文档内容
专题 37 导数证明恒成立问题大题必刷 100 题
1．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在 上的最小值；
（2）若 恒成立，求实数 的值．
【答案】
（1） ；
（2） .
【分析】
（1）求出 的解析式， ，当 时， ， ， ，
由 的单调性即可得最小值；
（2） 定义域为 ， ，令 ，则
，分别讨论 ， ， 和 时 的单调性，结合零点存在
性定理以及 即可求解.
（1）
当 时， ，
所以 ，
因为 时， ， ，
所以 时， ，
所以 在 上是单调减函数， ，所以 在 上的最小值是 ．
（2）
定义域为 ， ，
令 ，则 ，
若 ，由（1）知，则 ， 在区间 恒成立．
若 ，因为 ， ，
， ， ，则 ，
所以 即 是增函数．
当 时， ， ，
所以 ．又因为 ，
所以存在正数 ，使得 ，
当 时， ， 是减函数，所以 ，不合题意．
若 ，因为 ， ，
， ， ．则 ，
所以 是增函数，当 时， ，
．又 ，
所以存在正数 ，使得 ，
当 时， ， 是增函数，所以 ，不合题意．若 ，因为 ， ，
， ， ，
则 ， 是增函数．因为 ，
所以当 时， ，不合题意．
综上所述，实数 的值为 ．
2．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性：
（2）若 对 恒成立，求 的取值范围．
【答案】
（1）答案不唯一，具体见解析
（2）
【分析】
（1）求导得 ，在分 ， 两种情况讨论求解即可；
（2）根据题意将问题转化为 对 恒成立，进而构造函数，求解函数最值即可.
（1）
解：函数的定义域为 ， ．
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ．
综上，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）解：由（1）知，函数 在 上单调递增，
则 ，
所以 对 恒成立等价于 对 恒成立．
设函数 ，则 ，
设 ，则 ，则 在 上单调递减，
所以 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ；
故 ，即 的取值范围是 ．
3．已知函数 ， .
（1）若 ，证明： ；
（2）若 恒成立，求a的取值范围.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）由 ，求出函数导数，利用导数求出函数的最小值即可证明；
（2）先由 可得 ，再利用导数求出函数的最小值，再根据 ，不等式的性质证明最小值
恒大于0即可求解.
（1）当 时， ， ， ，
易知 在 单调递增，且 ，
所以 时， ， 时，
∴ 在 单调递减， 单调递增，
∴ .
（2）
∵ ，
∴ ，
∴ ，
， ，易知 在 单调递增，
且 ， ，
∴ ， 且 在 单调递减， 单调递增，
∴ ，且 ，
∴ ，
易证 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴
∴.当 时， ，∴实数a的取值范围是 .
4．已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）设函数 ，若 时， 恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】
（1）答案见解析
（2）
【分析】
（1）根据 分类讨论，利用导数求出函数的单调区间；
（2）化简 ，利用导数求出 ，分类讨论，分别求出 ，令 求解
即可.
（1）
，
.
当 时， ， 在R上单调递增.
当 时，令 ，得 .
时， ， 在 上单调递减，
时， ， 在 上单调递增，
故当 时， 的单调递增区间是R；
当 时， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
（2），
，
，
∵ ，
∴ ， 在 上单调递增，
.
当 ，即 时，
， 在 上单调递增，
则 ， ，
故 .
当 ，即 时，
，
， ，即 或 ，
时， ， 在 上单调递减，
时， ， 在 上单调递增，
则 ，
，
∴ .
令函数 ，且 ，
， 在 上单调递增，，
∵ （ ），
∴ .
综上，实数a的取值范围是 .
5．已知 ， ．
（1）求 的单调区间；
（2）若 时， 恒成立，求m的取值范围．
【答案】
（1）在 单调递减，在 单调递增.
（2）
【分析】
(1)先对函数进行求导，再进行分类讨论判断导数值的正负，即可得到答案；
(2)将问题转化为 在 恒成立，令 ，再利用（1）的结论进行
求解，即可得到答案；
（1）
， ，
①当 时， ，
在 恒成立， ， 在 单调递减，
②当 时，令 ，则 在 恒成立，
在 单调递增，且 ， 在 恒成立，
即 在 恒成立，
在 单调递增，综上所述： 在 单调递减，在 单调递增.
（2）
当 时，
在 恒成立，令 ，
，令 ，
由（1）得 ， 在 单调递增，且 ，
在 恒成立， 在 单调递增， ，
.
6．已知曲线 在点 处的切线方程是 .
（1）求 的解析式；
（2）若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）求出 和 以及 ，利用点斜式求出切线方程再根据多项式相等可得答案；
（2）转化为对任意 ，都有 ，利用导数求出 、 可得答案.
（1）
， ， ，
所以 在点 处的切线方程是 ，即 ，化简得： ，
又切线方程是 ，故 ，
， ，
所以 的解析式为 .
（2）
因为对任意 ，都有 ，
所以对任意 ，都有 ，
因为 ，
所以当 时， ，则 是增函数，
当 时， ，则 是减函数，
当 时， ，则 是增函数，
所以 ， ，
所以 ，实数 的取值范围是 .
7．已知函数 .
（1）若 ，求函数 在 上的零点个数；
（2）当 时都有 ，求实数 的取值范围.
【答案】
（1）只有一个零点
（2）
【分析】（1）首先利用导数确定函数的单调性，再利用零点存在定理即可判断函数的零点个数（2）可通过讨论
在 的最小值，使 恒成立，来确定实数 的取值范围
（1）
因为 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 在 上是单调增函数，
又因为 ， ，
所以 在 上只有一个零点.
（2）
因为 ，所以 ，
令 ， ，因为 ，
所以 ， 为增函数， ，
当 时，即 时， ，即 ，
所以 在 上为增函数， ，
所以 时满足 时都有 ；
当 时，即 时， ，
又 ，
所以 ，使 ，
所以 时 ，即 ， 为减函数， ，与 矛盾，所以
不成立，综上实数 的取值范围是
8．已知函数 .
（1）若函数在 时取极值，求 的单调区间；
（2）若当 时 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；（2）
【分析】
（1）由 可得 的值，进而可得 表达式，再分别解不等式 和 即可得单调
递增和单调递减区间；
（2）根据题意可得 对于 恒成立，令 ，只需
，利用导数讨论 、 、 时 的单调性以及最值即可求解.
【详解】
（1） ，
因为函数 在 时取极值，所以 ，
可得： ，所以 ，
，
由 可得： 或 ；由 可得 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，
所以 在 时取极大值，符合题意；
所以 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；（2） ，
若当 时 ，可得 对于 恒成立，
令 ，只需 ， ，
当 时， 恒成立，此时 在 上单调递增，
，所以 不成立
当 时，由 可得 ，由 可得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，所以只需 ，解得： ，所以 ，
当 时， 恒成立，此时 在 上单调递减，
所以 ，所以 恒成立，所以 符合题意，
综上所述： ，
所以实数 的取值范围是 ，
9．已知函数 在 处取得极值 ，其中 为常数.
（1）试确定 的值；
（2）讨论函数 的单调区间；
（3）若对任意 ，不等式 有解，求 的取值范围.
【答案】（1） ； ；（2）单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ；
（3）
【分析】（1）由 ，求得 ，由 ，得 ;
（2）将(1)中得到的 的值代入函数表达式，进而得到 ．判定导数的正负区间，进而得
到单调区间；
（3）由（2）知，得到函数 最大值，根据不等式有解得到 的不等式求解即得.
【详解】
（1）由题意知 ，因此 ，从而 ．
由题意求导得 ，因此 ，解得 ；
（2）由（1）知 ．令 ，解得 ．
1
＋ 0 －
极大值
因此 的单调递增区间为 ，而 的单调递减区间为 ；
（3）由（2）知， 在 处取得极大值 ，此极大值也是最最值．
要使 （ ）有解，只需 ．
即 ，从而 ．
解得 ．
所以 的取值范围为 .
10．已知函数 ， ，其中 ， 为自然对数的底数.
（1）判断函数 的单调性；（2）若不等式 在区间 上恒成立，求 的取值范围.
【答案】
（1） 在 单调递减；在 上单调递增；
（2） .
【分析】
（1） 的定义域为 ，求 ，分别解不等式 ， 即可得单增区间和单减区间即可
求解；
（2）求出 的解析式以及 ，讨论 时， 在 上单调递减，而 不符合题意，当
时，对 再求导可判断 在 上单调递增， ，再讨论 和
时， 的单调性和最值即可求解.
（1）
函数 的定义域为 ，
由 可得 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以 在 单调递减；在 上单调递增；
（2）
由题意得 ，且 ，
当 时，因为 时， ，所以 在 上单调递减，
又因为 ，故 在 上不可能恒成立；当 时，令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
①当 ，即 时， 在 上单调递增，
所以 ，故 在 上恒成立；
②当 ，即 时， ， ，
故存在在 使得 ，
此时函数 在 上单调递减，又 ，
故 在 上不可能恒成立，故不符合题意.
综上所述， 的取值范围 .
11．已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间与极值；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】
（1）单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ，极大值 ，极小值
（2）
【分析】
（1）由题可求导函数，利用导数求出函数的单调区间，进而再求出极值即可；
（2）分情况讨论，利用导数研究函数的单调性和极值即可求解.
（1）当 时，函数 ，定义域为 ，
.
当 时， 或 ，
当 时， ，
所以函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ，
所以当 时，函数 取得极大值 ，
当 时，函数 取得极小值 .
（2）
.
①当 时， ， ，
令 ，解得 ，
则当 时， ，且 ，
所以函数 恒成立，不符合题意，舍去；
②当 时，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
则函数 在 上为增函数，在 上为减函数，
所以函数 在 处取得极大值，也是最大值，
要使得 恒成立，则只需 ，
解得 ，故 .
综上， 的取值范围是 .12．已知函数 .
（1）若 ，讨论 的单调性；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】
（1） 为 上的单调递减函数
（2）
【分析】
（1）根据题意得 ，再令 ，求导得 ，进而得函数 为 上的
单调递减函数.
（2）根据题意，将问题转化为 恒成立，再令 ，进而利用导数研究函数最值即
可求解.
（1）
解：当 时， ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，
所以函数 为 上的单调递减函数.
（2）
解：若 恒成立，即 恒成立，
显然，当 时成立，
当 时，不等式等价于 恒成立，令 ，则 ，
当 时，得 或 ，即函数 在 和 上单调递增，
当 时，得 ，即函数 在 上单调递减，
由于 时， 由正数趋近于 ，当 时，
所以函数 的草图如图，
所以 恒成立，只需
所以实数 的取值范围是
13．己知函数 ．
（1）讨论函数 的单调区间；
（2）当 时，若 恒成立，求a的取值范围．
【答案】
（1）答案见解析．
（2）
【分析】（1）求导函数，分类讨论确定导函数的正负得单调性；
（2）利用（1）的结论，在 时，由函数的最小值不小于1得结论， 时， ，题设不等式不
可能成立．由此即得．
（1）
解：函数定义域是 ，
，
时， 或 时， ， 时， ，
的增区间是 ，减区间是 和 ．
同理可得 时， 的减区间是 ，增区间是 和 ．
（2）
由（1）知，若 ，则 时， ， 恒成立，
则 ， ，
若 ， 时， ，不合题意．
综上， 的取值范围是 ．
14．已知函数 ，
（1）若 ，求函数 的极值；
（2）设函数 ，求函数 的单调区间；
（3）若存在 ，使得 成立，求a的取值范围．
【答案】
（1）极小值为 ，无极大值
（2）单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（3）
【分析】（1）研究 的单调区间，进而求出 的极值；（2）先求 ，再解不等式 与
，求出单调区间，注意题干中的 的条件；（3）先把题干中的问题转化为在 上有
，再结合第二问研究的 的单调区间，对a进行分类讨论，求出不同范围下的 ，求出
最后结果
（1）
当 时， ，定义域为 ，
令 得： ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
故 是函数 的极小值点， 的极小值为 ，无极大值
（2）
，定义域为
因为 ，所以 ，令 得： ，令 得： ，所以 在
单调递增，在 单调递减.
综上： 单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（3）
存在 ，使得 成立，等价于存在 ，使得 ，即在 上有
由（2）知， 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，所以当 ，即 时， 在 上单调递减，故 在 处取得最小值，由
得： ，因为 ，故 .
当 ，即 时，由（2）知： 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上的最小值为
令
因为 ，所以 ，则 ，即 ，不满足题意，舍去
综上所述：a的取值范围为
15．已知函数 ( )．
（1）求函数 的单调区间；
（2）是否存在 ，使得不等式 恒成立？若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说
明理由．
【答案】
（1）答案见解析
（2）存在，a的取值集合为
【分析】
(1)对 求导得 ，然后结合 的定义域，通过判别式讨论
的零点分布，进而得到 的单调区间；(2)通过构造新函数，将不等式恒成立问
题转化为最值和极值问题，进而求出 的值，然后利用导函数检验 的值满足题意即可求解.
（1）( )，
令 ，其中 ，
①当 时，即 时， 在 上恒成立，故 在 上单调递增．
②当 时，即 或 时，
的两根分别为 ， ， ，
由韦达定理可知， ， ，
(i)当 时，可知 在 上恒成立，故 在 上单调递增．
(ii)当 时，由 得 或 ；由 得 ．
故 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在
上单调递减．
（2）
设 ，则 ，
依题意，函数 恒成立，又由 ，进而条件转化为不等式 对 恒成立，
所以 是函数 的最大值，也是函数 的极大值，故 ，解得 ，
下面证明当 时，满足题意，
( )，
令 可得 ；令 可得 ，
故 在 上递增，在 上递减．
因此 ，即不等式 恒成立．
综上所述，存在且a的取值集合为 ．
16．已知函数 .
（1）设函数 ，且 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）求证： ；
（3）设函数 的两个零点 、 ，求证： .
【答案】
（1）
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【分析】
（1）利用参变量分离法得出 ，利用导数求出函数 的最小值，即可得出实数 的取值
范围；
（2）证明出 ，即可证得结论成立；
（3）分析可得 ，证得 ，利用基本不等式可得出，构造函数 ，分析看可知函数 在 上为增函数，分析得出
，结合函数 的单调性可证得结论成立.
（1）
解：由 可得 ，可得 ，
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ，所以， ；
（2）
解：要证 ，即证 ，
由（1）可知， ，当且仅当 时，等号成立，
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
因为 和 取等的条件不同，故 ，即 ；
（3）
解：由题知 ①， ②，
① ②得 ③，② ①得 ④.
③ ④得 ，
不妨设 ，记 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，则 ，即 ，
所以 .
因为
，
所以 ，即 .
令 ， ，则 在 上单调递增.
又 ，
所以 ，即 ，所以 .17．已知函数 ．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的 ，都有 成立，求 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2） .
【分析】
（1）求 ，分别讨论 不同范围下 的正负，分别求单调性；（2）由（1）所求的单调性，结合
，分别求出 的范围再求并集即可.
【详解】
解：（1）由已知定义域为 ，
当 ，即 时， 恒成立，则 在 上单调递增；
当 ，即 时， （舍）或 ，所以 在 上单调递减，在
上单调递增.
所以 时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由（1）可知，当 时， 在 上单调递增，若 对任意的 恒成立，只需
，而 恒成立，所以 成立；
当 时，若 ，即 ，则 在 上单调递增，又 ，所以 成立；
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，所以 ，
，不满足 对任意的 恒成立.所以综上所述： .
18．已知函数 .
（1）当 时，求 在 处的切线方程；
（2）设 ，当 时， ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）当 时， ，求导函数，求得 ，根据直线的点斜式方程可求得切线方程；
（2）由题意得需 ，对 求导函数 ，设 ，再对 求导
函数，研究导函数的符号，得出函数 的单调性，继而得 的单调性和函数值的符号，由此得函数
的单调性和值域，由此可求得 的取值范围.
【详解】
解：（1）当 时， ， ， ，且定义域为 ， ，
所以， 在 处的切线为 ，即 .
（2）由题，当 时， ，则只需 ，又 ，因为
，所以 ，有 ，
设 ，则 ，有 ，设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，则有 在 上单调递增，即 在 上单调递
增，
当 时，即 时， ，此时，在 上 ，所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，有 ，可得 在
上单调递增，所以 符合题意；
当 时，即 时， ， ，
因为 在 上单调递增，所以存在 ，使得 ，此时，在 上
，在 上 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，即 在 上单调递减，在 上单调
递增，又 ，所以在 上， ，
此时 在 上单调递减，所以当 ， ，不满足当 时， ，
综上所述， 的取值范围为 .
19．已知函数 .
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（2）若函数 的极小值点为 ，且 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）依题意求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而利于点斜式求出切线方程；
（2）依题意可得 ，再对参数 分类讨论，当 不满足条件，当 或 时，
令 ，设方程的两根为 和 ，则 ， ， ，则 ，，令 ，利于导数说明函数的单调性，即可求出参
数的取值范围；
【详解】
解：（1）由 ，函数可化为 ，所以 ，当 时 ，所
以在点 处切线的斜率为 .又 即切点为 ，所以切线方程为
，即所求切线方程为 .
（2）因为 ，当 ，即 时，函数 单调递
增，无极值点，不满足条件；当 即 或 时，令 ，设方程的两根为 和 ，
因为 为极小值点，所以 ，又因为 ， ，所以 ， ，所以 ，
所以 则 .因为 ， ，令
， ，所以 ，所以 ，
，当 时， ， 为减函数，所以 ，所以 在区间 上
单调递减，所以 .又 恒成立，所以 ，即实数 的取值范围为 .
20．已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 最大值的表达式 ；
（2）若 对于任意的 恒成立，求实数 的取值范围：【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）讨论对称轴与动区间的位置关系，即分 ， ，然后简单计算即可.
（2）通过构建函数 ，利用导数研究函数 的性质，并分类讨论
，计算结果，最后进行判断即可.
【详解】
解：（1） ，
①当 即 时， ，
②当 即 时， ，
（2） 对于任意的 恒成立，
则 ，
解法一： ，两边同除以 ，
即 对于任意的 恒成立，
设 ， ，
，
①当 ，即 时， ， 为增函数，
，即 ， 满足．
②当 ，即 时， ， 为减函数，
，即 ， 满足③当 时，即 时，
当 时， ，当 时， ，
只需 ，
即 ，
设 ，其中 ，
为递减函数， ，
，
故 ， ，
综上： ．
解法二：设 ， ，则 ，
令 ，则 ，
在 上为增函数，则 ．
当 时， ，即 ， 为增函数．
则只需 ，得 ，故 时成立；
当 时， ，即 ， 为减函数．
则只需 ，得 ，
故 时成立；
当 时，时成立．
综上： 的取值范围是 ．
21．已知函数 ， ，其中 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 对于任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而可得切线方程；
（2）将不等式 对于任意的 恒成立转化为任意的 ， 恒成
立，设 ， ，求导，分 ， ， 讨论，通过求 求实
数 的取值范围．
【详解】
解：（1）由题意知： ， ，即切点为 ，
， ，
故切线方程为： ，即 ．
（2）由题意知：不等式 对于任意的 恒成立，
任意的 ， 恒成立，
设 ， ，
，
①当 ，即 时， ， 为增函数，，即 ， 满足．
②当 ，即 时， ， 为减函数，
，即 ， 满足
③当 时，即 时，
当 时， ，当 时， ，
只需 ，
即 ，
设 ，其中 ，
为递减函数， ，
故 ， ，
综上： ．
22．已知函数 ．
（1）若 存在极值，求实数 的取值范围；
（2）若 ，当 时， 恒成立，且 有且只有一个实数解，证明： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）分析可知 在 上有零点，且 ，可得出关于实数 的不等式组，由此可求
得实数 的取值范围；
（2）分析可知，函数 在 上有唯一零点 ，可得出 ，消去可得 ，构造函数 ，利用导数分析函数 的单调性，可得出 ，
分析得出 ，由函数 在 上的单调性可证得结论成立.
【详解】
（1） 的定义域为 ，则 ，
则 ，设 ，
则 在 上有零点，且 ，
所以， ，解得 ，
因此，实数 的取值范围为 ；
（2）由题意可得 ， ，
令 ，解得 ．
因为 ，所以 ， ，
所以 在 上有唯一零点 ．
当 时, ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减．
所以 ．
因为 在 上恒成立，且 有且只有一个实数解，所以 ，即 ，
消去 并整理得 ．
令 ，则 ， ，
在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
又 ， ，所以 ．
又 ，且函数 在 上单调递增，所以 ．
23．已知函数 .
（1）证明：当 时， ；
（2）若 ， ，证明： 有且仅有一个零点.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题可知 等价于 ，构造函数利用导数可证；
（2）利用导数判断函数单调性，可求函数的极值，再结合零点存在性定理可证.
【详解】
（1）当 时， 等价于 .
设 ，当 时， ， 单调递增，
故 ， ，即 .
于是当 时， .
（2） 定义域为 ， .若 ，当 或 时， ，当 时， ，故 在 单调递
增，在 单调递减，在 单调递增.
，
所以函数 在 上没有零点；
因为 ， ，所以 ，
∴ ，
当 满足 且 时，由（1）可知 ，
∴函数 在 上有一个零点；
综上所述， 有且仅有一个零点.
24．已知函数 .
（1）若曲线 在 处的切线方程为 ，求实数 ， 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） ， .
【分析】
（1）根据导数的几何意义求出曲线 在 处的切线方程，再与题设中切线方程比较对应项系数
得到两个方程，即可解出；
（2）由同构思想将 整理变形为 ，构造函数 ，问题转化为
，由于函数 在其定义域内为增函数，可得 ，再分参得 ，
求出函数 的最大值，即解出．
【详解】
（1）由题意， ， ， ，则曲线 在 处的切线斜率 ， ，
故曲线在 处的切线方程为： ，
结合题意从而有 ， ， ，所以 .
所以 ， ．
（2）因为 ，即 ，
即 ，
构造函数 ，问题转化为
注意到函数 在其定义域内为增函数，
故 ，即 ，所以 .
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，所以当 时，
取极大值，即为最大值，所以 的最大值为 ，
所以 ，则 ，故实数 的取值范围为 ， .
25．已知函数f（x）=ex﹣alnx（a∈R且为常数）.
（1）讨论函数f（x）的极值点个数；
（2）若f（x）≥（1﹣x）ex﹣（a﹣1）lnx+bx+1对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围.
【答案】（1）当a≤0时，f（x）无极值点，当a>0时，函数f（x）只有1个极值点；（2）（﹣∞，1].
【分析】
（1）求出导函数f'（x），再对a分情况讨论，根据导函数f'（x）的正负得到函数f（x）的单调性，进而
得到函数f（x）极值点的个数.
（2）不等式f（x）≥（1﹣x）ex﹣（a﹣1）lnx+bx+1对任意的x∈（0，+∞）恒成立， 对任意
的x∈（0，+∞）恒成立，记 ，通过求F（x）的最小值得结论.
【详解】
（1）由题设知：f（x）的定义域为（0，+∞）， ，令g（x）=xex，∵（xex）′=ex+xex>0在（0，+∞）上恒成立，
∴函数g（x）=xex在（0，+∞）上单调递增，且值域为（0，+∞），
①当a≤0时，xex﹣a>0在（0，+∞）上恒成立，即f′（x）>0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值
点；
②当a>0时，方程xex﹣a=0有唯一解为x（x>0），
0 0
当0x 时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增，
0
∴x 是函数f（x）的极小值点，没有极大值点.
0
综上，当a≤0时，f（x）无极值点，
当a>0时，函数f（x）只有1个极值点；
（2）不等式f（x）≥（1﹣x）ex﹣（a﹣1）lnx+bx+1对任意的x∈（0，+∞）恒成立，
即xex﹣lnx﹣1≥bx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，
∴ 对任意的x∈（0，+∞）恒成立
记 ，则 ，
记h（x）=x2ex+lnx，则 ，易知h'（x）>0在（0，+∞）上恒成立，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，且 ，h（1）=e>0，
∴存在 ，使得h（x）=0，且当x∈（0，x）时h（x）<0，即F'（x）<0，
0 0
∴函数F（x）在（0，x）上单调递减；
0
当x∈（x，+∞）时h（x）>0，即F'（x）>0，故F（x）在（x，+∞）上单调递增，
0 0
∴F（x） =F（x），即 ，
min 0
又h（x）=0，故 ，即 ，即 ，
0
由（1）知函数g（x）=xex在（0，+∞）上单调递增，
∴ ， ，∴b≤1.
综上，实数b的取值范围是（﹣∞，1].
26．已知函数 ， ．
（1）求函数 的最值；
（2）若不等式 在区间 上恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1） ，无最小值；（2） ， .
【分析】
（1）先求导，根据导函数得符号求出函数的单调区间，从而可求得函数得最值；
（2）分离参数，再构造函数 ，再求导，利用导数求出函数的最大值，即可得出答案.
【详解】
解：（1） ， ，故其定义域为 ，
，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
故函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
所以 ，无最小值；
（2） ，
，
令 ，
令 ，解得 ，
当 在 内变化时， ， 变化如下表，
0
由表知，当时函数 有最大值，且最大值为 ，
所以实数 的取值范围 ， .
27．已知函数 ，设 在点 处的切线为
（1）求直线 的方程；
（2）求证：除切点 之外，函数 的图像在直线 的下方；
（3）若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围
【答案】（1）y＝x﹣1；（2）见详解；（3）（﹣∞，1）.
【分析】
（1）求导得 ，由导数的几何意义k ＝f′（1），进而可得答案．
切
（2）设函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝ ﹣x+1，求导得h′（x），分析h（x）的单调性，最值，进
而可得f（x）﹣（x﹣1）≤0，则除切点（1，0）之外，函数f（x）的图象在直线的下方．
（3）若存在x （1，+∞），使得不等式a＜ 成立，令g（x）＝ ，x＞1，只需a＜g（x）
∈
．
max
【详解】
（1） ，
由导数的几何意义k ＝f′（1）＝1，
切
所以直线m的方程为y＝x﹣1．
（2）证明：设函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝ ﹣x+1，，
函数定义域为（0，+∞），
令p（x）＝1﹣lnx﹣x2，x＞0，
p′（x）＝﹣ ﹣2x＜0，
所以p（x）在（0，+∞）上单调递减，
又p（1）＝0，
所以在（0，1）上，p（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
在（1，+∞）上，p（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x） ＝h（1）＝0，
max
所以h（x）≤h（1）＝0，
所以f（x）﹣（x﹣1）≤0，
若除切点（1，0）之外，f（x）﹣（x﹣1）＜0，
所以除切点（1，0）之外，函数f（x）的图象在直线的下方．
（3）若存在x （1，+∞），使得不等式f（x）＞a（x﹣1）成立，
∈
则若存在x （1，+∞），使得不等式 ＞a成立，
∈
即若存在x （1，+∞），使得不等式a＜ 成立，
∈
令g（x）＝ ，x＞1，
g′（x）＝
＝ ，
令s（x）＝x﹣1﹣（2x﹣1）lnx，x＞1
s′（x）＝1﹣2lnx﹣（2x﹣1）• ，
令q（x）＝﹣x﹣2xlnx+1，x＞1
q′（x）＝﹣1﹣2lnx﹣2＝﹣3﹣2lnx＜0，
所以在（1，+∞）上，q（x）单调递减，
又q（1）＝0，所以在（1，+∞）上，q（x）＜0，s′（x）＜0，s（x）单调递减，
所以s（x）≤s（1）＝0，即g′（x）≤0，g（x）单调递减，
又 ，
所以a＜1，
所以a的取值范围为（﹣∞，1）．
28．已知函数 ， ，其中 .
（1）证明：当 时， ；当 时， ；
（2）用 表示m，n中的最大值，记 .是否存在实数a，对任意的 ，
恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， .
【分析】
（1）对 求导，得到 ，对x分 讨论即可获得证明；
（2）由题意，将 恒成立转化为当 时， 恒成立即可，对 求导得
，易得 单增，分 与 两种情况讨论，结合 的单调性及零点
存在性定理可得到满足题意的a.
【详解】
（1） ， ,
当 时， ， ，则 ；
当 时， ， ，则 ，
当 时， ．
所以当 时， ， 在 上是增函数，
又 ，
所以当 时， ；当 时， ．
（2）函数 的定义域为 ，
由（1）得，当 时， ，又 ，
所以当 时， 恒成立．
由于当 时， 恒成立，
故 等价于：当 时， 恒成立．
， ．
当 时， ， ，故 ；
当 时， ， ，故 ．
从而当 时， ， 单调递增．
①若 ，即 ，则当 时， ， 单调递减，
故当 时， ，不符合题意；
②若 ，即 ，取 ，
则 ，且 ，
故存在唯一 ，满足 ，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
若 ，则当 时， 单调递增， ，不符合题意；
若 ，则 ，符合题意，此时由 得 ；
若 ，则当 时， 单调递减， ，不符合题意．
综上可知：存在唯一实数 满足题意．
29．已知函数 ， ，
（1）求函数 的单调区间；（2）若 ， ，使 成立，求m的取值范围.
（3）当 时，若关于x的方程 有两个实数根 ， ，且 ，求实数k的取值范围，并且证
明： .
【答案】（1）f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增；（2）（0， ）；（3）k＞1
﹣ln2，证明见解析.
【分析】
（1）求导得 ，分析 的正负，进而可得f（x）的单调性，即可得出答案．
（2）求出f（x） ，令h（x）＝ ，求出h（x） ，只需f（x） ＞g（x） ，即可得出答案．
min min min min
（3）当m＝2时，f（x）＝lnx+ ，分析f（x）的单调性，进而可得f（x） ，若f（x）＝k有两个实数根
min
x，x，且0＜x＜ ＜x，则k＞1﹣ln2，且lnx+ ＝k①，lnx+ ＝k②，推出lnx＝lnx+ ﹣
1 2 1 2 1 2 1 2
，f（x）﹣f（1﹣x）＝lnx+ ﹣ln（1﹣x）﹣ ，令F（x）＝lnx+ ﹣ln（1﹣x）﹣ ，
1 2 2 2
x＞ ，求导分析F（x）的单调性，进而可得f（x）＜f（1﹣x），再结合f（x）在（0， ）上单调递减，
1 2
即可得出答案．
【详解】
解：（1） ，
令f′（x）＞0，得x＞ ，
令f′（x）＜0，得0＜x＜ ，所以f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增．
（2）由（1）知，f（x） ＝f（ ）＝ln ＝1﹣lnm，
min
令h（x）＝ ＝ ＝ ，x （0，3），
∈
h′（x）＝ ＝ ，
在x （2，3）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
在x∈（0，2）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
∈
所以h（x） ＝h（2）＝ ＝ ，
min
所以1﹣lnm＞ ，
所以0＜m＜ ，
所以m的取值范围是（0， ）．
（3）当m＝2时，f（x）＝lnx+ ，
由（1）可知f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，
f（x） ＝f（ ）＝ln ＝1﹣ln2＞0，
min
若f（x）＝k有两个实数根x，x，且0＜x＜ ＜x，
1 2 1 2
则k＞1﹣ln2，
所以lnx+ ＝k①，lnx+ ＝k②，
1 2
得lnx+ ＝lnx+ ，
1 2所以lnx＝lnx+ ﹣ ，
1 2
f（x）﹣f（1﹣x）＝lnx+ ﹣ln（1﹣x）﹣
1 2 1 2
＝（lnx+ ﹣ ）+ ﹣ln（1﹣x）﹣
2 2
＝lnx+ ﹣ln（1﹣x）﹣
2 2
令F（x）＝lnx+ ﹣ln（1﹣x）﹣ ，x＞ ，
＝ ，
因为x＞ ，
所以﹣4x2+4x﹣1＜0，即F′（x）＜0，
所以F（x）在（ ，+∞）单调递减，
所以F（x）＜F（ ）＝
所以f（x）＜f（1﹣x），
1 2
因为0＜x＜ ＜x，
1 2
所以﹣ ＞﹣x，即1﹣ ＞1﹣x，
2 2
所以0＜1﹣x＜ ，
2因为f（x）在（0， ）上单调递减，
所以x＞1﹣x，
1 2
所以x+x＞1，得证．
1 2
30．已知函数 ， ．
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，证明： ；
（2）设 ，若对 ，均有 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】
（1）利用条件求出 ，然后研究函数的最值即可证明不等式；
（2）原不等式等价于 ，分类讨论研究函数的单调性，结合极值即可得到实数 的
取值范围．
【详解】
（1）证明：因为 ，所以切线的斜率 ．
又因为切线与直线 平行，所以 ，解得 ，
所以 ．
，
由 得 ，则函数 的单调递增区间为 ；
由 得 ，则函数 的单调递减区间为 ，
所以 在 处取极大值，也为最大值，
且 ．所以 ；
（2）证明：由 得 ，整理得 ．
设 ，则 在 上
恒成立，
①当 时， ， 在 上单调递增，依题意得 ．满足题意；
②当 时，
由 得 ，则函数 在 上单调递减，
由 得 ，则函数 在 上单调递增，
所以 在 处取极小值，也为最小值．
．
依题意得 ．可得 ，解得 ．
综上可得实数 的取值范围为 ．
31．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2） .
【分析】
（1）求 的导函数，讨论参数 判断 的符号，进而确定 的单调性；
（2）由题设可知 在 上恒成立，构造 并利用导数研究单调性，即可求 的取值范围.
【详解】
（1）∵ ，
当 时， ，由 得 ；由 得 .
当 时，令 ，令 得 ， .
当 时，由 得 ；由 得 .
当 ，即 时，由 得 ；由 得 .
当 ，即 时， 恒成立.
当 ，即 时，由 得 ，由 得 .
综上，当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由 ，故 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
设 ，则 ，
令 ，则 ，
，则 ，在 上单调递减，则 ，
，则 在 上单调递减，有 ，
的取值范围是 .
32．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性．
（2）设 ，若 恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）单调性见解析；（2） ．
【分析】
（1）求得 ，分 和 两种情况分类讨论，结合导数的符号，即可求得函数的单调性；
（2）当 时，根据 ， 构造函数 ，求得
，令 ，利用导数求得单调性，结合 ，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数 的定义域为 ，且 ，
（ⅰ）当 时， ，则 在 上单调递增；
（ⅱ）当 时，令 得到 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减；
综上可得，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）由 ，令 ，则 ，故 ，
证明： 时符合题意，当 时， ，
以下证明： ，
构造函数 ，
则 ．
令 ，则 ，
令 ，可得 ；令 ，可得 ，
于是 在 上递减，在 上递增，于是 ，
可得当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，故 ，
综上可知，实数a的取值范围 ．
33．已知函数 ．
（1）当 时，求 的极值；
（2）若 对 恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1） 的极大值为 ，极小值为 ；（2） ．
【分析】
（1）利用导数求解函数的极值即可.
（2）首先利用导数求出函数 的最小值 ，从而得到 ，再解不等式即可.
【详解】
（1）当 时， ，
，令 ，解得 或 ．
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
所以 的极大值为 ，极小值为 ．
（2） ．
令 ，即 ，解得 或 ．
因为 ，所以当x变化， ， 的变化情况如下表：
1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
当 时，有 ， ， ，
所以 ，从而 ．
又函数 在 处取得极小值 ，
所以 为函数 在R上的最小值．
因为不等式 对 恒成立，
所以 ，解得 ．所以a的取值范围是 ．
34．已知函数 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 时， 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）增区间为 ，减区间为 ；（2） ．
【分析】
（1）两次求导可判断 的单调性，进而得出 的单调性；
（2）转化为 成立，构造函数，通过导数求出函数的单调性可判断.
【详解】
（1）当 时， ，
设 ，
∵ ，∴ 在 上递增，即 在 上递增，
又 ，∴当 时， ；当 时， ，
∴ 的增区间为 ，减区间为 .
（2）当 时， 恒成立，
①当 时，不等式恒成立，可得 ；
②当 时，可得 恒成立，
设 ，则 ，设 ，可得 ， ，
由 ，可得 恒成立，可得 在 递增，
∴ ，
∴ 恒成立，即 在 递增，∴ ，
再令 ，可得 ，
当 时， ， 在 递增；
当 时， ， 在 递减，
∴ ，即 ，
综上： 的取值范围是 .
35．已知函数
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求使 在区间 上恒成立的 的所有值.
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2） .
【分析】
（1）求导，分 ， 讨论求解即可得答案；
（2）根据题意得 ，进而得 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故根据题意得 ，即 ，再令 ，研究函
数最值即可得答案.
【详解】
（1）由题意得 ，
①当 时， ，则 在区间 上单调递增；
②当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，∴ 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
（2） 时， ，
∵ 在区间 上恒成立，
∴ ，∴ .
令 ，解得 ，
∴ 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
∴ .
∴ ，即 .
设 ，则 ，
令 ，得 ，
∴ 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，∴ ，
∴ 在区间 上恒成立，当且仅当 时， ，
∴满足不等式 的 的值为 ．
综上，使 在区间 上恒成立的 的所有值为 ．
36．已知函数 .
（1）当时 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若对任意的 ，都有 成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）当 时，求得 ，得到 ， ，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）由题意得到 ， ，求得 ，分 和 类讨论，分别求得函数
的单调性和最小值，即可求解.
【详解】
（1）当 时， 的定义域为 ，
可得 ，所以 ，又由 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）对任意的 ，要使 成立，只需任意的 ， .
又由 ，
当 时，即 时， 在 上是增函数，所以只要 ，从而
，所以 满足题意；
当 时，即 时， ，
所以 在 上是减函数， 上是增函数，
从而 时， 与 矛盾，故 不满足题意.
综上所述，实数 的取值范围是 .
37．已知函数 ， ， …为自然对数的底数.
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求实数 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2） .
【分析】
（1）求 ，分别讨论 、 、 以及 时，求不等式 和 的解集即可求
解；
（2）结合（1）中的结论，分四类 、 、 以及 时讨论 时 的范围，前三类
只需举反例说明不成立，当 时，分 和 两种情况讨论即可求解.
【详解】
（1）由 可得
①若 ， ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
②若 ，由 得： 或 ，且 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
③若 ，由 得： ，
恒成立，所以 在 上单调递增，
④若 ，由 得： 或 ，且 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；当 时， ， 在 上单调递增；
综上，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
当 时， 在 ， 上单调递增；在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增；在 上单调递减；
（2）由（1）知，
当 时， ，不满足题意，
当 时， ， ，不满足题意，
当 时， ，不满足题意，所以 ，
当 时， ， 在 上单调递增；在 上单调递减；在 上单调递增；
所以 对 恒成立，则 ，所以 ，
当 时， ， 在 上单调递增；在 上单调递减；
所以 ，所以 ，
综上可知： .
38．已知函数 ，其中 .
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；（2） .
【分析】（1）求导可得 ，分析正负即得解；
（2）转化 为 ，当 时有， ，只需证明当 时，不等式成立即
可，当 可转化为 ，令函数 ，即 对
恒成立，求导分析单调性，证明 即可.
【详解】
（1）依题意， ，故 ，
令 ，解得 ，故当 时， ，
当 时， ，
故函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为
（2）依题意， ，
令 ，得 ，
①当 时，不等式 显然成立，
②当 时，两边取对数，即 恒成立，
令函数 ，即 对 恒成立，
由 ，得 ，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
因此令函数 ，其中 ，则 ，得 ，
故当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
又 ，故当 时， 恒成立，
因此 恒成立，即当 时，对任意的 ，均有 成立，
综上所述，实数 的取值范围为 .
39．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
（1）求f(x)的极值点；
（2）若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；
（3）已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）极大值点为 ，极小值点为 ；（2） ；（3） .
【分析】
（1）求导，讨论导函数的正负得出函数的单调性，根据函数的单调性可求得其极值点；
（2）由（1）可知函数的单调性及极值，结合数形结合分析可得 的范围；
（3）由题意分离参数即 在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，求出其在上的最小值即可得
到答案.
【详解】
（1） ，令 ，
得 ，
当 时，f′(x)>0，当 ，f′(x)<0，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.所以 ， 分别为 的极大值点，极小值点.
(2)当 时， ，当 时， ，
，
要使直线y＝a与y＝f(x)的图象有3个不同交点，则
则方程f(x)＝a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围为 .
（3）当 时，由f(x)≥k(x－1)，即 ，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，
所以 在(1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以g(x)>g(1)＝－3，所以所求k的取值范围是为(－∞，－3].
40．已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的最小值；
（2）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）0；（2） .
【分析】
（1） 时，利用导数研究 的单调性，由此求得 的最小值.
（2）利用二次求导的方法研究 的单调区间，通过 的最小值来求得 的取值范围.
【详解】
（1）当 时， ，
，
令 ，当 时， ，则 在 单调递减，
当 时， ，则 在 单调递增，
所以 .
（2） ，
，，
设 因为 ，
故存在 ，有 ，
且 在 时 ，在 时 ，
则 在 单调递减，在 单调递增，
所以函数 在 处取到最小值，，
又因为 ，要使得 恒成立，
只有 才能满足.
故代入 ，得 ，
故所求 .
41．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有最大值 ，且 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【分析】（1）求出函数 的定义域与 ，讨论 时、 时，判断导函数的符号，即可求解；
（2）根据（1）可得 ，得 ，设 ，利用导
数求出函数 的单调性，结合 即可求解．
【详解】
（1） 的定义域为 ，
由 可得 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）由（1）知，当 时，在 上单调递增，无最大值，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
所以当 时， 取得最大值，
即 ，
因此有 ，得 ，
设 ，则 ，所以 在 内单调递增，又 ，所以 ，得 ，
故实数 的取值范围是 ．
42．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－ 与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对 ，不等式 恒成立，求c的取值范围.
【答案】（1） ，单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；（2）
或
【分析】
（1）求出函数导数，由题可得 即可求出 ；
（2）求出 在 的最大值即可建立关系求解.
【详解】
（1） ， ，
在 与 时都取得极值，
，解得 ，
，
令 可解得 或 ；令 可解得 ，
的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
（2） ，由（1）可得当 时， 为极大值，而 ，
所以 ，
要使 对 恒成立，则 ，解得 或 .
43．已知函数
（1）当 时，求 在区间 中的最大值
（2）若 对 恒成立，求 的取值范围
【答案】（1）最大值为 ；（2） .
【分析】
（1）求出 ，解方程 得其根，列表得出 的正负与 的单调性，求出极值，并求出区间
端点处函数值，从而得出最大值；
（2）不等式分离参数，引入新函数 ， ，由导数求得 的最大值，从而得
的取值范围．
【详解】
解：（1）当 时， ，
，
令 ，得 ， ，
因为 ，
所以 与 的情况如下：负 0 正
减 极小值 减
又 ， ，
所以 ，
所以 在区间 中的最大值为 .
（2）当 时，“ ”等价于“ ”，
设 ， ，
则 .
因为 与 在 上都是减函数，
所以 在 上是减函数，
所以 时， ，
所以 在 上增函数，
所以 ，
所以 的取值范围是 .
44．已知函数 .
(1)若函数 存在两个极值点 ， ，求 的取值范围；
(2)在(1)的条件下，若不等式 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .【分析】
(1)通过已知条件可转化为 在 由两个解，进而转化为两个函数的交点问题即可求解；(2)首先
结合(1)中条件求出 ， 之间的关系，然后对不等式 进行参数分离，并构造新函数，利用导
数求最值的方法对新函数求最值即可求解.
【详解】
(1)由题意知， 的定义域为 ，
则 在 上的两个根为 ， ，
即 在 上有两个不等实根 ， ，
即 与 在 上有两个交点，
易知 的对称轴为： ，且 的图像开口向下，
又因为 ， ，
又由 与 在 上有两个交点，
从而 的取值范围为 .
(2)由(1)知， 在 上有两个不等实根 ， ，
即 有两个不等实根 ， ，
所以 ， ，则 ， ，
由 得，
即 ，
令 ， ，则 ，
因为当 时， ， ，
所以 对于 恒成立，
故 在 上单调递减，从而 ，
故 的取值范围为： .
45．已知函数 ，且曲线 在点 处的切线与直线 平行.
（1）求实数 的值并判断 的单调性;
（2）记 ，若 ，且当 时，不等式 恒成立，求 的最大值.
【答案】（1） 在 上单调递增， 在 上单调递减；（2）最大值是 ．
【分析】
（1）求导，利用 可得实数 的值，进而通过导函数的正负值可判断 的单调性;
（2）将不等式 恒成立转化为 ，令 ，利用导数求
的最小值即可.
【详解】
解: 由题意得， 的定义域为 ，
，切线 与直线 平行，
，
故
由 得 ，
此时 在 上单调递增;
由 得 ，在 上单调递减;
所以， 在 上单调递增， 在 上单调递减.
，
在 上恒成立，
令 .
则
令 ，
，
在 上单调递增.且 ，
所以方程 在 上存在唯一的实数根 ，且 ，则 ，
所以 ①，
当 时， ，即 ;
当 时， ，即 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以
把①代入得， ， ，
所以 ，
故整数 的最大值是 ．
46．已知函数 .
（1）当 时，求 的极值；
（2）若 在 上有解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）极小值 ，无极大值；（2） .
【分析】
（1）利用导数求得 的单调区间，由此求得 的极值.
（2）将 转化为 ，采用分离常数法，通过构造函数，结合导数求得 的取值范围.
【详解】
（1）当 时， ，所以 ，
当 时 ；当 时 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时函数 有极小值 ，无极大值.
（2）因为 在 上有解，
所以 在 上有解，
当 时，不等式成立，此时 ，
当 时 在 上有解，
令 ，则 ，
由（1）知 时 ，即 ，
当 时 ；当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，
所以 ，
综上可知，实数 的取值范围是 .
47．已知函数 的图象与直线 相切.
（1）求实数 的值；
（2）若 ，且 恒成立，求实数 的最小值.
【答案】（1） ；（2）最小值为 .
【分析】
（1）求导，通过切线，即可求出参数.
（2）设 ，再通过导函数得到函数单调性，求出最小值，即可求解.
【详解】解：
若 ，则 ，
的图象不存在斜率为 的切线.
若 ，令 可得 ，
由题意 ，
得 .
（2）设 ，
则
令 ，可得
易知 单调递增，
在 上， 单调递减；
在 上， 单调递增.
根据题意知 恒成立，
故
当 时，
即 的最小值为 .48．已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意的 ，都有 恒成立，求实数 的最小值.
【答案】（1）答案见解析；（2）最小值为 .
【分析】
（1）求导函数 ，分 ， ， ， ， ，分别讨论导函数的符号，
可得出原函数的单调区间；
（2）由（1）所得的函数单调区间，讨论 ， ， ， 的情况，验证是否满足题意，可
得 的最小值.
【详解】
解：（1） ，定义域为 ， ，
当 ， ，所以 ； ，
所以 的单增区间 ；单减区间 ；
当 ，令 ，得 .
当 ，则 ，所以当 ； ，
所以 的单增区间 ；单减区间
当 ，则 ，
若 ， ，所以 单增区间为 ；
当 ， ，
所以当 ； ；
所以 单增区间 ， ；单减区间 ；当 ， ，
所以当 ； ；
所以 单增区间 ， ；单减区间 ；
综述：当 ， 单增区间 ；单减区间 ；
当 ， 单增区间为 ；
当 ， 单增区间 ， ；单减区间 ；
当 ， 单增区间 ， ；单减区间 ；
（2）由题，对任意的 ，都有 恒成立，又 .
当 ， 在 上递减，所以当 ， ，不符合，舍去.
当 ， 单减区间 ，单增区间 .
所以当 ， ，不符合，舍去.
当 ， 单增区间为 ，所以 在 上递增，则 恒成立；
当 ， 单增区间 ， ，所以 在 上递增，则 恒成立；
综述： ，所以 的最小值为 .
49．设函数 .
（1）若 是 的极值点，求 的单调区间；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；（2） .
【分析】（1）先求导，令 ，检验即得解；代入 ，分别令 ， 得到单增区间和单减区
间；
（2）转化 为 ，分 ， 两种情况讨论即可
【详解】
（1） ，
，经检验符合条件
，
令 ，有 或 ，令 ，有 ，
所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（2）由题意
当 时，令 ，有 ，令 ，有 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以
，即
当 时， 不成立.
综上， .
50．已知函数 ．
（1）当a＝3时，求f(x)的单调区间；
（2）当a＝1时，关于x的不等式 在[0，）上恒成立，求k的取值范围．
【答案】（1）减区间为（－1，2），増区间为（2，＋∞）；（2） ．
【分析】
（1）利用导数求得 的单调区间；（2）化简 为 ，构造函数 ，结合对 进行分类讨
论，利用 求得 的取值范围.
【详解】
（1） 的定义域为
当a＝3时， ，
，
当 时， 是减函数，
是増函数，
所以，f(x)的减区间为（－1，2），増区间为（2，＋∞）．
（2）当a＝1时， ，
，即 ，
设 ，则只需 在 恒成立即可．
易知 ，
，
①当 时， ，此时g(x)在 上单调通减，
所以 ，与题设矛盾；
②当 时，由 得 ，
当 时， ，当 时， ，
此时 在 上单调递减，
所以，当 时， ，与题设矛盾；③当 时， ，故 在 上单调递增，所以 恒成立．
综上， ．
51．已知函数 .
（1）若函数 在 处取得极值，求实数 的值；
（2）当 时，不等式 对于 恒成立，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）先根据 求解出 的值，然后再代回进行验证即可；
（2）采用换元法令 ，化简不等式将问题转化为“ ， 恒成立”，构造函数
，利用导数分析 的单调性以及最小值，根据 求解出 的取值范围.
【详解】
解：（1）因为 ，所以 ，
因为 在 处取极值，所以 ，所以 ，
所以 ，
检验：当 时， ，
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以 在 处取极值，符合题意.（2）当 时， ，由题知 时， ，
所以 时， ，
令 ，因为 为 上的增函数，且 的值域为 ，所以 ，
故问题转化为“ ， 恒成立”，
不妨设 ，所以 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以当 时， ，这与题意不符；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
所以 ，所以 ，
记 ， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
又因为 ，即 ，所以 .（注：也可直接讨论函数 的单调性）
52．已知函数 ， ， .
（1）讨论函数 的单调区间；
（2）若对任意 都有 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2） .
【分析】
（1）求导函数，分 和 两种情况，分析导函数的符号，可得出原函数的单调区间；
（2）原不等式等价于 对任意的 恒成立，令 ，求导函数，分
， ， ，三种情况讨论其导函数的符号，得出所令函数的单调性和最值，可求得实数
的取值范围.
【详解】
解：（1） ，
①当 时， 恒成立，则 在R上单调递增；
②当 时， 时， ， 的单调递增区为 ；
时， ， 的单调递减区间为 .
（2） 对任意的 恒成立， ，
即 对任意的 恒成立.
令 ， ，
①当 时， 在 恒成立， 在 上单调递减.只需 ，即
，矛盾.②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以只需 ，即 ，∴ ；
③当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减.
；∴ ，
综上，实数 的取值范围为 .
53．已知函数 ， .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若关于 的不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2） ．
【分析】
（1）求出 ，再对 分三种情况讨论；
（2）由题得 ， ，证明
，即得 ，故 ，再对 分类讨论得解.
【详解】
（1） ， ， ．
①若 ，则 恒成立，故 在 上单调递增．
②若 ，令 ，得 ．0
极大值
③若 ，则 恒成立，故 在 上单调递减．
综上所述，若 ， 在 上单调递增；若 ， 在 上单调递增，在
上单调递减；若 ， 在 上单调递减．
（2）令 ，故 ，
所以 ，令 ，
，
下面证明 ，其中 ．
令 ， ，则 ．
所以 在 上单调递增，故 ，
所以当 时， ．
所以 ，
所以 在 上单调递增，故 ．
①若 ，即 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 对 恒成立，所以 符合题意．②若 ，即 ，此时 ，
，
且据 及 可得 ，故 ，
所以 ．
又 的图象在 上不间断，所以存在 ，使得 ，
且当 时， ， 在 上单调递减，
所以 ，其中 ，与题意矛盾，
所以 不符题意，舍去．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
54．已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时，证明： 时，当 恒成立.
【答案】（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用导数研究 的单调性即可.
（2）由分析法：只需证 即可，构造 ，利用导数证明
结论得证.【详解】
（1）函数 的定义域为 ，当 时， ，
∴ ， ，
∴当 或 时， ， 在 ， 单调递减，
当 时， ， 在 单调递增.
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， .
（2）要证 ，只需证 ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ 在 单调递增， ，
∴ ，得证.
55．已知函数 .
（1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值；
（2）若 ，讨论函数 的单调性；
（3）设函数 ，若至少存在一个 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）答案见解析；（3） .
【分析】（1）利用导数的几何意义可得出关于实数 、 的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得 的值；
（2）求得 ，分 、 、 三种情况讨论，分析导数的符号变换，由此可
得出函数 的增区间和减区间；
（3）分析可知不等式 在 上有解，利用导数求出函数 在区间 上的最小
值，由此可求得实数 的取值范围.
【详解】
（1） 的定义域为 ， .
由题意得 ， ，
即 ，解得 ，因此， ；
（2） .
当 时， 且 不恒为 ，所以， 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
此时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
此时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；（3）若至少存在一个 ，使得 成立，则当 时， 有解.
当 时， ，即 有解，
令 ， ，则 .
，
所以， 在 上单调递减，所以， ，
所以， ，即 ，因此，实数 的取值范围是 .
56．已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）当x＞0时，f（x）＞0恒成立，求正整数k的最大值.
【答案】（1）答案见解析；（2）3.
【分析】
（1）求得 ，对 进行分类讨论，由此求得 的极值.
（2）对 进行分类讨论，结合 的最小值为正数，利用导数求得正整数 的最大值.
【详解】
（1）
①当 时， ，函数在 上单调递增，无极值；
②当 时， ，得 ，由 得
在 上单调递减，在 上单调递增，，没有极大值.
（2）当x＞0时，f（x）＞0恒成立，即只要f（x） ＞0即可，
min
由（1）k＞0时，f（x）在（﹣1，k﹣1）上单调递减，在（k﹣1，+∞）上单调递增，
（a）若k﹣1≤0即k≤1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x） ＞f（0）＝1满足题意；
min
（b）当k﹣1＞0即k＞1时，f（x）在（0，k﹣1）上单调递减，在（k﹣1，+∞）上单调递增，f（x） ＝f
min
（k﹣1）＝lnk﹣k+2＞0，
令g（x）＝lnx﹣x+2，则 ，
所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，且g（2）＝ln2＞0，g（3）＝ln3﹣1＞0，g（4）＝ln4﹣2＜0，
所以存在x∈（3，4）使得g（x）＝0，
0 0
则g（x）＝lnx﹣x+2＞0的解集为（1，x），
0
综上k的取值范围（﹣∞，x），其中x∈（3，4），
0 0
所以正整数k的最大值3.
57．已知函数 ， .
（1）当 时，求 的极值；
（2）若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） =f(0)=1，无极大值；（2）
极小值
【分析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，根据f(x) ≥1，求
min
出k的范围即可
【详解】
(1)k=0时， .所以 .
令 ，解得:x>0；令 ，解得:x<0，
故 在 递减，在 递增，
故 =f(0)=-1+2=1，无极大值.
极小值（2） .
① 时， ， 在 递增， 成立；
② 时，ln2k>0，
令 ，解得: ；令 ，解得: ，
故f(x) 递减，在 递增，
故 ，
故 不合题意.
综上， .
即 的取值范围为 .
58．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ， ，求 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2） ．
【分析】
（1）先求 并将其因式分解，然后对 进行分类讨论： 、 、 、 ，分别确定出
的单调区间，由此确定出 的单调性；
（2）构造函数 ，将问题转化为“ ， 恒成立求解 的取值范围”，
通过导数结合分类讨论的思想分析 的单调性并确定最值，由此求解出 的取值范围.
【详解】解：（1） ．
若 ，则当 时， ；
当 时， ．
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
若 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ．
故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ．
若 ，则 ， 在区间 上恒成立，
故 的单调递增区间为 ．
若 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ．
故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ．
综上可知：当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．（2）令 ，
则 等价于 ．
．
若 ，则 ， 在区间 上恒成立，
在区间 上单调递增，
故 ，符合条件．
若 ，则当 时， ；
当 时， ．
故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
则 ，不符合条件．
若 ，则 在区间 上恒成立，
在区间 上单调递减，
故 ，不符合条件．
综上所述， 的取值范围为 ．
59．已知函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 ，求a的取值范围．
【答案】（1）单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；（2） ．
【分析】（1）求导， ，转化为分析 ，结合定义域即得解；
（2）令 ，转化为 ，求导分析单调性，分类讨论，即得解
【详解】
（1）因为 ，所以 ．
当 时， ；当 时， ．
故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ．
（2）令 ，
则 等价于 ．
．
若 ，则 在区间 上恒成立， 在区间 上单调递增，故
，符合条件．
若 ，则当 时， ；当 时， ．故 在区间 上单调递减，
在区间 上单调递增，则 ，不符合条件．
若 ，则 在区间 上恒成立， 在区间 上单调递减，故 ，不符
合条件．
综上所述，a的取值范围为 ．
60．已知函数 （e是自然对数的底数， ）．
（1）讨论函数 单调性；
（2）若 ， ，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2） ．
【分析】
（1）求导可得 ，分 、 、 、 讨论可得答案；
（2）原问题等价于 对 恒成立；设 ，则 ，讨论
函数g(x)的最小值；设 ，结合h(x)的最值可得 在 上单调递减，在 上单调递
增， ， 的取值范围是 ．
【详解】
（1） 的定义域为 ， ，
当 时，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，
当 或 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， （不恒为零），故 在 上单调递增；
当 时，
当 或 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．（2）由 ，得 ，
当 时， ，即 对 恒成立，
设 ，则 ．
设 ，则 ．
∵ ，∴ ，∴ 在 上单调递增，∴ ，
即 ，
所以 时， ， 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，∴ ，
∴ ，∴a的取值范围是 ．
61．设函数 ， ， 是自然对数的底数.
（1）若 ，求函数 的极值；
（2）当 时， ，求 的取值范围.
【答案】（1）极大值为 ，极小值为 ；（2） .
【分析】
（1）求出函数的导数，利用导数的正负判断函数的增减性即可求出函数的极值；
（2）令 ，利用导数结合分类讨论求函数的单调性，根据单调性判断
满足 的a的范围.
【详解】
（1） ， ，令 ，得 或 ，令 ，得 ，
所以 在 ， 单增， 单减，
所以极大值 ，极小值 ，
（2） ， ，
， ，
， ，
①当 ，即 时， ，所以 单增， ，
所以 单增， ，符合题意.
②当 ，即 时， ，使得当 时 ，所以 在 单减，
，矛盾，所以舍去.
综上 .
62．已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 恒成立，求α的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2） .
【分析】
（1）求导函数 ，由 的正负确定单调性；
（2）用分离参数法转化为求函数的最值，得参数范围．
【详解】解：（1） ，定义域为 ，且 ，
当 ，则 ， 单调递增
当 ，令 ，则 ；若 ，则 ，
综上，当 时，函数 增区间为 ，无减区间
当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2）若 恒成立，则 恒成立，
，所以分离变量得 恒成立，
设 ，其中 ，则 ，
所以 ，
当 时， ；当 时， .
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
当 时，函数 取最大值，即 ，所以
因此，实数 的取值范围是 .
63．已知函数 ， ，其中 .
（1）当 时，求证： ；
（2）若任意 ，恒有 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）构造函数 ，利用导数得到 在 时取得最小值，且 ，可得
.
（2）转化为 在 恒成立，令 , ，分
、 、 讨论，利用 的单调性可得答案.
【详解】
（1）证明：当 时， ，构造函数 ，
所以 ，
所以 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 在 时取得最小值，又 ，
所以当 时， .
（2）因为任意 ，恒有 ，即 ， ，
则令 , ，所以 ，
若 ，则 在 上恒成立，
所以 在 是单调递增，
所以 ，即 ，所以不可能；
若 ，则 在 上恒成立，所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，而 ，所以不可能；
若 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，
要使 成立，即 ，解之得 .
综上可得 .
64．已知函数 ， ， .
（1）求 的单调区间；
（2）若对于任意 ， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2） .
【分析】
(1)求出函数 的导函数 ，按a分类解不等式 、 即得；
(2)根据给定条件构造函数 ，求出 ，再按a的取
值分类讨论使 恒成立及在某区间上可使 即可推理计算作答.
【详解】
(1)对函数 求导得， ，
当 时， ， 在 上为增函数，
当 时，由 ，解得： ，而 在 上单调递增，
于是得当 时， ， 在 上为减函数，当 时， ， 在 上为增函数，
所以，当 时， 的单调递增区间为 ，
当 时， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；
(2)对任意的 ， 恒成立，即 恒成立，
将 ， 代入，并整理得： ，
设 ，则原不等式等价于对任意的 ， 恒成立，
则 ，
令 ，则 ，令 ，解得： ，
则当 时， ，当 时， ， 在 上单调递减， 在 上单调递增，
于是得 ，即 ，
从而有
，
①当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递增， 恒成立，
即 ，对 恒成立，
②当 时，因 ，即有 ，则有 时， 恒成立，
当 时， ，
而 ，当 时， ，于是得 在 上为减函数， ，
即 时，当 时不等式 不成立，
综上得 ，所以实数 的取值范围是 .
65．已知函数 （ 为常数）
1）讨论函数 的单调性；
2）不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 时， 递增， 时，在 递减， 递增；（2） .
【分析】
（1）求出导函数 ，分类讨论确定 的正负得单调性；
（2）分离参数法变形不等式，转化为求新函数的最值，得出结论．
【详解】
（1）函数定义域是 ，
，
时， 恒成立， 在 上是增函数；
时， 时， ， 递减， 时， ， 递增．
（2） 即 在 上恒成立，则 ，
设 ，则 ， 时， ， 递增， 时， ，
递减， ，所以 ．
66．若函数 ， ．
（1）讨论 的极值点的个数；
（2）若 时， 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1） 时无极值； 时，两个极值点； 时，一个极值点；（2） ．
【分析】（1）求出导函数 ，令 ，利用导数作出 的大致图象，进而讨论 符号，
结合函数的单调性即可得出函数的极值个数.
（2）根据由 ，求出 ，讨论 、 、 或 ，分别判断函
数的单调性，由单调性判断 即可求解.
【详解】
（1） ，令 ，
，
时 ， 在 单调递增；
时， ， 在 单调递减．
如图所示， ，
时， ，
， 在 上单调递增，无极值；
时， 有两个根 ， ，
时， ， ；
时 ， ；时 ， ，
有两个极值点，
当 时， 有一个根 ，
时 ， ；
时 ， ，
有一个极值点．
综上： 时无极值； 时，两个极值点； 时，一个极值点．
（2）由 ，
当 时，由（1）知 在 上单调递增， 成立；
当 时，由（1）知 有两个根 ， ，
当 时 在 上单调递增，在 上单调递减， 成立；
当 时 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
，
，
成立．综上， ．
67．已知函数 ， ．
（1）当 时， 恒成立，求 的取值范围；
（2）若不等式 对 恒成立，求 的取值范围．【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）构造 ，求导分 ， 和 三种情况讨论单调性分析最值
即可；
（2）化简 ，构造出 ，再根据三角函数的范围，求导讨论单调
性与极值点分析即可
【详解】
解：（1）令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，所以 在 单调递减，
故 ，符合题意；
当 时，因为 在 单调递减，存在 使 ，当 ，
， 单调递增，
故 ，不符合题意；
当 时， ，所以 在 单调递增，
故 ，不符合题意；
综上所述， .
（2）不等式 对 恒成立，即 ，因为 ，当 时成立，
故要当 时，证明 恒成立设 （ ）， ，
设 ，则 ， ，
，
∴ 在 上递增，∴ 的值域为 ，
①当 时， ， 为 上的增函数，
∴ ，适合条件；
②当 时，∵ ，∴不适合条件；
③当 时，对于 ， ，
令 ， ，存 ，
使得 时， ．
∴ 在 上单调递减，∴ ，
即在 时， ，∴不适合条件
综上， 的取值范围为 ．
68．已知函数 .
（1）设 ，若 ，讨论函数 的单调性；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2） .
【分析】
（1）根据题意，分 ， ， 三种情况讨论求解即可；
（2） 在 恒成立 在 恒成立，进而结合（1）讨论函数值求解即可.
【详解】
解：（1） ，
ⅰ) 时， ， 在 上单调递增，
ⅱ) 时， 恒成立， ，故 在 上单调递减，
ⅲ) ， 两根为 均为正数，
所以令 得 ，令 得
所以 在 单调递减， 单调递增， 单调递减
（2） 在 恒成立 在 恒成立，
由①知 时， 恒成立，故 在 上单调递增，所以 ，显
然不合题意；
当 ， 在 上单调递减，故 ，显然符合；
当 时， 在 单调递增， 单调递减，由于 ，故存在
， ，故不满足.综上，实数 的取值范围为
69．设函数 ，其中 ．
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（2）讨论函数 极值点的个数，并说明理由；
（3）若 ， 成立，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）当 时， 有一个极值点，当 时，函数 无极值点，当
时，函数 有两个极值点；理由见解析；（3） ．
【分析】
（1） 时， ，求导得 ，由导数的几何意义可得 ，又 ，进
而可得切线的方程．
（2）函数 ，其中 ， ，求导得 ，令
，分三种情况：①当 时，②当 时，③当 时，讨论 的正负，
的正负， 的极值点，即可得出答案．
（3）结合（2），得 ，使得 ，即可得出答案．
【详解】
（1） 时， ，定义域为 ，
，所以 ，又 ，
所以函数 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）函数 ，其中 ， ，，令 ，
①当 时， ，此时 ，
函数 在 上单调递增，无极值点，
②当 时， ，
若 时， ， ，
，函数 在 上单调递增，无极值点，
若 时， ，设方程 的两个实数根分别为 ， ， ，
因为 ， ，由 ，可得 ，所以当 时，
， ，函数 单调递增，
当 时， ， ， 单调递减，
当 时， ， ， 单调递增，
所以函数啊 有两个极值点．
③当 时， ，由 ，可得 ，
所以当 时， ， ，函数 单调递增，
当 时， ， ， 单调递减，
所以函数 有一个极值点，
综上所述，当 时， 有一个极值点；当 时，函数 无极值点；当 时，函数
有两个极值点．
（3）由（2）可知：①当 时，函数 在 上单调递增，
因为 ，所以 时， ，符合题意，
② 时，由 ，
可得 ，函数 在 上单调递增，又 ，
所以 时， ，符合题意，
③当 时，由 ，可得 ，
所以 时， 单调递减，由 ，
所以 时， ，不符合题意，舍去
④当 时，设 ， ， ，
所以 在 上单调递增，
所以 时， ，即 ，
可得 ，
当 时， ，此时 ，不符合题，舍去，
综上所述，a的取值范围 ．
70．已知函数 ，
（1）讨论函数 的导数 的单调性
（2）当 时，不等式 对 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1） 在 上单调递减，在 上单调递增；（2） ．
【分析】（1）求导可得 ，再求导分析单调性即可；
（2）化简构造可得 对 恒成立，再根据 ，再求导分析分
析 的正负，结合隐零电脑问题，分析函数的最值判断即可
【详解】
（1） ， ，令 ，
由 ，当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）当 时，不等式 对 恒成立，等价于
对 恒成立，
令 ， ，则 ，
， ，令 ，
则 对 恒成立，
从而有 在 上单增，
①当 时， ， 在 上单增，
，即 对 恒成立，
②当 时， ，，使得 ，当 时， ， 在 上递减，
当 时， ，故 不成立，
综上，m的取值范围是 ．
71．已知函数
（1）若 在 处取得极值，求 的值及函数 的单调区间；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ，单调减区间为 ，单调增区间为 ；（2） .
【分析】
（1）求出导函数 ，由 求得 ，然后确定 的正负得单调区间；
（2）按 ， 和 分类讨论，从而得出结论，在 时应用两个典型的函数不等式 ，
，对不等式放缩可得结论．
【详解】
（1）由 得 .
，令 ，
在 上单调递增，
因为 ，所以当 时， ，
当 时， ，令 解得 ， 解得 ，
所以 的减区间是 ，增区间是 ；
（2）当 时， ，不合题意，
当 时，由（1）知 ，故 ，满足题意，
当 时，设 ， ，易知 时， ， 递减， 时， ，递增，因此 ，所以 ，即 ， 时，两边取对数得 ．
，满足题意．
综上， 的取舍范围是 ．
72．已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）对函数进行求导得到 ，再根据导数的几何意义，即可得到答案；
（2）先根据 得到 ，缩小 的取值范围，再利用放缩法证明 在 恒成立，即可得到答
案；
【详解】
（1）当 时， ， ，
，
切点为 ，斜率为 ，
曲线在点 处的切线方程： .
（2） 恒成立, ,
,
令 ， ，
在 恒成立，在 单调递增，且 ，
， ，
在 单调递减，在 单调递增，
， 恒成立，
实数 的取值范围 .
73．已知函数 为奇函数，且在 处取得极大值2.
（1）求 的解析式；
（2）若 对于任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）利用 ，结合单调区间、奇偶性求得 的解析式.
（2）利用分离常数法化简已知条件，利用构造函数法，结合导数求得 的取值范围.
【详解】
（1）由于 为奇函数，所以 ， ，
，
所以 ，
所以 ，
所以 在区间 上 递增，在区间 上 递减，在 处
取得极小值，符合题意.
（2）依题意 对于任意的 恒成立，
即 ①.
当 时，①恒成立.当 时，①可化为 ，
构造函数 ， ，
，
，
当 时， ， 递增，
所以在区间 上， ，
所以在区间 上， .
所以 .
74．已知函数 .
（1）若 ，求 在 处的切线方程；
（2）若函数 在 处取得极值，且存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）求导，代入 ，得到 ，再结合点斜式，即得解；
（2）求导，利用 ，求得 ，转化存在 ，使得 为
，再列表分析得到 ，计算即得解
【详解】
（1）当 时， ，则 ， ， ，
此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；（2）因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
故 ， ，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
因为存在 ，使得 ，等价于 ，
∴ 在 上的最大值为 ，
∴ ，解得 ，
所以 的取值范围是 ；
故答案为：
75．已知函数 ， .
（1）令函数 ，
①若函数 的图象与直线 ： 相切，求实数 的值；
②若不等式 恒成立，求整数 的最大值；
（2）若函数 恰有两个极值点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）① ；②最大值为2；（2） .
【分析】（1）①设出切点，建立方程组，从而得到实数 的值；②经过参变分离转化为 恒成立，构建函
数求出最小值的取值范围，即可得到整数 的最大值；
（2）由题意可知 在 内有两个变号零点，即 有两个不等的正实根，数形结合即可
得到结果.
【详解】
解：（1） .
①设切点 ， ，
则 ，
解得 ；
②不等式 即， ，则 .
设函数 ，∴ ，且 均在 上是增函数，
∴ ， 且 在 上是增函数，
∴存在唯一实数 ，使得 ，即 ，
∴ 在 内单调递减，在 内单调递增，
，
∴整数 的最大值为2；
（2） ，
则 ，由题意可知 在 内有两个变号零点，
由 得 ，∵ ，∴ ，
设 （ 且 ）
∴ ，
∴ 在 内递增，在 内递增，在 内递减.
∵ ，∴ ，得 ，
即实数 的取值范围为 .
76．已知函数 （ ）.
（1）当 时，试求函数图像在点 处的切线方程；
（2）若函数 有两个极值点 、 （ ），且不等式 恒成立，试求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1） 时， ，再求导，利用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）由函数 在 上有两个极值点，求导，根据判别式可得 ，不等式 恒成
立即为 ，求得 ，令 求出导数，
判断单调性，即可得到 的范围，即可求得 的范围．
【详解】
（1） 时， ，故 .
故 ，又 ，故函数图像在点 处的切线方程为 ，
即
（2）函数 在 上有两个极值点， .
由 得 ，
当 时，因为 ，故此时 ， ， ， ，则可得
， ，
，
令 ，则 ，
因为 , ， ，又 .
所以 ，即 时， 单调递减，所以 ，即 ，故实数 的取值范围是 .
77．已知函数 ．
（1）若 在点 处的切线斜率为 ．
①求实数 的值；
②求 的单调区间和极值．
（2）若存在 ，使得 成立，求 的取值范围．
【答案】（1）① ；②减区间为 ，增区间为 ，极小值为 ，无极大值； （2） .
【分析】
（1）求得函数的导数 ，①根据题意得到 ，即可求得 的值；
②由①知 ，结合导数的符号，以及极值的概念与计算，即可求解；
（2）设 ，根据存在 ，使得 成立，得到 成立，结合导数求得
函数 的单调性与最小值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数 的定义域为 ，且 ，
①因为 在点 处的切线斜率为 ，可得 ，解得 .
②由①得 ，
令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时，函数 取得极小值，极小值为 ，无极大值，
综上可得，函数 的减区间为 ，增区间为 ，极小值为 ，无极大值.
（2）因为 ，由 ，即 ，
即 ，设
根据题意知存在 ，使得 成立，即 成立，
由 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
78．已知函数 .
（1）如果曲线 在点 处的切线的斜率是2，求此时的切线方程；
（2）求函数 的单调区间；
（3）设 ，求证：当 时， 恒成立.
【答案】（1） ；（2）当 时，f（x）的单调递减区间为 ，无单调增区间；当 时，f
（x）的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（3）证明见解析.
【分析】
（1）求得 ，由点斜式可求得切线方程；
（2）求导得 ，分 和 两种情况讨论可得结果；
（3）构造函数 ， ，通过导数求得 ，进而证得不等式成立.【详解】
（1） ，由题意知， ，即 ，所以 .
又 ，所以切线方程为 ，即 .
（2）定义域为R， ，
当 时， 恒成立，所以函数在R上单调递减；
当 时，当 时， ，函数递增；
时， ，函数递减.
综上：当 时，函数 的单调递减区间为 ，无单调增区间；
当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（3）设 ，则 ，
设 ，所以 .
因为 时， 恒成立， 单调递增，
又因为 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 .
列表如下：
0 1
0
0 极小值
当 时， .
所以当 时， ，从而 ，即 恒成立.79．已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设函数 ，若对 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）求出函数的导函数 ，再分别求出 ，根据倒数的几何意义， 即为曲线 在
点 处的切线的斜率，从而可得答案；
（2）由对 ， 恒成立，即 恒成立，求出函数 的单调区间，
从而求得函数 在 上的最大值，即可得出答案.
【详解】
解：（1）因为 ，所以 .
所以 又
所以曲线 在点 处的切线方程为
即 .
（2）由题意知：
， .由 ，解得 ，
故当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
所以 .又所以实数 的取值范围为 .
80．已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 ， 是函数 的两个极值点，若 ，且 恒成立，求实数 的最大
值.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【分析】
（1） ，进而分 ， ， 三种情况讨论求解；
（2）结合（1）得 ，进而 ，再令 ，根据 和
得 ，进而令 ， ，求函数最小值即可得答案.
【详解】
解：（1）函数的定义域为 ， ，
所以当 ，即 ， 成立，故函数 在 上单调递增；
当 ，即 或 时，
当 时， 在 上恒成立，故函数 在 上单调递增；
当 时，由 得 且 ，
所以 的解集为 ， 的解集为 ，
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.综上，当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 在 和
上单调递增，在 上单调递减.
（2）由（1）得 是方程 的两个实数根，
所以
所以
，
令 ，由于 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
所以 ，
令 ， ，
所以 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ，所以 的最小值为 ，
所以实数 的取值范围为 ，即 的最大值为
81．已知函数 .
（1）函数 ，求 的单调区间和极值.
（2）求证：对于 ，总有 .
【答案】（1） 在 上单调递减，在 和 上单调递增；极小值 ，无极大值；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）写出 的函数表达式，通过求导写出单调区间和极值即可
（2）证明 恒成立，结合（1）得，等价于 恒成立，且已知左式的最小值，
只要大于右式的最大值，则不等式恒成立
【详解】
（1）解： ，
当 时， ；
当 或 时， ，
在 上单调递减，在 和 上单调递增；
故 有一个极小值 ，无极大值．
（2）证明：要证 成立，只需证 成立，
即证 成立，
令 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ，在 上单调递增，在 上单调递减，
，
由（1）可知 ，
，
，
．
82．已知 ， ，对一切 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】
【分析】
先把已知等式转化为 ，设 ，对函数求导，利用导函数的单调性求解
即可
【详解】
即 ，
整理可得：
令
则
当 时 ， 单调递减
当 时 ， 单调递增
所以
故 ，实数 的取值范围是83．设函数 ， ．
（1）求函数 的单调区间和极值；
（2）已知当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 的单调递增区间为 和 ，单调减区间为 ，极大值 ，
极小值 ；（2） .
【分析】
（1）利用导数可求得函数 单调单调区间和极值；
（2）将问题转化为不等式恒成立问题，利用分离参数法求解．
【详解】
（1）因为 ，则 ，令 ，解得 ， ．
当 或 时， ；当 时， ．
所以 的单调递增区间为 和 ；单调减区间为 ．
有极大值为 ， 极小值为 ；
（2） ，即 ．
因为 ，所以 在 上恒成立．
令 ， 在 上是增函数，所以 ．
所以 的取值范围是 ．
84．已知 ， .
（1）对一切实数 ， ，求实数 的取值范围；（2）求证：任意 ， .
【答案】（1） ；（2）证明见详解.
【分析】
（1）把 与 的解析式代入已知不等式，整理后设 ， ，求出 的
导函数，根据导函数的正负判断增减性，进而求出 的最小值，即可确定 的取值范围.
（2）所证不等式两边同时乘以 ，左边为 ，右边设为 ，求出左边的最小值以及
右边的最大值，比较即可证明.
【详解】
（1）若 ，
则 ，
即 ，
令 ，
则 ，
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增；
，故 ，
即实数 的取值范围为 .
（2）若 ，
等价于证明 ，
又 ， ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
，
所以 的最小值为 .
设 ，
则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
，
又 的最小值为 ，且与 不同时取到同一个 的值，
从而对一切 ， 恒成立，
即任意 ， 恒成立.
85．已知函数 ， .
（1）求函数 的单调区间.
（2）若 对任意 成立，求正实数 的取值范围.
（3）证明： .
【答案】（1）单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；（2） ；（3）证明见解析.【分析】
（1）求出 ，在定义域内，分别令 求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的
范围，可得函数 的减区间；
（2）对一切 ， 恒成立等价于 对一切 恒成立，利用导数
可得 的最小值为 ，从而可得结果；
（3）原不等式等价于即 ，由（1）可得 的最大值为 ，利用导数可证明 的最小值
为 ，从而可得结论.
【详解】
解析：（1） ， .
令 ，解得 ； ，解得 ，
的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（2）“ 对任意 成立”等价于“ 对任意 恒成立”.
令 ，则 .
当 时， ，即 在 上单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增.
又 ， .
即所求实数 的取值范围是 .
（3）证明：“ ”等价于“ ”.据（1）求解知 ，
令 ，则 .
分析知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
. 对 恒成立
即 .
86．已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 时有 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2） ．
【分析】
（1）首先求出函数的定义域与导函数 ，在对参数 分 与 两种情况讨论，即可求出
函数的单调区间；
（2）依题意 恒成立，参变分离得 ，构造函数 ，求出函数的
导函数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可求出参数的取值范围；
【详解】
解：（1） 的定义域为 ，所以 ．
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时，由 得 ； 得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上可得，当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）当 时， 恒成立，即 恒成立．
因为 ，所以 ．
令 ， ．
令 ，所以 ，故 在 上单调递减，且 ，
，故存在 使得 ，
故 ，即 ．
当 时， ， ；当 时， ， ；
∴ 在 单调递增，在 单调递减，
∴ ，
故 ．
87．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）关于x的不等式 恒成立，求整数m的最小值．
【答案】（1）答案见解析；（2）2.
【分析】
（1）给出函数定义域，对函数求导通分，得到 时，对m进行讨论，进而得到单调区间；
（2）将不等式移项，转化为函数最值问题，即 的最大值，进而利用导数方法
求解即可.【详解】
（1） ， ， ，
① 时， ，函数 在 上单调递增．
② 时，令 ，
若 ，解得 ， ．
∴ ，∴数 在 上单调递增．
，解得 ， ．
由 ，解得： ， ．
时， ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
时， ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上：① 时，函数 在 上单调递增；
② 且 时，数 在 上单调递增；
时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）不等式 ，化为： ．
令 ， ．
，
时， ，可得函数 在 上单调递增， ，不满足题意，舍去．时， ，可得函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 时，函数 取得极大值即最大值，
则 ，
令 ，函数在 上单调递减，又 ．
因此存在唯一 ，使得 ，
∴ ，∴整数m的最小值为2．
88．已知函数 的图像在点 处的切线方程为 .
（1）求 ， 的值；
（2）当 时，证明： 对 恒成立.
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用导数的几何意义，先由 求出 的值，再由 求出 的值，
（2）要证 对 恒成立，只需证 对 恒成立，所以构造函数
（ ），然后利用导数求出其最大值小于零即可
【详解】
（1）解：因为 ，
所以 ，
解得 ，
则 ，解得 .（2）证明：因为 ，所以要证 对 恒成立，
只需证 对 恒成立.
设函数 （ ），
则 .
因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递减，
从而 ，
则 对 恒成立，
故当 时， 对 恒成立.
89．已知函数 ，
（1）先证明单调性，再求函数 在 上的最小值；
（2）若对 ，使得 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析（导数或定义），1；（2） .
【分析】
（1）求出 的定义域和 ，由 可得 的单调性及在 上的最小值；
（2）转化为 ，由（1）知 ，利用单调性可得 在 上单调性求得最值，
解不等式可得答案.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 在 上的最小值为 .
（2）若对 ，使得 ，
则 ，
由（1）知 ，因为 是减函数，
所以 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，即 .
所以实数 的取值范围为 .
90．已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）若 对 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）极大值6，极小值 ；（2） ．
【分析】
（1）求函数的极值，先求出导数的零点，判断是否为极值点，将极值点代入原函数即可求出极值
（2）恒成立问题通过分参，可以转化为求函数的最值问题， 恒成立，等价于 ，
即 ，求出 在区间 上的最小值，即可求出实数 的取值范围【详解】
（1） 由 解得： 或
列表如下：
0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表格可得： 时，函数 取得极大值， ； 时，函数 取得极小值，
（2）若 对 恒成立，则 ，
由表格可得：最小值只能是 中的最小值，
，
所以，
所以 ，
所以，实数 的取值范围是
91．已知函数 ，
（1）求函数 的单调区间和极值；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）单调增区间为 ，单调减区间为 ，极小值为 ，极大值为 ；
（2） .
【分析】（1）求 ，解不等式 和 可得单调递增和单调递减区间，由单调性即可得极值；
（2）由题意可得：不等式 对于任意 恒成立，令 ，只需 ，利用导
数判断单调性求最值，即可求解.
【详解】
（1） 定义域为 ， ，
令 ，可得 ， ，
由 ，得 ；由 ，得 或 ，
所以函数 的单调增区间为 单调减区间为 ，
所以当 时，函数极小值为 ，
当 时，函数 的极大值为 ，
（2）若 ，不等式 恒成立，
即对于任意 ，不等式 恒成立，
设 ， ，则 ，
因为 ， 恒成立，
所以 在区间 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围是 .
92．已知函数 ， （ ， 为自然对数的底数）.（1）若函数 在 上有零点，求 的取值范围；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）对函数 进行求导，根据导函数的正负性判断函数的单调性，结合零点存在定理进行求解即可；
（2）化简不等式，构造新函数 ，运用分类讨论思想，利用导数判断该
函数的单调性，结合单调性进行求解即可.
【详解】
（1） ，设 ， .
当 时， ， 递增；
当 时， ， 递减.
所以 的最大值即 的极大值为 ，
所以 在 上递减，即在 上递减，
若函数 在 上有零点，则 ，则 .
（2） ，即 ，
化简 ，设 ，
， ， ，（ⅰ） ，即 时，令 ， ，
所以 在区间 上单调递增，所以 ，
所以 在区间 上单调递增， 恒成立，
即 恒成立；
（ⅱ） ，即 时，当 时， 恒成立，
所以 在区间 上单调递减，
所以 恒成立，即 不成立；
当 时， ， ，
，所以 ，又 ，
所以 在区间 上单调递增，
所以 在区间 上存在唯一的零点，设为 ，
当 时 ，所以 在区间 上单调递减，
所以 ，即 在区间 上不成立.
综上所述，实数 的取值范围为 .
93．已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）若 时 恒成立，求实数 的取值范围．【答案】（1） 的极小值 ，无极大值；（2） .
【分析】
（1）对函数 进行求导、列表、判断函数 的单调性，最后根据函数极值的定义进行求解即可；
（2）对 进行常变量分离，然后构造新函数，对新函数进行求导，判断其单调性，进而求出新函数
的最值，最后根据题意求出 的取值范围即可.
【详解】
（1）函数 的定义域为 ，
当 时， .由 ，得 .
当 变化时， ， 的变化情况如下表
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
所以 在 上单调递减， 上单调递增，
所以函数 的极小值为 ，无极大值.
（2）对 ， 恒成立，即对 ， 恒成立.
令 ，则 .由 得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，因此 .所以 的取值范围是 .
94．已知函数 .（ ）
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若 ，证明：当 时， 恒成立.
【答案】（1）在 上单调递减，在 上单调递增；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求导可得 解析式，令 ，解得 ，分别讨论 和 时，
的正负，可得 的单调区间.
（2）令 ，可得 ，再令 ，利用导数求得
的单调区间和最值，即可得 恒成立，可得 的单调性和最值，即可得证.
【详解】
解：（1） ，
当 时，令 ，解得 .
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
减 极小值 增
所以 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.（2）证明：令
则 .
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增；
所以 ，即 恒成立.
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即当 时， 恒成立.
95．已知
（1）当 时，求 的极值.
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）极小值 ；（2） .
【分析】
（1）当 时， ，求导，求得单调性，判断函数的极值情况.
（2）条件等价于 恒成立，分离参数得到 ，令 ，
转化为 ，令 ， ， ， ，对参数
a分类讨论，分别求得单调性，判断最小值是否满足题意即可.
【详解】
解：（1）当 时， ，所以 ，
令 ，解得 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递减；在 上单调递增；
所以在 处取得 的极小值 ；
（2）当 时， 恒成立，即 恒成立，
所以 恒成立，即 恒成立，
即 恒成立，令 ，则
所以有 ，令 ， ， ，即 恒成立，
①当 ，即 时， 恒成立，
所以 单调递增
又因为 ，
所以 恒成立，
所以函数 ， 单调递增
因为 ，
所以 0恒成立，即 满足要求
②当 时， ，因为 ，
所以 时
单调递减，
因为 ，
所以 ，使得 时， ，此时函数 单调递减，
因为 ，
所以 不成立，故 不满足要求
综上可知 的取值范围为 .
96．已知函数 ，在 处的切线方程为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若 对定义域内 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）利用切点和斜率求得 的值，从而求得 的解析式.
（2）将 转化为 对任意 恒成立，利用导数求得 的最大值，由此求
得 的取值范围.
【详解】
（1）由题可知， ，
，解得 ， ，
∴ .
（2） 对定义域内 恒成立 对任意 恒成立，
即求 的最大值不大于 ，
∵ 且 ，
又 ， ， 在 单调递减， ，
∴ 在 上单调递增， 上单调递减，
∴ ，
当 时， 对定义域内的 恒成立.
97．已知函数 ．
（1）若 轴是曲线 的一条切线，求 的值；
（2）若当 时， ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据题意，设切点为 ，由导数的几何意义可得 ，结合切点在曲线上即
可求解；
（2）由题意知 对于 恒成立，构造函数
，则 ， ，通过三次求导，讨论 的单调性，即可得最
值，进而可得 的取值范围．
【详解】
（1）根据题意，设切点为 ，由 可得 ，
切线的斜率 ，
又因为切点 在曲线 上，所以 ，
由 可得： ，解得 或 （舍），
当 时 ，
所以 的值为 .
（2）若当 时， ，
则 对于 恒成立，
令 ，只需 ， ，
，则 ，
， ，
，所以 在 单调递增，
当 即 时， ，此时 ，
所以 在 单调递增，
所以 ，
可得 在 单调递增，
所以 符合题意，
当 即 时， ，
因为 在 单调递增，所以存在 使得 ，
此时当 时， ；当 时， ；
所以 在 单调递减，在 单调递增，
又因为 ，
所以当 时， ；
此时 在 单调递减，
所以当 时， ，
不满足 恒成立，
综上所述： 的取值范围为 .
98．已知函数 ，
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若 ，且当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）减区间 ，增区间 ；（2） .
【分析】
（1）当 时，求导可得 ，进而可得 ，结合 ，即可判断
的正负，即可得 的单调区间.
（2）原式等价于当 时， ，令 ，求导可得 解析
式，令 ，可得 解析式，分别讨论 和 时， 的正负，可得 的单调性，结合特殊值，分析讨论，可得 的单调性，综合分析，即可得答案.
【详解】
（1）当 时，
所以 ， ，
又 ，
所以当 时， ， 为单调递减函数，
当 时， ， 为单调递增函数，
所以 的单调减区间 ，单调增区间 .
（2）由题意得：当 时， ，
令 ， ，
则 ， ，
令 ，则 ，
当 时， 恒成立，可得 在 上为增函数，
又 ，所以 恒成立，所以 在 上为增函数，
又 ，所以 恒成立，即 恒成立，满足题意；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，则 在 为减函数，
当 时， ，则 在 为增函数，
所以当 时， ，则 在 为减函数，
所以存在 ，当 时， ，
所以 不恒成立，不满足题意，综上， 的取值范围为
99．已知 ， .
（1）当直线 与函数 的图象相切时，求实数 关于 的关系式 ；
（2）若不等式 恒成立，求 的最大值；
（3）当 ， 时，若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】
（1）先设出切点坐标，对原函数求导，得出切线方程，用过与已知条件对比列出方程组即可；（2）通过
（1）得出 ，构造函数 然后求导求出此函数最大值即可；（3）由题
意写出此时 ，将所求不等式进行等价转换，构造函数，利用端点效应求出范围再验证其充
分性即可.
【详解】
（1）设切点 ，则由
得切线方程为 ，即 ，
所以 ， ，
所以 ，即 .
（2）由（1）知 .
令 ，则 ，故得 在 上递增，在 上递减，
所以 ，即 的最大值为 ；
（3）当 ， 时， ，而 等价于
，等价于
，等价于 .
令 ，
则首先应有 ，
此时由 及易证得 可知 ，
又易得 ， ，所以 成立，
所以 的取值范围是 .
100．设函数 ，已知 是函数 的极值点
（1）求 ；
（2）当 时，若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）1；（2） .
【分析】
（1）由题设可得 ，且 求参数 ，并验证极值点.
（2）由（1）可知： 在 是增函数且 ，再讨论 、 时，构造中间函数并应用导数研究函数的单调性，进而判断题设函数不等式是否在 恒成立，即可求 的取值范围.
【详解】
（1）∵ ，
∴ ， ，则 ，
由 是 的极值点，则 ，即 .
当 时， ，若 ，得 ，
0
- 0 +
递减 极小值 递增
∴ 是 的极值点.
综上， .
（2）由（1）知， ，可得 .
∴ ，故 在 是增函数，
∴ 时， ，
①当 时， ，故 恒成立.
②当 时，令 ， ，则 .
若 ， ，则 ，
∴ 在 在上是增函数， ，即 时， 恒成立.若 ，则 ，故在 上 ，
∴ 在 上是增函数，又 ， ，且 在 上图象不间断，
∴ 在 内存在唯一零点 ，
∴ 时， ， 是减函数，故 ，此时有 ，与题设矛盾.
综上， 的范围为 .
