·九年级统考期末）如图， 的顶点 在直线 上，已知
， ．
（1）实践与操作：用尺规作图法作 关于直线 的对称图形 ；
（2）应用与计算：在（1）的条件下，若 ，求 的长．
22．（10分）（2024上·河北石家庄·八年级校考期末）【问题提出】
（1）如图1， 和 都是等边三角形，连接
①求证：
②若 ，求 的长．
【问题拓展】
（2）如图2， 和 都是等边三角形，连接 ，若，求 的面积
23．（10分）（2024上·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期末）已知在 ，
，点P在边 上，连接 ．
（1）如图1，如果点P在线段 的垂直平分线上，求证： ；
（2）过点P作 ，交边 于点D，
①如图2，如果点P是线段 的中点，且 ，求 的度数；
②填空：如果 ， ，且 是以 为腰的等腰三角形，那么 的长等于 ．
24．（12分）（2024上·福建泉州·八年级统考期末）在长方形 中， ， 是对角线
上不与点 、 重合的一点，过点 作 于 ，将 沿 翻折得到 ，点 在射线
上，连接 .
（1）如图 ，若点 的对称点 落在线段 上， 的延长线交 于点 .
求证： ；
若 ， ，求证： ；（2）如图 ，当点 的对称点 落在 的延长线上，此时 .
当 ， 时，试通过计算三角形的边长，判断 与 是否全等，并说明理由；
若将 绕点 逆时针旋转角度 得 ，射线 与 相交于点 ，射线
与直线 相交于点 ，试直接写出线段 、 、 、 之间的数量关系.
参考答案：
1．C
【分析】本题考查勾股定理，根据 ，已知 ，由折线 与折线
的长度相等，可以设 为 ，则 为 ，由勾股定理即可求得 ．
解：∵折线 与折线 的长度相等，∴ ，
设 为 ，则 为 ，
在 中，有 ，
即
解得： ，
故
故选：C．
2．A
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息求出地毯的长度是解题关键．首先利
用勾股定理解得图中直角三角形的另一直角边长，进而可得所需购买红地毯的总长度，即可获得答案．
解：根据题意，图中直角三角形一直角边为 ，斜边为 ，
根据勾股定理，可得另一直角边长为 ，
则需购买红地毯的长为 ，
又因为红地毯的宽，即台阶的宽为 ，
所以共需购买红地毯 ．
故选：A．
3．A
【分析】根据勾股定理的证明方法可知一般通过面积法证明，据此分析即可求解．
解：B，C，D选项通过面积法可以证明勾股定理，A选项不能证明勾股定理，
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．D
【分析】根据题意得 为偶数，设其股是a，则弦为 ，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：∵m为正整数，
∴ 为偶数，设其股是a，则弦为 ，
根据勾股定理得， ，
解得 ，
∴弦是 ，
故选：D．【点拨】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．C
【分析】利用三角形内角和与等角对等边的性质求出 ，利用勾股定理求出
，从而可求出 的面积，由绿色植被每平方米造价40元，即可得出答案
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵绿色植被每平方米造价40元，
∴铺满这块空地需要 元，
故选：C
【点拨】本题考查了勾股定理的应用以及三角形的面积等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
6．B
【分析】根据勾股定理和已知条件可得 ， ，证明 ，得出 ，
求出 ，利用勾股定理求出 ，即可得出答案.
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ， ，
设 的延长线交于点F，如图，
则 ，
∵点E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
则在直角三角形 中， ，
∴ ；
故选：B.
【点拨】本题考查了勾股定理和全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理、证明三角形全等是解
题的关键.
7．B
【分析】在直线 上取点M，使 ，连接 ，过点M作 轴于点G，连接 并延
长，交y轴于点E，证明 ，得出 ，证明 轴，说明点F在
过点M且平行于x轴的直线上，作点O关于 的对称点N，连接 ，交 于点H，连接 ，说明当
点F在点H处时， 最小，且最小值为 ，求出最小值即可．
解：在直线 上取点M，使 ，连接 ，过点M作 轴于点G，连接 并延长，
交y轴于点E，如图所示：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 轴，∴点F在过点M且平行于x轴的直线上，
∴ 轴，
∴ ，
作点O关于 的对称点N，连接 ，交 于点H，连接 ，
则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵两点之间相等最短，
∴当点F在点H处时， 最小，且最小值为 ，
根据勾股定理得： ，
即 最小值为 ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，轴对称的性质，等边三
角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，找出使 最小时，点F的位
置．
8．D
【分析】作 于点 ，由 ， ，得 ，由勾股定理得
，由折叠得 垂直平分 ，则 ，可求得 ，则 ，由
，得 ，利用角平分的性质以及等积法，耙犁 ，
，设点 到 的距离是 ，则 ，得 ，于是得到问题的答案．
解：作 于点 ，则 ，
， ，， ，
，
将 沿 折叠得到 ，点 与点 重合，
垂直平分 ，
，
，
，
，
，
，即 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
设 与 交于点 ，作 于点 ，
∴ ，设 ，
∵ ，
∴ ，解得 ，∴ ，
，
设点 到 的距离是 ，则 ，
，
，点 到 的距离是 ，
故选：D．
【点拨】此题重点考查轴对称的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、根据面积等
式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9．D
【分析】过点 作 ，过点 作 ，连接 交 于点 ，根据勾股定理求出
，再证明 得 ，从而进一步可得结论．
解：过点 作 ，过点 作 ，连接 交 于点 ，如图，
在 中， ，
在 中， ，
∴
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴
解得， ,
∴ ,
∴ ；
在 中， ，
在 中， ，
设 ，则同理可得， ，
解得， ，
∴
∴
∴
又 ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴最小的圆形纸板的直径应当为 才能完全遮盖四边形，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解
答本题的关键．
10．C
【分析】利用 的性质证明 ，可得①符合题意；证明 ，可得
， ，再证明 ，可判断②符合题意；由 ， ，
可判断③符合题意；由 ，可得 ，可判断④符合题意；如图，过
作 于 ，过 作 于 ，而 ， 平分 ，可得 ，则当 ， ，
关系，且 时， 最短，即 最短，即图中的 ，再求解 的长度可判断⑤，从
而可得答案.
解：∵ ，∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，故①符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴ ， ，而 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，故②符合题意；
∵ ， ，
∴ ，故③符合题意；
∵ ， ， ，
∴ ，故④符合题意；
如图，过 作 于 ，过 作 于 ，而 ， 平分 ，
∴ ，
∴当 ， ， 关系，且 时， 最短，即 最短，即图中的 ，
∵ ， ，∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为1；故⑤不符合题意；
故选C
【点拨】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，角平
分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，作出合适的辅助线是解本题的关键.
11．
【分析】过点D作 ，从点B向 铺设一条输水管道，则管道的最小长度是 的长，根据
勾股定理，即可求解．
解：过点D作 ，
从点B向 铺设一条输水管道，则管道的最小长度是 的长，
∵
∴在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴
故答案为：【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是能够明确点B向 铺设一条输水管道，则管道的
最小长度是 的长．
12．
【分析】连接 ．证明 ，从而可得 ，再利用勾股定理求解即可．
解：如图，连接 ，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
在 中， ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的
判定与性质证明 是解题的关键．
13． /
【分析】延长 至点G，使得 ，连接 、 、 ，易证 ，得到
， ，利用三角形内角和定理，得出 ，根据垂直平分线的性质，得到，设 ，则 ， ， ，再利用勾股定理列方程，
求得 ，即可得到 的长．
解：如图，延长 至点G，使得 ，连接 、 、 ，
是 中点，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
， ，
垂直平分 ，
，
设 ，
在 中， ，
，
， ，
， ，在 中， ，
，
解得： ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，勾股定理，
完全平方公式等性质，正确作辅助线构造全等三角形，利用勾股定理解方程是解题关键．
14．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，含 角直角三角形的性质，勾股定
理，过点B作 ，且 ，连接 ， ，先利用 证明 ，得到 ，
进而得到 有最小值为 的长，再利用勾股定理求出 的长即可．
解：过点B作 ，且 ，连接 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点A，点D，点F三点共线时， 有最小值，即 有最小值为 的长，
∵ ， ， ，
∴ ， ，在 中，
由勾股定理，得 ．
故答案为： ．
15．①③
【分析】根据作图可得 ，根据等边三角形的判定可判断①；在 中利用三边关系定理
可判断②；根据等边三角形的性质和 的直角三角形可判断③；根据勾股定理可判断④
解：∵ ， ，
∴ ，
∵以 为圆心， 为半径画弧，交斜边 于点 ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，故说法①正确；
在 中， ， ， ，
∴ ，故说法②错误；
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故说法③正确；
∵ ， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，故说法④错误，
∴说法正确的是①③．
故答案为：①③．
【点拨】本题考查尺规作图—作一条线段等于已知线段，等边三角形的判定和性质，勾股定理，
的直角三角形，三角形三边关系定理等知识点，掌握等边三角形的判定和性质和直角三角形的性质是解题
的关键．
16．140【分析】本题主要考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质；图甲，过点A作 于点D，根据
等腰直角三角形的性质 ，设 ，利用勾股定理得到 ，进而得到 ，图
乙，根据题意得出 ， ， ，在 中，利用勾股定理得出x，即 ，图丙，在 中，
利用勾股定理得出 ，进而求得 ．
解：如图甲，
由题意可知， 为等腰直角三角形，
，
过点A作 于点D，
，
设 ，
由勾股定理得： ，
，
，
如图乙，
过点 作 于点 ，
图乙是由图甲当点 与点 的距离缩小 ，而点A与地面的距离增大 时的示意图，
， ，，
梯子长度不变，
，
在 中， ，
，
解得： ，
，
若点A与地面的距离为 时，如图丙，
过点A作 于点F，
， ，
在 中， ，
，
解得： ，
，
此时点 与点 的距离是 ．
故答案为：140．
17．
【分析】表示出点 和点 的坐标，再利用勾股定理列方程即可解答．解： 点 关于直线 对称得到点 ，
，
设 ，
点 为点C关于直线 和直线 的二次对称点，
，得 ，
，
当 是直角三角形时，只存在 一种情况，
，
可得方程 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，熟知轴对称的性质是解题的关键．
18．12
【分析】作 的平分线 交 于 ，交 于 ，结合 可得
，进而可证 ，得到 ，推出 ，即可证明
，得到 ，最后在 中用勾股定理计算 即可．
解：作 的平分线 交 于 ，交 于 ，如图∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用二倍角作辅助线构造出全等三角形是
解本题的关键．
【点拨】本题考查三角形的性质与轴对称图形的灵活应用问题，关键在于正确建立直角坐标系并求解．
19．（1）小岛A与小岛B之间的距离为100海里；（2）轮船在驶向 处的过程中，能收到灯塔信号，理由见分析
【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理的应用：
（1）由方向角的定义得到： ，求出 ，由勾股定理求出
（海里），即可得到小岛A与小岛B之间的距离；
（2）过C作 于H，由三角形面积公式求出 海里，即可判断轮船在航行过程中，能
收到信号塔C的信号．
（1）解：如图,
由题意得： ， ，
．
， ，
．
小岛A与小岛B之间的距离为100海里．
（2）解：过点 作 交 于点 ．
，
．
，
．
．
答：轮船在驶向 处的过程中，能收到灯塔信号．20．（1）见分析；（2） 的周长不变； ；（3）
【分析】（1）根据 证明 即可；
（2）根据折叠得出 ，得出 ，根据 ，得出 ，根据
求出结果即可；
（3）点D在以C为圆心，以 为半径的圆上，连接 ，得出当D在 上时， 最小，根据等腰
三角形的判定和性质，求出 ， ，最后求出 即可．
解：（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ， ，
根据折叠可知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ．
（2）解： 的周长不变；
根据折叠可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
．
（3）解：∵ ，
∴点D在以C为圆心，以 为半径的圆上，∴连接 ，当D在 上时， 最小，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图
形，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，数形结合．
21．（1）见分析；（2）
【分析】（1）以点A为圆心，以 长为半径画弧，以点B为圆心，以 长为半径画弧，两弧交于
点 ，连接 ， ， 即为所求；
（2）连接 交 于点F，首先根据轴对称的性质得到 ，然后证明出 是等腰直角
三角形，利用勾股定理求出 ，然后得到 ，进而求解即可．
（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）如图所示，连接 交 于点F，
∵ 和 关于直线 对称，点C和点 是对应点
∴
∵
∴
∴ 是等腰直角三角形
∴ ，
∴
∴∵ ，
∴
∵
∴ ．
【点拨】此题考查了尺规作对称图形和轴对称性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，含
角直角三角形的性质，解题的关键是正确作出轴对称图形．
22．（1）①证明见分析；② ；（2）
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形
的性质与判定：
（1）①利用 即可证明 ；②过点C作 于F，由等边三角形的性质得到
，则 ，求出 ，则由全等
三角形的性质得到 ，即可证明B、D、E三点共线，在 中，
，则 ；
（2）类似证明 ；得到 ，求出 ，则
；如图所示，过点A、E分别作 的垂线，垂足为G、H，则 ，
，可得 ，根据 ，可得
，据此计算求解即可．
解：（1）①∵ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图所示，过点C作 于F，
∵ 是等边三角形，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴B、D、E三点共线，
在 中， ，
∴ ；
（2）∵ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
如图所示，过点A、E分别作 的垂线，垂足为G、H，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，
∴
，
∴ ．
23．（1）见分析；（2）① ；② 或
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得 ，则 ，再证 ，得 ，
即可得出结论；
（2）①取 的中点E，连接 ，由直角三角形斜边上的中线性质得 ，再证
，得 ，则 ，即可解决问题；
②分两种情况，a、 时，b、 时，由直角三角形的性质和勾股定理分别求出 的
长即可．
解：（1）证明：∵点P在线段 的垂直平分线上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①如图2，取 的中点E，连接 ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，点P是线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
即 的度数为 ；
②∵ ， ， ，
∴ ，分两种情况：
a、如图3， 时，
由（1）可知， ，
过点P作 于点M，
则 ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 和 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ；
b、如图4， 时， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，∴ ；
综上所述， 的长等于 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判
定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等
三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．
24．（1） 证明见分析； 证明见分析；（2） 不全等，理由见分析；
，理由见分析．
【分析】（ ） 根据长方形的性质和等角的余角相等，在根据等角对等边即可求证； 利用等角的
余角相等得出 ，由折叠性质可知 ，然后证明全等即可；
（ ） 由折叠性质可知： ， ，由勾股定理求出三边即可； 连接 ，
过 作 于点 ，过 作 于点 ，由勾股定理即可求解；
此题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理得应用，熟练掌握知识点的应用是解题
的关键．
解：（1） ∵四边形 是长方形，
∴ ，即 ，
∴ ，
由折叠性质可知： ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
由折叠性质可知： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2） 与 不全等，理由：
由折叠性质可知： ， ，
∵ ，
∴在 中，由勾股定理得： ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
三边为： ， ， ，三边为： ， ， ，
显然 与 不全等，
，理由：
如图，连接 ，过 作 于点 ，过 作 于点 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴由勾股定理得： ，
， ， ， ，
∴ ．
