文档内容
专题 03 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型
目录
A题型建模・专项突破
题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型..........................................................................................1
题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型...........................................................................4
题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型..........................................................................................8
题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型................................................................................12
B综合攻坚・能力跃升
题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型
1．如图，在三角形 中， 平分 平分 ，其角平分线相
交于D，则 （ ）
A． B． C． D．
2.如图1，在 中， 是 的角平分线；
(1)填写下面的表格．
的度数
的度数
(2)试猜想 与 之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想；
的度数
的度
数
3.模型认识：我们学过三角形的内角和等于 ，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动．
如图①，在 中， 、 分别是 和 的角平分线．
解决问题：(1)若 ， ，则 ______；（直接写出答案）
(2)若 ，求出 的度数；
拓展延伸：(3)如图②，在四边形 中， 、 分别是 和 的角平分线，直接写出
与 的数量关系．
题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型
4．如图，点D为 边 的延长线上一点，若 ， ， 的角平分线与
的角平分线交于点M，则 度．
5．如图、在四边形 中、 平分 ，且与四边形 的外角 的角平分线交于点 ，
若 ，求 的度数．
6．他阅读下面的材料，并解决问题
(1)在 中， ，图1， 是两内角平分线的夹角：图2， 是内角和外角角平分线的夹角；
图3， 是两外角平分线的夹角，请直接写出 的度数．
如图1， 如图2， ； 如图3， ；如图4， 和 的三等分线相交于点 ，则
．(2)如图5所示，在 中， 的三等分线 、 和 的平分线 相交于点 和点 ，
， 度，求 的度数．
题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型
7．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，在 中， 和 的角平分线交于点O，
和 的角平分线交于点D， 和 的角平分线交于点E，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图①，在 中， 与 的平分线相交于点 ．
(1)如果 ，求 的度数；
(2)如图②，作 外角 ， 的角平分线交于点 ，探索 、 之间的数量关系．
9．如图①，在 中， 与 的平分线相交于点P．(1)若 ，则 的度数是 ；
(2)如图②，作 外角 ， 的角平分线交于点Q，试探索 ， 之间的数量关系；
(3)如图③，延长线段 ， 交于点E，在 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出
的度数是 ．
题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型
10．如图， 是 的角平分线，E为边 上一点，过点E作 交 的延长线于点F．若
，则 的大小为 度．
11．如图 ， ， 分别是 的角平分线和高．
（1）若 ， ，则 的度数为 ．
（2）如图 ， 平分 ，点 是 延长线上一点，过点 作 于点 ，则 与 ，
的数量关系是 ．
12．如图，在 中， ， 是 的角平分线，P为线段 上的一个动点， 交
直线 于点E．(1)若 ， ，求 的度数；
(2)爱动脑的慧慧发现，当P点在线段 上运动时，若 是锐角，则 ，请聪明的你说
说结论成立的理由．
一、单选题
1．（24-25八年级上·青海果洛·期末）如图，点O在 内，且点O是 两个角平分线的交点．若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）如图， 、 是 的外角角平分线，若 ，则 的
大小为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 中， ， 与 的角平分线交于 ， 与 的角平分线交于
点 ，依此类推， 与 的角平分线交于点 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
4．（22-23七年级下·福建漳州·期末）如图，在 中， 是角平分线， 是边 上的
高，延长 与外角 的平分线交于点 ．以下四个结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
5．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图， ， 分别是 的角平分线和高，若 ，
，则 ．
6．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图， 、 的角平分线相交于点P，若 ，
，则 的度数为 ．7．如图，已知 的内角 ，分别作内角 与外角 的平分线，两条角平分线交于点 ；
作 和 的平分线交于点 ；以此类推得到点 ，则 的大小为 ．
8．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）已知，如图1，在 ， 、 的角平分线交于点
O，则 ．如图2，在 中， 、 的两条三等分角线分
别对应交于 、 ，则 ， ．
根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有 个点）（用n的代数式表示）
； ．
三、解答题
9．（23-24七年级下·江苏扬州·期中） 中， ， 是高， 是三角形的角平分线．
(1)当 ， 时，求 的度数；
(2)根据第（1）问得到的启示， 与 之间有怎样的等量关系，并说明理由．
10．如图，在 中， 是 的角平分线，点 在边 上，且不与点 重合， 与 交于
点 ．(1)若 是 的高，且 ，则 的度数为 ；
(2)若 是 的角平分线， ，求 的度数．
11．（24-25七年级下·河南南阳·期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的角的探究片段，完成
所提出的问题．
探究1：如图1，在 中，O是 与 的平分线 和 的交点，通过分析发现
，理由如下：
∵ 和 分别是 和 的角平分线
∴ ，
∴ ；
又∵ ，
∴ ① ；
∴ ② ．
请完成探究1的填空， _______， _________；
探究2：如图2中，O是 与外角 的平分线 和 的交点，试分析 与 有怎样的
关系？请说明理由．
探究3：如图3中，O是外角 与外角 的平分线 和 的交点，则 与 有怎样的
关系（只写结论，不需证明）？
结论：___________________．
12．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）【结论发现】（1）如图1，在 中， ，点E是
的内角 平分线与外角 平分线的交点，求 的度数；
（2）如图2，在 中， ，延长 至点E，延长 至点D，已知 的角平分线与
的角平分线交于点P， 的角平分线与 的角平分线反向延长线交于点F，求 的度数；
【拓展延伸】（3）如图3， 是四边形 的内角 的角平分线， 是四边形 的外角
的角平分线，形成如图所示形状，已知 ， ，求 的度数．13．（24-25七年级下·吉林·期中）如图1， 中， 的角平分线和 的角平分线交于点D
(1)若 ，则 _________．
(2)从上述计算中，我们能发现： _________________（用含 的代数式表示）；
(3)如图2， 中， 的角平分线和 的角平分线交于点 ，请用含 的代数式表示 ，
并说明理由．
(4)如图3， 的角平分线和 的角平分线交于点 ，如此继续下去，可得 ， ，…， ，请
写出 与 的数量关系为_________________．（直接写出结果即可）．
14．综合与探究
【问题发现】
在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．
（1）数学课代表发现在图1中，若 与 的平分线交于点P，则 与 之间存在一定的
数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整．
， 分别是 和 的平分线，
， ．
，
，
……
【问题探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，作 的外角 ， 的平分线交于点Q，试说明
．
【问题拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段 ， 交于点E，在 中．
①请说明 与 之间的数量关系．
②当 与 两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出 的度数．
15．（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境：
如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”， 叫
“规角”．
【探究发现】
（1）观察“规形图”，试探究规角 与 之间的数量关系，并说明理由；
【解决问题】
（2）请你利用以上结论，解决下列问题：
（i）如图②，在 中， 的平分线交于点P，若 ，则 度，若 ，则
度（用含 的式子表示）；
（ii）如图③， 平分 平分 ，若 的度数 ．
【延伸探究】
（3）如图④，在 中， 的平分线与 的外角 的平分线交于点P，过点C作
于点H，若 ，求 的度数；
【拓展应用】
（4）如图⑤，在 中， ，点I为 三条内角平分线交点，连接 ．延长
，与 的外角 的角平分线交于点P，与 交于点Q．在 中，如果有一个角是另一个
角的2倍，直接写出 的度数为 ．16．（24-25七年级下·河南南阳·期末）直线 与 相互垂直，垂足为点 ，点A在射线 上运动，点
在射线 上运动，点A、点 均不与点 重合．
(1)如图①， 平分 平分 ，若 ，求 的度数；
(2)如图②， 平分 平分 的反向延长线交 于点 ；
①若 ，则 度（直接写出结果，不需说理）
②点A、 在运动的过程中，若 ，试求 的度数．
(3)如图③，已知点 在 的延长线上， 的角平分线 、 的角平分线 与 的角平分
线所在的直线分别相交于点 、 ，在 中，如果某一个角是 的4倍，请直接写出 的度
数．
