文档内容
第 05 讲 解题技巧专题：三角形中的倒角模型之 A 字、8 字、
燕尾模型
目录
【模型一 三角形中的倒角模型之“A”字模型】................................................................................................1
【模型二 三角形中的倒角模型之“8”字模型】................................................................................................3
【模型三 三角形中的倒角模型之燕尾模型】......................................................................................................4
【过关检测】..............................................................................................................................................................8
【模型一 三角形中的倒角模型之“A”字模型】
如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。
条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
例1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，点E，D分别在 ， 上，若 ， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解决问题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司先根据三角形内角和定理求出 ，然后在 中利用三角形的内角和定理即可求出 的度
数．
【详解】解：在 中， ， ，
，
在 中， ．
故选：B．
例2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线 与 的边 ， 分别相交于点 ，
（都不与点 重合）.
(1)若 ，①求 的度数；②如图2，直线 与边 ， 相交得到 和 ，直接写出
的度数.(2)如图3， ， 分别平分 和 ，写出 和 的数量关系，并说明
理由；
(3)如图4，在四边形 中，点 ， 分别是线段 、线段 上的点， ， 分别平分
和 ，直接写出 与 ， 的关系.
【答案】(1)① ；② (2) ，理由见解析(3) .
【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等
知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键．（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计
算即可；②根据①的结论即可解答；（2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答；
（3）由（2）的结论可得 ，再根据三角形内角和定理进行解答即可．
【详解】（1）解：①如图1，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ；
②由①方法可得： ．
（2）解： ，理由如下：由（1）可得 ．
∵ ， 分别平分 和 ，∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
（3）解： ，理由如下：由图2可得， ，
∵ ， 分别平分 和 ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
【模型二 三角形中的倒角模型之“8”字模型】
图1 图2
1）8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：① ；②
。
证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；
在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；
∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；
在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴ 。
2）8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则 ，即2∠P=∠B+∠D
例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正
确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．
【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．
例2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我
们称之为“和谐8字形”，则 、 、 、 之间的数量关系 ．
（2）在图2中 和 的平分线 和 相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若
， ，那么 的度数是 ．
【答案】 / 度
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解
题的关键．
（1）利用三角形的内角和定理表示出 与 ，再根据对顶角相等可得 ，然后整
理即可得解；
（2）根据（1）的关系式求出 ， ，然后利用“8字形”的关系式结合角平
分线列式整理即可得解；
【详解】解：（1） ， ，
又∵ ，
；
（2） ， ，
，
，
、 分别是 和 的角平分线，
， ，
又 ，
；
故答案为：（1） ，（2）
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学科网（北京）股份有限公司【模型三 三角形中的倒角模型之燕尾模型】
图1 图2
基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：① ；② 。
证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D；
又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。
延长BC交AD于点P；在△ABQ中， ；在△CDQ中， 。
即： ，故 。
拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O= （∠A+∠C）。
证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO= ∠ABC；∠ADO= ∠ADC；
根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A= ∠ABC+ ∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；
∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O= （∠A+∠C）。
例1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图， 与 的角平分线交于点P， ，
，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角
形的外角性质是解题关键．
延长 ，交 于点 ．先利用三角形的外角性质可得 ，再根据角平分线的定义可
得 ， ，然后根据三角形的内角和定理可得
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学科网（北京）股份有限公司，据此即可得．
【详解】解：如图，延长 ，交 于点 ．
∵ 是 的外角， ，
∴ ．
∵ 是 的外角， ，
，
，
，
∵ 的角平分线交于点 ，
，
， ，
，
故选：B．
例2．（24-25七年级下·全国·单元测试）【探究】如图①，试说明 ；
【应用】
（1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示， ， ， ， ，求椅面
和椅背的夹角 的度数；
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学科网（北京）股份有限公司（2）如图③， ， ，求 的度数．
【答案】探究：见解析；应用：（1） ；（2）
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题侧重考查三角形的外角性质及三角形内角和定理．
探究：连结 ，并延长，如图所示，先由外角的性质得 ①，
②，再由① ②即可得出结论；
应用：（1）先由三角形的内角和求出 ，得到 ，再由探究的结论得到
，代入求值即可；
（2）连结 ，由探究可知 ， ，即可得到
，
【详解】探究：
证明：连结 ，并延长，如图所示，
是 的外角，
①，
是 的外角，
②，
① ②，得
，
即 ；
应用：
解：（1） ， ，
，
，
由探究可知 ；
（2）连结 ，如图所示．
由探究可知 ③，
④，
③ ④，得
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学科网（北京）股份有限公司，
．
【过关检测】
一、单选题
1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图， ， 与 相交于O，若 ， ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，先根据三角形的外角性质求出 的度数，然后
根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
2．（24-25八年级上·广西贵港·期末）如图，在 中，按图中虚线把角度为 的 剪去，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查三角形外角的性质及三角形内角和，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个
内角和；如图，由题意易得 ，然后根据三角形内角和可进行求解．
【详解】解：如图，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
故选D．
3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕
尾形”，已知 ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】连接 ，延长 到 ，根据三角形的外角的性质得出 ，继
而得出 ，代入已知数据，即可求解．
【详解】解：连接 ，延长 到 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴
故选：B
4．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如下图． 等于（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形外角、三角形内角和的知识，熟练掌握三角形的外角的性质与内角和定理是解
题的关键．延长 ，交 于点G，根据三角形外角的性质，得 ， ，再
根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案．
【详解】如图，延长 ，交 于点G，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
5．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，E，F是 的边 ， 上的点，D是点A上方的一点，
若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．连接 ，根据三角形内
角和定理得出 ， ，进而即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
二、填空题
6．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图， ， ， ，则 的度数为
．
【答案】 / 度
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，作射线 ，根据题意得出
，代入数据，即可求解．
【详解】解：如图所示，作射线 ，
∵ ， ，
∴
即
故答案为： ．
7．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，已知直线 、 相交于点 ， ， ，
， ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 /30度
【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理得 ，由
对顶角相等得 ，再利用三角形内角和定理即可得出结论．解题的关键是掌握：三角形
内角和为 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
8．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，是一个五角星环饰，则
．
【答案】 /180度
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形的内角和和外角的性质定理，熟练运用三角形的内角和和外角性质进行角度的
转化和计算是解题的重点．
由三角形的外角性质，把五个角转化到一个三角形内部来求解即可；
【详解】解：如图，
由三角形的外角性质，得 ，
，
，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司9．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，将五角星沿着虚线 剪下．若 ，
则 ．
【答案】 /210度
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查三角形的内角与外角，根据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可．
【详解】如图，
∵ ， 而 ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
10．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，D，E，F分别是 三边延长线上的点，则
°．
【答案】180
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】利用三角形的内角和定理及三角形外角的性质计算．主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用
到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
【详解】解：∵
∴ ．
故答案为：180．
三、解答题
11．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）已知：如图， ， 相交于点 ．求证：
．
【答案】见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据 ，即可得证．
【详解】证明：∵ 是 的一个外角，
∴ ，
即 ．
12．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在 中，点E在边 上，点D在 的延长线上，连
接 交 于点O．若 ， ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】对顶角相等、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】此题考查了三角形外角的性质定理、对顶角相等、三角形内角和定理等知识．
（1）利用三角形外角的性质定理即可求出答案；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据对顶角相等得到 ，再利用三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】（1）解： ， ， 是 的一个外角，
．
（2）解： ，
，
．
13．（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，已知线段 相交于点O，连接 ，我们把形如
这样的图形称为“八字图形”．
(1)求证： ；
(2)如图②，若 和 的平分线 和 相交于点P，与 分别交于点M，N．
①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________；
②若 ， ，求 的度数；
③根据②的结果直接写出 ， ， 之间的关系（不需要证明）．
【答案】(1)见解析
(2)① (答案不唯一)；② ；③
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性
质等知识，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键．
（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；
（2）①根据“8字型”的定义判断即可；
②由（1）结论可得在 和 中， ，在 和 中，
，两式相加再由角平分线的定义即可解答；
③根据角平分线的定义可得 ， ，在 和 中，可有 ，即
，同理在 和 中，可有 ，
，即可获得答案．
【详解】（1）证明：在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：①以线段 为边的“8字型”有： 和 ， 和 ， 和 ；
以点 为交点的“8字型”有： 和 ， 和 ， 和 ， 和
；
故答案为： ；
②∵在 和 中， ，
在 和 中， ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ；
③ 、 、 之间的关系为 ．
理由如下：
如下图，
∵ 和 分别平分 和 ，
∴ ， ，
在 和 中， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 、 、 之间的关系为 ．
14．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇
到这样一个问题：如图①， 与 分别为 的两个外角，则 ．
【推理证明】∵ 与 分别为 的两个外角，
∴ ______， ______，
∴ ______．
∵ ，
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司【初步应用】
（1）如图②，在 纸片中剪去 ，得到四边形 ，若 ，则 的大小为
______度．
（2）如图③，在 中， 、 分别为外角 、 的平分线，则 与 的数量关系，
并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图④，在四边形 中， 、 分别为外角 、 的平分线，若 ，
求 的度数．
【答案】【推理证明】见解析；【初步应用】（1） ；（2） ；【拓展提升】 ．
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理，理解相关知识是解答关
键．
【推理证明】由三角形外角性质得 ， ，再求 与 的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证；
【初步应用】（1）由 进行变形为 即可求解；
（ ）由角平分线的定义得 ， ，再由三角形内角和定理得出 ，
然后把 代入即可求解；
【拓展提升】（3）延长 、 交于点 ，先求 ，再把 代入 即可求解．
【详解】证明：【推理证明】∵ 与 分别为 的两个外角，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，（三角形内角和定理）
∴ ．
故答案为： ；
解：（1）∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ 、 分别为外角 、 的平分线，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）如图所示，延长 、 交于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
15．（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不
妨把这样的图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究 与 之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 恰好经过点B、C，若
，直接写出 的结果；
②如图3， 平分 ， 平分 ，若 ，求 的度数；
③如图4，求图中五角星五个“角”的和．
【答案】(1) ，见解析
(2)① ；② ；③
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关键．
（1）作射线 ，根据三角形的外角的性质可得结论： ；
（2）①先根据三角尺可知： ，根据（1）的结论可得： ，
从而得结论；
②先根据第1题的结论可得： 的度数，由角平分线可得：
，从而得结论；
③由（1）中“规形图”结论可知： ，结合三角形的内角和即可得解
【详解】（1） ，理由如下：
过点A、D作射线 ，
，
即
（2）① ，
由（1）可知：
②
平分 ， 平分 ，
③如图：由（1）中“规形图”结论可知： ，
又
即
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学科网（北京）股份有限公司16．（24-25八年级上·陕西西安·期末）平面内不重合的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)如图1，若 ，点 在 的同侧，则有 ， 是 的外角，故
，得 ．将点 移到 两平行线之间，如图2，结论
是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则 ， ， 之间有何数量关系？
请证明你的结论；
(2)在图3中，将直线 绕点 逆时针方向旋转一定角度交直线 于点 ，则 ， ， ，
之间有何数量关系？并证明你的猜想；
(3)如图4，设 交 于点 交 于点 ，已知 ， ．
①求出 的度数；
②计算出 比 大多少度．
【答案】(1)不成立， ，见解析
(2) ，见解析
(3)① ；② 比 大
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质的应用，掌握类比的方法解题是关键．
（1）如图2，延长 交 于点 ．证明 ，再结合三角形的外角的性质可得
；
（2）如图3所示，连接 并延长．再利用三角形的外角的性质与角的和差运算可得结论；
（3）①由（2）的结论，得 ，结合 ，可得答案；
②由 ， ，可得
，结合 ，可得答案．
【详解】（1）解：不成立．应为 ．
证明：如图2，延长 交 于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司，
．
又 ，
．
（2）解： ．
证明：如图3所示，连接 并延长．
∴ ， ，
∴ ．
（3）解：①由（2）的结论，得： ，
∵
∴
②∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
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