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第 03 讲 整式的乘法
课程标准 学习目标
①单项式乘单项式 1. 掌握单项式乘单项式，单项式乘多项式以及多项式乘多项式
②单项式乘多项式 的运算法则并能够熟练应用。
③多项式乘多项式 2. 能用整式的乘法的运算法则解决相关题型。
知识点01 单项式乘单项式
1. 单项式乘单项式的运算法则：
把几个单项式的系数 相乘 作为积的系数，在把同底数幂分别 相乘 。对于只在一个单项式里
面出现的字母，连同它的 指数 作为积的一个因式。
−3a2b2 ⋅2a2 (−3×2)⋅(a2 ⋅a2)⋅b2 −6a4b2
＝ ＝
如：
【即学即练1】1．计算：
（1）（﹣2m2n）3•（﹣ mn2）2； （2）5ab• ．
【分析】（1）利用积的乘方，幂的乘方和同底数幂相乘法则进行计算即可；
（2）利用积的乘方，幂的乘方和同底数幂相乘法则，先算乘方，再算乘法．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝
＝﹣2m8n7；
（2）原式＝
＝
＝ ．
知识点02 单项式乘多项式
1. 单项式乘多项式的运算法则：
用单项式去乘多项式的 每一项 ，得到单项式乘单项式，再把所得的积 相加 。若有同类项，
则一定要合并同类项。
(−2a2)⋅(3ab2 −5ab3)=−2a2 ⋅3ab2 +(−2a2)⋅(−5ab3)
说明：
【即学即练1】
2．计算：
（1）（﹣x2﹣xy+y2）（﹣xy）； （2）（﹣2ab2）3•（3a2b﹣2ab﹣4b2）；
（3）（﹣ x2y）3•（4x2﹣ xy+2y）； （4）2mn（﹣2mn）2﹣3n（mn+m2n+m2n2）．
【分析】（1）（2）（3）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可；
（4）先计算乘方，再根据单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝x3y+x2y2﹣xy3；
（2）原式＝（﹣8a3b6）•（3a2b﹣2ab﹣4b2）
＝﹣24a5b7+16a4b7+32a3b8；
（3）原式＝（﹣ ）•（4x2﹣ xy+2y）＝﹣2x8y3+ ﹣ ；
（4）原式＝2m•（4m2n2）﹣3mn2﹣3m2n2﹣3m2n3
＝8m3n2﹣3mn2﹣3m2n2﹣3m2n3．
知识点03 多项式乘多项式
1. 多项式乘多项式的运算法则：
用一个多项式的 每一项 乘以另一个多项式的 每一项 ，再把所得的积 相加 。若有同
类项，一定合并同类项。
说明：
(x+2y)(x2 −2xy+4y2)=x⋅x2 +x⋅(−2xy)+x⋅4y2 +2y⋅x2 +2y⋅(−2xy)+2y⋅4y2
=x3 −2x2y+4xy2 +2x2y−4xy2 +8y3
=x3 +8y3
【即学即练1】
3．计算：
（1）（3x﹣4y）（x+2y）； （2）（x2﹣1）（2x+1）；
（3）（2x﹣1）（4x2+2x+1）； （4）（a﹣2）（a+4）+2a（a﹣1）．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，即可得出答案．
【解答】解：（1）（3x﹣4y）（x+2y）
＝3x2+6xy﹣4xy﹣8y2
＝3x2+2xy﹣8y2；
（2）（x2﹣1）（2x+1）
＝2x3+x2﹣2x﹣1；
（3）（2x﹣1）（4x2+2x+1）
＝8x3﹣4x2+4x2﹣2x+2x﹣1
＝8x3﹣1；
（4）（a﹣2）（a+4）+2a（a﹣1）
＝a2+4a﹣2a﹣8+2a2﹣2a
＝3a2﹣8．
题型01 整式的乘法的运算【典例1】计算：
（1）（﹣5a2b）•（﹣3a） （2）（3xy2）2+（﹣4xy3）•（﹣xy）．
【分析】（1）利用单项式乘单项式的法则进行运算即可；
（2）先算乘方，单项式乘单项式，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）（﹣5a2b）•（﹣3a）＝15a3b；
（2）（3xy2）2+（﹣4xy3）•（﹣xy）
＝9x2y4+4x2y4
＝13x2y4．
【变式1】计算：
（1）3x2y•（﹣2x3y2）2； （2）（﹣2a2）•（3ab2﹣5ab3）．
【分析】（1）先根据积的乘方法则计算，再根据单项式乘单项式的运算法则计算；
（2）根据单项式乘多项式的运算法则计算．
【解答】解：（1）3x2y•（﹣2x3y2）2
＝3x2y•4x6y4
＝12x8y5；
（2）（﹣2a2）•（3ab2﹣5ab3）
＝（﹣2a2）•（3ab2）﹣（﹣2a2）•（5ab3）
＝﹣6a3b2+10a3b3．
【变式2】（x﹣y）（x2+xy+y2）
【分析】把（x﹣y）的每一项分别乘以x2+xy+y2，然后合并同类项即可．
【解答】解：原式＝x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3
＝x3﹣y3．
【变式3】计算：
（1）5m（m﹣n+2）； （2）（﹣2x）•（3x2﹣4x﹣2）；
（3）（3x2+xy﹣y2）•3x2； （4）2a（﹣2ab+ ab2）．
【分析】（1）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可；
（2）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可；
（3）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可；
（4）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可．
【解答】解：（1）5m（m﹣n+2）
＝5m•m﹣5m•n+5m×2
＝5m2﹣5mn+10m；
（2）（﹣2x）•（3x2﹣4x﹣2）
＝（﹣2x）•3x2﹣（﹣2x）•4x﹣（﹣2x）×2＝﹣6x3+8x2+4x；
（3）（3x2+xy﹣y2）•3x2
＝3x2•3x2+xy•3x2﹣y2•3x2
＝9x4+3x3y﹣3x2y2；
（4）2a（﹣2ab+ ab2）
＝2a•（﹣2ab）+2a• ab2
＝﹣4a2b+ a2b2．
【变式4】计算：
（1）（﹣2xy2）3•（﹣3x2y3）2• xy；
（2）（﹣2y3）2+（﹣4y2）3﹣（﹣2y）2•（﹣3y2）2；
（3）[ （a﹣b）]3•[﹣3（a﹣b）]2•[﹣ （b﹣a）]2．
【分析】先根据幂的乘方与积的乘方进行计算，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣8
＝﹣18x8y13；
（2）原式＝4y6+（﹣64y6）﹣4y2•9y4
＝4y6﹣64y6﹣36y6
＝﹣96y6；
（3）原式＝ （a﹣b）3•9（a﹣b）2• （a﹣b）2
＝ （a﹣b）7．
题型02 利用整式的乘法的运算法则求值
【典例1】已知单项式2x3y2与﹣5x2y2的积为mxny4，那么m﹣n＝ ﹣ 1 5 ．
【分析】将两单项式相乘后利用待定系数即可求出m与n的值．
【解答】解：∵2x3y2•（﹣5x2y2）＝﹣10x5y4，
∴mxny4＝﹣10x5y4，
∴m＝﹣10，n＝5．
∴m﹣n＝﹣10﹣5＝﹣15．
故答案为：﹣15．【变式1】若x3yn+1•xm+n•y2n+2＝x9y9，则4m﹣3n＝ 1 0 ．
【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
【解答】解：∵x3yn+1•xm+n•y2n+2＝x9y9，
∴x3+m+nyn+1+2n+2＝x9y9，
∴3+m+n＝9，n+1+2n+2＝9，
解得：n＝2，m＝4，
∴4m﹣3n
＝4×4﹣3×2
＝16﹣6
＝10．
故答案为：10．
【变式2】若要使x（x2+a）+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣2，﹣2 B．2，2 C．2，﹣2 D．﹣2，2
【分析】将已知等式左边展开，再比较等式左右两边对应项系数即可．
【解答】解：∵x（x2+a）+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立，
∴x3+（a+3）x﹣2b＝x3+5x+4，
∴ ，
解得 ．
故选：C．
【变式3】已知（x﹣4）（x+8）＝x2+mx+n，那么m、n的值分别是（ ）
A．m＝32，n＝﹣4 B．m＝4，n＝﹣32
C．m＝﹣32，n＝4 D．m＝﹣4，n＝﹣32
【分析】先将等式的左边利用多项式乘以多项式法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出 m与n的
值．
【解答】解：∵（x﹣4）（x+8）＝x2+mx+n，
∴x2﹣4x﹣32＝x2+mx+n，
∴m＝4，n＝﹣32．
故选：B．
【变式4】如果（x﹣3）（3x+5）＝ax2+bx+c，则a、b、c的值分别是（ ）
A．a＝3，b＝﹣9，c＝﹣15 B．a＝3，b＝5，c＝﹣15
C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣15 D．a＝1，b＝﹣4，c＝﹣15
【分析】只要把等式的左边根据多项式乘多项式的法则展开，根据对应项的系数相等列式是解题的关键．
根据多项式乘多项式的法则展开，然后根据对应项的系数相等列式即可求出a、b、c的值．
【解答】解：∵（x﹣3）（3x+5）＝3x2﹣4x﹣15，∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣15，
故选：C．
【变式5】已知m﹣2n＝1，则2n（m+1）﹣m（1+2n）+3的值为（ ）
A．4 B．2 C．﹣4 D．﹣2
【分析】先变形已知条件得2n﹣m＝﹣1，再化简原式，代入即可．
【解答】解：∵m﹣2n＝1，
∴2n﹣m＝﹣1，
∴原式＝2mn+2n﹣m﹣2mn+3
＝2n﹣m+3
＝﹣1+3
＝2．
故选：B．
题型03 整式的乘法中的化简及化简求值
【典例1】化简： ．
【分析】先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后合并同类项即可．
【解答】解：
＝（﹣2a2b3）•a2b4+ a4b6•4b
＝﹣2a4b7+a4b7
＝﹣a4b7．
【变式1】化简：
（1）（ab）3•a2•（4a2b3）2；
（2）（﹣2a2b3）4+（﹣a8）•（2b4）3．
【分析】（1）根据积的乘方计算法则及同底数幂乘法计算法则解答；
（2）根据积的乘方计算法则及整式乘法及加减法法则计算解答．
【解答】解：（1）（ab）3⋅a2⋅（4a2b3）2
＝a3b3⋅a2⋅16a4b6
＝16a9b9；
（2）（﹣2a2b3）4+（﹣a8）⋅（2b4）3
＝16a8b12+（﹣a8）⋅8b12
＝16a8b12﹣8a8b12
＝8a8b12．
【变式2】化简下列整式：（1）（ x﹣ xy）•（﹣12y）；
（2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1）．
【分析】（1）利用单项式乘多项式的法则进行计算，即可得出结果；
（2）利用单项式乘多项式的法则，合并同类项法则进行计算，即可得出结果．
【解答】解：（1）（ x﹣ xy）•（﹣12y）＝﹣4xy+9xy2；
（2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1）
＝6a3﹣27a2+9a﹣8a2+4a
＝6a3﹣35a2+13a．
【变式3】先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．
【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即
可．
【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）
＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
＝﹣20a2+9a，
当a＝﹣2时，原式＝﹣20×4﹣9×2＝﹣98．
【变式4】先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y＝ ．
【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的法则把原式进行化简，代入已知数据计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣3xy﹣4y2
＝﹣7xy，
当x＝﹣4，y＝ 时，原式＝﹣7×（﹣4）× ＝14．
题型04 整式的乘法中的不含项或无关问题
【典例1】如果计算（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）的结果不含x5项，那么m的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
【分析】先计算单项式乘以多项式，再结合x5项的系数为零即可得出答案．
【解答】解：∵（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）
＝﹣8x2+4nx3﹣12x4﹣4mx5，
又∵计算的结果不含x5项，
∴﹣4m＝0．
∴m＝0．
故选：A．【变式 1】若关于 x，y的多项式（x2﹣mx+3）x﹣x2（4mx2+3x+5）的结果中不含 x2项，则 m的值为
（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣5
【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则计算，然后根据结果中不含x2项，即可求出m的值．
【解答】解：（x2﹣mx+3）x﹣x2（4mx2+3x+5）
＝x3﹣mx2+3x﹣（4mx4+3x3+5x2）
＝x3﹣mx2+3x﹣4mx4﹣3x3﹣5x2
＝﹣4mx4﹣2x3﹣（m+5）x2+3x，
∵结果中不含x2项，
∴﹣（m+5）＝0，
∴m＝﹣5，
故选：D．
【变式2】已知A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，若A•B+C的值与x的取值无关，当x＝﹣4时，A的
值为（ ）
A．0 B．4 C．﹣4 D．2
【分析】首先根据多项式乘多项式的方法，求出A•B的值是多少，然后用它加上C，求出A•B+C的值
是多少，最后根据A•B+C的值与x的取值无关，可得x的系数是0，据此求出a的值，最后代入求值即
可．
【解答】解：∵A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，
∴A•B+C
＝（x2+3x﹣a）（﹣x）+（x3+3x2+5）
＝﹣x3﹣3x2+ax+x3+3x2+5
＝ax+5，
∵A•B+C的值与x的取值无关，
∴a＝0，
∴A＝x2+3x﹣a＝x2+3x，
当x＝﹣4时，A＝（﹣4）2+3×（﹣4）＝4，
故选：B．
【变式3】已知M＝x2﹣ax，N＝﹣x，P＝x3+3x2+5，若M•N+P的值与x的取值无关，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．5 D．4
【分析】把已知条件中的M，N和P代入M•N+P进行化简，根据M•N+P的值与x的取值无关，列出关
于a的方程，解方程即可．
【解答】解：∵M＝x2﹣ax，N＝﹣x，P＝x3+3x+5，
∴M•N+P
＝﹣x（x2﹣ax）+x3+3x2+5＝﹣x3+ax2+x3+3x2+5
＝（a+3）x2+5，
∵M•N+P的值与x的取值无关，
∴a+3＝0，
解得：a＝﹣3，
故选：A．
【变式4】已知代数式A＝2x2﹣3xy+2x﹣ ，B＝x2﹣6xy﹣x﹣1，C＝a（x2﹣1）﹣b（2x+1）．
（1）化简2A﹣B所表示的代数式；
（2）若代数式2A﹣B﹣C值与x的取值无关，求出a、b的值．
【分析】（1）把A＝2x2﹣3xy+2x﹣ ，B＝x2﹣6xy﹣x﹣1代入2A﹣B，去括号，合并同类项计算即可；
（2）计算2A﹣B﹣C，根据代数式2A﹣B﹣C值与x的取值无关列出方程解答即可．
【解答】解：（1）∵A＝2x2﹣3xy+2x﹣ ，B＝x2﹣6xy﹣x﹣1，
∴2A﹣B
＝（2x2﹣3xy+2x﹣ ）﹣（x2﹣6xy﹣x﹣1）
＝4x2﹣6xy+4x﹣1﹣x2+6xy+x+1
＝3x2+5x；
（2）2A﹣B﹣C
＝3x2+5x﹣a（x2﹣1）+b（2x+1）
＝3x2+5x﹣ax2+a+2bx+b
＝（3﹣a）x2+（5+2b）x+a+b．
∵代数式2A﹣B﹣C的值与x的取值无关，
∴3﹣a＝0，5+2b＝0，
∴a＝3， ．
题型05 整式的乘法中的错解题目问题
【典例1】小明在计算一个多项式乘以﹣2x2+x﹣1时，因看错运算符号，变成了加上﹣2x2+x﹣1，得到的
结果为﹣2x2﹣2x+1，请你帮助小明得到正确的计算结果．
【分析】根据题意求出正确的原多项式，再用正确的原多项式乘﹣2x2+x﹣1即可求解．
【解答】解：∵小明在计算一个多项式乘以﹣2x2+x﹣1时，因看错运算符号，变成了加上﹣2x2+x﹣1，
得到的结果为﹣2x2﹣2x+1，
∴原多项式为：（﹣2x2﹣2x+1）﹣（﹣2x2+x﹣1）
＝﹣2x2﹣2x+1+2x2﹣x+1
＝﹣3x+2，
∴（﹣3x+2）（﹣2x2+x﹣1）
＝6x3﹣3x2+3x﹣4x2+2x﹣2
＝6x3﹣7x2+5x﹣2，
所以正确的计算结果是6x3﹣7x2+5x﹣2．
【变式1】在计算（ax+1）（2x+b）时，小泉同学看错了b的值，计算结果为2x2+6x+4；小张同学看错了
a的值，计算结果为4x2+12x+5．
（1）求a，b的值．
（2）计算（ax+1）（2x+b）的正确结果．
【分析】运用多项式乘多项式的计算方法进行逐一求解．
【解答】解：（1）∵（ax+1）（2x+b）
＝2ax2+abx+2x+b，
∴2a＝2，b＝5，
解得a＝1，b＝5；
（2）由（1）题结果可得，
（ax+1）（2x+b）
＝（x+1）（2x+5）
＝2x2+5x+2x+5
＝2x2+7x+5．
【变式2】在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12．
（1）求出a的值；
（2）在（1）的条件下，且b＝﹣3时，计算（x+a）（x+b）的结果．
【分析】（1）根据多项式乘多项式计算（x+a）（x+6），与x2+8x+12对照即可得出a的值；
（2）把a＝2，b＝﹣3代入计算即可．
【解答】解：（1）∵（x+a）（x+6）
＝x2+6x+ax+6a
＝x2+（6+a）x+6a，
∴x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12，
∴6+a＝8，6a＝12，
解得a＝2；
（2）当a＝2，b＝﹣3时，
（x+a）（x+b）
＝（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3x+2x﹣6
＝x2﹣x﹣6．
【变式3】小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：（x2+3x﹣2）（x﹣a）．
（1）小万在做题时不小心将x﹣a中的x写成了x2，结果展开后的式子中不含x的二次项，求a的值；
（2）小鹿在做题时将x2+3x﹣2中的一个数字看错成了k，结果展开后的式子中不含x的一次项，则k的
值可能是多少？
【分析】（1）根据多项式乘多项式法则将对应算式展开并合并同类项后，令二次项系数为 0，即可求
出a值．
（2）根据多项式乘多项式法则将对应算式展开并合并同类项后，令一次项系数为0，即可求出k值．
【解答】解：（1）（x2+3x﹣2）（x2﹣a）
＝x4﹣ax2+3x3﹣3ax﹣2x2+2a
＝x4+3x3﹣（a+2）x2﹣3ax+2a，
∵展开后的式子中不含x的二次项，
∴a+2＝0，
解得a＝﹣2．
（2）①若将x2+3x﹣2中的3看成k，
（x2+kx﹣2）（x+2）
＝x3+2x2+kx2+2kx﹣2x﹣4
＝x3+（2+k）x2+（2k﹣2）x﹣4，
∵展开后的式子中不含x的一次项，
∴2k﹣2＝0，
∴k＝1．
②若将x2+3x﹣2中的﹣2看成k，
（x2+3x+k）（x+2）
＝x3+2x2+3x2+6x+kx+2k
＝x3+5x2+（6+k）x+2k，
∵展开后的式子中不含x的一次项，
∴6+k＝0，
解得k＝﹣6．
③若指数2看作k，当k＝0时，
原式＝（1+3x﹣2）（x+2）
＝3x2+5x﹣2，
不符合题意；
④若指数2看作k，当k＝1时，
原式＝（x+3x﹣2）（x+2）＝4x2+6x﹣4，
不符合题意；
故k＝1或﹣6．
题型06 整式的乘法的实际应用
【典例1】如图，一个木制的长方体箱子的长、宽、高分别为2x+5、x、2x，则这个木制的长方体的体积
为（ ）
A．4x3+10x2 B．4x3+10x C．4x2+10x D．4x2+10x3
【分析】先通过长方体的体积计算方法，列出乘法式子，然后进行计算即可．
【解答】解：长方体的体积为：（2x+5）•x•（2x）＝4x3+10x2．
故选：A．
【变式1】李老师做了个长方形教具，其中一边长为a+2b，另一边长为b，则该长方形的面积为（ ）
A．a+3b B．2a+6b C．ab+2b D．ab+2b2
【分析】根据单项式乘多项式法则求解即可．
【解答】解：长方形的面积为＝b（a+2b）＝ab+2b2．
故选：D．
【变式2】在一家创意家居装饰店中，老板接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的A，B，C三种
卡片来装饰一面墙壁，拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形图案．为了完成这个装饰任务，
老板需要A型卡片、B型卡片和C型卡片的张数分别是（ ）
A．3，5，2 B．2，3，5 C．2，5，3 D．3，2，5
【分析】根据长方形的面积公式可知该墙壁面积S＝3a2+2b2+5ab，即可得出答案．
【解答】解：∵长方形的长为（3a+2b），宽为（a+b），
∴长方形的面积S＝（3a+2b）（a+b）＝3a2+2b2+5ab，
∴需要A型卡片、B型卡片和C型卡片的张数分别3、2、5张．
故选：D．
【变式3】某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为5a米、宽为2b米的长方形场地打造成居民
健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为（3a+1）米，宽为b米的长方形场
地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材
的区域建水泥地面．（1）用含a、b的式子表示篮球场地的面积S 和安装健身器材区域的地面面积S ；
1 2
（2）当a＝9米，b＝15米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积；
（3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建
设该居民健身场所所需的地面总费用M（元）．
【分析】（1）根据长方形面积公式即可求解；
（2）代入（1）中的式子计算即可；
（3）根据每平方米的费用乘以面积计算即可．
【解答】解：（1）S ＝b（3a+1）＝3ab+b（平方米），
1
S ＝5a×2b﹣b（3a+1）＝7ab﹣b（平方米）；
2
（2）当a＝9米，b＝15米时，
S ＝3×9×15+15＝420（平方米），
1
S ＝7×9×15﹣15＝930（平方米）；
2
（3）M＝420×100+930×50＝88500（元）．
1．计算：5x2y2•（﹣2xy3）＝（ ）
A．10x2y6 B．﹣10x2y6 C．10x3y5 D．﹣10x3y5
【分析】单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，
则连同它的指数作为积的一个因式．
【解答】解：5x2y2•（﹣2xy3）＝﹣10x3y5．
故选：D．
2．如果单项式﹣3x4a﹣by2与 a+b是同类项，那么这两个单项式的积是（ ）
A．﹣x6y4 B．x6y4 C．﹣3x3y2 D．
【分析】根据同类项的定义求出a\、b的值，确定单项式后，再由单项式乘单项式的计算方法进行计算
即可．
【解答】解：∵单项式﹣3x4a﹣by2与 a+b是同类项，∴4a﹣b＝3，a+b＝2，
解得a＝1，b＝1，
∴单项式﹣3x3y2与 2的积是﹣x6y4．
故选：A．
3．下列计算错误的是（ ）
A．
B．3x2y（1﹣2y3）＝3x2y+6x2y3
C．2x（3x2﹣xy+y）＝6x3﹣2x2y+2xy
D．
【分析】根据单项式乘以多项式的运算法则分别计算即可判断求解．
【解答】解：A、 ，该选项正确，不符合题意；
B、3x2y（1﹣2y3）＝3x2y﹣6x2y4，该选项错误，符合题意；
C、2x（3x2﹣xy+y）＝6x3﹣2x2y+2xy，该选项正确，不符合题意；
D、 ，该选项正确，不符合题意；
故选：B．
4．（4×105）×（25×103）的计算结果是（ ）
A．100×108 B．1×1017 C．1010 D．100×1015
【分析】先把原式变形为（4×25）×（105×103），进而得到102×108＝1010．
【解答】解：原式＝（4×25）×（105×103）
＝100×108
＝102×108
＝1010，
故选：C．
5．已知单项式4xy2与 的积为mxny3，则m，n的值为（ ）
A． ，n＝4 B．m＝﹣12，n＝﹣2
C． D．m＝﹣12，n＝3
【分析】利用单项式乘单项式法则计算后即可求得答案．
【解答】解：4xy2•（ ）＝﹣ x4y3，则m＝﹣ ，n＝4，
故选：A．
6．为做好乡村振兴工作，上级决定在一块长方形空坪上修建板房，作为扶贫办事务所．已知长方形空坪
长为3a，宽为（4ab﹣2a），则其面积为（ ）
A．12a2b﹣6a2 B．6a2﹣12a2b C．6a2b﹣12a2 D．12a2﹣6a2b
【分析】根据长方形面积公式可列式3a•（4ab﹣2a），计算求解即可．
【解答】解：3a•（4ab﹣2a）＝12a2b﹣6a2，
∴其面积为12a2b﹣6a2，
故选：A．
7．当a＝﹣2时，代数式3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）的值是（ ）
A．﹣98 B．﹣62 C．﹣2 D．98
【分析】先根据整式乘法法则算乘法，再合并同类项，再把a的值代入计算即可求出答案．
【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）
＝3a×2a2﹣3a×4a+3×3a﹣2a2×3a﹣4×（2a2）
＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
＝﹣20a2+9a，
当a＝﹣2时，
原式＝﹣20×4+9×（﹣2）＝﹣98．
故选：A．
8．若计算（x2+ax+5）•（﹣2x）﹣6x2的结果中不含有x2项，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣ C．0 D．3
【分析】首先将（x2+ax+5）•（﹣2x）﹣6x2展开，合并同类项得﹣2x3+（﹣2a﹣6）x2﹣10x；接下来根
据结果中不含有x2项可得﹣2a﹣6＝0，至此，就能求出a的值了．
【解答】解：原式＝﹣2x3﹣2ax2﹣10x﹣6x2
＝﹣2x3+（﹣2a﹣6）x2﹣10x，
∵结果中不含有x2项，
∴﹣2a﹣6＝0，
∴a＝﹣3．
故选：A．
9．代数式ac（bc+1）﹣c（3abc+b+a）+2abc2的值（ ）
A．只与a，b有关 B．只与a，c有关
C．只与b，c有关 D．与a，b，c都有关
【分析】根据单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，即可求解．【解答】解：原式＝abc2+ac﹣3abc2﹣bc﹣ac+2abc2
＝﹣bc，
∴代数式ac（bc+1）﹣c（3abc+b+a）+2abc2的值只与b，c有关，
故选：C．
10．对于多项式：x+1，x+3，2x+2，2x+6，用任意两个多项式的积，再与剩余两个多项式的积作差，并算
出结果，称之为“积差操作”．例如：（x+1）（x+3）﹣（2x+2）（2x+6）＝﹣3x2﹣12x﹣9，…．下
列说法：
①一定存在一种“积差操作”使得操作后的结果，无论x取何值，都为3的倍数；
②不存在任何“积差操作”，使其结果为0；
③所有的“积差操作”共有5种不同的结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用新定义，通过计算得出“积差操作”的结果．
【解答】解：∵（x+1）（x+3）﹣（2x+2）（2x+6）＝﹣3x2﹣12x﹣9＝3（﹣x2﹣4x﹣3），故①正确；
（x+1）（2x+6）﹣（x+3）（2x+2）＝0，故②错误；
（x+1）（x+3）﹣（2x+2）（2x+6）＝﹣3x2﹣12x﹣9，
（x+1）（2x+2）﹣（x+3）（2x+6）＝﹣8x﹣16，
（x+1）（2x+6）﹣（x+3）（2x+2）＝0，
（x+3）（2x+2）﹣（x+1）（2x+6）＝0，
（x+3）（2x+6）﹣（x+1）（2x+2）＝8x+16，
（2x+2）（2x+6）﹣（x+1）（x+3）＝3x2+12x+9，
共5种，故③正确；
故选：C．
11．如果单项式﹣22x2my3与23x4yn+1的差是一个单项式，则这两个单项式的积是 ﹣ 3 2 x 8 y 6 ．
【分析】根据同类项的概念分别求出m、n，再根据单项式与单项式相乘的运算法则计算即可．
【解答】解：∵单项式﹣22x2my3与23x4yn+1的差是一个单项式，
∴单项式﹣22x2my3与23x4yn+1是同类项，
∴2m＝4，n+1＝3，
解得：m＝2，n＝2，
则﹣22x4y3•23x4y3＝﹣32x8y6，
故答案为：﹣32x8y6．
12．已知（x+1）（x﹣3）＝x2+mx+n，那么m+n的值 ﹣ 5 ．
【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则得到 x2﹣2x﹣3＝x2+mx+n，则m＝﹣2，n＝﹣3，据此代值
计算即可．
【解答】解；∵（x+1）（x﹣3）＝x2+mx+n，∴x2+x﹣3x﹣3＝x2+mx+n，
∴x2﹣2x﹣3＝x2+mx+n，
∴m＝﹣2，n＝﹣3，
∴m+n＝﹣2+（﹣3）＝﹣5，
故答案为：﹣5．
13．清明上河园是依照《清明上河图》建造的大型历史文化主题公园，为提升游客游园体验，如图，公园
准备在一个长为（4a+2b）米，宽为（3a+2b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的绿色观光道路，则
道路的面积为 7 a b + 3 b 2 平方米．（要求化成最简形式）
【分析】根据道路的面积＝两个长方形面积﹣中间重叠部分的正方形的面积计算即可．
【解答】解：道路的面积＝b（3a+2b）+b（4a+2b）﹣b2
＝3ab+2b2+4ab+2b2﹣b2
＝7ab+3b2（平方米）．
故答案为：7ab+3b2．
14．若a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a（b+c）+b（c+a）+c（a+b）＝ ﹣ 1 ．
【分析】根据a+b+c＝0可得﹣a＝b+c，﹣b＝a+c，﹣c＝a+b，将a（b+c）+b（c+a）+c（a+b）变形为
a（﹣a）+b（﹣b）+c（﹣c）＝﹣（a2+b2+c2），再将a2+b2+c2＝1整体代入计算即可．
【解答】解：∵a+b+c＝0，
∴﹣a＝b+c，﹣b＝a+c，﹣c＝a+b，
∴原式＝a（﹣a）+b（﹣b）+c（﹣c）
＝﹣（a2+b2+c2），
∵a2+b2+c2＝1，
∴a（b+c）+b（c+a）+c（a+b）＝﹣（a2+b2+c2）＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．小亮在计算（5m+2n）（5m﹣2n）+（3m+2n）2﹣3m（11m+4n）的值时，把n的值看错了，其结果等
于25，细心的小敏把正确的n的值代入计算，其结果也是25．为了探究明白，她又把n＝2023代入，
结果还是25，则m的值为 ± 5 ．
【分析】先根据整式混合运算的法则化简原式，得出这个结果与n的取值无关，进一步即可求出m．
【解答】解：（5m+2n）（5m﹣2n）+（3m+2n）2﹣3m（11m+4n）
＝25m2﹣4n2+9m2+12mn+4n2﹣33m2﹣12mn＝m2，
所以这个结果与n的取值无关，是25，
∵m2＝25，
∴m＝±5；
故答案为：±5．
16．已知A＝3x2y﹣2（x2y+xy2）， ．
（1）化简代数式A．
（2）当x＝1，y＝﹣2时，求代数式A+B的值．
【分析】（1）去括号，合并同类项即可化简；
（2）根据整式的加减运算法则先化简A+B，再代入计算即可．
【解答】解：（1）A＝3x2y﹣2（x2y+xy2）
＝3x2y﹣2x2y﹣2xy2
＝x2y﹣2xy2；
（2）
＝
＝ ，
当x＝1，y＝﹣2时，
＝
＝﹣3﹣4
＝﹣7．
17．（1）已知关于x的整式A、B，其中A＝4x2+（m﹣3）x+1，B＝nx2+2x+1，若当A+2B中不含x的二次
项和一次项时，求（m﹣1）2023+（﹣n）2022的值．
（2）有理致a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：|a+b|+|c﹣a|﹣|b﹣c|．
【分析】（1）先根据整式的加减的混合运算得出A+2B＝（4+2n）x2+（m+1）x+3，再由A+2B中不含x
的二次项和一次项得出m＝﹣1，n＝﹣2，再代入进行计算即可；
（2）由数轴可得b＜a＜0＜c，|b|＞|c|＞|a|，从而得到a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，再根据绝对值的性
质化简绝对值即可．
【解答】解：（1）∵A＝4x2+（m﹣3）x+1，B＝nx2+2x+1，
∴A+2B＝4x2+（m﹣3）x+1+2（nx2+2x+1）＝4x2+（m﹣3）x+1+2nx2+4x+2
＝（4+2n）x2+（m+1）x+3，
∵A+2B中不含x的二次项和一次项，
∴4+2n＝0，m+1＝0，
∴m＝﹣1，n＝﹣2，
∴（m﹣1）2023+（﹣n）2022
＝（﹣1﹣1）2023+[﹣（﹣2）]2022
＝（﹣2）2023+22022
＝﹣2×（﹣2）2022+22022
＝﹣2×22022+22022
＝22022×（﹣2+1）
＝﹣22022；
（2）由数轴可得：b＜a＜0＜c，|b|＞|c|＞|a|，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，
∴|a+b|+|c﹣a|﹣|b﹣c|
＝﹣（a+b）+c﹣a+（b﹣c）
＝﹣a﹣b+c﹣a+b﹣c
＝﹣2a．
18．小马虎同学在计算一个多项式A乘（1﹣2x）时，因抄错运算符号，算成了加上（1﹣2x），得到的结
果是x2﹣x+1．
（1）这个多项式A是多少？
（2）正确的计算结果是多少？
【分析】（1）根据多项式的减法计算法则得出代数式A的值；
（2）根据多项式的乘法计算法则得出正确的计算结果即可．
【解答】解：（1）根据题意A+1﹣2x＝x2﹣x+1，
∴A＝x2﹣x+1﹣1+2x＝x2+x；
（2）A（1﹣2x）＝（x2+x）（1﹣2x）
＝x2﹣2x3+x﹣2x2
＝﹣2x3﹣x2+x．
19．已知长方形的长为a cm，宽为b cm，其中（a＞b＞1，如果将原长方形的长和宽各增加2cm，得到的
新长方形的面积记为S ；如果将原长方形的长和宽各减少1cm，得到的新长方形的面积记为S ．
1 2
（1）求S ，S ；
1 2
（2）如果2S ＝S +11，求将原长方形的长和宽各增加5cm后得到的新长方形的面积；
1 2
（3）如果用一个面积为S 的长方形和两个面积为S 的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方
1 2
形，求a，b的值．【分析】（1）由长方形面积公式，结合原长方形长宽变化代值求解即可得到答案；
（2）由2S ＝S +11，结合（1）中S ，S 得到ab+5a+5b＝4，再得到将原长方形的长和宽各增加5cm后
1 2 1 2
得到的新长方形的面积表达式，代值求解即可得到答案；
（3）由题意，根据新长方形的边长，分分两种情况拼接，如图所示，由正方形边长关系列方程组求解
再由a＞b＞1判定即可得到答案．
【解答】解：（1）∵长方形的长为a cm，宽为b cm，
∴ 将 原 长 方 形 的 长 和 宽 各 增 加 2cm ， 得 到 的 新 长 方 形 的 面 积 记 为 ：
；
将 原 长 方 形 的 长 和 宽 各 减 少 1cm ， 得 到 的 新 长 方 形 的 面 积 记 为 ：
；
（2）由（1）知 ， ，
∵2S ＝S +11，
1 2
∴2（ab+2a+2b+4）＝（ab﹣a﹣b+1）+11，即ab+5a+5b＝4，
∴将原长方形的长和宽各增加5cm后得到的新长方形的面积为（a+5）（b+5）＝ab+5a+5b+25＝4+25＝
29cm2；
（3）∵面积记为S 的新长方形长为（a+2）cm、宽为（b+2）cm；面积记为S 的新长方形长为（a﹣
1 2
1）cm、宽为（b﹣1）cm，
∴用一个面积为S 的长方形和两个面积为S 的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形时，
1 2
正方形的边长应为（a+2）cm，
分两种情况拼接，如图所示：
∴ ，
①或 ②，
解①得 ，
解②得 ，
∵a＞b＞1，∴ ，
满足题意，即a＝4，b＝2.5．
20．给出如下定义：我们把有序实数对（m，n）叫做关于x的一次多项式mx+n的特征系数对，有序数对
（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，并且把关于x的一次多项式mx+n叫做有
序实数对（m，n）的特征多项式，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征
多项式．
（1）关于x的一次多项式﹣2x+4的特征系数对在第 二 象限；关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特
征系数对为 （ 3 ， 2 ，﹣ 1 ） ；
（2）求有序实数对（1，a）的特征多项式与有序实数对（a，﹣4）的特征多项式的乘积为 bx2﹣
cx+16，求a、b、c的值；
（3）若有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式的乘积的结
果为2x4+x3﹣10x2﹣x+2，计算（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值．
【分析】（1）根据特征系数对的定义即可解答；
（2）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可；
（3）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令x＝﹣2即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得关于x的一次多项式﹣2x+4的特征系数对为（﹣2，4），它在第二象限，
关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为（3，2，﹣1），
故答案为：二；（3，2，﹣1）；
（2）∵有序实数对（1，a）的特征多项式与有序实数对（a，﹣4）的特征多项式的乘积为 bx2﹣
cx+16，
∴（x+a）（ax﹣4）＝bx2﹣cx+16，
整理得：ax2+（a2﹣4）x﹣4a＝bx2﹣cx+16，
则a＝b，a2﹣4＝﹣c，﹣4a＝16，
解得：a＝﹣4，b＝﹣4，c＝﹣12；
（3）∵有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式的乘积的结
果为2x4+x3﹣10x2﹣x+2，
则有（px2+qx﹣1）（mx2+nx﹣2）＝2x4+x3﹣10x2﹣x+2，
当x＝﹣2时，
（px2+qx﹣1）（mx2+nx﹣2）
＝（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）
＝2×（﹣2）4+（﹣2）3﹣10×（﹣2）2﹣（﹣2）+2
＝32﹣8﹣40+2+2，
即（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝﹣12，
则（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）＝﹣6，那么（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值为﹣6．
