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专题02.三角形中的倒角模型之双角平分线模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模
型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
.................................................................................................................................................2
模型1双角平分线模型（双内角）.........................................................................................................2
模型2.双角平分线模型（一内角一外角）..............................................................................................8
模型3.双角平分线模型（双外角）.......................................................................................................11
...............................................................................................................................................17模型1双角平分线模型（双内角）
双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。
1）两内角平分线的夹角模型
图1 图2 图3
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论： 。
证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴ ， 。
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A。
2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1
条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。
证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴ ， 。
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- （∠ABC+∠DCB）=180°- （360°-∠A-∠D）= （∠A+∠D）。即：
2∠P=∠A+∠D。
3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2
条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。
证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴ ， 。
∴∠P=180°- （ ∠ PCD+∠PDC ） =180°- （ ∠ BCD+∠CDE ） =180°- （ 540°-∠A-∠D-∠E ）
=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。
例1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，在 中， 为 的角平分线， 为 的高，
与 相交于点F， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考常考题型．由三角形的内角和可求得 ，再由角平分线求得 ，
再结合 是高，从而可求 的度数，由对顶角相等可得 ，即得解．
【详解】解： ， ， ，
平分 ， ，
， ， ，
，故选：D
例2．（2023秋·山西太原·八年级校考期末）已知：如图， 是 内一点，连接 ， ．
(1)猜想： 与 、 、 存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若 ， 、
分别是 、 的三等分线，直接利用（1）中结论，可得 的度数为 ．
【答案】(1) ，证明见解析(2)【分析】（1）根据三角形内角和定理得到 ， ，再结
合 ， 即可得到结论；
（2）先根据三角形内角和定理和角三等分线的定义得到 ， ，
，再代入（1）中结论求解即可．
【详解】（1）解：猜想： ，
证明：由题意得： ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， 、 分别是 、 的三等分线，
∴ ， ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角三等分线的定义，熟知三角形内角和为 度是解题的关
键．
例3．（2023秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）（1）已知：如图（1），在 中， 、 分别平分
和 ，直接写出 与 的数量关系；（2）已知：如图（2），在四边形 中， 、
分别平分 和 ，试探究 与 、 之间的数量关系．【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠P与∠A的数量关系；
（2）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠P与∠A+∠B的数量关系．
【详解】（1）∵ 平分 ，∴ ． 同理， ．
∴ ；
（2）∵ 平分 ，∴ ． 同理， ．
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，
此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．
例4．（23-24八年级上·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1， 中， 平分 ， 平
分 ，探求 与 之间的数量关系；
【基础探究2】（2）如图2， 中， 、 是 的三等分线， 、 是 的三等分线，
则 与 之间的数量关系是______；
【基础探究3】（3）如图3， 中， 、 、 是 的四等分线， 、 、 是
的四等分线，则 与 之间的数量关系是______；
【拓展与探究】（4）如图4， 中， 、 、……、 、 是 的 等分线， 、、……、 、 是 的 等分线，请用一个等式表示 、 、 三者之间的
数量关系是______；
【探究与应用】（5） 中， 、 、……、 是 的2024等分线， 、 、……、
是 的2024等分线，若 与 的和是 的7倍，则 ______ ．
【答案】（1） （2） （3） （4）
（5）105
【分析】本题考查三角形的内角和定理，n等分线的定义．
（1）由三角形的内角和定理可得 ，由角平分线得到 ，
，从而 ；
（2）由三等分线可得 ， ，从而
；
（3）同（2）思路即可求解；
（4）同（2）（3）思路即可 ， ，两式相加即可解答；
（5）同（4）思路可得 ，又 ，即可求得 ，
同理有 ，即可解答．
【详解】解：（1）∵ ，∴ ，∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ，
∴
．
（2）∵ 、 是 的三等分线， 、 是 的三等分线，
∴ ， ，
∴
．故答案为：
（3）∵ 、 、 是 的四等分线， 、 、 是 的四等分线，
∴ ， ，
∴
．故答案为：
（4）∵ 、 、……、 、 是 的 等分线， 、 、……、 、 是
的 等分线，∴ ， ， ， ，
∴
，
，
∴ ．故答案为：
（5）∵ 、 、……、 是 的2024等分线， 、 、……、 是 的2024等
分线，
∴ ， ， ， ，
∴
，
，
∴ ，
∵ ∴ ，∴ ，
同理可得 ．故答案为：105模型2.双角平分线模型（一内角一外角）
双角平分线模型2：当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。
图1 图2
1）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：
．
证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴ ， 。
∴∠P=∠PCD-∠PBC= （∠ACD-∠ABC）= ∠A。
2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图2， ，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点 ， 的平分线相交于点 ，
， 的平分线相交于点 ……以此类推；结论： 的度数是 ．
证明：∵BP、CP 平分∠ABC、∠ACD，∴ ， 。
1 1
∴∠P
1
=∠P
1
CD-∠P
1
BC= （∠ACD-∠ABC）= ∠A= 。同理：∠P
2
= ∠P
1
= ，∠P
n
=例1．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在 中， 的角平分线和
的外角平分线交于点P；若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的相关计算，由角平分线的定义得到
， ，结合题意可求得 的度数，根据外角性质即
可得到结果．
【详解】解：如图， 的角平分线和 的外角平分线交于点P，
， ，
， ， ，
是 的外角， ，故选：A．
例2．（2023·江西景德镇·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在BC的延长线上，BP
平分∠ABC，CP平分∠ACD．(1)当∠ABC＝60°，∠P＝______；当∠ABC＝50°，∠P＝______；当∠ABC
＝40°，∠P＝______；(2)当∠ABC为任意锐角时，∠P的度数是否会发生变化？若会变化，请说明理由；
若不会变化请求出这个确定的度数．【答案】(1) ， ， (2)不会发生变化，45°
【分析】(1)由三角形外角的性质求解 的度数，再利用角平分线的定义可求解 ， 的度
数，即可求得 的度数；(2)根据角平分线的定义得到 ，根据三角形的
外角的性质证明即可．
【详解】（1） ， ， ，
， ，
， ，
， ，
当 时， ，当 时， ，
所以答案为： ， ， ．
（2）∠P的度数不会发生变化．设∠ABC＝ ．则∠PBC＝ ，∠ACD＝ ，
∴∠PCD＝ ＝ ，∵∠PCD＝∠PBC＋∠P，∴∠P＝ ．
【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解
题的关键．
例3．（2023春·四川成都·八年级校考期中） 中， ．现进行第一次操作：如图1作射线 ，
使得 ，作射线 ，使得 ．再进行第二次操作：如图2作射线 ，使
得 ，作射线 ，使得 ．再进行第三次操作：如图3作射线 使得
，作射线 ，使得 ．则 ．【答案】 /20度
【分析】在第一次操作中根据角平分线及三角形外角性质推出 ，
；第二次操作根据已知条件推出 ，
，第三次操作根据已知条件推出 ，
，再根据三角形外角性质和三角形的内角和定理推出 的度数．
【详解】解：第一次操作： ， ，
， ，
， ，
第二次操作： ， ，
， ，
第三次操作： ， ，
， ，
；故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质等知识点，能熟记三角形的内角和等于
和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解此题的关键．模型3.双角平分线模型（双外角）
双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差。
C
D
B A E
图1 图2 图3
1）两外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论： ．
证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴ ， 。
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°- （∠EBC+∠BCF）=180°- （∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）
=180°- （180°+∠A）=90°+ ∠A。
2）旁心模型
旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点 D；结论：AD平分
∠CAD。
证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，
∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。,
例1．（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在 中， ，三角形两外角的角平分线交于点
E，则 ．【答案】61°
【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得
∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．
【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC= ∠DAC，∠ECA= ∠ACF，
∴∠EAC+∠ECA = （∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案为：61°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角
平分线的定义是解答的关键．
例2．（23-24八年级上·甘肃天水·期末）（1）如图①， 是 的外角， 平分 ， 平
分 ，且 、 交于点 ．如果 ， ，求 的度数；
（2）如图②，点 是 两外角平分线 、 的交点，探索 与 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1） ；（2） ，见解析；
【分析】本题主要考查了角平分线、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角
形外角的定义和性质是解题关键．（1）根据外角的性质，可得 ，结合角平分线的定义可得， ， ，然后由 求解即可；
（2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得 ， ，由三角
形内角和定理可得 ，即有 ，然后结合
，即可证明结论．
【详解】如图所示：
解：（1）根据外角的性质得 ，
平分 ， 平分 ， ， ，
， ；
（2） 、 是两外角的平分线， ， ，
而 ， ， ， ，
， ，
即 ，
， ．
例3．（2022春·湖南长沙·八年级校考期末）（1）如图 ，在 中， 、 的平分线 ， 相交
于点 ， ， ，求 的度数；
（2）如图 ， 的外角 的平分线 与内角 平分线 交于点 ，若 ，
①求 的度数；②求 的度数．【答案】（1）120°；（2）①84°；②48°
【分析】 根据角平分线的定义可得 ， ，再根据三角形内角和定理求出
即可； 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ，
，根据角平分线的定义可得 ， ，然后整理得到
，再代入数据计算即可得解；
作 于 ， 于 ， 于 ，根据角平分线的性质与判定可得 平分 ，
再根据角平分线的定义可求解．
【详解】解： ， ， ，
、 的平分线相交于点 ， ， ，
；
在 中， ，在 中， ，
、 分别是 和 的平分线， ， ，
， ，
， ，即 ．
作 于 ， 于 ， 于 ，， ， ， 平分 ， ．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．本题也考查
了三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义．
例4．（2023秋·广东佛山·八年级校考期末）（1）如图1所示，在 中， 和 的平分线将
于点O，则有 ，请说明理由．
（2）如图2所示，在 中，内角的平分线 和外角 的平分线交于点O，请直接写出
与 之间的关系，不必说明理由．
（3）如图3所示，AP，BP分别平分 ， ，则有 ，请说明理由．
（4）如图4所示，AP，BP分别平分 ， ，请直接写出 与 ， 之间的关系，不必说
明理由．
【答案】(1)理由见解析；(2) ∠BAC=2∠BOC；(3) 理由见解析；(4)
【分析】(1)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，利用三角形的内角和等于180°即可得
出结果；(2)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果；
(3)根据AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式
∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C，分析等式即可得出结果；
(4) AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y，利用三角形外
角性质和内角和性质即可得出结果．
【详解】解：(1)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线∴∠ABO=OBC，∠ACO=∠OCB
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠OCB+∠OBC=
∴∠BOC=(2)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCD
∵∠BAC +∠ABC=∠ACD，∠OBC+∠BOC =∠OCD∴2∠OBC+2∠BOC =2∠OCD
∴∠ABC+2∠BOC =∠ACD∴∠BAC=2∠BOC
(3)∵AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线∴∠DAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC
∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C
∴∠D-∠P=∠P-∠C∴
(4)∵AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线
∴∠MAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y
∴∠AGB=∠C+2x∴∠BEP=∠AEG=180°-（∠C+2x）-y
∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y∴ D+∠AEG=∠MAP∴∠∠∴D∵+180°-（∠C+2x）-y=y
∴x+y= ∴ ∴
【点睛】本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键．1．（2023·江苏·八年级统考期末） 中，点 是 内一点，且点 到 三边的距离相等；
，则
A． B． C． D．
【解答】解： 到三角形三边距离相等， 是内心，
即三条角平分线交点， ， ， 都是角平分线，
， ，
， ，
．故选： ．
2．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，在 中， 、 分别是 ， 的角平分
线，连接 并延长交 于点 ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 、 分别是 ， 的角平分线，可以得出 平分 ，再利用三角形外
角的定义得出 ，再利用三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】解： 、 分别是 ， 的角平分线， 平分 ，， ， ，
， ，故选： ．
【点睛】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形外角的定义、角平分线的定义及性质等知识是解答
此题的关键．
3．（2023秋·云南大理·八年级校考期中）如图，在 中， 平分 ， 平分 ，连接 ，
若 ，则 的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过P作 ，先根据角平分线的性质得出 ，即可利用“
”分别证明 ， ，即得出 ， ．再根据
， ，即可求出 ，从而
可求出 ，进而可得出 ．
【详解】解：如图，过P作 ，
∵ 平分 ， 平分 ，∴ ，∴ ．
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ， ．
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ．故选A．
【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，三角形全等的判定和性质．正确作出辅助线是解题关键．
4．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC
与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】B
【分析】先根据角平分线的定义得到 ， ，再根据三角形外角性质得
， ，则 ，利用等式的性质得到 ，然后把
的度数代入计算即可．
【详解】解答：解：∵ 的平分线与 的平分线交于点D，∴ ， ，
∵ ，即 ，∴ ，
∵ ，∴ ．故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质、角平分线的性质等，根据三角形内角和是180°
和三角形外角性质进行分析是解题关键．
5．（2023·河北张家口·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC
与∠A的大小关系是（ ）A．∠BOC=2∠A B．∠BOC=90°+∠A C．∠BOC=90°+ ∠A D．∠BOC=90°－ ∠A
【答案】C
【详解】∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB））= （180°-∠A）=90°− ∠A，
根据三角形的内角和定理，可得∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，
∴90°- ∠A+∠BOC=180°，∴∠BOC=90°+ ∠A．故选C．
【点睛】（1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的
内角和是180°；（2）此题还考查了角平分线的定义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个角的
平分线把这个角分成两个大小相同的角．
6．（2023·浙江台州·八年级校考期中）如图 ABC，BD平分∠ABC且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于
点D，若∠ABC=m°，∠ACB=n°，求∠D的度数△为（）
A．90°+ m°- n° B．90°- m°+ n° C．90°- m°- n° D．不能确定
【答案】C
【分析】由角平分线分别求出∠DBC和∠ACD，然后在△BCD中利用三角形内角和定理可求出∠D.
【详解】∵BD平分∠ABC∴∠DBC= ∠ABC= m°
∵∠ACB=n°∴∠ACE=180°-n°
又∵CD平分∠ACE∴∠ACD= ∠ACE=在△BCD中，∠DBC= m°，∠BCD=∠ACB+∠ACD= ，
∴∠D= 故选C.
【点睛】本题考查三角形中的角度计算，熟练运用三角形内角和定理是关键.
7．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在 中，点 是 内一点，且点 到 三边
的距离相等，若 ，则 ．
【答案】 /68度
【分析】由条件可知 平分 和 ，利用三角形内角和可求得 ．
【详解】解：∵点P到 三边的距离相等，∴ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．
8．（2023春·河北·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与
∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝
【答案】40°
【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ACO= ∠ACB，
∵CD平分∠ACE，∴∠ACD= ∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD= （∠ACB+∠ACE）= ×180°=90°，
∵∠BOC＝130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．
【点睛】本题考查三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的
关键．
9．（2023秋·北京大兴·八年级统考期末）如图，在 中， ， 的平分线与外角
的平分线相交于点M，作 的延长线得到射线 ，作射线 ，有下面四个结论：
① ；② ；③射线 是 的角平分线；④ ．
所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】由角平分线的定义可知 ．再根据三角形外角的性质得出 ，
即可确定 ，故①正确；过点M作 于点F， 于点G， 于点
H，由角平分线的性质定理可得出 ．即易证 ，得出
，即说明射线 是 的角平分线，故③正确；利用反证法，假设 ，易证
，即得出 ．由 ，可知 ，即说明 不成立，
故②错误；由 ，即得出 ．再根据角平分线
的定义即得出 ，最后结合三角形内角和定理即可求出结论，可判
断④正确．
【详解】解：∵ 为 的平分线，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ，故①正确；
如图，过点M作 于点F， 于点G， 于点H，∵ 为 的平分线， 为 的平分线，∴ ．
又∵ ，∴ ，
∴ ，即射线 是 的角平分线，故③正确；
假设 ，∴ ．
∵ 为 的平分线， 是 的角平分线，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ．
∵ ，∴ ，∴假设不成立，故②错误；
∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ，
∴
，∴④正确．
综上可知所有正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．
【点睛】本题考查角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质
及三角形内角和的应用等知识．正确作出辅助线构造全等三角形，并利用数形结合的思想是解题关键．
10．（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 与 的平分线
交于点 ，得 ； 与 的平分线相交于点 ，得 ； ； 与 的平分线相
交于点 ，得 ，则 ．【答案】
【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得 ，同理得
；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意， ， 与 的平分线交于点
∴
∵ ∴
∵ ∴ 同理，得 ；
； ；…
∴ 故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平
分线、数字规律的性质，从而完成求解．
11．（2023秋·湖北八年级课时练习）如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与
∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：
（1）若∠A＝60°，则∠P＝ °；（2）若∠A＝40°，则∠P＝ °；（3）若∠A＝100°，则∠P＝
°；
（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系 ．【答案】（1）65；（2）45；（3）40； （4）∠P=90°- ∠A
【分析】（1）若∠A=50°，则有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，根据角平分线的定义
可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P的度数；
（2）、（3）和（1）的解题步骤类似．
【详解】解：（1）∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，∴∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，
∵BP，CP分别为∠CBD与∠BCE的平分线，∴ ， ，
∴ ，∴ ；
（2）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∴∠DBC+∠BCE=360°-140°=220°，
∵BP，CP分别为∠CBD与∠BCE的平分线，∴ ， ，
∴ ，∴ ；
（3）∵∠A=100°，∴∠ABC+∠ACB=180°-100°=80°，∴∠DBC+∠BCE=360°-80°=280°，
∵BP，CP分别为∠CBD与∠BCE的平分线，∴ ， ，
∴ ，∴ ；
（4）∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∴ ，
∵BP，CP分别为∠CBD与∠BCE的平分线，∴ ， ，
∴ ，
∴ ．故答案为：∠P=90°- ∠A．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角性质．关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和
它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义．
12．（2023秋·广西八年级课时练习）如图，已知 的两条高 、 交于点 ， 的平分线与
外角 的平分线交于点 ，若 ，则 ．
【答案】36
【分析】首先根据三角形的外交性质求出 ，结合三角形的高的知识得到 和 之间的关系，
进而可得结果；
【详解】由图知： ，
∵ 是 的角平分线，∴ ，∴ ，
∵ 是 的角平分线，∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ 的两条高 、 交于点 ，∴ ， ，
∴ ，∴在四边形 中有： ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．故答案为：36．
【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键．
13．（2023春·河南郑州·八年级校考期末）如图，已知在 中， ．(1)分别作 ， 的平分线，它们交于点 （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)当 时， 的度数为 ．(3)当 时， 的度数为 ．
【答案】(1)见解析(2) (3)
【分析】（1）根据要求作出已知角的角平分线即可；
（2）利用三角形内角和定理以及角平分线求出 ，可得结论；
（3） 利用三角形内角和定理以及角平分线求出 ，可得结论．
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2） ，
平分 ， 平分 ，
，
．故答案为： ；
（3） ， 平分 ， 平分 ，
，
．故答案为： ．
【点睛】本题考查作图—简单作图，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
14．（2023·成都市·八年级专题练习）在 中， ，线段 、 分别平分 、
交于点G．(1)如图1，求 的度数；(2)如图2，求证： ；(3)如图3，过点C作 交
延长线于点D，连接 ，点N在 延长线上，连接 交 于点 ，使 ，若
， ，求线段 的长．【答案】(1) (2)见解析(3)5
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出 ，根据 平分 、 平分 ，
得出 ， ，求出 ，根据三角形内角
和得出 ，即可求出结果；
（2）作 平分 交 于点 ，证明 ，得出 ，证明 ，
得出 ，即可证明结论；
（3）作 交 延长线于点 ，作 交 延长线于点 ，作 于点 ，证明 平
分 ，根据 ， ，得出 ，根据 平分 ， ， ，得
出 ，证明 ，证明 ，得出 ，证明 ，得出
，作 于点 ， 于点 ， 于点 ，根据
， ，得出 ，求出 即可
得出答案．
【详解】（1）解：在 中， ，
∵ ∴ ，
∵ 平分 、 平分 ，∴ ， ，
∴ ，在 中， ，∴ ．
（2）解：作 平分 交 于点 ，如图所示：∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ， ∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ；
（3）作 交 延长线于点 ，作 交 延长线于点 ，作 于点 ，如图所示：
∵ 平分 ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ 平分 ，
∵ ， ，∴ ，∵ 平分 ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ 平分 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
由（1）得 ，∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，由（2）得 ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，作 于点 ， 于点 ， 于点 ，∵ ，∴ ， ，
，∴ ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，三角形
内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．
15．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，在 中， ， 是 ， 平分线的交
点．(1) ；(2)若 是两条外角平分线的交点，则 ；(3)在（2）的条件下，
若 是内角 和外角 的平分线的交点，试探索 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) (2) (3) ，理由见解析．
【分析】（1）根据角平分线的定义可求得 ，据此即可求得答案．
（2）根据三角形的外角的性质可求得 的值，根据角平分线的定义可求得
，据此即可求得答案．（3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性
质可求得 ，结合 即可求得答案．
【详解】（1）∵ ， ，∴ ．
∵ 是 的平分线，∴ ．∵ 是 的平分线，∴ ．
∴ ．∴ ．
故答案为： ．
（2）∵ 是 的外角，∴ ．
∵ 是 的外角，∴ ．
∴ ．∵ 是 的平分线，∴ ．∵ 是 的平分线，∴ ．
∴ ．
∴ ．故答案为： ．
（3） ，理由如下：∵ 是 的平分线，∴ ．
∵ 是 的外角，∴ ．
∵ 是 的平分线，∴ ．
∵ 是 的外角，∴ ．
∴ ．∴ ．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质、三角形的外角的性质、三角形内角和定理，牢记三角形的外角的
性质（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和）是解题的关键．
16．（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，
我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在 中， ，
，则 与 互为“和谐角”， 为“和谐三角形”．
【理解】(1)若 为和谐三角形， ，则这个三角形中最小的内角为______°；
(2)若 为和谐三角形， ，则这个三角形中最小的内角为______°；
(3)已知 是和谐 中最小的内角，并且是其中的一个和谐角，试确定 的取值范围，并说明理由；
(4)【应用】如图， 中， ， ， 交 于点F，点D是 延长线上一点，
，若 是和谐 中的一个和谐角，设 ，则 ______．【答案】(1)10(2)30或22.5(3) ，理由见解析(4) 或 或 或
【分析】（1）根据和谐三角形的定义结合三角形的内角和定理即可得到答案；（2）根据和谐三角形的概
念分两种情况求解即可；（3）由题意得出另外两个角分别为 和 ，列出不等式求解即可；
（4）分两种情况：①当 与 互为和谐角时， 或 ；②当
与 互为和谐角时， 或 ，列出方程求出答案即可．
【详解】（1）设最小角为α，
∵ 为和谐三角形， ，∴ ，
∴ ，∴这个三角形中最小的内角为 ．故答案为：10；
（2）∵ ，当 与 互为“和谐角”时，则最小角为 ；
当 与 互为“和谐角”时，设最小角为α，∴ ，∴ ，
综上： 为和谐三角形， ，则这个三角形中最小的内角为 或 ；故答案为：30或
22.5；
（3）∵ 是和谐 中最小的内角，并且是其中的一个和谐角，
∴另外两个角分别为 和 ，∴ ，∴ ；
（4）∵ 是 的外角， 是 的外角，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，
∴ ；
①当 与 互为和谐角时， 或 ，
∴ 或 ，解得 或 ；
②当 与 互为和谐角时， 或 ，
∴ 或 ，解得 或 ，综上所述： 的值为 或 或 或 ．故答案为： 或 或 或 ．
【点睛】本题查了三角形内角和定理，三角形外角的性质以及和谐角和和谐三角形的概念，一元一次方程
的应用，一元一次不等式的应用，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本
题的关键．
17．（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，在 中， ， ，点P为 、
的角平分线上的交点．
(1) 的度数是______．(2)请问点P是否在 的角平分线上？请说明理由．
【答案】(1)130°(2)点P在 的角平分线上，理由见解析
【分析】（1）由P点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠PBC+∠PCB=50°，再利用三角形内角和
定理即可求出∠BPC的度数；（2）过点P分别作PD⊥AB ，PE⊥BC ，PF⊥AC ，垂足分别为D、E、F，
根据角平分线的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：∵ P点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
∴∠CBP=∠ABP= ∠ABC，∠BCP=∠ACP= ∠ACB，
∵∠ABC=60°，∠ACB=40°，∴∠PBC+∠PCB= ∠ABC+ ∠ACB=30°+20°=50°，
∴∠BPC=180°-50°=130°，故答案为：130°；
（2）点P在 的角平分线上，理由如下：
过点P分别作PD⊥AB ，PE⊥BC ，PF⊥AC ，垂足分别为D、E、F，
∵PB、PC分别是 、 的角平分线，∴ ， ，∴ ，∴点P在 的角平分线上．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，正确地作出辅助线是
解题的关键．
18．（2023·成都市·八年级专题练习）课本拓展
旧知新意：我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角
与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样
的数量关系？为什么？
初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=______；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P
与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案______．
3拓展提升：（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何
数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需要说明理由）
【答案】（1）∠DBC+∠ECB =180°+∠A，理由见解析；（2）50°；（3）∠P=90°- ∠A；（4）∠BAD+∠CDA
=360°-2∠P，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形
内角和定理整理即可得解；（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据
角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；
（4）延长BA、CD相交于点Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的结论整理即可得解．
【详解】（1）∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB
=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A；
（2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C，∴130°+∠2=180°+∠C，∴∠2-∠C=50°；（3）∠DBC+∠ECB=180°+∠A，∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠DBC+∠ECB）= （180°+∠A），
在 PBC中，∠P=180°- （180°+∠A）=90°- ∠A；即∠P=90°- ∠A；
△
故答案为50°，∠P=90°- ∠A；
（4）延长BA、CD于Q，则∠P=90°- ∠Q，∴∠Q=180°-2∠P，
∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q，=180°+180°-2∠P，=360°-2∠P．
【点睛】此题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，解题关键在于作辅助线
19．（2023春·江苏·八年级期中）某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个
内角的数量关系”进行了探究．
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝ ；
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求
∠BEC．（用α表示∠BEC）；
（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并证明．
【答案】（1）∠BPC＝122°；（2）∠BEC＝ ；（3）∠BQC＝90°﹣ ∠A，证明见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和化为角平分线的定义；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1
表示出∠2，于是得到结论；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与
∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】解：（1） 、 分别平分 和 ，
， ，
， ，
， ， ，故答案为： ；
（2） 和 分别是 和 的角平分线， ， ，
又 是 的一外角， ， ，
是 的一外角， ；
（3） ， ，
， ，
，结论： ．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和是解题的关键．20．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在 中，点D在 上，过点D作 ，交 于
点E， 平分 ，交 的平分线于点P， 与 相交于点G， 的平分线 与 相
交于点Q．(1)若 ，则 ____________ ， ____________ ；
(2)若 ，当 的度数发生变化时， 的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若 ，则 ____________ ， ____________ ；（用含x的代数式表示）；
(4)若 中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的 的度数．
【答案】(1)115，25 (2)不发生变化，理由见解析 (3) ， (4)45°，60°，120°，135°
【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（3）将（2）中 换成 ，同理即可求解；
（4）设 ，由（3）可知 ， ．再由 不变，即可分类讨论①
当 时，②当 时，③当 时和④当 时，分别列出关
于x的等式，解出x即可．
【详解】（1）∵ ，∴ ．
∵ 平分 ，∴ ．
∵ ，∴ ， ．∵ 平分 ，∴ ．∴ ；
∵ ，∴ ．
∵CP平分 ，CQ平分 ， ∴ ， ．
∵ ，∴ ，即 ，
∴ ．故答案为：115，25；
（2）当 的度数发生变化时， 、 的度数不发生变化
理由如下：∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ， ．
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ．
∴ ．
∴ 由（1）可知 不变，∴ ．
∴当 的度数发生变化时， 、 的度数不发生变化；
（3）∵ ，∴ ．∵ ，∴ ， ．
∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ．
∴ ．
∴ ．由（1）可知 不变，
∴ ．故答案为： ， ；
（4）设 ，由（3）可知 ， ．
∵ ，∴可分类讨论：①当 时，
∴ ，解得： ，∴ ；②当 时，∴ ，解得： ，∴ ；
③当 时，∴ ， 解得： ， ∴ ；
④当 时，∴ ， 解得： ，∴ ．
综上可知 或 或 或 ．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论
的思想是解题关键．
