文档内容
专题 11.12 三角形中的几个重要几何模型（知识梳理与考点分类讲
解）
第一部分【模型归纳】
【模型一】燕尾模型
如图：这样的图形称之为“燕尾模型”
结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C
【模型二】8字模型
如图：这样的图形称之为“8字模型”
结论：∠A+∠D=∠B+∠C
【模型三】三角形角平分线（内分分模型）
如图：这样的图形称之为“三角形双内角平分线模型”
条件：BI、CI为角平分线结论：
【模型四】三角形角平分线（内外分模型）
如图：这样的图形称之为“三角形内外角平分线模型”
条件：BP、CP为角平分线
结论：
【模型五】三角形角平分线（外外分模型）
如图：这样的图形称之为“三角形双外角平分线模型”
条件：BP、CP为角平分线
结论：
【模型六】角平分线+平行线模型条件：CP平分∠ACB, DE平行于BC
结论：ED=EC
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】燕尾模型
【例1】如图所示，已知四边形 ，求证 ．
【变式1】（2021九年级·全国·专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的
零件，如果 ， ，那么 的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】如图， ．【题型2】8字模型
【例2】如图，求 的度数.
【变式1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【变式2】下图是可调躺椅示意图（数据如图）， 与 的交点为 ，且 ， ， 保持不变．
为了舒适，需调整 的大小，使 ，则图中 应 （填“增加”或“减少”）
度．【题型3】三角形的角平分线（内内分模型）
【例3】（22-23八年级上·江西赣州·期中）如图，在△ABC中，
（1）如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶数，求这个三角形的周长．
（2）如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．
a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数．
b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数．
【变式1】如图， 中， 与 的平分线交于点 ，过点 作 交 于点 ，交
于点 ，那么下列结论：
① 和 都是等腰三角形
② ；
③ ；
④若 ，则 ．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】如图，在 中，已知 ， 、 的平分线 、 相交于点O，则
的度数为 ．
【题型4】三角形的角平分线（内外分模型）
【例4】如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数
【变式1】如图，BA 和CA 分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA 是∠ABD的角平分线CA
1 1 2 1 2
是∠ACD的角平分线，BA 是ABD∠的角平分线，CA 是∠ACD的角平分线，若∠A=α，则∠A 为（
1 3 2 3 2 1 2013
）
A． B． C． D．
【变式2】如图， 和 分别是 的内角平分线和外角平分线， 是 的平分线， 是
的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线，……以此类推，若 ，则．
【题型5】三角形的角平分线（外外分模型）
【例5】如图，已知在 中， 、 的外角平分线相交于点 ，若 ， ，
求 的度数.
【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于
点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：
（1）若∠A＝60°，则∠P＝ °；
（2）若∠A＝40°，则∠P＝ °；
（3）若∠A＝100°，则∠P＝ °；
（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系 ．【题型6】角平分线+平行线模型
【例6】（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图，在 中， 平分 平分
，过点 作 的平行线与 分别相交于点 ．若 ．
（1）求 的度数；
（2）求 的周长．
【变式1】如图， EFG 的三个顶点 E，G 和 F 分别在平行线 AB，CD 上，FH 平分∠EFG，交线
段 EG 于 点 H，若△∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，则∠EHF 的大小为（ ）
A．105° B．75° C．90° D．95°
【变式2】如图， 的三个顶点 ， 和 分别在平行线 ， 上， 平分 ，交线段
于点 ，若 ， ，则 的大小为 ．第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川达州·中考真题）如图，在 中， ， 分别是内角 、外角 的
三等分线，且 ， ，在 中， ， 分别是内角 ，外角
的三等分线．且 ， ，…，以此规律作下去．若 ．则
度．
【例2】（2019·辽宁铁岭·中考真题）如图，在 中， ， ， ， ，
连接BC，CD，则 的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
【例3】（2020·北京·中考真题）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠52、拓展延伸
【例1】如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
请发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究 与 之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 恰好经过点B、C，若
，直接写出 的结果；
②如图3， 平分 ， 平分 ，若 ，求 的度数；
③如图4， 的10等分线相交于点 ，若 ，求 的
度数．
【例2】如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的
度数．
