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专题 03 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线
模型的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型
类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型
类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型
类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型
压轴专练
类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型
1）两内角平分线的夹角模型
图1 图2 图3
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论： 。
证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴ ， 。
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A。
2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1
条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴ ， 。
∴ ∠ P=180°- （ ∠ PBC+∠ PCB ） =180°- （ ∠ ABC+∠ DCB ） =180°- （ 360°-∠ A-∠ D ） =
（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。
3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2
条 件 ： 如 图 3 ， CP 、 DP 平 分 ∠ BCD 、 ∠ CDE ， 两 条 角 平 分 线 相 交 于 点 P ； 结 论 ：
。
证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴ ， 。
∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°- （∠BCD+∠CDE）=180°- （540°-∠A-∠D-∠E）
=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。
例1．如图，在 中， ， 与 是 的两条角平分线， 与 交于点 ，求
的度数．
【变式1-1】 的两条角平分线 、 相交于点 I．
(1)如图1：
①若 求 的度数；
②若 直接写出 °(用含β的式子表示)；
(2)如图2，连接 ， 平分 ，作 分别交 、 于点D、E．你发现与 一定相等
的角有 ；
与 一定相等的角有 ．
【变式1-2】模型认识：我们学过三角形的内角和等于 ，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动．
如图①，在 中， 、 分别是 和 的角平分线．
解决问题：(1)若 ， ，则 ______；（直接写出答案）
(2)若 ，求出 的度数；
拓展延伸：(3)如图②，在四边形 中， 、 分别是 和 的角平分线，直接写出
与 的数量关系．
【变式1-3】“如图①，在 中， ， 和 的平分线相交于点 ，求 的
度数．”小白在解决这个问题的过程中，发现当 取不同的数值时， 的大小并不改变，于是
猜想三角形的两个内角的平分线的夹角和第三个内角的度数之间存在着某种数量关系，所以决定将其作为
一个项目做进一步探究．
【项目模型】如图②，直线 与直线 相交于点 ，点 在射线 上运动（点 不与点 重合），点
在射线 上运动（点 不与点 重合）．连接 ， 和 的平分线交于点 ．探究 与
的数量关系．
【特例发现】如图②，当 时， __________度；当 时，
_____________度．
【规律探索】如图②，当 度数为 时，用含 的代数式表示 的大小，并写出推导过程．
【拓展应用】如图③，当 时， 和 的平分线交于点 ， 和 的角平分
线交于点 ．在点 和点 的运动过程中，当 的三个内角中有一个角是另一个角的3倍时，直接写
出 的度数．类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型
图1 图2
1）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结
论： ．
证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴ ， 。
∴∠P=∠PCD-∠PBC= （∠ACD-∠ABC）= ∠A。
2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图2， ，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点 ， 的平分线相交于点 ，
， 的平分线相交于点 ……以此类推；结论： 的度数是 ．
证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴ ， 。
∴∠P=∠PCD-∠PBC= （∠ACD-∠ABC）= ∠A= 。同理：∠P= ∠P= ，∠P=
1 1 1 2 1 n
例2．如图，在 中， 分别是 与 的角平分线，点D在 的延长线上，
则 ．
【变式2-1】问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A
度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是
否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
【变式2-2】特例感知
（1）如图1， 是 的平分线， 是 外角的角平分线．
①若 ，则 ________；
②判断 与 的数量关系，并说明理由．
类比迁移
（2）如图2， 是 的外角， 的平分线与 的平分线交于点 ， 的平分线
与 的平分线交于点 ， ， 的平分线与 的平分线交于点 （ 为正整数）．设
，则 ________．
拓展应用（3）如图3，在 中， 是 的外角， 的三等分线与 的三等分线交于点 ．若
， ，请直接写出 的度数．（用含 、 的式子表示）
类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型
C
D
B A E
图1 图2 图3
1）两外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论： ．
证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴ ， 。
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°- （∠EBC+∠BCF）=180°- （∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）
=180°- （180°+∠A）=90°+ ∠A。
2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点 D；结论：AD平分
∠CAD。
证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，
∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。,
例3．如图，已知 的角平分线与 的外角平分线交于点D， 的外角角平分线与
的外角角平分线交于点E，则 ．【变式3-1】如图，在 中， 分别是 的平分线， 分别是
的角平分线．
(1)若 ，则 ________ ， ________ ；
(2)当 变化时， 的值是否变化？请说明理由．
【变式3-2】如图①，在 中， 与 的平分线相交于点 ．
(1)若 ，则 的度数是 ；
(2)如图②，作 的外角 ， 的角平分线交于点 ，试探索 ， 之间的数量关系．(3)如图③，延长线段 交于点 ，试探索 ， 之间的数量关系．
类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型
1）条件：如图1，在 中， ， 分别是 的高和角平分线，结论：
．
2）条件：如图 2，F 为 的角平分线 AE 的延长线上的一点， 于 D，结论：
．
图1 图2
1）证明：∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ；
2）证明：如图，过 作 于 ，由（2）可知： ，
， ， ， ， ， ，
， ．
例4．在 中， ， ， 是 的角平分线．（1）如图1，若 是 的高，则 的度数为 ．
（2）如图2，若 是 的角平分线，G是 延长线上一点，过点G作 于点H，则 的
度数为 ．
【变式4-1】在 中， 是边 上的高．
(1)如图1，若 是边 上的中线， ，求 的长．
(2)如图2，若 是 的角平分线， 时，求 的度数．
【变式4-2】已知：在 中， ， 平分 交 于点 ．
(1)如图①， 于点 ，若 ，求 的度数；
(2)如图①， 于点 ，若 ，求 的度数（用含 的式子表示）；
(3)如图②，在 中， 于点 ， 是 上的任意一点（不与点 ， 重合），过点 作于点 ，且 ，请你运用（2）中的结论求出 的度数；
(4)在（3）的条件下，若点 在 的延长线上（如图③），其他条件不变，则 的度数会发生改变吗？
说明理由．
一、单选题
1．如图， ， 分别是 的角平分线，则 （ ）
A． B． C． D．
2．如图，在 中， 的角平分线和 的外角平分线交于点P；若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图， ， 的角平分线交于点P，若 ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
4．如图，已知 ，点E为 上方一点， 、 分别为 ， 的角平分线，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 中， 与 的角平分线交于点D，且 、 ，
则 与 的数量关系可表示为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．如图，点P是 的外角 和 的角平分线的交点，若 ，则7．如图， 是 的角平分线， 是线段 延长线上一点， 于点 ，当
时， 的度数为
8．如图， ， 的角平分线 和 的角平分线 的反向延长线交于点 ，且
，则 ．
9．如图，在 中，延长 到D， 的角平分线相交于点 点． 与 的外角
平分线交于点 ， 与 的外角平分线交于点 ，依次类推， 与 的外角平分
线交于点 ，如果 ，那么 °．（用含m、n的表示）．
10．如图，在 中， ， ， 为 的外角， 与 的平分线交干点， 与 的平分线交于点 ，…， 与 的平分线相交于点 ．
（1） 的度数为 ；
（2）若得到点 后，再依此规律作角平分线，两条角平分线无交点，则n的值为 ．
三、解答题
11．如图，在 中， 是高， 是角平分线，它们相交于点O， ．
(1) 的度数为______．
(2)若 ，求 的度数．
12．如图，在 中， 是 的角平分线，P为线段 上的一个动点， 交直线 于点
E．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)当P点在线段 上运动时，若 是锐角，请对 说明理由．
13．如图①，在 中， 与 的平分线相交于点P．(1)若 ，则 的度数是 ；
(2)如图②，作 外角 ， 的角平分线交于点Q，试探索 ， 之间的数量关系；
(3)如图③，延长线段 ， 交于点E，在 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出
的度数是 ．
14．如图1，点A、B分别在射线 上运动（不与点O重合）， 分别是 和 的
角平分线， 延长线交 于点G．
(1)若 ，则 ；
若 ，则 ；
(2)若 ．请求出 的度数；（用含n的代数式表示）
(3)如图2，若 ，过C作直线与 交F．若 时，求 的度数．
15．如图①， 的角平分线 相交于点 ．
(1)如果 ，求 的度数；
(2)如图②，过 点作直线 ，分别交 和 于点 和 ，且 平行于 ，试求 的度数（用含 的代数式表示）；
(3)将（2）中的直线 绕点 旋转，分别交线段 于点 （不与 重合），交直线 于 ，请探
索并直接写出 三者之间的数量关系．
