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猜想 01 三角形（五种解题模型专练）
题型一：A字型 题型二：8字型
题型三：燕尾型 题型四：双角平分线型
题型五：风筝型
题型一：A字型
1．（2022秋•渝北区校级期末）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则
∠1+∠2等于（ ）
A．315° B．270° C．180° D．135°
2．（2022秋•济宁期末）如图，△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，将△ABC沿EF折叠，A点落在形内的
A′，则∠1+∠2的度数为 ．
3．（2022秋•平桥区期末）探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝ ．
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝ ．
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ．
（4）如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．4．（2022秋•运城期末）一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．（点A′在△ABC的内
部）
（1）如图1，若∠A＝45°，则∠1+∠2＝ °．
（2）利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中
得出的结论求∠BA′C的度数．5．（2022 秋•香坊区期末）已知：四边形 ABCD，连接 AC，AD＝CD，∠DAC＝∠ABC，∠DCA＝
∠BAC，AD∥BC．
（1）如图1，求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点A作AM⊥BC于点M，点N为AM上一点（不与点A重合），∠FNG＝120°，∠FNG的边
NF交BA的延长线于点F，另一边NG交AC的延长线于点G，如图2，点N与点M重合时，求证：NF
＝NG；
（3）如图3，在（2）的条件下，点N不与点M重合，过点N作NE⊥AM，交AC于点E，EN：CM＝
3：4，AF＝3，CG＝4，点H为AD上一点，连接EH、GH，GH交CD于点R，EH＝EG，求DR的长．
题型二：8字型1．（2023春•侯马市期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为
2．（2022秋•新乡期末）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 度．
3．（2021秋•正阳县期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之
为“8”字型．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、
AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．
（直接写出结果，不必证明）．
4．（2021秋•大兴区期末）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是直线AC上一动点，连接BD并延长至点E，使ED＝BD．过点E作EF⊥AC于点F．
（1）如图1，当点D在线段AC上（点D不与点A和点C重合）时，此时DF与DC的数量关系是
．
（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：2AD＝AF+EF．
（3）当点 D在线段 CA的延长线上时，直接用等式表示线段 AD，AF，EF之间的数量关系是
．
5．（2022秋•江岸区期末）已知△ABC是等边三角形．
（1）如图1，点D是AB边的中点，点P为射线AC上一动点，当△CDP是轴对称图形时，∠APD的度
数为 ；（2）如图2，AE∥BC，点D在AB边上，点F在射线AE上，且DC＝DF，作FG⊥AC于G，当点D在
AB边上移动时，请同学们探究线段AD，AC，CG之间有什么数量关系，并对结论加以证明；
（3）如图3，点R在BC延长线上，连接AR，S为AR上一点，AS＝BC，连接BS交AC于T，若AT＝
2n，SR＝n，直接写出线段 的值为 ．
题型三：燕尾型
1．（2019秋•建平县期末）探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，
不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：
①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若
∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ °．
②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．
2．（2021秋•东源县校级期末）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图
形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若
∠A＝50°，直接写出∠ABX+∠ACX的结果；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G 、G 、…、G ，若∠BDC＝140°，∠BG C＝77°，
1 2 9 1
求∠A的度数．
3．（2022秋•盐湖区期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨
把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边 XY、XZ恰好经过点B、C，
∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ °；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G 、G …、G ，若∠BDC＝133°，∠BG C＝70°，求
1 2 9 1
∠A的度数．
4．（2018秋•兰州期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把
这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边 XY、XZ恰好经过点B、C，
∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G 、G …、G ，若∠BDC＝133°，∠BG C＝70°，求
1 2 9 1
∠A的度数．
题型四：双角平分线型
1．（2022秋•上杭县校级期末）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC＝125°，则
∠A的度数为（ ）A．60° B．80° C．70° D．45°
2．（2021秋•蜀山区期末）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CD交于点
D．过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，则△AEF的周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
3．（2021秋•道里区期末）如图，在△ABC中，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过点D，
且EF∥BC，若BE＝3，CF＝4，则EF的长为 ．
4．（2021秋•天山区校级期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O．
（1）若∠ABC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE的度数．
（2）若∠C＝70°，求∠BOE的度数．
（3）若∠ABC＝ ，∠C＝ （ ＜ ），则∠DAE＝ ．（用含 、 的式子表示）
α β α β α β5．（2022秋•新乡期末）如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，
交AB于E，交AC于F．
（1）当BE＝5，CF＝3，则EF＝ ；
（2）当BE＞CF时，若CO是∠ACB的外角平分线，如图2，它仍然和∠ABC的角平分线相交于点O，
过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，试判断EF，BE，CF之间的关系，并说明理由．
6．（2021秋•玉林期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，它们
相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．7．（2022秋•东昌府区校级期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作
EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．
（2）如图2，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？并说明理
由．
（3）如图3，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB
于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．8．（2022秋•即墨区期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于 180°如何证明这个定理
呢？我们知道，平角是180°，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如
下条件，证明定理．
【定理证明】
已知：△ABC如图①，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
【定理推论】如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB＝180°，点D是BC延长线上一点，由平角的
定义可得∠ACD+∠ACB＝180°，所以∠ACD＝ ，从而得到三角形内角和定理的推论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【初步运用】如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点．
（1）若∠A＝80°，∠DBC＝150°，则∠ACB＝ ．
（2）若∠A＝80°，则∠DBC+∠ECB＝ ．
【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点．
（1）若∠A＝80°，∠P＝150°，则∠DBP+∠ECP＝ ．
（2）分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑤，若BM∥CN，则∠A和∠P的关系为
．
（3）分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑥，求出∠A，∠O和∠P的数量关系，并说
明理由．
9．（2022秋•清河区校级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
AD、CE相交于点P．
（1）求∠APC的度数；
（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．题型五：风筝型
1．（2022春•栖霞市期末）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位
置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．40° B．80° C．90° D．140°
2．（2021秋•吴川市校级期末）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，
折痕为DE．如果∠A＝ ，∠CEA′＝ ，∠BDA'＝ ，那么下列式子中正确的是（ ）
α β γ
A． ＝2 + B． ＝ +2
C．γ＝ α+ β D．γ＝α180°β﹣ ﹣
3．（2γ023α春β•曲阳县期末）如图，在△ABC中，∠γB＝32°，将α△βABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．32° B．45° C．60° D．64°
4．（2021秋•阜新县校级期末）纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在
△ABC内（如图），若∠1＝20°，则∠2的度数为 ．
5．（2022秋•西山区期末）放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图
1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，AB＝AC，DB＝DC，他发现AD不仅平分∠BAC，且平
分∠BDC，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．
