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专题02.三角形中的倒角模型之双角平分线模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模
型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
.................................................................................................................................................2
模型1双角平分线模型（双内角）.........................................................................................................2
模型2.双角平分线模型（一内角一外角）..............................................................................................8
模型3.双角平分线模型（双外角）.......................................................................................................11
...............................................................................................................................................17模型1双角平分线模型（双内角）
双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。
1）两内角平分线的夹角模型
图1 图2 图3
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论： 。
证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴ ， 。
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A。
2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1
条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。
证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴ ， 。
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- （∠ABC+∠DCB）=180°- （360°-∠A-∠D）= （∠A+∠D）。即：
2∠P=∠A+∠D。
3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2
条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。
证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴ ， 。
∴∠P=180°- （ ∠ PCD+∠PDC ） =180°- （ ∠ BCD+∠CDE ） =180°- （ 540°-∠A-∠D-∠E ）
=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。
例1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，在 中， 为 的角平分线， 为 的高，
与 相交于点F， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023秋·山西太原·八年级校考期末）已知：如图， 是 内一点，连接 ， ．
(1)猜想： 与 、 、 存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若 ， 、
分别是 、 的三等分线，直接利用（1）中结论，可得 的度数为 ．
例3．（2023秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）（1）已知：如图（1），在 中， 、 分别平分
和 ，直接写出 与 的数量关系；（2）已知：如图（2），在四边形 中， 、
分别平分 和 ，试探究 与 、 之间的数量关系．例4．（23-24八年级上·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1， 中， 平分 ， 平
分 ，探求 与 之间的数量关系；
【基础探究2】（2）如图2， 中， 、 是 的三等分线， 、 是 的三等分线，
则 与 之间的数量关系是______；
【基础探究3】（3）如图3， 中， 、 、 是 的四等分线， 、 、 是
的四等分线，则 与 之间的数量关系是______；
【拓展与探究】（4）如图4， 中， 、 、……、 、 是 的 等分线， 、
、……、 、 是 的 等分线，请用一个等式表示 、 、 三者之间的
数量关系是______；
【探究与应用】（5） 中， 、 、……、 是 的2024等分线， 、 、……、
是 的2024等分线，若 与 的和是 的7倍，则 ______ ．模型2.双角平分线模型（一内角一外角）
双角平分线模型2：当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。
图1 图2
1）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：
．证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴ ， 。
∴∠P=∠PCD-∠PBC= （∠ACD-∠ABC）= ∠A。
2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图2， ，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点 ， 的平分线相交于点 ，
， 的平分线相交于点 ……以此类推；结论： 的度数是．
证明：∵BP、CP 平分∠ABC、∠ACD，∴ ， 。
1 1
∴∠P
1
=∠P
1
CD-∠P
1
BC= （∠ACD-∠ABC）= ∠A= 。同理：∠P
2
= ∠P
1
= ，∠P
n
=
例1．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在 中， 的角平分线和
的外角平分线交于点P；若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·江西景德镇·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在BC的延长线上，BP
平分∠ABC，CP平分∠ACD．(1)当∠ABC＝60°，∠P＝______；当∠ABC＝50°，∠P＝______；当∠ABC
＝40°，∠P＝______；(2)当∠ABC为任意锐角时，∠P的度数是否会发生变化？若会变化，请说明理由；
若不会变化请求出这个确定的度数．例3．（2023春·四川成都·八年级校考期中） 中， ．现进行第一次操作：如图1作射线 ，
使得 ，作射线 ，使得 ．再进行第二次操作：如图2作射线 ，使
得 ，作射线 ，使得 ．再进行第三次操作：如图3作射线 使得
，作射线 ，使得 ．则 ．
模型3.双角平分线模型（双外角）
双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差。C
D
B A E
图1 图2 图3
1）两外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论： ．
证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴ ， 。
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°- （∠EBC+∠BCF）=180°- （∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）
=180°- （180°+∠A）=90°+ ∠A。
2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点 D；结论：AD平分
∠CAD。
证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，
∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。,
例1．（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在 中， ，三角形两外角的角平分线交于点
E，则 ．
例2．（23-24八年级上·甘肃天水·期末）（1）如图①， 是 的外角， 平分 ， 平
分 ，且 、 交于点 ．如果 ， ，求 的度数；
（2）如图②，点 是 两外角平分线 、 的交点，探索 与 之间的数量关系，并说明理由．例3．（2022春·湖南长沙·八年级校考期末）（1）如图 ，在 中， 、 的平分线 ， 相交
于点 ， ， ，求 的度数；
（2）如图 ， 的外角 的平分线 与内角 平分线 交于点 ，若 ，
①求 的度数；②求 的度数．
例4．（2023秋·广东佛山·八年级校考期末）（1）如图1所示，在 中， 和 的平分线将
于点O，则有 ，请说明理由．
（2）如图2所示，在 中，内角的平分线 和外角 的平分线交于点O，请直接写出与 之间的关系，不必说明理由．
（3）如图3所示，AP，BP分别平分 ， ，则有 ，请说明理由．
（4）如图4所示，AP，BP分别平分 ， ，请直接写出 与 ， 之间的关系，不必说
明理由．
1．（2023·江苏·八年级统考期末） 中，点 是 内一点，且点 到 三边的距离相等；，则
A． B． C． D．
2．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，在 中， 、 分别是 ， 的角平分
线，连接 并延长交 于点 ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·云南大理·八年级校考期中）如图，在 中， 平分 ， 平分 ，连接 ，
若 ，则 的度数是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC
与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°5．（2023·河北张家口·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC
与∠A的大小关系是（ ）
A．∠BOC=2∠A B．∠BOC=90°+∠A C．∠BOC=90°+ ∠A D．∠BOC=90°－ ∠A
6．（2023·浙江台州·八年级校考期中）如图 ABC，BD平分∠ABC且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于
点D，若∠ABC=m°，∠ACB=n°，求∠D的度数△为（）
A．90°+ m°- n° B．90°- m°+ n° C．90°- m°- n° D．不能确定
7．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在 中，点 是 内一点，且点 到 三边
的距离相等，若 ，则 ．
8．（2023春·河北·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与
∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝9．（2023秋·北京大兴·八年级统考期末）如图，在 中， ， 的平分线与外角
的平分线相交于点M，作 的延长线得到射线 ，作射线 ，有下面四个结论：
① ；② ；③射线 是 的角平分线；④ ．
所有正确结论的序号是 ．
10．（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 与 的平分线
交于点 ，得 ； 与 的平分线相交于点 ，得 ； ； 与 的平分线相
交于点 ，得 ，则 ．
11．（2023秋·湖北八年级课时练习）如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与
∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：
（1）若∠A＝60°，则∠P＝ °；（2）若∠A＝40°，则∠P＝ °；（3）若∠A＝100°，则∠P＝
°；
（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系 ．
12．（2023秋·广西八年级课时练习）如图，已知 的两条高 、 交于点 ， 的平分线与
外角 的平分线交于点 ，若 ，则 ．13．（2023春·河南郑州·八年级校考期末）如图，已知在 中， ．
(1)分别作 ， 的平分线，它们交于点 （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)当 时， 的度数为 ．(3)当 时， 的度数为 ．
14．（2023·成都市·八年级专题练习）在 中， ，线段 、 分别平分 、
交于点G．(1)如图1，求 的度数；(2)如图2，求证： ；(3)如图3，过点C作 交
延长线于点D，连接 ，点N在 延长线上，连接 交 于点 ，使 ，若
， ，求线段 的长．
15．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，在 中， ， 是 ， 平分线的交点．(1) ；(2)若 是两条外角平分线的交点，则 ；(3)在（2）的条件下，
若 是内角 和外角 的平分线的交点，试探索 与 的数量关系，并说明理由．
16．（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，
我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在 中， ，
，则 与 互为“和谐角”， 为“和谐三角形”．
【理解】(1)若 为和谐三角形， ，则这个三角形中最小的内角为______°；
(2)若 为和谐三角形， ，则这个三角形中最小的内角为______°；
(3)已知 是和谐 中最小的内角，并且是其中的一个和谐角，试确定 的取值范围，并说明理由；
(4)【应用】如图， 中， ， ， 交 于点F，点D是 延长线上一点，
，若 是和谐 中的一个和谐角，设 ，则 ______．
17．（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，在 中， ， ，点P为 、的角平分线上的交点．(1) 的度数是______．(2)请问点P是否在 的角平分线上？请说
明理由．
18．（2023·成都市·八年级专题练习）课本拓展
旧知新意：我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角
与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样
的数量关系？为什么？
初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=______；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P
与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案______．
3拓展提升：（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何
数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需要说明理由）
19．（2023春·江苏·八年级期中）某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝
64°，则∠BPC＝ ；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于
点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，
∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并证明．
20．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在 中，点D在 上，过点D作 ，交 于
点E， 平分 ，交 的平分线于点P， 与 相交于点G， 的平分线 与 相
交于点Q．(1)若 ，则 ____________ ， ____________ ；
(2)若 ，当 的度数发生变化时， 的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若 ，则 ____________ ， ____________ ；（用含x的代数式表示）；
(4)若 中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的 的度数．
