文档内容
第 05 讲 解题技巧专题：三角形中的倒角模型之 A 字、8 字、
燕尾模型
目录
【模型一 三角形中的倒角模型之“A”字模型】................................................................................................1
【模型二 三角形中的倒角模型之“8”字模型】................................................................................................3
【模型三 三角形中的倒角模型之燕尾模型】......................................................................................................4
【过关检测】..............................................................................................................................................................8
【模型一 三角形中的倒角模型之“A”字模型】
如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。
条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
例1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，点E，D分别在 ， 上，若 ， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
例2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线 与 的边 ， 分别相交于点 ，
（都不与点 重合）.
1 / 9
学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，①求 的度数；②如图2，直线 与边 ， 相交得到 和 ，直接写出
的度数.(2)如图3， ， 分别平分 和 ，写出 和 的数量关系，并说明
理由；
(3)如图4，在四边形 中，点 ， 分别是线段 、线段 上的点， ， 分别平分
和 ，直接写出 与 ， 的关系.
【模型二 三角形中的倒角模型之“8”字模型】
图1 图2
1）8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：① ；②
。
证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；
在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；
∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；
在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴ 。
2）8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则 ，即2∠P=∠B+∠D
例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正
确的是（ ）
2 / 9
学科网（北京）股份有限公司A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
例2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我
们称之为“和谐8字形”，则 、 、 、 之间的数量关系 ．
（2）在图2中 和 的平分线 和 相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若
， ，那么 的度数是 ．
【模型三 三角形中的倒角模型之燕尾模型】
图1 图2
基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：① ；② 。
证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D；
又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。
延长BC交AD于点P；在△ABQ中， ；在△CDQ中， 。
即： ，故 。
拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O= （∠A+∠C）。
证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO= ∠ABC；∠ADO= ∠ADC；
根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A= ∠ABC+ ∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；
∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O= （∠A+∠C）。
3 / 9
学科网（北京）股份有限公司例1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图， 与 的角平分线交于点P， ，
，则 为（ ）
A． B． C． D．
例2．（24-25七年级下·全国·单元测试）【探究】如图①，试说明 ；
【应用】
（1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示， ， ， ， ，求椅面
和椅背的夹角 的度数；
（2）如图③， ， ，求 的度数．
【过关检测】
一、单选题
1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图， ， 与 相交于O，若 ， ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·广西贵港·期末）如图，在 中，按图中虚线把角度为 的 剪去，则
等于（ ）
4 / 9
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕
尾形”，已知 ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如下图． 等于（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，E，F是 的边 ， 上的点，D是点A上方的一点，
若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图， ， ， ，则 的度数为
．
5 / 9
学科网（北京）股份有限公司7．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，已知直线 、 相交于点 ， ， ，
， ．
8．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，是一个五角星环饰，则
．
9．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，将五角星沿着虚线 剪下．若 ，
则 ．
10．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，D，E，F分别是 三边延长线上的点，则
°．
6 / 9
学科网（北京）股份有限公司三、解答题
11．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）已知：如图， ， 相交于点 ．求证：
．
12．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在 中，点E在边 上，点D在 的延长线上，连
接 交 于点O．若 ， ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的度数．
13．（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，已知线段 相交于点O，连接 ，我们把形如
这样的图形称为“八字图形”．
(1)求证： ；
(2)如图②，若 和 的平分线 和 相交于点P，与 分别交于点M，N．
①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________；
②若 ， ，求 的度数；
③根据②的结果直接写出 ， ， 之间的关系（不需要证明）．
14．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇
到这样一个问题：如图①， 与 分别为 的两个外角，则 ．
【推理证明】∵ 与 分别为 的两个外角，
∴ ______， ______，
∴ ______．
7 / 9
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ．
【初步应用】
（1）如图②，在 纸片中剪去 ，得到四边形 ，若 ，则 的大小为
______度．
（2）如图③，在 中， 、 分别为外角 、 的平分线，则 与 的数量关系，
并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图④，在四边形 中， 、 分别为外角 、 的平分线，若 ，
求 的度数．
15．（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不
妨把这样的图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究 与 之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 恰好经过点B、C，若
，直接写出 的结果；
②如图3， 平分 ， 平分 ，若 ，求 的度数；
③如图4，求图中五角星五个“角”的和．
16．（24-25八年级上·陕西西安·期末）平面内不重合的两条直线有相交和平行两种位置关系．
8 / 9
学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，若 ，点 在 的同侧，则有 ， 是 的外角，故
，得 ．将点 移到 两平行线之间，如图2，结论
是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则 ， ， 之间有何数量关系？
请证明你的结论；
(2)在图3中，将直线 绕点 逆时针方向旋转一定角度交直线 于点 ，则 ， ， ，
之间有何数量关系？并证明你的猜想；
(3)如图4，设 交 于点 交 于点 ，已知 ， ．
①求出 的度数；
②计算出 比 大多少度．
9 / 9
学科网（北京）股份有限公司
