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专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、
风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
.........................................................................................................................................1
模型来源.............................................................................................................................................................1
真题现模型.........................................................................................................................................................2
提炼模型.............................................................................................................................................................4
模型拓展.............................................................................................................................................................5
模型运用.............................................................................................................................................................6
模型1.飞镖（燕尾）模型...............................................................................................................................6
模型2.鹰爪（风筝）模型.............................................................................................................................10
模型3.翻角模型.............................................................................................................................................14
..................................................................................................................................................16
燕尾模型（飞镖模型）因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名
以辅助记忆。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化
命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。
鹰爪（风筝）模型强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。
翻角模型是动态几何思想与静 态角度守恒的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。
普及高峰期（2023–2025年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞
镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”） 广泛传播，这些模型将严谨的几何法则
融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！
（24-25七年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形 形似“飞镖”，我们形象地称它为
“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，
即 ．
【探究推理】方法一：如图②，连结 ．
∵在 中， ，∴ ．
又∵在 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ．即 ．
方法二：如图③，连结 并延长至F．∵ 与 分别为 和 的外角，…
（1）“方法一”主要依据的数学定理是 ；（2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理
过程．
【迁移应用】（3）如图④， ；（4）如图⑤是可调躺椅示意图（数
据如图）， 与 的交点为C，且 的大小保持不变．为了舒适，需调整 的大小，
使 ，则图中 应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度．
（2024·贵州贵阳·二模）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动．独立思考：（1）如图①，将三角形纸片 沿 折叠，使点 落在四边形 内点 的位置，则
与 之间的数量关系为 ，请说明理由；
深入探究：（2）如图②，若点 落在四边形 的边 下方时，试猜想此时 与 ， 之间的数
量关系，并说明理由；
结论运用：（3）如图③，在四边形 中， ， ， 分别是 ， 边上的一点，沿
将四边形 折叠，点 的对应点 恰好落在 边上，且 ， ． 的度数为 ；
1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：① ；②
。
证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D；
又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。
延长BC交AD于点P；在△ABQ中， ；在△CDQ中， 。
即： ，故 。
图1 图2 图3 图4 图52）鹰爪模型：如图2，结论：∠A+∠O=∠1+∠2；
证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA；
∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。
3）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。
证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA；
∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA）
=∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。
条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2；
证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；
∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。
条件：如图5，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。
证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；
∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C）
=∠EC’F+∠FCE=2∠C。
图1 图2
飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O= （∠A+∠C）。
证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO= ∠ABC；∠ADO= ∠ADC；
根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A= ∠ABC+ ∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；
∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O= （∠A+∠C）。
飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O= （∠D-∠B）。证明：根据飞镖模型： = + + ，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B，
∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO= ∠DCB，∠DAO= ∠DAB，
∴∠DCO-∠DAO= （∠DCB-∠DAB）= （∠D+∠B），
∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO，
∴∠D-∠O= （∠D+∠B）,即∠O= （∠D-∠B）
模型1.飞镖（燕尾）模型
例1（24-25·湖北·七年级校考期中）阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四
边形 ，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通
过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1， ．
“智慧小组”通过互学证明了这个结论：
方法一：如图2，连接 ，则在 中， ，即 ，
又：在 中， ，∴ ，即 ．
“创新小组”想出了另外一种方法
方法二：如图3，连接 并延长至F，
∵ 和 分别是 和 的一个外角，…………
任务：(1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______；
(2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．例2（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以
抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，探究 、 、 、 之间的数量关系，并证明：
（2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题：
【类比探究】①如图2，已知 ，求 的度数；
【拓展延伸】②如图3，已知 ，求 的度数．
例3（24-25七年级下·四川成都·期中）如图 所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这
样图形叫做“规形图”，①如图 ，请直接写出 与 、 、 之间的关系：
②如图 ，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 、 恰好经过点 、 ，若
，直接写出 的结果；
③如图 ， 平分 ， 平分 ，若 ， ，求 的度数；例4（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）实验探究：
（1）动手操作：①如图1，将一块直角三角板 放置在直角三角板 上，使三角板 的两条直角
边 、 分别经过点 、 ，且 ，已知 ，则 ；
②如图2，若直角三角板 不动，改变等腰直角三角板 的位置，使三角板 的两条直角边 、
仍然分别经过点 、 ，已知 ，那么 ；
（2）猜想证明：如图3， 与 、 、 之间存在着什么关系，并说明理由；
（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题：
①如图4， 平分 ， 平分 ，若 ， ，求 的度数；
②如图5， ， 的10等分线相交于点 、 、…、 ，若 ， ，则
的度数为 .例5（24-25广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中， ，为三角形内任意一点，连结
AP，并延长交BC于点D. 求证：（1） ；（2） .
模型2.鹰爪（风筝）模型
例1（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在 中， ，点 ， 分别是 边 ，
上的两个定点．若点 在线段 上运动，当 时，则 ．
例2（24-25山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于 如何
证明这个定理呢？我们知道，平角是 ，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，
请根据如下条件，证明定理．（1）【定理证明】已知： 如图①，求证： ．
（2）【定理推论】如图②，在 中，有 ，点D是 延长线上一点，由平角的定
义可得 ，所以 _______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角
等于与它不相邻的两个内角的和．
【初步运用】如图③，点D、E分别是 的边 延长线上一点．
（3）若 ， ，则 _______．（4）若 ，则 _______．
【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形 的边 延长线上一点．
（5）若 ， ，则 _________．（6）分别作 和 的平分线 ，如图⑤，若 ，则 和 的关系为
__________．
（7）分别作 和 的平分线，交于点O，如图⑥，求出 ， 和 的数量关系，说明理由．
例3（24-25七年级下·四川资阳·期末）在 中， ，D、E分别是边 上的点，P是直
线 上的一个动点，连结 ．设 ．
(1)如图1，若点P在线段 上，且 ，求 的度数；
(2)如图2，若点P在线段 延长线上， 交 于点F，试探究 之间的关系，并说明理由；
(3)如图3，若点P在线段 延长线上， 交 于点F，试探究 之间的关系，并说明理由．
模型3.翻角模型
例1（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，把 纸片沿 折叠，当点A落在四边形 内部时，
与 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）．A． B． C． D．
例2（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在 中， ，将 沿直线 翻折，点 落在
点 的位置，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
例3（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）【原题再现】课本有这样一道题：如图1，将 纸片沿
折叠，使点A落在四边形 内点 的位置．试探索 与 之间的数量关系，并说明理由．
小明提出一种正确的解题思路：连接 ，则 、 分别为 、 的外角，……
请你按照小明的思路解决上述问题．
【变式探究】如图2，若将原题中“点A落在四边形 内点 的位置”变为“点A落在四边形
外点 的位置”，试猜想此时 与 、 之间的数量关系，并说明理由．
【结论运用】将四边形纸片 （ ， 与 不平行）沿 折叠成图3的形状，若 ，
，求 的度数．1．（24-25成都市·七年级专题练习）如图， 平分 ， 平分 ， 与 交于点 ，若
， ，则 （ ）
A．80° B．75° C．60° D．45°
2．（24-25四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中， 、 、 分别为 、 、
的外角 判断下列大小关系何者正确？（ ）
A． B． C． D．3．（24-25八年级上·海南儋州·开学考试）如图， 为等腰直角三角形， ，将 按如图
方式进行折叠，使点A与 边上的点F重合，折痕分别与 交于点D、点E．下列结论：①
；② ；③ ；④ ．其中一定正确的结论序号为（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③
4．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，小军借助几何画板设计了“鱼形”图案，由四边形 和
组成．已知在 中， ， ， ， ，则 的度数是（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
5．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将 纸片沿 折叠，当点C落在四边形 的外部时，
此时测得 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）如图，在 中， 和 的外角平分线相交于点 ，若
，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
7．（24-25七年级下·山东淄博·期中）如图是一个“燕尾形”，已知 ， ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知在三角形纸片 中， ，将纸片的一角按照如图方式
对折，使点C落在 内，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知线段 、 的垂直平分线交于点 ，连接 、 、
、 ，若 ， ，那么 的度数是 ．
10．（24-25湖北鄂州·七年级统考期中）（1）如图1，三角形ABC中，试用平行线的知识证明∠A＋∠B＋∠C＝180°；（2）如图2，将线段BC折断成BDC的形状，证明∠D＝∠A＋∠B＋∠C ．
【注意哟：可以直接用（1）中的结论进行证明，也可以用平行线的性质证明】
11．（24-25·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】
已知 ，在 的两边上分别取点B、C，在 的内部取一点O，连接 、 ．设 ，
，探索 与 、 、 之间的数量关系．
【初步感知】如图1，当点O在 的边 上时， ，此时 ，则
与 、 、 之间的数量关系是 ．
【问题再探】（1）如图2，当点O在 的内部时，请写出 与 、 、 之间的数量关系
并说明理由；（2）如图3，当点O在 的外部时， 与 、 、 之间的数量关系是
________；
【拓展延伸】（1）如图4， 、 的外角平分线相交于点P．
①若 ， ，则 ________°；②若 且 ，则 ________°；
③直接写出 与 、 之间的数量关系；
（2）如图5， 的平分线与 的外角平分线相交于点Q，则 ________（用 、 表示）．12.（24-25八年级上·山西晋中·期末）请阅读下列材料，并完成相应任务．
在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图 ，锐角 内部有一点 ，在其两边 和 上各取任
意一点 ， ，连接 ， ，求证： ．
小丽的证法 小红的证法
证明：如图 ，连接 并延长至点 ， 证明：
，
∵ ， ， ，
（依据）， （量角器测量所得），
又∵ ， ∴ ，（计算所得）．
，
∴ （等量代
∴ ． 换）．
任务：(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：______；
(2)下列说法正确的是______．
A．小丽的证法用严谨的推理证明了本题结论
B．小丽的证法还需要改变 的大小，再进行证明，本题的证明才完整
C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了本题结论
D．小红的证法只要将点 在 的内部任意移动 次，重新测量进行验证，就能证明本题结论
(3)如图 ，若点 在锐角 外部， 与 相交于点 ，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出 ， ， ， 之间的关系并证明．
14.（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）探究题
(1)若 中， ①如图1，若 和 的角平分线相交于点O，则 ．
②如图2， 若 和 的三等分线相交于点 、 ，则 ．
(2)若 中， ；①如图1，若 和 的角平分线相交于点O，则用x表示 度
．
②如图2，若 和 的三等分线相交于点 、 ，则用x表示 度．
③如图3，若 和 的n等分线相交于点 、 、……、 ，则用x表示 度．（结
果不需化简）；(3)如图，四边形 中，为四边形 的 的角平分线及外角 的平分线
所在的直线构成的锐角，①如图4，若设 ， ，则 ；
②如图5，若设 ， ，请在图中画出 ，则 ；
③若设 ， ，一定存在 吗？如有，求出 的值（用x、y表示），如不一定，指出x、y
满足什么条件时，不存在 ，并说明理由．
14.（24-25七年级下·吉林长春·期中）在四边形ABCD中， ，点E、F分别是边AD，
BC上的点，点P是一动点，令 ．
初探：(1)如图①，若点P在线段CD上，且 ，则 ________°；
(2)如图②，若点P在线段CD上运动，试探究 与 之间的关系，并说明理由；
再探：(3)如图③，若点P在线段DC的延长线上运动，则 之间的关系为________；
(4)若点P运动到四边形ABCD的内部，直接写出此时 之间的关系为_________．
15.（24-25七年级下·山东淄博·期中） 中， ，点D，E分别是 边 ， 上的点，
点P是一动点．设 ， ， ．(1)若点P在线段 上，如图（1）所示，且 ，则 ___________°；
(2)若点P在线段 上运动，如图（2）所示，则 ， ， 三者之间的关系为：___________．
(3)若点P运动到边 的延长线上，如图（3）所示，则 ， ， 三者之间有何关系？请写出你的猜
想并说明理由；(4)若点P运动到 外且在直线 的上方、直线 的左侧范围内运动时，请探究 ，
， 之间的关系（画图并直接写出结果）．
16．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图（1）所示， 把 沿 折叠，
(1)当点C落在四边形 内部时， 与 、 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这
个规律，请你写出规律并证明你的规律．
(2)当点A落在四边形 上方时， 与 、 之间数量关系是 ．
(3)当点A落在四边形 下方时， 与 、 之间数量关系是 ．
17．（23-24八年级上·山东济宁·期中）（1）如图①，把 纸片沿 折叠，当点A落在四边形
内部点 的位置时， 、 、 之间有怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如图②，把 纸片沿 折叠，当点A落在四边形 外部点 的位置时， 、 、 之间有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如图③，把四边形 沿 折叠，当点A、D分别落在四边形 内部点 、 的位置时，请
直接写出 、 、 与 之间的数量关系．
18．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在 中， ，点 、 是 边 、 上
的点，点 是平面内一动点．令 ， ， ．
(1)若点 在线段 上，如图1所示， ，求 的值；
(2)若点 在边 上运动，如图2所示，则 、 、 之间的关系________；
(3)若点 运动到边 的延长线上，如图3所示，则 、 、 之间有何关系？猜想并说明理由；
(4)若点 运动到 外，如图4所示，则请表示 、 、 之间的关系，并说明理由．
