文档内容
2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】
专题2.1二次根式的运算与求值大题专练（分层培优30题）
A 卷 基础过关卷
（限时30分钟，每题10分，满分100分）
1．（2022秋•蒲江县校级期中）计算题：
①（3+√2）2﹣（2−√3）（2+√3）；
2
②√12+|√3−2|+（ ﹣3.14）0− ；
√3−1
π
√2 √1 √30
③﹣6 +√48÷2 + ．
3 2 √5
【分析】①先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可；
②先根据零指数幂和绝对值的意义计算，再分母有理化，然后化简后合并即可；
③先把二次根式化为最简二次根式，再利用二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：①原式＝9+6√2+2﹣（4﹣3）
＝11+6√2−1
＝10+6√2；
②原式＝2√3+2−√3+1﹣（√3+1）
＝2√3+2−√3+1−√3−1
＝2；
1 √30
③原式＝﹣2√6+4√3× √2+
2 5
＝﹣2√6+2√6+√6
=√6．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则
和零指数幂的意义是解决问题的关键．
2．（2022秋•天桥区校级月考）计算题．
（1）√12+√75；
（2）（√5−√3）（√5+√3）；
（3）（√27−2√18）÷√6；
1 1
（4）2√8+ √18− √32；
2 4√12−2√27 π
（5） −（ −√0.326）0．
√3 2
【分析】（1）直接化简二次根式，再合并得出答案；
（2）直接利用平方差公式计算得出答案；
（3）直接化简二次根式，再利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；
（4）直接化简二次根式，再合并得出答案；
（5）直接二次根式、零指数幂的性质化简，再合并得出答案．
【解答】解：（1）√12+√75
＝2√3+5√3
＝7√3；
（2）（√5−√3）（√5+√3）
＝5﹣3
＝2；
3√2
（3）（√27−2√18）÷√6= −2√3；
2
1 1
（4）2√8+ √18− √32
2 4
3
＝4√2+ √2−√2
2
9
= √2；
2
√12−2√27 π
（5） −（ −√0.326）0
√3 2
2√3−6√3
= −1
√3
＝﹣4﹣1
＝﹣5．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2021春•东平县期末）计算：1
（1） +|1−√2|+√2×√24+(5−3π) 0 ．
√3+√2
（2）(√6−2√3) 2−(2√5−√2)(2√5+√2)．
1
【分析】（1）将 分母有理化，分子分母同乘以（√3−√2）即可得（√3−√2），再按照运算
√3+√2
法则依次计算即可；
（2）按照乘法公式依次进行展开再进行计算即可．
(√3−√2)
【解答】解：（1）原式= +（√2−1）+4√3+1，
(√3+√2)(√3−√2)
=√3−√2+√2−1+4√3+1，
＝5√3；
（2）原式＝6﹣2√6×2√3+12﹣（20﹣2），
＝6﹣12√2+12﹣20+2
＝﹣12√2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，牢固掌握好二次根式的混合运算法则以及能将乘法公式熟练应
用于二次根式计算中是解题的关键．
4．（2021秋•碑林区校级月考）计算：
√50×√32
（1） −4；
√8
1
（2） +√3（√3−√6）+√8；
√2−1
（3）（7+4√3）（7﹣4√3）﹣（2√5−1）2；
1
（4）（1﹣ ）0+|√2−√3|−√12+（ ）﹣1．
√2
π
【分析】（1）先化简，再算乘除法即可；
（2）先进行化简，乘法的运算，再进行加减运算即可；
（3）利用平方差公式及完全平方公式进行运算较简便；
（4）先算零指数幂，绝对值，二次根式的化简，再进行加减运算即可．
√50×√32
【解答】解：（1） −4
√8
5√2×4√2
= −4
2√2＝10√2−4；
1
（2） +√3（√3−√6）+√8
√2−1
=√2+1+3﹣3√2+2√2
＝4；
（3）（7+4√3）（7﹣4√3）﹣（2√5−1）2
＝49﹣48﹣（20﹣4√5+1）
＝49﹣48﹣20+4√5−1
＝﹣20+4√5；
1
（4）（1﹣ ）0+|√2−√3|−√12+（ ）﹣1
√2
π
＝1+√3−√2−2√3+√2
＝1−√3．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（2021秋•双塔区校级期中）计算：
√1
（1）√54× +√12．
2
√1
（2）（2√12−3 ）×√6．
3
√ 1
（3）√40−10 +√10．
10
2√12+√3
（4） +(1−√3) 0 ．
√3
√1
（5）√48÷√3− ×√12+√24．
2
（6）（1﹣2√3）（1+2√3）+(1+2√3) 2．
【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算加法，即可解答；
（2）先计算括号里二次根式的减法，再算括号外，即可解答；
（3）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（4）先计算二次根式的除法，再算加法，即可解答；
（5）先计算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答；
（6）利用平方差公式，完全平方公式进行计算即可解答．√1
【解答】解：（1）√54× +√12
2
=√27+√12
＝3√3+2√3
＝5√3；
√1
（2）（2√12−3 ）×√6
3
＝（4√3−√3）×√6
＝3√3×√6
＝9√2；
√ 1
（3）√40−10 +√10
10
＝2√10−√10+√10
＝2√10；
2√12+√3
（4） +(1−√3) 0
√3
4√3+√3
= +1
√3
5√3
= +1
√3
＝5+1
＝6；
√1
（5）√48÷√3− ×√12+√24
2
=√16−√6+2√6
＝4−√6+2√6
＝4+√6；
（6）（1﹣2√3）（1+2√3）+(1+2√3) 2．
＝1﹣12+1+4√3+12
＝2+4√3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式，零指数幂，准确熟练地进行计算
是解题的关键．6．（2020秋•高新区校级月考）计算下列各题：
（1）4√5+√45−√8+4√2；
（2）(√5−3) 2+(√11−3)(√11+3)；
2√12+√3
（3） +(1−√3) 0 ；
√3
√1
（4）√48÷√3− ×√12−√24．
2
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算；
（3）利用二次根式的除法法则和零指数幂的意义计算；
（4）根据二次根式的乘除法则运算．
【解答】解：（1）原式＝4√5+3√5−2√2+4√2
＝7√5+2√2；
（2）原式＝5﹣6√5+9+11﹣9
＝16﹣6√5；
√12
（3）原式＝2 +1+1
3
＝4+1+1
＝6；
√1
（4）原式=√48÷3− ×12−2√6
2
＝4−√6−2√6
＝4﹣3√6．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除
运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰
当的解题途径，往往能事半功倍．
7．（2022•苏州模拟）计算：
√1
（1）√27−√12+ ；
3
√ 1
（2）(√48−√75)× 1 ；
3
（3）(2√3+√6)(2√3−√6)；2
（4） +√27−(√3−1) 0 ．
√3−1
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先计算括号内二次根式的减法运算，然后再计算乘法即可；
（3）利用平方差公式进行计算；
（4）先把三部分分别进行分母有理化、化简、计算零指数幂，再进行加减法计算．
√1
【解答】解：（1）√27−√12+
3
√3
=3√3−2√3+
3
4√3
= ；
3
√ 1
（2）(√48−√75)× 1
3
√4
=(4√3−5√3)×
√3
√4
=−√3×
√3
＝﹣2；
（3）(2√3+√6)(2√3−√6)
=(2√3) 2−(√6) 2
＝12﹣6
＝6；
2
（4） +√27−(√3−1) 0
√3−1
2(√3+1)
= +3√3−1
(√3−1)(√3+1)
=√3+1+3√3−1
=4√3．
【点评】此题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，
然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选
择恰当的解题途径．8．计算：
√1
（1）（2√12−3 ）×√6
3
√8 √2 √1 1
（2）（ − ）（5 − ）
2 5 2 √5
（3）（2√5+3√2）（2√5−3√2）
（4）（√3+√2+√5）（√3−√2−√5）
【分析】（1）先用乘法的分配律进行计算，再合并同类二次根式；
（2）先化简括号内各个根式，再进行二次根式乘法运算去括号计算便可；
（3）运用平方差公式进行简便运算；
（4）运用平方差和完全平方公式进行计算．
【解答】解：（1）原式=4√3×√6−√3×√6
＝12√2−3√2=−√2；
1 5 1
（2）原式=(√2− √10)( √2− √5)
5 2 5
1 1
=5− √10−√5+ √2；
5 5
（3）原式=(2√5) 2−(3√2) 2=20−18=2；
（4）原式=[√3+(√2+√5)][√3−(√2+√5)]
=3−(√2+√5) 2=3−(2+2√10+5)=−4−2√10．
【点评】本题是二次根式的计算题，主要考查了二次根式的运算，同时考查了乘法公式的应用．是计算
题，需要从快和准两方面加强基本功训练．
9．（2022春•庄浪县期中）计算：
（1）√27−3√12+√48；
√ 3
（2）√75÷√15× 1 ；
5
√1
（3）（3√20−2 ）×√5；
5（4）（√6+√2）（√6−√2）+（√2−√3）2．
【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
（2）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
（3）根据乘法分配律即可取出答案．
（4）根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝3√3−6√3+4√3
=√3．
√8
（2）原式=√5×
5
=√8
＝2√2．
√1
（3）原式＝3×√20×√5−2× ×√5
5
＝3×10﹣2
＝30﹣2
＝28．
（4）原式＝6﹣2+（2﹣2√6+3）
＝4+5﹣2√6
＝9﹣2√6．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
10．（2022秋•方城县月考）计算：
（1）√(−3) 2×（﹣1）2018+√8×√12−|2−√6|；
√1
（2）4√2（ −√6）−√48÷√3+(√3+1）2．
8
【分析】（1）先利用二次根式的性质和二次根式的乘法法则运算，然后去绝对值后合并即可；
（2）先根据二次根式的乘法法则和完全平方公式计算，然后合并即可．
【解答】解：（1）√(−3) 2×（﹣1）2018+√8×√12−|2−√6|
＝3×1+2√2×2√3−（√6−2）
＝3+4√6−√6+2
＝5+3√6；√1
（2）4√2（ −√6）−√48÷√3+(√3+1）2
8
√ 1
＝4 2× −4√2×√6−4√3÷√3+3+1+2√3
8
＝2﹣8√3−4+4+2√3
＝2﹣6√3．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解答本题的关键．
B 卷 能力提升卷
（限时50分钟，每题10分，满分100分）
11．（2022秋•即墨区期末）计算
√27+√12 √6×√3
（1） − ；
√3 √2
（2）（√3−2）2﹣（√2+1）（√2−1）．
【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
√27+√12 √6×√3
【解答】解：（1） −
√3 √2
3√3+2√3 √18
= −
√3 √2
5√3
= −√9
√3
＝5﹣3
＝2；
（2）（√3−2）2﹣（√2+1）（√2−1）
＝3﹣4√3+4﹣（2﹣1）
＝3﹣4√3+4﹣1
＝6﹣4√3．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式和平
方差公式的应用．
√1
12．（2022秋•成县期中）（1）√48−6 +（√3+2）（√3−2）；
3
（2）（6√2−4√6）÷2√6+(√6−2) 0．【分析】（1）直接化简二次根式，再利用平方差公式计算，进而得出答案；
（2）直接利用二次根式的除法运算法则以及零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
√3
【解答】解：（1）原式＝4√3−6× +3﹣4
3
＝4√3−2√3+3﹣4
＝2√3−1；
（2）原式＝6√2÷2√6−4√6÷2√6+1
=√3−2+1
=√3−1．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
13．（2022•德城区校级开学）计算：
√1
（1）4√15÷√3−√20+5 −√8×√10；
5
（2）（2−√3）2017（2+√3）2018﹣|−√3|﹣（−√2）0．
【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则化简，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用积的乘方运算法则以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
√5
【解答】解：（1）原式＝4√5−2√5+5× −4√5
5
＝4√5−2√5+√5−4√5
=−√5；
（2）原式＝[（2−√3）（2+√3）]2017×（2+√3）−√3−1
＝1×（2+√3）−√3−1
＝2+√3−√3−1
＝1．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
14．（2022秋•新城区月考）计算：
（1）√18−√72+2√8；
√1
（2）√48+√3− ×√12+√24；
2
1
（3）√12+(− ) 2−|√3−2|−(π−3.14) 0 ；
3（4）(√3+√2)(√3−√2)−(√5−1) 2．
【分析】（1）先化简二次根式再合并即可；
（2）根据二次根式混合运算的法则计算即可；
（3）运用零指数幂、绝对值的定义先化简，然后计算加减；
（4）运用平方差公式和完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1）√18−√72+2√8
＝3√2−6√2+4√2
=√2；
√1
（2）√48+√3− ×√12+√24
2
＝4√3+√3−√6+2√6
＝5√3+√6；
1
（3）√12+(− ) 2−|√3−2|−(π−3.14) 0
3
1
＝2√3+ −2+√3−1
9
8
＝3√3−2 ；
9
（4）(√3+√2)(√3−√2)−(√5−1) 2
＝3﹣2﹣5+2√5−1
＝﹣5+2√5．
【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则并灵活运用．
1 3
15．（2022秋•黑山县期中）计算：（1）2√8+ √18− √32；
3 4
√1 √1
（2）（√48−4 ）﹣（3 −2√0.5）；
8 3
√6×√3
（3）√50×√8− ；
√2
（4）（√3+√2）（√3−√2）﹣（√5−1）2．
【分析】（1）直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；
（2）直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（3）直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；（4）直接利用乘法公式化简，再计算得出答案．
1 3
【解答】解：（1）原式＝2×2√2+ ×3√2− ×4√2
3 4
＝4√2+√2−3√2
＝2√2；
√2 √3 √2
（2）原式＝（4√3−4× ）﹣（3× −2× ）
4 3 2
＝4√3−√2−√3+√2
＝3√3；
3√2
（3）原式＝5√2×2√2−
√2
＝10×2﹣3
＝17；
（4）原式＝3﹣2﹣（5+1﹣2√5）
＝3﹣2﹣6+2√5
＝﹣5+2√5．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
√15+√60
16．（2020秋•金水区校级月考）（1） −3√5；
√3
（2）(√7−1) 2 −(√14−√2)(√14+√2)；
（3）(2√2+3) 2011 (2√2−3) 2012−4
√1
−√ (1−√2) 2 ；
8
1
（4）(2√5−√2) 0+|2−√5|+(−1) 2019− ×√45．
3
【分析】（1）先进行二次根式的除法运算．然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算；
（3）先利用积的乘方和二次根式的性质得到原式＝[（2√2−3）（2√2+3）]2011•（2√2−3）−√2+1
−√2，然后利用平方差公式计算；
（4）利用零指数幂的意义、绝对值的意义和乘方的意义计算．√15 √60
【解答】解：（1）原式= + −3√5
3 3
=√5+2√5−3√5
＝0；
（2）原式＝7﹣2√7+1﹣（14﹣2）
＝8﹣2√7−12
＝﹣4﹣2√7；
（3）原式＝[（2√2+3）（2√2−3）]2011•（2√2−3）−√2+1−√2
＝（8﹣9）]2011•（2√2−3）−√2+1−√2
＝﹣2√2+3−√2+1−√2
＝﹣4√2+4；
（4）原式＝1+√5−2﹣1−√5
＝﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除
运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰
当的解题途径，往往能事半功倍．
17．（2019秋•大东区期中）已知x=√3+√2，y=√3−√2，求x2+y2+2xy﹣2x﹣2y的值．
【分析】首先对所求的式子分解因式然后代入数值计算求解．
【解答】解：∵x=√3+√2，y=√3−√2，
∴x2+y2+2xy﹣2x﹣2y
＝（x+y）2﹣2（x+y）
＝（x+y）（x+y﹣2）
＝（√3+√2+√3−√2）（√3+√2+√3−√2−2）
＝2√3×（2√3−2）
＝12﹣4√3．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，正确对所求的式子分解因式是解题的关键．
18．（2021秋•于洪区期中）已知x=√5+2，y=√5−2，求代数式y2+2xy的值．
【分析】将x和y的值代入原式，然后根据完全平方公式和平方差公式先计算乘方和乘法，最后算加减．
【解答】解：当x=√5+2，y=√5−2时，
原式＝（√5−2）2+2（√5+2）（√5−2）
＝5﹣4√5+4+2＝11﹣4√5．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，掌握完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和平方差公式（a+b）
（a﹣b）＝a2﹣b2的结构是解题关键．
19．（2022秋•龙岗区期中）已知a＝2+√6，b＝2−√6．
（1）填空：a+b＝ 4 ，ab＝ ﹣ 2 ；
（2）求a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）的值．
【分析】（1）根据二次根式的加法法则、乘法法则计算即可；
（2）根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则把原式变形，代入计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵a＝2+√6，b＝2−√6，
∴a+b＝（2+√6）+（2−√6）＝4，ab＝（2+√6）（2−√6）＝4﹣6＝﹣2，
故答案为：4；﹣2；
（2）a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）
＝a2﹣3ab+b2+ab+a+b+1
＝a2+2ab+b2﹣4ab+a+b+1
＝（a+b）2﹣4ab+a+b+1
＝42﹣4×（﹣2）+4+1
＝16+8+4+1
＝29．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，完全平方公式、多项式乘多项式，掌握二次根式的混合运
算法则是解题的关键．
20．（2022秋•宁德期中）已知：x=√3+√2，y=√3−√2．
（1）填空：|x﹣y|＝ 2√2 ；
（2）求代数式x2+y2﹣2xy的值．
【分析】（1）根据二次根式的减法运算法则计算即可．
（2）将代数式转化为（x﹣y）2，再分别求出x﹣y和xy的值，进而可得答案．
【解答】解：（1）|x﹣y|＝|（√3+√2）﹣（√3−√2）|
＝|√3+√2−√3+√2|
=2√2．
故答案为：2√2．
（2）x2+y2﹣5xy＝（x﹣y）2，
∵x﹣y＝（√3+√2）﹣（√3−√2）=2√2，∴（x﹣y）2﹣3xy=(2√2) 2=8．
即代数式x2+y2﹣2xy的值为8．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
C 卷 培优压轴卷
（限时60分钟，每题10分，满分100分）
21．（2022秋•锦江区校级月考）已知x＝2−√3，y＝2+√3．
（1）求xy2﹣x2y的值；
（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax+by的值．
【分析】（1）利用提公因式法，进行计算即可解答；
（2）先估算出2−√3与2+√3的值的范围，从而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵x＝2−√3，y＝2+√3，
∴xy＝（2−√3）（2+√3）＝4﹣3＝1，
y﹣x＝2+√3−（2−√3）＝2+√3−2+√3=2√3，
∴xy2﹣x2y
＝xy（y﹣x）
＝1×2√3
＝2√3；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜√3＜2，
∴3＜2+√3＜4，
∴2+√3的整数部分是3，
∴b＝3，
∵1＜√3＜2，
∴﹣2＜−√3＜−1，
∴0＜2−√3＜1，
∴2−√3的整数部分是0，小数部分＝2−√3−0＝2−√3，
∴a＝2−√3，
∴ax+by
＝（2−√3）（2−√3）+3（2+√3）
＝7﹣4√3+6+3√3＝13−√3，
∴ax+by的值为13−√3．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，因式分解﹣提公因式法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3−√2 1+√2
22．（2021秋•苏州期中）已知x= ，y= ，求下列各式的值．
2 2
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣2xy+y2．
【分析】（1）将x、y的值代入到原式＝（x+y）（x﹣y）计算即可；
（2）将x、y的值代入到原式＝（x﹣y）2计算即可．
3−√2 1+√2
【解答】解：（1）当x= ，y= 时，
2 2
原式＝（x+y）（x﹣y）
3−√2 1+√2 3−√2 1+√2
＝（ + ）×（ − ）
2 2 2 2
＝2×（1−√2）
＝2﹣2√2；
3−√2 1+√2
（2）当x= ，y= 时，
2 2
原式＝（x﹣y）2
3−√2 1+√2
＝（ − ）2
2 2
＝（1−√2）2
＝1﹣2√2+2
＝3﹣2√2．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式及二次根式
的加减运算法则．
23．（2021春•江汉区期中）（1）已知x=√7+2，y=√7−2，求下列各式的值：
1 1
① + ；
x y
②x2﹣xy+y2；
（2）若√39−a2+√5+a2=8，则√39−a2−√5+a2= ﹣ 2√6 ．
【分析】（1）①根据x=√7+2，y=√7−2，可以得到xy、x+y的值，然后即可求得所求式子的值；②将所求式子变形，然后根据x=√7+2，y=√7−2，可以得到xy、x+y的值，从而可以求得所求式子的
值；
（2）根据完全平方公式和换元法可以求得所求式子的值．
1 1 y+x
【解答】解：（1）① + = ，
x y xy
∵x=√7+2，y=√7−2，
∴x+y＝2√7，xy＝3，
2√7
当x+y＝2√7，xy＝3时，原式= ；
3
②x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy，
∵x=√7+2，y=√7−2，
∴x+y＝2√7，xy＝3，
当x+y＝2√7，xy＝3时，原式＝（2√7）2﹣3×3＝19；
（2）设√39−a2=x，√5+a2=y，则39﹣a2＝x2，5+a2＝y2，
∴x2+y2＝44，
∵√39−a2+√5+a2=8，
∴（x+y）2＝64，
∴x2+2xy+y2＝64，
∴2xy＝64﹣（x2+y2）＝64﹣44＝20，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝44﹣20＝24，
∴x﹣y＝±2√6，
∵√39−a2−√5+a2＜4＜2√6，
即√39−a2−√5+a2=−2√6，
故答案为：﹣2√6．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、分式的加减法、平方差公式，解答本题的关键是明确它们各自
的计算方法．
24．（2022春•龙岩校级月考）已知x=√3+1，y=√3−1，求下列代数式的值：
（1）x2y+xy2；y x
（2） + ．
x y
【分析】（1）根据x、y的值，求出x+y，xy的值，可得结论；
（2）根据x、y的值，求出x2+y2，xy的值可得结论．
【解答】解：（1）∵x=√3+1，y=√3−1，
∴x+y＝2√3，xy＝2，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝4√3；
（2）∵x=√3+1，y=√3−1，
∴x+y＝2√3，xy＝2，
∴x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝（2√3）2﹣2×2
＝12﹣4
＝8，
y x
∴ +
x y
y2+x2
=
xy
8
=
2
＝4．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式的化简求值的方法．
25．（2022春•同心县期末）已知x＝2+√3，y＝2−√3，求下列代数式的值．
（1）x2+xy+y2．
（2）x2y﹣xy2．
【分析】由x＝2+√3，y＝2−√3，得x﹣y＝2√3，xy＝1，
（1）x2+xy+y2＝（x﹣y）2+3xy，整体代入即可求值；
（2）x2y﹣xy2＝xy（x﹣y），整体代入即可求值．
【解答】解：∵x＝2+√3，y＝2−√3，
∴x﹣y＝2√3，xy＝1，
（1）x2+xy+y2
＝（x﹣y）2+3xy＝（2√3）2+3×1
＝12+3
＝15；
（2）x2y﹣xy2
＝xy（x﹣y）
＝1×2√3
＝2√3．
【点评】本题考查二次根式相关的化简求值，解题的关键是观察所求式子的特点，用整体代入法求值．
26．（2022春•曾都区期末）先化简，再求值：
√25 1
（1）√9a3+√16a−2 a，其中a= ；
4 2
（2）（x+y）（x﹣y）+y（x+2y）﹣（x﹣y）2，其中x＝2+√3，y＝2−√3．
【分析】（1）先利用二次根式的化简的法则进行化简，再进行加减运算，最后代入相应的值运算即可；
（2）利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行运算，再合并同类项，最后代入相
应的值运算即可．
√25
【解答】解：（1）√9a3+√16a−2 a
4
＝3a√a+4√a−5√a
＝（3a﹣1）√a，
1
当a= 时，
2
1 √1
原式＝（3× −1）×
2 2
1 √2
= ×
2 2
√2
= ；
4
（2）（x+y）（x﹣y）+y（x+2y）﹣（x﹣y）2
＝x2﹣y2+xy+2y2﹣（x2﹣2xy+y2）
＝x2﹣y2+xy+2y2﹣x2+2xy﹣y2
＝3xy，
当x＝2+√3，y＝2−√3时，
原式＝3×（2+√3）×（2−√3）＝3×（4﹣3）
＝3．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
27．（2022春•邹城市期中）已知m＝3+√5，n＝3−√5，求下列各式的值：
（1）m2﹣n2；
（2）√m2+n2−mn．
【分析】（1）利用平方差公式，可得m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），然后把m，n的值代入进行计算即
可解答；
（2）利用完全平方公式，可得√m2+n2−mn=√(m+n) 2−3mn，然后把m，n的值代入进行计算即可
解答．
【解答】解：（1）∵m＝3+√5，n＝3−√5，
∴m2﹣n2
＝（m+n）（m﹣n）
＝（3+√5+3−√5）[3+√5−（3−√5）]
＝6×2√5
＝12√5，
∴m2﹣n2的值为12√5；
（2）∵m＝3+√5，n＝3−√5，
∴√m2+n2−mn
=√(m+n) 2−3mn
=√(3+√5+3−√5) 2−3(3+√5)(3−√5)
=√36−3×(9−5)
=√36−12
=√24
＝2√6，
∴√m2+n2−mn的值为2√6．
【点评】本题考查了完全平方公式，平方差公式，二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
28．（2022春•武江区校级期末）请阅读下列材料：
问题：已知x=√5+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根据x=√5+2得（x﹣2）2＝5，∴x2
﹣4x+4＝5，得：
x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代
入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x=√5−2，求代数式x2+4x﹣10的值；
√5−1
（2）已知x= ，求代数式x3+x2+1的值．
2
【分析】（1）根据完全平方公式求出x2+4x＝1，代入计算即可；
（2）根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算，答案．
【解答】解：（1）∵x=√5−2，
∴（x+2）2＝5，
∴x2+4x+4＝5，
∴x2+4x＝1，
∴x2+4x﹣10＝1﹣10＝﹣9；
√5−1
（2）∵x= ，
2
√5−1 3−√5
∴x2＝（ ）2= ，
2 2
√5−1 3−√5
则x3＝x•x2= × =√5−2，
2 2
3−√5 √5+1
∴x3+x2+1=√5−2+ +1= ．
2 2
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的乘法法则是解题的关键．
29．（2019秋•张家港市期末）已知：√a−2+|b−3|=0
1 √6
（1）求 + 的值；
√4a √b
1 1
（2）设x=√b−√a，y=√b+√a，求 + 的值．
x y
1 √6 1 √6
【分析】（1）先利用非负数的性质得到a＝2，b＝3，则 + = + ，然后利用分母有理
√4a √b √4×2 √3
化和二次根式的除法法则运算；1 1 1 1
（2）由于x=√3−√2，y=√3+√2，则 + = + ，然后分母有理化后合并即可．
x y √3−√2 √3+√2
【解答】解：（1）∵√a−2+|b−3|=0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝2，b＝3，
1 √6 1 √6 √2 5√2
∴ + = + = +√2= ；
√4a √b √4×2 √3 4 4
（2）∵x=√b−√a=√3−√2，y=√b+√a=√3+√2，
1 1 1 1
∴ + = + =√3+√2+√3−√2= 2√3．
x y √3−√2 √3+√2
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式
运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
30．（2021秋•洛宁县月考）学习了二次根式的乘除后，李老师给同学们出了这样一道题：已知a=√2−1，
√a2−2a+1
求 的值．小明想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程：
a2−1
√(a−1) 2 a−1 1
解：原式= = = ．
(a+1)(a−1) (a+1)(a−1) a+1
1 √2
当a=√2−1时，原式= = ．
√2−1+1 2
李老师看了之后说：小明错误地运用了二次根式的性质，请你指出小明错误地运用了二次根式的哪条性
质，并写出正确的解题过程．
(a−1)
【分析】小明错误运用了√a2=|a|这条性质；利用a=√2−1得到a﹣1＜0，则原式=− ，
(a+1)(a−1)
1
约分得到原式=− ，然后把a的值代入计算即可．
a+1
【解答】解：小明错误运用了√a2=|a|这条性质；
√(a−1) 2 |a−1|
正确解法为：原式= = ，
(a+1)(a−1) (a+1)(a−1)
∵a=√2−1，
∴a﹣1＜0，(a−1)
∴原式=−
(a+1)(a−1)
1
=−
a+1
1
=−
√2−1+1
√2
=− ．
2
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
