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第 06 讲 解题技巧专题：三角形中的倒角模型之双角平分线
和高线模型
目录
【模型一 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型】....................................................................................1
【模型二 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型】.....................................................................3
【模型三 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型】....................................................................................8
【模型四 三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型】...........................................................................12
【过关检测】............................................................................................................................................................15
【模型一 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型】
1）两内角平分线的夹角模型
图1 图2 图3
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论： 。
证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴ ， 。
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A。
2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1
条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。
证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴ ， 。
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学科网（北京）股份有限公司∴ ∠ P=180°- （ ∠ PBC+∠ PCB ） =180°- （ ∠ ABC+∠ DCB ） =180°- （ 360°-∠ A-∠ D ） =
（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。
3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2
条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：
。
证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴ ， 。
∴ ∠ P=180°- （ ∠ PCD+∠ PDC ） =180°- （ ∠ BCD+∠ CDE ） =180°- （ 540°-∠ A-∠ D-∠ E ）
=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。
例1．如图，在 中，点 是 内一点，且点 到 三边的距离相等，若 ，则
．
例2．模型认识：我们学过三角形的内角和等于 ，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部
分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动．
如图①，在 中， 、 分别是 和 的角平分线．
解决问题：(1)若 ， ，则 ______；（直接写出答案）
(2)若 ，求出 的度数；
拓展延伸：(3)如图②，在四边形 中， 、 分别是 和 的角平分线，直接写出
与 的数量关系．
【模型二 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型】
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学科网（北京）股份有限公司图1 图2
1）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：
．
证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴ ， 。
∴∠P=∠PCD-∠PBC= （∠ACD-∠ABC）= ∠A。
2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图2， ，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点 ， 的平分线相交于点 ，
， 的平分线相交于点 ……以此类推；结论： 的度数是 ．
证明：∵BP、CP 平分∠ABC、∠ACD，∴ ， 。
1 1
∴∠P=∠PCD-∠PBC= （∠ACD-∠ABC）= ∠A= 。同理：∠P= ∠P= ，∠P=
1 1 1 2 1 n
例1．问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分
∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A
度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是
否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
例2．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）特例感知
（1）如图1， 是 的平分线， 是 外角的角平分线．
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学科网（北京）股份有限公司①若 ，则 ________；
②判断 与 的数量关系，并说明理由．
类比迁移
（2）如图2， 是 的外角， 的平分线与 的平分线交于点 ， 的平分线
与 的平分线交于点 ， ， 的平分线与 的平分线交于点 （ 为正整数）．设
，则 ________．
拓展应用
（3）如图3，在 中， 是 的外角， 的三等分线与 的三等分线交于点 ．若
， ，请直接写出 的度数．（用含 、 的式子表示）
【模型三 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型】
C
D
B A E
图1 图2 图3
1）两外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论： ．
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学科网（北京）股份有限公司证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴ ， 。
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°- （∠EBC+∠BCF）=180°- （∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）
=180°- （180°+∠A）=90°+ ∠A。
2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点 D；结论：AD平分
∠CAD。
证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，
∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。,
例1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在 中， 分别是 的平分线，
分别是 的角平分线．
(1)若 ，则 ________ ， ________ ；
(2)当 变化时， 的值是否变化？请说明理由．
例2．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图①，在 中， 与 的平分线相交于点 ．
(1)若 ，则 的度数是 ；
(2)如图②，作 的外角 ， 的角平分线交于点 ，试探索 ， 之间的数量关系．
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学科网（北京）股份有限公司(3)如图③，延长线段 交于点 ，试探索 ， 之间的数量关系．
【模型四 三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型】
1）条件：如图1，在 中， ， 分别是 的高和角平分线，结论： ．
2）条件：如图2，F为 的角平分线AE的延长线上的一点， 于D，结论：
．
图1 图2
1）证明：∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ；
2）证明：如图，过 作 于 ，由（2）可知： ，
， ， ， ， ， ，
， ．
例1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在 中， ， ， 是 的角平分
线．
（1）如图1，若 是 的高，则 的度数为 ．
（2）如图2，若 是 的角平分线，G是 延长线上一点，过点G作 于点H，则 的
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学科网（北京）股份有限公司度数为 ．
例2．已知：在 中， ， 平分 交 于点 ．
(1)如图①， 于点 ，若 ，求 的度数；
(2)如图①， 于点 ，若 ，求 的度数（用含 的式子表示）；
(3)如图②，在 中， 于点 ， 是 上的任意一点（不与点 ， 重合），过点 作
于点 ，且 ，请你运用（2）中的结论求出 的度数；
(4)在（3）的条件下，若点 在 的延长线上（如图③），其他条件不变，则 的度数会发生改变吗？
说明理由．
【过关检测】
一、单选题
1．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图， 是 的角平分线， 相交于点D，
， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在 中， 是角平分线， ，垂足为D，点
D在点E的左侧， ， ，则 的度数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图， 于点O，点E，F分别是射线 上的动点（不
与点O重合），延长 至点G， 的角平分线及其反向延长线分别交 的角平分线于
点M，N．若 中有一个角是另一个角的4倍，则 为（ ）．
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
4．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在 中， ， 分别平分 ， ，
且交于点 ， 为外角 的平分线， 的延长线交 于点 ，则以下结论：① ；②
；③ ；④点 在 的角平分线上；⑤ 一定成立的有
（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．多于3
二、填空题
5．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点O是 内一点， ， 、 分别是 和
的角平分线，则 等于 ．
6．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， 分别是 与 的角
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学科网（北京）股份有限公司平分线，点D在 的延长线上，则 ．
7．（22-23八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，已知 的角平分线与 的外角平分线交
于点D， 的外角角平分线与 的外角角平分线交于点E，则 ．
8．（24-25八年级上·甘肃定西·期中）如图， 和 分别是△ 的内角平分线和外角平分线， 是
的角平分线， 是 的角平分线， 是 的角平分线， 是 的角平分线．
若 ，则 为 ．
三、解答题
9．（24-25八年级上·天津西青·期中）如图1，在 中， 是 的角平分线；
(1)填写下面的表格．
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学科网（北京）股份有限公司的度数
的度数
(2)试猜想 与 之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想；
的度数
的度
数
10．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）在 中， 是边 上的高．
(1)如图1，若 是边 上的中线， ，求 的长．
(2)如图2，若 是 的角平分线， 时，求 的度数．
11．（24-25八年级上·全国·期中）如图①，凹四边形 形似圆规，这样的四边形称为“规形”．
(1)如图①，在规形 中，若 ，求 的度数；
(2)如图②，在规形 中， 和 的角平分线 交于点E，且 ，试探究
之间的数量关系，并说明理由．
12．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）新定义：在 中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n
为大于1的正整数），则称 为“n倍角三角形”． 例如，在 中，若∠ ，则
，因为 最大， 最小，且 ，所以 为“3倍角三角形”．
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学科网（北京）股份有限公司(1)在 中，若 ，则△DEF为“_______倍角三角形”．
(2)如图，在 中， 的角平分线相交于点D，若 为“3倍角三角形”，
请求出 的度数．
13．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）如图①，在 中， 与 的平分线相交于点 ．
(1)如果 ，求 的度数；
(2)如图②，作 外角 的角平分线交于点 ，试探索 之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段 、 交点 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出 的度
数．
14．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）【结论发现】
小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数
是三角形第三内角度数的一半．
【结论应用】
（1）如图1，在 中， ，点E是 的内角 平分线与外角 平分线的交点，
则 的度数为 °；
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学科网（北京）股份有限公司（2）如图2，在 中， ，延长 至点E，延长 至点D，已知 、 的角平分
线与 的角平分线及其反向延长线交于P、F，求 的度数；
【拓展延伸】
（3）如图3，四边形 的内角 与外角 的平分线形成如图所示形状．
①已知 ， ，求 的度数；
②直接写出 与 的数量关系．
15．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页曾经研究过三角形角
平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
【问题改编】
（1）如图1，在 中， 、 的角平分线交于点P，若 ．则 ________；
【问题推广】
（2）如图2，在 中， 的角平分线与 的外角 的角平分线交于点P，过点B作
于点H，若 ，求 的度数；
（3）如图3，在 中， 、 分别平分 、 ，M、N、Q分别在 、 、 的延
长线上， 、 分别平分 、 ， 、 分别平分 、 ．若 ，则 的
度数为________（结果用含n的代数式表示）；
【拓展提升】
（4）在四边形 中， ，点F在直线 上运动（点F不与E，D两点重合），连接 ， ，
、 的角平分线交于点Q，若 ， ，直接写出 和α，β之间的数量关系．
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