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专题 02 三角形中的倒角模型之 A 字、8 字、燕尾模型
目录
A题型建模・专项突破
题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型....................................................................................................1
题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型....................................................................................................3
题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型..........................................................................................................6
B综合攻坚・能力跃升
题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型
1．如图，从 纸片中剪去 ，得到四边形 ．如果 ，那么 度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将纸片 沿 折叠，点A落在点F处，已知 ，则 度；
3.如图1，直线 与 的边 ， 分别相交于点 ， （都不与点 重合）.
(1)若 ，①求 的度数；②如图2，直线 与边 ， 相交得到 和 ，直接写出
的度数.(2)如图3， ， 分别平分 和 ，写出 和 的数量关系，并说明
理由；
(3)如图4，在四边形 中，点 ， 分别是线段 、线段 上的点， ， 分别平分
和 ，直接写出 与 ， 的关系.题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型
4．如图， ，垂足为E， ， ，则 ．
5．如图1，线段 相交于点 ，连接 ，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，
在图1的条件下， 和 的平分线 和 相交于点 ，并且与 、 分别相交于 、 ．
试解答下列问题．
(1)如图1，试说明： ．
(2)如图2，若 ， ，求 的度数．
(3)在图2中，若 ， ，直接写出 的度数（用含 的代数式表示）．
6．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图①，已知线段 ， 相交于点 ，连接 ， ，我们把形
如这样的图形称为“八字图形”．
(1)问题发现：如图①，试证明： ；
(2)拓展研究：
如图②，若 和 的平分线 和 相交于点 ，与 ， 分别交于点 ， ．
①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：______；______；
②若 ， ，求 的度数（用含 ， 的代数式表示）；
(3)解决问题：
在（2）的条件下，若 与 分别平分 与 ， 与 交于点 ，且 ，请
直接写出 的取值范围．题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型
7．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，小军借助几何画板设计了“鱼形”图案，由四边形 和
组成．已知在 中， ， ， ， ，则 的度数是（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
8．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图 所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这
样图形叫做“规形图”，
①如图 ，请直接写出 与 、 、 之间的关系：
②如图 ，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 、 恰好经过点 、 ，若
，直接写出 的结果；
③如图 ， 平分 ， 平分 ，若 ， ，求 的度数；
9．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以
抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，探究 、 、 、 之间的数量关系，并证明：
（2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题：
【类比探究】
①如图2，已知 ，求 的度数；
【拓展延伸】
②如图3，已知 ，求 的度数．一、单选题
1．如图，D，E两点分别在 的两边 ， 上，连接 ，已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．小枣一笔画成了如图所示的图形，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知在 中， ，现将一块直角三角板放在 上，使三角板的两条直角边分别
经过点 ，直角顶点D落在 的内部，则 （ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
4．如图，在 中， ，剪去 得到一个四边形，则 的度数为 ．
5．如图， ，垂足为E， 与 相交于 ， ， ，则 ．6．如图， ．
三、解答题
7．如图1， 为直角三角形， ． 的两顶点B，C分别在直角边 ， 上，且P
点在 内．
(1)若 ，则 ______度， ______度；
(2)如图2，连接 ，若 ，试说明 平分 ；
(3)请判断点P是否满足 平分 且 平分 ，并说明理由．
8．【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①， 与
分别为 的两个外角，则 ．
【推理证明】∵ 与 分别为 的两个外角，
∴ ______， ______，
∴ ______．
∵ ，
∴ ．【初步应用】
（1）如图②，在 纸片中剪去 ，得到四边形 ，若 ，则 的大小为
______度．
（2）如图③，在 中， 、 分别为外角 、 的平分线，则 与 的数量关系，
并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图④，在四边形 中， 、 分别为外角 、 的平分线，若 ，
求 的度数．
9．【认识模型】
（1）如图①， 相交于点O，连接 ，可以得出 四个角之间的等量关系
是 ；（直接写结果）
【应用模型】
（2）如图②， 相交于点A， 为 的平分线，交 于点H， 为 的平分线，交
于点G．写出 间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，求 的度数．
10．如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．
(1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图 中 与 ， ， 之间的关系，并说明理由；
(2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
如图 ，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 ， 恰好经过点 ， ，若，则 ______ ；
如图 ， ， 的三等分线 ， 相交于点 ，若 ， ，求
的度数．
11．（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明： ．
（2）如图（2）， 分别平分 ，若 ．求 的度数．
（3）如图（3），直线 平分 平分 的外角 ，猜想 与 的数量关系是
______；
（4）如图（4），直线 平分 的外角 平分 的外角 ，猜想 与
的数量关系是______．
12．如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥
你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究 与 之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 恰好经过点B、C，若
，直接写出 的结果；
②如图3， 平分 ， 平分 ，若 ，求 的度数；
③如图4， 的10等分线相交于点 ，若 ，求 的
度数．
13．“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型，给同学们解答几何题带来很大的便捷．
(1)初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是 ，请你给予证明．
(2)模型求解：如图2，线段 在四边形 内部，连接 、 ，相交于点O，请借助“8”字模型的结论求： 的度数．
(3)构造模型：如图3，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出
的度数．
(4)模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、
“八角星”等，如图4“七角星 ”的七个内角和： ________ ；
猜测“n角星”的n个内角的和为_________（用含n的式子表示）．
14．解读基础：
（1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出 、 、 、 之间的关系，并说明理由；
（2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出 、 、 、 之间的关系，并说明理由：
应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题
（3）①如图3，在 中， 、 分别平分 和 ，请直接写出 和 的关系 ；
②如图4， ．
（4）如图5， 与 的角平分线相交于点 ， 与 的角平分线相交于点 ，已知
， ，求 和 的度数．
