文档内容
专题 4.3 三角形中角度计算七大几何模型
【人教版】
【模型1 8字模型】...................................................................................................................................................1
【模型2 飞镖模型】..................................................................................................................................................6
【模型3 A字模型】................................................................................................................................................14
【模型4 老鹰抓小鸡模型】....................................................................................................................................17
【模型5 双内角平分线模型】................................................................................................................................23
【模型6 双外角平分线模型】................................................................................................................................29
【模型7 内外角平分线模型】................................................................................................................................36
【模型1 8字模型】
【结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D.
【证明】在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°.
在△CDO中，∠C+∠D＋∠COD=180°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A＋∠B=∠C+∠D.
【练习】
1．如图，∠C＝∠D＝90°，∠A＝20°，则∠COA＝ ，∠B＝ ．
【分析】依据三角形内角和定理，以及对顶角相等，即可得到∠AOC和∠B的度数．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝20°，
∴∠AOC＝∠BOD＝70°，
又∵∠D＝90°，
∴∠B＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：70°，20°．
2．如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ ．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A+∠D＝∠1，∠B+∠E＝∠2，
再根据三角形的内角和等于180°求解即可．
【解答】解：如图，∠A+∠D＝∠1，∠B+∠E＝∠2，
∵∠1+∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
故答案为：180°．
3．如图，是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为
．
【分析】首先求出∠F+∠B＝∠D+∠EGD，然后证明出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，最后结合题干
∠D＝28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数．【解答】解：∵如图可知∠BED＝∠F+∠B，∠CGE＝∠C+∠A，
又∵∠BED＝∠D+∠EGD，
∴∠F+∠B＝∠D+∠EGD，
又∵∠CGE+∠EGD＝180°，
∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，
又∵∠D＝28°，
∴∠A+∠B+∠C+∠F＝180°+28°＝208°．
故答案为：208°．
4．如图所示，∠1＝60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在
一起即可．
【解答】解：由三角形外角的性质得：∠3＝∠A+∠E，∠2＝∠F+∠D，
∵∠1+∠2+∠3＝180°，∠1＝60°，
∴∠2+∠3＝120°，
即：∠A+∠E+∠F+∠D＝120°，
∵∠B+∠C＝120°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．
故答案为：240°．5．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（ ）
A．240° B．300° C．360° D．540°
【分析】连接BD，根据三角形内角和定理与对顶角的性质得出∠E+∠F＝∠GDB+∠GBD，再根据四边
形内角和等于360°，即可得出答案．
【解答】解：连接BD，
∵∠E+∠F＝∠GDB+∠GBD，
又∵∠A+∠C+∠CDB+∠DBA＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠GDB+∠GBD＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故选：C．
6．如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度
数．1
【分析】由△ABC≌△ADE，可得∠DAE＝∠BAC= （∠EAB﹣∠CAD），根据三角形外角性质可得
2
∠DFB＝∠FAB+∠B，因为∠FAB＝∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形内角和定理可
得∠DGB＝∠DFB﹣∠D，即可得∠DGB的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
1 1
∴∠DAE＝∠BAC= （∠EAB﹣∠CAD）= (120°−10°)=55°．
2 2
∴∠DFB＝∠FAB+∠B＝∠FAC+∠CAB+∠B＝10°+55°+25°＝90°
∠DGB＝∠DFB﹣∠D＝90°﹣25°＝65°．
综上所述：∠DFB＝90°，∠DGB＝65°．
7．我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，AD，BC相交于点O，连接
AB，CD得到“8”字图形ABDC．
（1）如图1，试说明∠A+∠B＝∠C+∠D的理由；
（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索∠E与∠A、∠C间的关
系；
1
（3）如图3，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ=
4
1
∠ABC，∠EDP= ∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请探索∠P与∠A、∠C的关系．
4
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，∠CDE＝∠ADE，结合（1）的结论可得 2∠E＝
∠A+∠C；
（3）运用（1）和（2）的结论即可求得答案．
【解答】解：（1）如图1，
∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如图2，
∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，∠CDE＝∠ADE，
由（1）可得：∠A+∠ABE＝∠E+∠ADE，∠C+∠CDE＝∠E+∠CBE，
∴∠A+∠ABE+∠C+∠CDE＝∠E+∠ADE+∠E+∠CBE，
∴2∠E＝∠A+∠C．
（3）由（1）得：∠A+∠ABC＝∠C+∠CDA，
1 1 1 1
∴ ∠A+ ∠ABC= ∠C+ ∠CDA，
4 4 4 4
1 1
又∠CBQ= ∠ABC，∠EDP= ∠ADE，∠CDA＝180°﹣∠ADE，
4 4
1 1
∴ ∠A+∠CBQ= ∠C+45°−∠EDP，
4 4
设AD与PQ的交点为点O，
则∠CBQ+∠BOD＝∠C+∠ADC，
1 3
两式相减可得：∠BOD− ∠A= ∠C+∠ADC+∠EDP−45°，
4 4
1 3
∴∠BOD− ∠A= ∠C+180°−∠ADP−45°，
4 4
1 3
∴45°− ∠A= ∠C+180°−∠ADP−∠BOD，
4 4
∵∠P＝180°﹣∠BOD﹣∠ADP，
1 3
∴45°− ∠A= ∠C+∠P，
4 4
即∠A+3∠C+4∠P＝180°．
【模型2 飞镖模型】
【结论】如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C.【证明】如图,延长BD交AC于点E.
∠BEC是△ABE的外角，
∵∠BEC=∠A+∠B.
又∵∠BDC是△CDE的外角，
∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.
【练习】
1．如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠B＝23°，则∠A的度数是（ ）
A．37° B．61° C．60° D．39°
【分析】首先连接 AD，并延长到 E，根据三角形外角的性质，易得∠BDC＝∠1+∠2＝
∠B+∠C+∠BAD+∠CAD＝∠B+∠C+∠BAC，继而求得答案．
【解答】解：连接AD，并延长到E，
∵∠1＝∠B+∠BAD，∠2＝∠C+∠CAD，
∴∠BDC＝∠1+∠2＝∠B+∠C+∠BAD+∠CAD＝∠B+∠C+∠BAC，
∵∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠B＝23°，
∴∠BAC＝∠BDC﹣∠B﹣∠C＝37°．
故选：A．2．如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经
过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD＝（ ）度．
A．90 B．60 C．50 D．40
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣
∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°；
故选：C．
3．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（ ）
A．90° B．180° C．360° D．无法确定
【分析】根据三角形内角与外角的关系可得∠A+∠B＝∠2，∠D+∠E＝∠1，再根据三角形内角和定理
可得∠1+∠2+∠C＝180°，进而可得答案．
【解答】解：延长BE交AC于F，
∵∠A+∠B＝∠2，∠D+∠E＝∠1，∠1+∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，
故选：B．
4．在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图这样一个零件，如果∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，∠D
＝35°，∠E＝72°，那么∠F＝ °．
【分析】连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF并延长到点N，利用三角形的外角性质，可得出
∠BEM＝∠BAE+∠B，∠DEM＝∠DAE+∠ADE，∠DFN＝∠DAF+∠ADF，∠CFN＝∠CAF+∠C，将
其相加后可得出∠BED+∠CFD＝∠A+∠B+∠EDF+∠C，再代入各角的度数，即可求出结论．
【解答】解：连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF并延长到点N，如图所示．
∵∠BEM是△ABE的外角，
∴∠BEM＝∠BAE+∠B．
同理可得出：∠DEM＝∠DAE+∠ADE，∠DFN＝∠DAF+∠ADF，∠CFN＝∠CAF+∠C，
∴∠BEM+∠DEM+∠DFN+∠CFN＝∠BAE+∠B+∠DAE+∠ADE+∠DAF+∠ADF+∠CAF+∠C，
即∠BED+∠CFD＝∠A+∠B+∠EDF+∠C，
∴72°+∠CFD＝52°+25°+35°+30°，
∴∠CFD＝70°．
故答案为：70．5．如图，若∠EOC＝115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ °．
【分析】由三角形的外角的性质，可以推出∠EOC＝∠E+∠C+∠D，∠BOF＝∠A+∠B+∠F，于是可以
解决问题．
【解答】解：
∵∠EOC＝∠E+∠EMO，
∠EMO＝∠C+∠D，
∴∠EOC＝∠E+∠C+∠D，
同理：∠BOF＝∠A+∠B+∠F，
∵∠BOF＝∠EOC，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2∠EOC＝2×115°＝230°．
故答案为：230．
6．如图，已知BE、CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC＝50°，则∠BHC的度数
是 ．
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABE，再根据三角形外角性质即可求出∠BHC的度数．
【解答】解：∵BE为△ABC的高，∠BAC＝50°，
∴∠ABE＝90°﹣50°＝40°，
∵CF为△ABC的高，∴∠BFC＝90°，
∴∠BHC＝∠ABE+∠BFC＝40°+90°＝130°．
故答案为：130°．
7．【探究】如图①，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
【应用】（1）如图②，我们设计了一张帆布折椅，它的侧面如图所示，∠A＝28°，∠D＝12°，∠ABC
＝64°，∠BCD＝46°，求椅面和椅背的夹角∠AED的度数；
（2）如图③，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
【分析】∠BOC＝∠BOM+∠COM，其中∠BOM 与∠COM 分别是△ABO 与△AOC 的外角．
∠ABC+∠BCD+∠CAO＝180°．
【解答】证明：【探究】
连接OA，并延长，如图①所示：
∵∠BOM是△ABO的外角，
∴∠BAO+∠B＝∠BOM．①
∵∠COM是△AOC的外角，
∴∠CAO+∠C＝∠COM．②
①+②得，∠BAO+∠B+∠CAO+∠C＝∠BOM+∠COM，即∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
【应用】
（1）∵∠ABC＝64°，∠BCD＝46°，
∴∠CAO＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD＝180°﹣64°﹣46°＝70°，
∴∠BAO＝∠CAO＝70°．
由【探究】可知∠AED＝∠A+∠D+∠BAO＝28°+12°+70°＝110°；
（2）连接AD，如图③所示：
由【探究】可知∠F+∠FAD+∠EDA＝∠DEF③，∠BAD+∠ADC+∠C＝∠ABC④，
③+④，得∠F+∠FAD+∠EDA+∠BAD+∠ADC+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，
∴原图中∠A+∠C+∠D+∠F＝230°．
8．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．
（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；
（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系
并证明．
【分析】（1）如图1，延长AD交BC于E．利用三角形的外角的性质即可解决问题；
（2）∠A﹣∠C＝2∠P，利用三角形的外角的性质可以推出：∠A+∠1＝∠P+∠3，由∠1＝∠2，∠3＝
∠4，推出∠A+∠2＝∠P+∠4，由（1）知∠4＝∠2+∠P+∠C，可得∠A+∠2＝∠P+∠2+∠P+∠C即可
解决问题；
【解答】解：（1）如图1，延长AD交BC于E．在△ABE中，∠AEC＝∠A+∠B＝28°+72°＝100°，
在△DEC中，∠ADC＝∠AEC+∠C＝100°+11°＝111°．
（2）∠A﹣∠C＝2∠P，理由如下：
如图2，∠5＝∠A+∠1，∠5＝∠P+∠3，
∴∠A+∠1＝∠P+∠3，
∵PB平分∠ABC，PD平分∠ADC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠A+∠2＝∠P+∠4，
由（1）知∠4＝∠2+∠P+∠C，
∴∠A+∠2＝∠P+∠2+∠P+∠C，
∴∠A﹣∠C＝2∠P．
【模型3 A字模型】
【结论】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A.
【证明】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC.
又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠DBC＋∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A=180°＋∠A.
【练习】
1．如图，△ABC中，∠A＝65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，∠BDE+∠CED的值为（ ）
A．180° B．215° C．235° D．245°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ADE+∠AED，根据平角的概念计算即可．
【解答】解：∵∠A＝65°，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣65°＝115°，
∴∠BDE+∠CED＝360°﹣115°＝245°，
故选：D．
2．如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，∠1+∠2＝214°，则∠A的度数为（ ）
A．17° B．34° C．68° D．无法确定
【分析】根据三角形内角和定理可知，要求∠A只要求出∠AEF+∠AFE的度数或者∠B+∠C的度数即
可，结合补角的性质和四边形内角和为360°可以解决问题．
【解答】解：方法一：
∵∠1+∠AEF＝180°，∠2+∠AFE＝180°
∴∠1+∠AEF+∠2+∠AFE＝360°
∵∠1+∠2＝214°
∴∠AEF+∠AFE＝360°﹣214°＝146°
∵在△AEF中：∠A+∠AEF+∠AFE＝180°（三角形内角和定理）
∴∠A＝180°﹣146°＝34°
方法二：∵在四边形BCEF中：∠B+∠C+∠1+∠2＝360°（四边形内角和为360°）
∠1+∠2＝214°
∴∠B+∠C＝360°﹣214°＝146°
∵在△ABC中：∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）
∴∠A＝180°﹣146°＝34°．
故选：B．
3．如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．140° B．180° C．250° D．360°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠3+∠4，继而可求出∠1+∠2的值．
【解答】解：∵∠C＝70°，
∴∠3+∠4＝180°﹣70°＝110°，
∴∠1+∠2＝（180°﹣∠3）+（180°﹣∠4）＝360°﹣（∠3+∠4）＝250°．
故选：C．
4．在△ABC中，∠B＝58°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ 61 ° ．
1 1 1
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得 ∠DAC+ ∠ACF=
2 2 2
（∠B+∠B+∠1+∠2）＝119°；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．
【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
1 1
∴∠EAC= ∠DAC，∠ECA= ∠ACF，
2 2∵∠DAC＝∠B+∠2，∠ACF＝∠B+∠1
1 1 1 1 1
∴ ∠DAC+ ∠ACF= （∠B+∠2）+ （∠B+∠1）= （∠B+∠B+∠1+∠2），
2 2 2 2 2
∵∠B＝58°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），
1 1
∴ ∠DAC + ∠ACF＝119°
2 2
1 1
∴∠AEC＝180°﹣（ ∠DAC+ ∠ACF）＝61°．
2 2
故答案为：61°．
5．如图，已知∠A＝40°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．
【分析】根据三角形的内角和定理分别求得∠1+∠2，∠3+∠4，就可求得最后结果．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝180°﹣∠A＝140°．
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝280°．
【模型4 老鹰抓小鸡模型】
【结论】如图所示，∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE.
【证明】如图，连接AF.∵∠DBF是△ABF的外角，∠FCE是△ACF的外角，
∴∠FCE=∠CAF+∠CFA，
∴∠DBF＋∠FCE=∠BAF＋∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC，
即∠BAC+∠BFC=∠DBF＋∠FCE.
【练习】
1．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，若∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于（
）
A．40° B．60° C．80° D．140°
【分析】证明∠1+∠2＝2∠A即可解决问题．
【解答】解：连接AA′．
∵∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠A＝40°
∵∠2＝∠EA′A+∠EAA′，∠1＝∠DA′A+∠DAA′，∠BAC＝∠EA′D，
∴∠1+∠2＝∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD＝80°，
故选：C．
2．如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B′点重合，若∠1+∠2＝80°，则∠B的度数为（ ）A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】根据翻折的性质可得∠BED＝∠B'ED，∠BDE＝∠B'DE，结合平角的定义可求解
∠BED+∠BDE的度数，再利用三角形的内角和定理可求解∠B的度数．
【解答】解：由翻折可知：∠BED＝∠B'ED，∠BDE＝∠B'DE，
∵∠1+∠BED+∠B'ED＝180°，∠2+∠BDE+∠B'DE＝180°，
∴∠1+2∠BED+∠2+2∠BDE＝360°，
∵∠1+∠2＝80°，
∴2∠BED+2∠BDE＝280°，
∴∠BED+∠BDE＝140°，
∵∠BED+∠BDE+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣140°＝40°．
故选：C．
3．如图，三角形纸片 ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点
C'处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【分析】根据三角形内角和定理，易得∠C＝180°﹣65°﹣70°＝45°；设C'D与BC交于点O，易得∠2＝
∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'，则∠2的度数可求．
【解答】解：根据题意，易得∠C＝∠C'＝180°﹣65°﹣70°＝45°；
如图，设C'D与BC交于点O，易得∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'，
则∠2＝∠C+∠1+∠C'＝45°+20°+45°＝110°．
故选：D．4．如图，在△ABC中，∠C＝46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数
是 ．
【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝46°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+92°，
则∠1﹣∠2＝92°．
故答案为：92°．
5．一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．（点A′在△ABC的内部）（1）如图1，若∠A＝45°，则∠1+∠2＝ °．
（2）利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中
得出的结论求∠BA′C的度数．
【分析】（1）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列
式整理即可得解；根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定
理列式整理即可得解；
（2）由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，据此得
∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，继而可得答案；
1
（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A知∠A＝54°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB=
2
1
（∠ABC+∠ACB）＝90°− ∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．
2
【解答】解：（1）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，
∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
1 1
∴∠ADE= （180°﹣∠1），∠AED= （180°﹣∠2），
2 2
在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，
1 1
∴45°+ （180°﹣∠1）+ （180°﹣∠2）＝180°，
2 2
整理得∠1+∠2＝90°；
故答案为：90；
（2）∠1+∠2＝2∠A，
理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，
∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，
∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，
即∠1+∠2＝2∠A；
（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝108°，
∴∠A＝54°，
∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，1
∴∠A'BC+∠A'CB= （∠ABC+∠ACB）
2
1
= （180°﹣∠A）
2
1
＝90°− ∠A．
2
∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），
1
＝180°﹣（90°− ∠A）
2
1
＝90°+ ∠A
2
1
＝90°+ ×54°
2
＝117°．
6．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，
∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠ ．
（1）若点P在线段AB上，α如图（1）所示，且∠ ＝50°，求∠1+∠2的度数；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则α∠ 、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所α示，直接写出∠ 、∠1、∠2之间关系为： ．
（不需说明理由）． α
【分析】（1）如图1中，连接PC．由∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠PCE+∠CPE，推出∠1+∠2＝（∠DCP+∠PCE）+（∠DPC+∠EPC），由∠DCP+∠PCE＝90°，∠DPC+∠EPC＝ ＝50°，即可推出
∠1+∠2＝140°． α
（2）结论：∠1+∠2＝90°+ ．证明方法类似（1）．
（3）由∠1＝∠C+∠COD，α∠COD＝∠2+ ，由∠C＝90°，即可推出∠1＝90°+∠2+ ．
【解答】解：（1）如图1中，连接PC． α α
∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2＝（∠DCP+∠PCE）+（∠DPC+∠EPC），
∵∠DCP+∠PCE＝90°，∠DPC+∠EPC＝ ＝50°，
∴∠1+∠2＝140°． α
（2）结论：∠1+∠2＝90°+ ．
理由如图2中，连接PC． α
∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2＝（∠DCP+∠PCE）+（∠DPC+∠EPC），
∵∠DCP+∠PCE＝90°，∠DPC+∠EPC＝
∴∠1+∠2＝90°+ ． α
（3）如图3中，α∵∠1＝∠C+∠COD，∠COD＝∠2+ ，
∵∠C＝90°， α
∴∠1＝90°+∠2+ ．
故答案为∠1＝90°α+∠2+ ．
【模型5 双内角平分线模型α 】
1
【结论】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC =90°+ ∠A.
2
【证明】
设∠ABD=∠DBC=c，∠ACD=∠BCD=y.
由△ABC的内角和为180°,得∠A＋2x＋2y=180°.①
由△BDC的内角和为180°,得∠BDC＋x＋y=180°.②
由②得x＋y=180°-∠BDC.③
把③代入①,得∠A＋2(180°-∠BDC)=180°，即2∠BDC=180°＋∠A，
1
即∠BDC =90°+ ∠A.
2
【练习】
1．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∠BAC＝80°，则∠BOC的度数是（
）A．130° B．120° C．100° D．90°
1 1
【分析】先求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理求出∠BOC即可．
【解答】解：∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
1 1
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°﹣∠A）＝50°，
2 2
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣50°＝130°，
故选：A．
2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点
O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．45° D．50°
【分析】根据∠AOB＝125°和三角形内角和，可以得到∠OAB+∠OBA的度数，再根据AE，BF分别是
∠BAC和∠ABC的角平分线，即可得到∠BAC+∠ABC的度数，进而得到∠C的度数，再根据AD是BC
边上的高，即可得到∠CAD的度数．
【解答】解：∵∠AOB＝125°，
∴∠OAB+∠OBA＝55°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，
∴∠BAC+∠ABC＝2（∠OAB+∠OBA）＝2×55°＝110°，
∴∠C＝70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝20°，
即∠CAD的度数是20°．
故选：A．
3．如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，则∠ABO的度数为
．
【分析】根据角平分线的定义可得出∠BAC＝60°、∠ACB＝70°，结合三角形内角和可得出∠ABC＝
50°，由三角形的三条角平分线交于一点，可得出BO平分∠ABC，进而可得出∠ABO的度数，此题得
解．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，
∴∠BAC＝2∠DAC＝60°，∠ACB＝2∠ECA＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝50°．
∵△ABC的三条角平分线交于一点，
∴BO平分∠ABC，
1
∴∠ABO= ∠ABC＝25°．
2
故答案为：25°．
4．已知在△ABC中，∠A＝100°，点D在△ABC的内部连接BD，CD，且∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝
∠BCD．
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，延长BD交AC于点E，延长CD交AB于点F，若∠AED﹣∠AFD＝12°，求∠ACF的度
数．【分析】（1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BDC的度数；
（2）设∠ACF＝ ，则∠BCD＝ ，∠CBD＝40°﹣ ＝∠ABD，依据三角形外角性质，即可得到∠AED
＝∠ACF+∠CDF，α ∠AFD＝∠ABαE+∠BDF，再根据α∠AED﹣∠AFD＝12°，即可得到 的值．
【解答】解：（1）∵∠A＝100°， α
∴∠ABC+∠ACB＝80°，
又∵∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD，
1 1
∴∠CBD= ∠ABC，∠BCD= ∠ACB，
2 2
1
∴∠CBD+∠BCD= （∠ABC+∠ACB）＝40°，
2
∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°；
（2）设∠ACF＝ ，则∠BCD＝ ，
∵∠BDC＝140°，α α
∴∠CBD＝40°﹣ ＝∠ABD，
∵∠AED是△DCαE的外角，∠AFD是△BDF的外角，
∴∠AED＝∠ACF+∠CDF，∠AFD＝∠ABE+∠BDF，
∴∠AED﹣∠AFD＝∠ACF+∠CDF﹣∠ABE﹣∠BDE＝ ﹣（40°﹣ ）＝12°，
解得 ＝26°， α α
∴∠AαCF＝26°．
5．已知任意一个三角形的三个内角的和是180°．如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的
角平分线CO的交点为O
（1）若∠A＝70°，求∠BOC的度数；
（2）若∠A＝a，求∠BOC的度数；
1 1
（3）如图2，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC= ∠ABC，∠OCB=
3 3
∠ACB，∠A＝a，求∠BOC的度数．【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义求出
∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，根据三
角形内角和定理求出即可；
（3）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出
即可．
【解答】解：（1）∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
1
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）＝55°，
2
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°；
（2）∵∠A＝ ，
∴∠ABC+∠ACαB＝180°﹣∠A＝180°﹣ ，
∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BOα与∠ACB的角平分线CO的交点为O，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
1 1 1
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°﹣ ）＝90°− α，
2 2 2
α
1 1
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°− α）＝90°+ α；
2 2
（3）∵∠A＝ ，
∴∠ABC+∠ACαB＝180°﹣∠A＝180°﹣ ，
1 1 α
∵∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
3 31 1 1
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°﹣ ）＝60°− α，
3 3 3
α
1 1
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（60°− α）＝120°+ α．
3 3
6．已知△ABC中，∠A＝60°，在图（1）中∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O ，则计算可得∠BO C＝
1 1
120°：
（1）在图（2）中，设∠ABC、∠ACB的两条三等分角线分别对应交于 O 、O ，得到∠BO C．则
1 2 2
∠BO C＝ ；
2
（2）在图（3）中请你猜想，当∠ABC、∠ACB同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于O 、
1
O 2⋯O n﹣1 ，则∠BO n﹣1 C＝ （用含n的代数式表示）．
【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°得出（∠ABC+∠ACB），再由∠ABC、∠ACB的两条三等
分角线分别对应交于O 、O 得出∠O BC+∠O CB的度数，进而可得出结论；
1 2 2 2
（2）根据n等分的定义求出∠O
n﹣1
BC+∠O
n﹣1
CB的度数，在△O
n﹣1
BC中，利用三角形内角和定理列
式整理即可得解．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵O B和O C分别是∠B、∠C的三等分线，
2 2
2 2 2
∴∠O BC+∠O CB= （∠ABC+∠ACB）= （180°﹣60°）＝120°− ×60°；
2 2 3 3 3
2 2
∴∠BO C＝180°﹣（∠O BC+∠O CB）＝180°﹣（120°− ×60°）＝60°+ ×60°＝100°．
2 2 2 3 3
故答案为：100°；
（2）∵O
n﹣1
B和O
n﹣1
C分别是∠B、∠C的n等分线，
n−1 n−1
∴ ∠ O n﹣ 1 BC+∠ O n﹣ 1 CB= （ ∠ ABC+∠ ACB ） = （ 180°﹣ 60° ）
n n(n−1)×180° (n−1)×60°
= − ；
n n
(n−1)×180° (n−1)×60°
∴ ∠ BO n﹣ 1 C ＝ 180°﹣ （ ∠ O n﹣ 1 BC+∠ O n﹣ 1 CB ） ＝ 180°﹣ （ n − n ）
(n−1)×60° 180° 120°
= + =60° + ．
n n n
120°
故答案为：60°+ ．
n
【模型6 双外角平分线模型】
1
【结论】如图所示，∠ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC=90°- ∠A.
2
【证明】设∠EBD=∠CBD=x，∠BCD=∠FCD=y.
由△BCD的内角和为180°,得x＋y＋∠BDC=180°.①
易得2x＋2y=180°＋∠A.②
由①得x+y=180°-∠BDC.③
把③代人②,得2(180°-∠BDC)=180°+∠A，
即2∠BDC=180°-∠A，
1
即∠BDC=90°- ∠A.
2
【练习】
1．如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长FB和
GC交于点H．设∠A＝ ，∠H＝ ，则 与 之间的数量关系为 ．
α β α β
【分析】根据角平分线定义设∠ABF＝∠DBF＝ ，∠ACG＝∠ECG＝ ，则∠ABD＝2 ，∠CBH＝
θ φ θ∠DBF＝ ，∠ACE＝2 ，∠BCH＝∠ECG＝ ，∠ABC＝180°﹣2 ，∠ACB＝180°﹣2 ，在△ABC中
由三角形内θ 角和定理得φ+180°﹣2 +180°﹣2 ＝φ180°，即 + ＝90°θ+1/2 ，在Rt△HBC中φ由三角形内角
和定理得 + + ＝180°，α据此可得θ 与 之间φ的数量关系．θ φ α
【解答】解β：θ∵φBF和CG分别是∠AαBDβ和∠ACE的角平分线，
∴设∠ABF＝∠DBF＝ ，∠ACG＝∠ECG＝ ，
则∠ABD＝2 ，∠CBHθ＝∠DBF＝ ，∠ACEφ＝2 ，∠BCH＝∠ECG＝ ，
∴∠ABC＝18θ0°﹣∠ABD＝180°﹣2θ，∠ACB＝1φ80°﹣∠ACE＝180°﹣2φ，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝θ180°， φ
∴ +180°﹣2 +180°﹣2 ＝180°，
α θ 1 φ
整理得： + ＝90°+ ，
2
θ φ α
在Rt△HBC中，∠H+∠CBH+∠BCH＝180°，
∴ + + ＝180°，
β θ φ 1
∴ +90°+ ＝180°，
2
β α
整理得： +2 ＝180°．
∴ 与 之α间β的数量关系为 +2 ＝180°．
故α答案β为： +2 ＝180°． α β
2．在△ABC中α，∠βABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平
分线相交于点Q，当∠Q＝65°，则∠BPC＝ °．
【分析】由三角形内角和定理得∠QBC+∠QCB＝180°﹣∠Q＝115°，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PBC），根据角平分线定义得∠EBC＝2∠QBC，∠FCB＝2∠QCB，则
∠EBC+∠FCB＝2（∠QBC+∠QCB）＝230°，再根据三角形外角性质得∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝
∠A+∠ABC，则∠EBC+∠FCB＝2∠A+∠ABC+∠ACB＝180°+∠A，由此得180°+∠A＝230°，则∠A＝
1
50°，然后根据∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．得∠PBC+∠PBC= （∠ABC+∠ACB）
2
＝65°，据此可得∠BPC的度数．【解答】解：如图所示：
∵∠Q＝65°，
∴ ∠ QBC+∠ QCB ＝ 180°﹣ ∠ Q ＝ 115° ， ∠ ABC+∠ ACB ＝ 180°﹣ ∠ A ， ∠ BPC ＝ 180°﹣
（∠PBC+∠PBC），
∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠EBC＝2∠QBC，∠FCB＝2∠QCB，
∴∠EBC+∠FCB＝2（∠QBC+∠QCB）＝2×115°＝230°，
由三角形外角性质得：∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠A+∠ABC，
∴∠EBC+∠FCB＝2∠A+∠ABC+∠ACB＝2∠A+180°﹣∠A＝180°+∠A，
∴180°+∠A＝230°，
∴∠A＝50°，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，
1 1
∴∠PBC= ∠ABC，∠PBC= ∠ACB，
2 2
1 1 1
∴∠PBC+∠PBC= （∠ABC+∠ACB）= （180°﹣∠A）＝90°− ∠A＝65°，
2 2 2
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PBC）＝180°﹣65°＝115°．
故答案为：115．
3．如图，点F，C在射线AN上，点B，E在射线AM上，∠MEF与∠NFE的角平分线交于点P，∠MBC
与∠NCB的角平分线交于点G．若∠G＝67°，那么∠P＝ °．
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的性质分别用角A表示出∠G和∠P即可．【解答】解：∵∠MEF与∠NFE的角平分线交于点P，
1 1 1 1 1
∴∠G＝180°﹣（ ∠NCB+ ∠MBC）＝180°﹣[ （180°﹣∠ACB）+ （180°﹣∠ABC）]＝180°−
2 2 2 2 2
1
[180°+180°﹣（∠ACB+∠ABC）]＝180°− （180°+∠A）＝90°﹣∠A＝67°，
2
∵∠MBC与∠NCB的角平分线交于点G，
1 1 1 1 1
∴∠P＝180°﹣（ ∠NFE+ ∠MEF）＝180°﹣[ （180°﹣∠AFE）+ （180°﹣∠AEF）]＝180°−
2 2 2 2 2
1
[180°+180°﹣（∠AEF+∠AFE）]＝180°− （180°+∠A）＝90°﹣∠A＝67°，
2
故答案为：67°．
4．如图，△ABC中，∠CAB＝n°，∠CBA＝m°，点D是△ABC 三个内角平分线交点，延长DB到点G，
4 3
∠FCB与∠CBG的平分线将于点E，若BE∥AC，则 n+ m= ．
5 5
【分析】先由三角形的外角定理得∠FCB＝∠CAB+∠CBA＝n°+m°，再根据角平分线的定义及邻补角的
1 1
定义得∠CBE= ∠CBG＝90°− m°，然后根据 BE∥AC 得∠FCB+∠CBE＝180°，进而得 4n+3m＝
2 4
4 3
360°，由此可得 n+ m值．
5 5
【解答】解：∵∠CAB＝n°，∠CBA＝m°，
∴∠FCB＝∠CAB+∠CBA＝n°+m°，
∵BD平分∠CBA，
1 1
∴∠CBD= ∠CBA= m°，
2 2
1
∴∠CBG＝180°﹣∠CBD＝180°− m°，
2∵BG平分∠CBG，
1 1
∴∠CBE= ∠CBG＝90°− m°，
2 4
∵BE∥AC，
∴∠FCB+∠CBE＝180°，
1
即n°+m°+90°− m°＝180°，
4
整理得：4n+3m＝360°，
4 3 1 1
∴ n+ m= （4n+3m）= ×360°＝72°．
5 5 5 5
故答案为：72°．
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD是△ABC内角∠ABC的平分线，AD是△ABC外角∠EAC的
平分线，CD是△ABC外角∠ACF的平分线，以下结论不正确的是（ ）
A．AD∥BC B．∠ACB＝2∠ADB
C．∠ADC＝90°﹣∠ABD D．BD平分∠ADC
【分析】A、由 AD 平分△ABC 的外角∠EAC，求出∠EAD＝∠DAC，由三角形外角得∠EAC＝
∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，得出∠EAD＝∠ABC，利用同位角相等两直线平行得出结论正确．
B、由 AD∥BC，得出∠ADB＝∠DBC，再由 BD 平分∠ABC，所以∠ABD＝∠DBC，∠ABC＝
2∠ADB，得出结论∠ACB＝2∠ADB，
C、在△ADC 中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，利用角的关系得∠ADC+∠CAD+∠ACD＝
∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，得出结论∠ADC＝90°﹣∠ABD；
D、用排除法可得结论．
【解答】解：A、∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∵∠EAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，
故A正确．
B、由（1）可知AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABC＝2∠ADB，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ADB，
故B正确．
C、在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB
∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，
∴∠ADC+∠ABD＝90°
∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，
故C正确；
不妨设，D选项正确，可以推出AB＝AD＝AC，推出∠ACB＝∠ACD＝∠DCF＝60°，显然不可能，故
D错误．
故选：D．
6．如图，AD，BD分别是△ABC的外角∠BAF，∠ABG的角平分线；AE，BE分别是∠DAB，∠ABD的角
平分线；AM，BN分别是∠FAD，∠DBG的角平分线．当∠C＝（ ）时，AM∥BN．
A．45° B．50° C．60° D．120°3 3
【分析】由角平分线的定义可求得∠MAB= ∠FAB，∠NBA= ∠ABG，再由三角形的外角性质可得
4 4
∠FAB＝∠C+∠ABC，∠ABG＝∠C+∠BAC，再由三角形的内角和得∠ABC+∠BAC＝180°﹣∠C，要使
AM∥BN，则可使∠MAB+∠NBA＝180°，从而可求解．
【解答】解：∵AD是△ABC的外角∠BAF的角平分线；AM是∠FAD的角平分线，
1 1
∴∠DAB＝∠FAD= ∠FAB，∠MAD= ∠FAD，
2 2
3
∴∠MAB= ∠FAB，
4
3
同理可得：∠NBA= ∠ABG，
4
∵∠FAB＝∠C+∠ABC，∠ABG＝∠C+∠BAC，∠ABC+∠BAC＝180°﹣∠C，
∴∠FAB+∠ABG＝2∠C+∠ABC+∠BAC，
∴∠MAB+∠NBA
3 3
= ∠FAB+ ∠ABG
4 4
3
= （∠FAB+∠ABG）
4
3
= （2∠C+∠ABC+∠BAC）
4
3
= （2∠C+180°﹣∠C）
4
3
= （180°+∠C），
4
要使AM∥BN，
则∠MAB+∠NBA＝180°，
3
即 （180°+∠C）＝180°，
4
解得：∠C＝60°．
故选：C．
【模型7 内外角平分线模型】
1
【结论】如图所示，∠ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则∠D= ∠A.
2【证明】设∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠ECD=y.
由外角定理得2y=∠A+2x ，①
y=∠D+x.②
把②代人①,得2(∠D+x)=xA+2x ,
1
即∠D= ∠A.
2
【练习】
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P；若∠BPC＝
25°，则∠ACB的度数为（ ）
A．25° B．50° C．65° D．70°
1 1
【分析】由角平分线的定义可得∠PBC= ∠ABC，∠ACP＝∠DCP= ∠ACD，从而可求得∠DCP＝
2 2
1
90°− ∠ACB，再利用三角形的外角性质得∠DCP＝∠PBC+∠P，从而可求解．
2
【解答】解：如图，
∵∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P，
1 1
∴∠PBC= ∠ABC，∠ACP＝∠DCP= ∠ACD，
2 2∵∠ABC＝∠ACB，
1 1 1
∴∠PBC= ∠ACB，∠DCP= （180°﹣∠ACB）＝90°− ∠ACB，
2 2 2
∵∠DCP是△BCP的外角，∠BPC＝25°，
∴∠BPC+∠PBC＝∠DCP，
1 1
25°+ ∠ACB＝90°− ∠ACB，
2 2
解得：∠ACB＝65°．
故选：C．
2．如图，BE是△ABC中∠ABC的平分线，CE是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABC＝40°，∠ACD＝
100°，则∠A+∠E＝（ ）
A．40° B．90° C．100° D．140°
【分析】由BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，利用角平分线的定义，可求出∠CBE，∠DCE的度数，由
∠ACD是△ABC的外角，∠DCE是△BCE的外角，利用三角形的外角性质，可求出∠A，∠E的度数，
再将其代入∠A+∠E中，即可求出结论．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
1 1 1 1
∴∠CBE= ∠ABC= ×40°＝20°，∠DCE= ∠ACD= ×100°＝50°．
2 2 2 2
∵∠ACD是△ABC的外角，∠DCE是△BCE的外角，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝100°﹣40°＝60°，∠E＝∠DCE﹣∠CBE＝50°﹣20°＝30°，
∴∠A+∠E＝60°+30°＝90°．
故选：B．
3．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则
∠CAP的度数为（ ）A．40° B．50° C．55° D．60°
【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，
得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案
【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，
∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
{PA=PA
)
，
PM=PF
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝50°．
故选：B．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＜∠A，BD是角平分线，BE是边AC上的高，延长BD与外角∠ACF的平
1
分线交于点G．以下四个结论：①∠ABD＝∠CBD；②∠ABE+∠A＝90°；③∠G= ∠A；④∠A﹣
2
∠ACB＝2∠EBD．其中结论正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明∠ABC＝
1
2∠GBC，∠ACF＝2∠GCF，∠ACF＝∠ABC+∠A，∠GCF＝∠GBC+∠G，从而可得出∠G= ∠A，
2
可判断③，由 2∠EBD＝2（90°﹣∠ADB），∠ADB＝∠DBC+∠ACB，可得 2∠EBD＝180°﹣
（2∠DBC+2∠ACB）＝∠A﹣∠ACB，从而可判断④，从而可得答案．
【解答】解：∵BD是△ABC角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，故①正确；
∵BE是边AC上的高，
∴∠ABE+∠A＝90°，故②正确；
∵BD是△ABC角平分线，CG平分∠ACF，
∴∠ABC＝2∠GBC，∠ACF＝2∠GCF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠GCF＝∠GBC+∠G，
∴2∠GCF＝2∠GBC+∠A，
1
∴∠G= ∠A，故③正确；
2
∵2∠DBE＝2（90°﹣∠ADB），∠ADB＝∠DBC+∠ACB，
∴2∠DBE＝180°﹣（2∠DBC+2∠ACB）
＝180°﹣（∠ABC+2∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A+∠ACB）
＝∠A﹣∠ACB，故④正确；
∴正确的有①②③④共4个，
故选：D．
5．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点A ，∠A BC和∠A CD的平分线
1 1 1
交于点A
2
，⋯，∠A
2023
BC和∠A
2023
CD的平分线交于点A
2024
，则∠A
2024
的度数为（ ）30 30
A．( )° B．( )°
22024 22023
60 60
C．( )° D．( )°
22024 22023
【分析】根据角平分线定义设∠ABA ＝∠CBA ＝ ，∠ACA ＝∠DCA1＝ ，则∠ABC＝2 ，∠ACD＝
1 1 1
2 ，由三角形外角性质得∠DCA ＝∠CBA +∠αA ，∠ACD＝∠ABC+β∠A，即 ＝ +α∠A ，2 ＝
1 1 1 1
β β α β
1 1 1 1 1
2a+∠A，由此得∠A = ∠A，同理：∠A = ∠A = ∠A，∠A = ∠A = ∠A，…，以此类推，∠A
1 2 2 2 1 22 3 2 2 23 n
1
= ∠A，据此可得当∠A＝60°时，∠A 的度数．
2n 2024
【解答】解：∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点A ，
1
∴设∠ABA ＝∠CBA ＝ ，∠ACA ＝∠DCA1＝ ，
1 1 1
∴∠ABC＝2 ，∠ACD＝α2 ， β
由三角形外角α性质得：∠DβCA
1
＝∠CBA
1
+∠A
1
，∠ACD＝∠ABC+∠A，
即 ＝ +∠A ，2 ＝2a+∠A，
1
∴2β（α+∠A ）＝β2 +∠A，
1
α 1 α
∴∠A = ∠A，
1 2
1 1 1 1
同理：∠A = ∠A = ∠A，∠A = ∠A = ∠A，
2 2 1 22 3 2 2 23
1
…，以此类推，∠A = ∠A，
n 2n
1 60
∴当∠A＝60°时，∠A = ∠A =( )°．
2024 22024 22024
故选：C．
6．如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，
1
D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；②∠D=90°− ∠A；③DH∥AB；④
21
∠H= ∠A；⑤∠CBD＝∠D，其中正确的结论有（ ）
2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①根据BH、BD是∠ABC与∠CBE的平分线，可得∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，再
由邻补角的性质，可得①正确；②根据 BD 和 CD 是△ABC 两个外角的平分线，可得
1 1
∠D=180°− (180°−∠ABC)− (180°−∠ACB)，可得②正确；③根据∠A＝∠ABC，可得
2 2
∠ BCF ＝ ∠ A+∠ ABC ＝ 2∠ ABC ， 可 得 ∠ BCD ＝ ∠ ABC ， 可 得 ③ 正 确 ； ④ 根 据
1
∠D=90°− ∠A，∠DBH=90°，可得④正确；⑤根据∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE，
2
1 1
可得∠CBD=90°− ∠ABC，再由∠A＝∠ABC，可得∠CBD=90°− ∠A，可得⑤正确，即可
2 2
求解．
【解答】解：①∵BH、BD是∠ABC与∠CBE的平分线，
∴∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，
∵∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠CBH+∠CBD＝90°，即∠DBH＝90°，
∴DB⊥BH，故①正确；
②∵BD和CD是△ABC两个外角的平分线，
∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
1 1
=180°− ∠EBC− ∠BCF
2 2
1 1
=180°− (180°−∠ABC)− (180°−∠ACB)
2 2
1
= (∠ABC+∠ACB)
21
= (180°−∠A)
2
1
=90°− ∠A，故②正确；
2
③∵∠A＝∠ABC，
∴∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC，
∵CD是∠BCF的平分线，
1
∴∠BCD= ∠BCF=∠ABC，
2
∴DH∥AB，故③正确；
1
④∵∠D=90°− ∠A，∠DBH=90°，
2
1
∴∠H=90°−∠D= ∠A，故④正确；
2
⑤∵∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE，
1 1 1
∴∠CBD= ∠CBE= (180°−∠ABC)=90°− ∠ABC，
2 2 2
∵∠A＝∠ABC，
1
∴∠CBD=90°− ∠A，
2
1
∵∠D=90°− ∠A，
2
∴∠CBD＝∠D，故⑤正确．
综上所述，正确的有5个．
故选：D．
7．在苏科版数学教材七下第43页我们曾经研究过内外角平分线夹角问题．小聪在研究完上面的问题后，
对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
（1）【问题再现】如图（1），若∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），BC是∠ABN的平分
线，BC的反向延长线交∠BAO的平分线于点D．则∠D＝ °；
（2）【问题推广】
①如图（2），若∠MON＝ （0°＜ ＜180°），（1）中的其余条件不变，则∠D＝ °（用含 的代
数式表示）； α α α
②如图（2），∠MON＝ （0°＜ ＜180°），点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），点E
α α
1
是OB上一动点，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与射线AE交于点D，若∠D= ，则AE是
2
α
△OAB的角平分线吗？请说明理由；
（3）【拓展提升】
1 1
如图（3），若∠NBC= ∠ABN，∠DAO= ∠BAO，试探索∠D和∠O的数量关系（用含m的代数式
m m
表示），并说明理由．
【分析】（1）利用三角形外角的性质可得∠ABN＝90°+∠OAB，再根据角平分线的定义以及三角形内
角和定理，求解即可；
（2）①利用三角形外角的性质可得∠ABN＝∠MON+∠OAB，在根据角平分线的定义以及三角形内角
1
和定理，求解即可；②根据三角形内角和的性质以及角平分线的定义，得出∠BAD= ∠OAB，即可
2
求解；
（3）利用三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，求解即可．
【解答】解：（1）∵∠ABN＝90°+∠OAB，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AD平分∠OAB，BC是∠ABN的平分线，
1 1
∴∠BAD= ∠OAB，∠CBN= ∠ABN，
2 2
1
∴∠DBO=∠CBN= (90°+∠OAB)，
2
1
∴∠DBA=∠DBO+∠ABO= (90°+∠OAB)+∠OBA，
2
∴
1 1
∠D=180°−∠DBA−∠BAD=180°− (90°+∠OAB)−∠OBA− ∠OAB=180°−135°=45°
2 2，
故答案为：45°
（2）①∠ABN＝ +∠OAB，
∠OAB+∠OBA＝1α80°﹣ ，
∵AD平分∠OAB，BC是α∠ABN的平分线，
1 1
∴∠BAD= ∠OAB，∠CBN= ∠ABN，
2 2
1
∴∠DBO=∠CBN= (α+∠OAB)，
2
1
∴∠DBA=∠DBO+∠ABO= (α+∠OAB)+∠OBA，
2
1 1 1
∴∠D=180°−∠DBA−∠BAD=180°− (α+∠OAB)−∠OBA− ∠OAB= α，
2 2 2
1
故答案为： α；
2
②是，理由如下：
∵∠ABN＝ +∠OAB，
∴∠OAB+∠αOBA＝180°﹣ ，
∵BC是∠ABN的平分线，α
1
∴∠CBN= ∠ABN，
2
1
∴∠DBO=∠CBN= (α+∠OAB)，
2
1
∴∠DBA=∠DBO+∠ABO= (α+∠OAB)+∠OBA，
2
∴∠BAD＝180°﹣∠D﹣∠DBA
1 1
=180°− (α+∠OAB)−∠OBA− α，
2 2
1
=∠OAB+∠OBA− ∠OAB−∠OBA
2
1
= ∠OAB，
2
∴AE是△OAB的角平分线；
1
（3）∠D=(1− )∠O，理由如下：
m∵∠ABN＝∠O+∠OAB，
∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠O，
1 1
∴∠DBO=∠NBC= ∠ABN= (∠O+∠OAB)，
m m
1
∴∠DBA= (∠O+∠OAB)+∠OBA，
m
1
∵∠DAO= ∠BAO，
m
1
∴∠BAD=∠BAO−∠DAO=∠BAO− ∠BAO，
m
∠D＝180°﹣∠DBA﹣∠BAD
1 1
=180°− (∠O+∠OAB)−∠OBA−(∠BAO− ∠BAO)
m m
1
=(1− )∠O，
m
即．
