文档内容
专题 02 三角形中的倒角模型之 A 字、8 字、燕尾模型
目录
A题型建模・专项突破
题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型....................................................................................................1
题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型....................................................................................................3
题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型..........................................................................................................6
B综合攻坚・能力跃升
题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型
1．如图，从 纸片中剪去 ，得到四边形 ．如果 ，那么 度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，
根据平角的定义得出 ，再根据三角形内角和定理得出
答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
2．如图，将纸片 沿 折叠，点A落在点F处，已知 ，则 度；
【答案】50
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解题时注意挖掘出隐含于题中的已知条件：三角形内角和是
、平角的度数也是 ．根据折叠的性质可知 ，利用平角是 ，
求出 与 的和，然后利用三角形内角和定理求出 的度数．
【详解】解： 将纸片 沿 折叠，点 落在点 处又 ，
故答案为：50
3.如图1，直线 与 的边 ， 分别相交于点 ， （都不与点 重合）.
(1)若 ，①求 的度数；②如图2，直线 与边 ， 相交得到 和 ，直接写出
的度数.(2)如图3， ， 分别平分 和 ，写出 和 的数量关系，并说明
理由；
(3)如图4，在四边形 中，点 ， 分别是线段 、线段 上的点， ， 分别平分
和 ，直接写出 与 ， 的关系.
【答案】(1)① ；② (2) ，理由见解析(3) .
【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等
知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键．（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计
算即可；②根据①的结论即可解答；（2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答；
（3）由（2）的结论可得 ，再根据三角形内角和定理进行解答即可．
【详解】（1）解：①如图1，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ；
②由①方法可得： ．
（2）解： ，理由如下：由（1）可得 ．
∵ ， 分别平分 和 ，∴ ，
∴ ，∴ ．
（3）解： ，理由如下：由图2可得， ，
∵ ， 分别平分 和 ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型
4．如图， ，垂足为E， ， ，则 ．
【答案】22
【分析】此题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据三角形内角和定理求出 ，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
∵
∴
∴ ．
故答案为：22．
5．如图1，线段 相交于点 ，连接 ，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，
在图1的条件下， 和 的平分线 和 相交于点 ，并且与 、 分别相交于 、 ．
试解答下列问题．
(1)如图1，试说明： ．
(2)如图2，若 ， ，求 的度数．(3)在图2中，若 ， ，直接写出 的度数（用含 的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2) ；
(3)
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用、角平分线的定义等知识，掌握利用三角形的内角和
定理解决“8字形”中的角度问题是解题的关键．
（1）利用三角形的内角和定理与对顶角相等可得结论；
（2）由（1）可得 ， ，再两式相加，结合角平分线的定义
可得 ，再把 ， 代入计算即可得到答案；
（3）由（1）可得 ， ，再两式相加，结合角平分线的定义可
得 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：由（1）可得， ①，
②，
∵ 和 的平分线 和 相交于点 ，
∴ ， ，
由①+②，得 ，
即 ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由（1）得 ①，
② ，
∵ 和 的平分线 和 相交于点 ，
∴ ， ，
由 ，得 ，
∵ ， ，
∴ ．
6．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图①，已知线段 ， 相交于点 ，连接 ， ，我们把形
如这样的图形称为“八字图形”．(1)问题发现：如图①，试证明： ；
(2)拓展研究：
如图②，若 和 的平分线 和 相交于点 ，与 ， 分别交于点 ， ．
①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：______；______；
②若 ， ，求 的度数（用含 ， 的代数式表示）；
(3)解决问题：
在（2）的条件下，若 与 分别平分 与 ， 与 交于点 ，且 ，请
直接写出 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)① ， ；②
(3)
【分析】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，平角的定义，角平分线的定义，对顶角相等，熟练掌
握以上知识点是解题的关键．
（1）根据 ， ，即可证明；
（2）①结合对顶角相等以及三角形内角和，可得到 ，
；②根据角平分线，可知 ， ，由(1)得 ，
，推出 ，从而得出答案；
（3）结合角平分线以及平角，得出 ，然后根据四边形内角和，得到 ，
然后解不等式即可得到 的取值范围．
【详解】（1）证明： ， ，
；
（2）解：① ， ，
；
， ，
；
故答案为： ， ；
②如图所示：和 的平分线 和 相交于点 ，
， ，
由(1)得 ， ，
，
．
， ，
；
（3）解： ，理由如下：
与 分别平分 与 ，
， ，
和 的平分线 和 相交于点 ，
， ，
， ，
， ，
， ，
，
四边形 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型
7．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，小军借助几何画板设计了“鱼形”图案，由四边形 和组成．已知在 中， ， ， ， ，则 的度数是（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，本题先求解 ，再利用平行线的
性质证明 ， ，从而可得答案．
【详解】解：延长 交 于点H，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：B．
8．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图 所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这
样图形叫做“规形图”，
①如图 ，请直接写出 与 、 、 之间的关系：
②如图 ，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 、 恰好经过点 、 ，若
，直接写出 的结果；
③如图 ， 平分 ， 平分 ，若 ， ，求 的度数；
【答案】① ；② ；③ ．
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关键．
①作射线 ，根据三角形的外角的性质可得结论： ；②先根据三角尺可知： ，根据 的结论可得： ，从而得结论；
③先根据第①题的结论可得： 的度数，由角平分线可得：
，从而得结论．
【详解】解：① ，理由如下：
过点 、 作射线 ，
， ，
，
即 ，
故答案为： ；
② ，
由①知： ，
，
；
③ ， ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
．
9．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以
抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，探究 、 、 、 之间的数量关系，并证明：
（2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题：
【类比探究】
①如图2，已知 ，求 的度数；
【拓展延伸】
②如图3，已知 ，求 的度数．【答案】（1） ，证明见解析；（2）① ；② ．
【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问
题．
（1）连接 ，并延长至点 ，利用三角形的外角求解即可；
（2）连接 ，利用（1）中结论可得 ， ，结合已知
可求解；
（3）在直线 上取一点 ，连接 ，利用（2）中结论可得 ，再利用平行线的性质可得
，进而得到 即可求解．
【详解】解：（1） ．
证明：如图，连接 ，并延长至点 ，
∵ ， ，
∵
∴
∴ ；
（2）①如图，连接 ，
由（1）可知 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图，在直线 上取一点 ，连接 ，由①可知 ，
∵
∴
∵
∴
∴
∴ ．
一、单选题
1．如图，D，E两点分别在 的两边 ， 上，连接 ，已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
先根据邻补角性质求得 ，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
2．小枣一笔画成了如图所示的图形，若 ，则 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，由三角形外角的性质可得 ，则可求
出 ，由平角的定义和三角形外角的性质可得 ．
【详解】解：如图所示，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
3．如图，已知在 中， ，现将一块直角三角板放在 上，使三角板的两条直角边分别
经过点 ，直角顶点D落在 的内部，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明
∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°
∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°
∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°
∴ 140°-90°=50°
故选C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．
二、填空题
4．如图，在 中， ，剪去 得到一个四边形，则 的度数为 ．
【答案】 /250度
【分析】本题考查多边形的内角和问题，先根据三角形的内角和定理求得 ，再根据四边形
的内角和为 求解即可．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
5．如图， ，垂足为E， 与 相交于 ， ， ，则 ．
【答案】 /80度
【分析】此题主要考查三角形的角度计算，三角形内角和定理，根据 ，可得 ，则
，再根据三角形内角和为180度可求出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
6．如图， ．【答案】
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得
，则由三角形内角和定理可得答案．
【详解】解； ∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题
7．如图1， 为直角三角形， ． 的两顶点B，C分别在直角边 ， 上，且P
点在 内．
(1)若 ，则 ______度， ______度；
(2)如图2，连接 ，若 ，试说明 平分 ；
(3)请判断点P是否满足 平分 且 平分 ，并说明理由．
【答案】(1) ；
(2)见解析
(3)不能满足 平分 且 平分
【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和为
是解题关键．
（1）连接 并延长到点G，利用三角形内角和定理，三角形的外角和定理，角的和证明即可．
（2）连接 并延长交 点G，根据结论（1），结合角的平分线定义解答即可．
（3）根据 平分 且 平分 ，则 ，故 ，故
，不满足三角形内角和定理，解答即可．
【详解】（1）连接 并延长交 点G，根据题意，得 ，
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ，
故答案为：140,50．
（2）解：连接 并延长交 点G，
根据题意，得 ，
∵ ，
∴ ．
∵ ， ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故 平分 ．
（3）解：不能满足 平分 且 平分 ．
若 平分 且 平分 ，
则 ，
故 ，
故 ，
不满足三角形内角和定理，
故不能满足 平分 且 平分 ．
8．【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①， 与
分别为 的两个外角，则 ．【推理证明】∵ 与 分别为 的两个外角，
∴ ______， ______，
∴ ______．
∵ ，
∴ ．
【初步应用】
（1）如图②，在 纸片中剪去 ，得到四边形 ，若 ，则 的大小为
______度．
（2）如图③，在 中， 、 分别为外角 、 的平分线，则 与 的数量关系，
并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图④，在四边形 中， 、 分别为外角 、 的平分线，若 ，
求 的度数．
【答案】【推理证明】见解析；【初步应用】（1） ；（2） ；【拓展提升】 ．
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理，理解相关知识是解答关
键．
【推理证明】由三角形外角性质得 ， ，再求 与 的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证；
【初步应用】（1）由 进行变形为 即可求解；
（ ）由角平分线的定义得 ， ，再由三角形内角和定理得出 ，
然后把 代入即可求解；
【拓展提升】（3）延长 、 交于点 ，先求 ，再把 代入 即可求解．
【详解】证明：【推理证明】∵ 与 分别为 的两个外角，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，（三角形内角和定理）
∴ ．故答案为： ；
解：（1）∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ 、 分别为外角 、 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）如图所示，延长 、 交于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
9．【认识模型】
（1）如图①， 相交于点O，连接 ，可以得出 四个角之间的等量关系
是 ；（直接写结果）
【应用模型】
（2）如图②， 相交于点A， 为 的平分线，交 于点H， 为 的平分线，交
于点G．写出 间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，求 的度数．【答案】（1） ；（2） ，证明见解析；（3）
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理可得 ，再由 即可得到结
论；
（2）由角平分线的定义可得 ，同（1）可得 ，
，把两式相加即可得到结论；
（3）令 的交点为O，连接 ，连接 并延长交 于点H，同（1）可得
，再证明
即可得到答案．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ；
（2） ，证明如下：
∵ 平分 平分 ，
∴ ，
同（1）可得 ， ，
∴
∴ ；
（3）如图，令 的交点为O，连接 ，连接 并延长交 于点H，
同（1）可得 ，
∵ （可把四边形 的内角和看成两个三角形的内角和），
，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
10．如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．(1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图 中 与 ， ， 之间的关系，并说明理由；
(2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
如图 ，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 ， 恰好经过点 ， ，若
，则 ______ ；
如图 ， ， 的三等分线 ， 相交于点 ，若 ， ，求
的度数．
【答案】(1) ，理由见解析；
(2) ； ．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）根据三角形的内角和定理即可求解；
（ ） 根据（ ）中结论即可求解；
设 ， ，根据（ ）中结论即可求解．
【详解】（1）解： ，理由：
连接 ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（2）解： 由（ ）得 ，
∵ ， ，∴ ，
故答案为： ；
如图，设 ， ，
由（ ）可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
11．（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明： ．
（2）如图（2）， 分别平分 ，若 ．求 的度数．
（3）如图（3），直线 平分 平分 的外角 ，猜想 与 的数量关系是
______；
（4）如图（4），直线 平分 的外角 平分 的外角 ，猜想 与
的数量关系是______．
【答案】（1）见解析；
（2） ；
（3） ；
（4）
【分析】（1）根据三角形的内角和等于 和对顶角的性质即可得证；
（2）设 ， ， 解方程即可得到答案；
（3）根据直线 平分 ， 平分 的外角 ，得到
， 从而可以得到 ，
再根据 ， 得到
即可求解；
（4）连接 ,求得 ， ，
再根据 ， ， ， ，即可求解．【详解】解：（1）如图.
， ，
．
，
；
（2）如图.
， 分别平分 ， ，设 ，
，
则有 ，
，
（3）如图.
直线 平分 ， 平分 的外角 ，
， ，
∴ ，
∴
∵
∴
∴∴ ，
即 ．
（4）连接
直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，
， ，
∵ ，
∴
同理得到：
∴
∴
∵ 180°，
∴ ，
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进
行求解．
12．如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥
你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究 与 之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 恰好经过点B、C，若
，直接写出 的结果；②如图3， 平分 ， 平分 ，若 ，求 的度数；
③如图4， 的10等分线相交于点 ，若 ，求 的
度数．
【答案】(1) ，见解析
(2)① ；② ；③
【分析】（1）首先连接 并延长，然后根据外角的性质，即可判断出 ；
（2）①由（1）可得 ，然后根据 ， ，即可求出
的值；②由（1）可得 ，再根据 ，
求出 的值；然后根据 ，即可求出 的度数；③设
， ，结合已知可得 ， ，再根据（1）可得
， ，即可判断出 的度数．
【详解】（1）解： ，理由如下：
如图，连接 并延长．
根据外角的性质，可得 ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）①由（1）可得 ，
∵ ， ，
∴ ；
②由（1）可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
③设 ， ，
则 ， ，则 ， ，
解得 ，
所以 ，
即 的度数为 ．
【点睛】此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于
和它不相邻的两个内角的和．
13．“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型，给同学们解答几何题带来很大的便捷．
(1)初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是 ，请你给予证明．
(2)模型求解：如图2，线段 在四边形 内部，连接 、 ，相交于点O，请借助“8”字模型的
结论求： 的度数．
(3)构造模型：如图3，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出
的度数．
(4)模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、
“八角星”等，如图4“七角星 ”的七个内角和： ________ ；
猜测“n角星”的n个内角的和为_________（用含n的式子表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
(4)540；
【分析】（1）根据“三角形内角和是 “，进行等量代换即可求解；
（2）利用“8”字模型和四边形内角和进行计算即可；
（3）连接 ，构造三角形和“8”字模型即可求解；
（4）连接 ，构造三角形、四边形和“8”字模型即可求出七角星内角和，再根据五角星内角和，找出规
律即可求出n角星内角和．
【详解】（1）解： ， ， ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知， ，
∴；
（3）解：连接 ，
由（1）得： ，
在 中， ，
即 ，
即五角星的五个内角之和为 ．
（4）解：连接 ，如图所示，
由（1）可得， ，
∴
；
∵五角星内角和 ，七角星内角和 ，
∴“n角星”的n个内角的和为 ，
故答案为：540； ．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和多边形内角和，根据题意作出辅助线构造三角形和“8”字模型
是解答此题的关键．
14．解读基础：
（1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出 、 、 、 之间的关系，并说明理由；
（2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出 、 、 、 之间的关系，并说明理由：
应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题
（3）①如图3，在 中， 、 分别平分 和 ，请直接写出 和 的关系 ；
②如图4， ．（4）如图5， 与 的角平分线相交于点 ， 与 的角平分线相交于点 ，已知
， ，求 和 的度数．
【答案】（1） ，理由详见解析；（2） ，理由详见解析：（3）①
；②360°；（4） ； .
【分析】（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结论；
（3）①根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可得出结论；
②连结BE，由（2）的结论及四边形内角和为360°即可得出结论；
（4）根据（1）的结论、角平分线的性质以及三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】（1） ．理由如下：
如图1， ， ，
，
；
（2） ．理由如下：
在 中， ，
在 中， ，
，
；
（3）① ， ，
、 分别平分 和 ，
，
．
故答案为 ．
②连结 ．
∵ ，
．
故答案为 ；（4）由（1）知， ，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
；
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和；熟练掌握角平分线的性质，进行合理的等量代换是
解题的关键．
