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专题07 整式的加减（知识大串讲）
【知识点梳理】
考点1 同类项
1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
2.合并同类项：
（1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
（2）合并同类项的法则：
同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
（3）合并同类项步骤：
a．准确的找出同类项。
b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的
指数不变。
c．写出合并后的结果。
（4）在掌握合并同类项时注意：
a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.
b.不要漏掉不能合并的项。
c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。
说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。
考点2 去括号
（1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 ；
（2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
考点3 整式的加减
几个整式相加减的一般步骤：
（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。
（2）按去括号法则去括号。
（3）合并同类项。
【典例分析】【考点1 同类项的判断】
【典例1】（2022春•兰西县校级期末）下列各组两项中，是同类项的是（ ）
A．xy与﹣xy B． ac与 abc
C．﹣3ab与﹣2xy D．3xy2与3x2y
【答案】A
【解答】解：A．根据同类项的定义，xy与﹣xy是同类项，那么A符合题意．
B．根据同类项的定义， 与 不是同类项，那么B不符合题意．
C．根据同类项的定义，﹣3ab与﹣2xy不是同类项，那么C不符合题意．
D．根据同类项的定义，3xy2与3x2y不是同类项，那么D不符合题意．
故选：A．
【变式1】（2021秋•乌当区期末）在下列各组单项式中，不是同类项的是（ ）
A．5x2y和﹣7x2y B．m2n和2mn2
C．﹣3和99 D．﹣abc和9abc
【答案】B
【解答】解：A．5x2y和﹣7x2y所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，
故本选项不合题意；
B．m2n和2mn2所含字母相同，但相同字母的指数不相同，故不是同类项，故本选项符
合题意；
C．﹣3和99是同类项，故本选项不合题意；
D．﹣abc和9abc所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项不
合题意．
故选：B．
【考点2 已知同类项求指数中字母的值】
【典例2】（2021秋•北辰区期末）如果2x3nym+1与﹣3x12y4是同类项，那么m，n的值分别
是（ ）
A．m＝﹣2，n＝3 B．m＝2，n＝3 C．m＝﹣3，n＝2 D．m＝3，n＝4
【答案】D
【解答】解：∵2x3nym+1与﹣3x12y4是同类项，
∴3n＝12，m+1＝4，
解得m＝3，n＝4，故选：D．
【变式2-1】（2022春•龙凤区期末）如果单项式﹣xyb+1与 xa﹣2y3是同类项，那么（a﹣
b）2022＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．52022 D．﹣52022
【答案】A
【解答】解：∵单项式﹣xyb+1与 xa﹣2y3是同类项，
∴a﹣2＝1，b+1＝3，
解得：a＝3，b＝2，
∴（a﹣b）2022
＝（3﹣2）2022
＝12022
＝1．
故选：A．
【变式2-2】（2022春•潍坊期末）若单项式20xm﹣ny14与 可以合并成一项，则
mn的值是（ ）
A． B．2 C． D．﹣2
【答案】A
【解答】解：由题意可知：m﹣n＝3，3m﹣8n＝14，
∴m＝2，n＝﹣1，
∴mn＝ ．
故选：A．
【考点3 合并同类项】
【典例3】（2022•清苑区二模）下列算式中正确的是（ ）
A．4x﹣3x＝1 B．2x+3y＝3xy
C．3x2+2x3＝5x5 D．x2﹣3x2＝﹣2x2
【答案】D
【解答】解：A、原式＝x，故A不符合题意．
B、2x与3y不是同类项，不能合并，故B不符合题意．C、3x2与2x3不是同类项，不能合并，故C不符合题意．
D、x2﹣3x2＝﹣2x2，故D符合题意．
故选：D．
【变式3】（2022•钱塘区一模）化简：﹣5x+4x＝（ ）
A．﹣1 B．﹣x C．9x D．﹣9x
【答案】B
【解答】解：原式＝（﹣5+4）x＝﹣x．
故选：B
【考点4 去括号或添括号】
【典例4-1】（2022春•宁波期末）下列添括号正确的是（ ）
A．﹣b﹣c＝﹣（b﹣c） B．﹣2x+6y＝﹣2（x﹣6y）
C．a﹣b＝+（a﹣b） D．x﹣y﹣1＝x﹣（y﹣1）
【答案】C
【解答】解：A．﹣b﹣c＝﹣（b+c），故此选项不合题意；
B．﹣2x+6y＝﹣2（x﹣3y），故此选项不合题意；
C．a﹣b＝+（a﹣b），故此选项符合题意；
D．x﹣y﹣1＝x﹣（y+1），故此选项不合题意；
故选：C．
【典例4-2】（2021秋•望城区期末）下列各题中去括号正确的是（ ）
A．5﹣3（x+1）＝5﹣3x﹣1
B．2﹣4（x+ ）＝2﹣4x+1
C．2﹣4（ x+1）＝2﹣x﹣4
D．2（x﹣2）﹣3（y﹣1）＝2x﹣4﹣3y﹣3
【答案】C
【解答】解：A．5﹣3（x+1）＝5﹣3x﹣3，故A不符合题意．
B．2﹣4（x+ ）＝2﹣4x﹣1，故B不符合题意．
C．2﹣4（ x+1）＝2﹣x﹣4，故C符合题意．
D．2（x﹣2）﹣3（y﹣1）＝2x﹣4﹣3y+3，故D不符合题意．
故选：C．【变式4-1】（2022•馆陶县）等号左右两边一定相等的一组是（ ）
A．﹣（a+b）＝﹣a+b B．a3＝a+a+a
C．﹣2（a+b）＝﹣2a﹣2b D．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b
【答案】C
【解答】解：A、原式＝﹣a﹣b，原去括号错误，故此选项不符合题意；
B、a3＝a•a•a，a+a+a＝3a，原式左右两边不相等，故此选项不符合题意；
C、原式＝﹣2a﹣2b，原去括号正确，故此选项符合题意；
D、原式＝﹣a+b，原去括号错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
【变式4-2】（2021秋•海门市期末）计算﹣（4a﹣5b），结果是（ ）
A．﹣4a﹣5b B．﹣4a+5b C．4a﹣5b D．4a+5b
【答案】B
【解答】解：﹣（4a﹣5b）＝﹣4a+5b，
故选：B
【考点5 整式加减的运算】
【典例5】（2022•南京模拟）先去括号，再合并同类项；
（1）（3x2+4﹣5x3）﹣（x3﹣3+3x2） （2）（3x2﹣xy﹣2y2）﹣2（x2+xy﹣2y2）
（3）2x﹣[2（x+3y）﹣3（x﹣2y）]
（4）（a+b）2﹣ （a+b）﹣ （a+b）2+（﹣3）2（a+b）．
【解答】解：（1）原式＝3x2+4﹣5x3﹣x3+3﹣3x2
＝﹣6x3+7；
（2）原式＝3x2﹣xy﹣2y2﹣2x2﹣2xy+4y2
＝x2﹣3xy+2y2；
（3）原式＝2x﹣2x﹣6y+3x﹣6y
＝3x﹣12y；
（4）原式＝﹣ （a+b）﹣ （a+b）2+9（a+b）
＝﹣ （a+b）2+ （a+b）．
【变式5-1】（河南期中）先去括号，再合并同类项
（1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b）（2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1）
【解答】解：（1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b）＝4b﹣6a+6a﹣9b＝﹣5b；
（2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1）＝4a2+6ab﹣4a2﹣7ab+1＝﹣ab+1．
【变式5-2】（乐清市校级月考）去括号，合并同类项：
（1）﹣3（2x﹣3）+7x+8；
（2）3（x2﹣ y2）﹣ （4x2﹣3y2）．
【解答】解：（1）﹣3（2x﹣3）+7x+8
＝﹣6x+9+7x+8，
＝（﹣6x+7x）+（9+8），
＝x+17，
（2）3（x2﹣ y2）﹣ （4x2﹣3y2）
＝3x2﹣ y2﹣2x2+ y2，
＝3x2﹣2x2+（﹣ y2+ y2），
＝x2．
【考点6 化简求值】
【典例6】（2022春•杜尔伯特县期中）代入求值．
（1）已知|a﹣2|+（b+1）2＝0，求代数式5ab﹣[2a2b﹣（4b2+2a2b）]的值；
（2）2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y，其中x＝1，y＝﹣1．
【解答】解：（1）原式＝5ab﹣（2a2b﹣4b2﹣2a2b）
＝5ab﹣2a2b+4b2+2a2b
＝5ab+4b2，
由题意可知：a﹣2＝0，b+1＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，
原式＝5×2×（﹣1）+4×1
＝﹣10+4
＝﹣6．
（2）原式＝2x2y+2xy﹣3x2y+3xy﹣4x2y
＝﹣5x2y+5xy，当x＝1，y＝﹣1时，
原式＝﹣5×1×（﹣1）+5×1×（﹣1）
＝5﹣5
＝0．
【变式6-1】（2021秋•兴庆区校级期末）先化简，再求值．
（1）3y2﹣x2+2（2x2﹣3xy）﹣3（x2+y2），其中（x+2）2+|y﹣1|＝0；
（2）（﹣a2+3ab﹣2b）﹣2（﹣ a2+4ab﹣ b2），其中a＝3，b＝﹣2．
【解答】解：（1）3y2﹣x2+2（2x2﹣3xy）﹣3（x2+y2）
＝3y2﹣x2+4x2﹣6xy﹣3x2﹣3y2
＝﹣6xy，
∵（x+2）2+|y﹣1|＝0，（x+2）2≥0，|y﹣1|≥0，
∴x+2＝0，y﹣1＝0．
∴x＝﹣2，y＝1．
当x＝﹣2，y＝1时，
原式＝﹣6×（﹣2）×1
＝12．
（2）（﹣a2+3ab﹣2b）﹣2（﹣ a2+4ab﹣ b2）
＝﹣a2+3ab﹣2b+a2﹣8ab+3b2
＝﹣5ab+3b2﹣2b，
当a＝3，b＝﹣2时，
原式＝﹣5×3×（﹣2）+3×（﹣2）2﹣2×（﹣2）
＝30+3×4+4
＝30+12+4
＝46．
【变式6-2】（2021秋•梁平区期末）先化简再求值：
（1）﹣（x2﹣y2）﹣[3xy﹣（x2﹣y2）]，其中x＝﹣3，y＝﹣4．
（2） ，其中|2+y|+（x﹣1）2＝0．
【解答】解：（1）﹣（x2﹣y2）﹣[3xy﹣（x2﹣y2）]
＝﹣x2+y2﹣3xy+x2﹣y2＝﹣3xy，
当x＝﹣3，y＝﹣4时，
原式＝﹣3xy＝﹣3×（﹣3）×（﹣4）＝﹣36；
（2）
＝5x2y﹣（3xy2﹣6xy2+7x2y）
＝5x2y﹣3xy2+6xy2﹣7x2y
＝﹣2x2y+3xy2，
因为|2+y|+（x﹣1）2＝0，
所以y＝﹣2，x＝1，
所以原式＝﹣2×1×（﹣2）+3×1×4＝16．
【考点7 整式加减的无关型问题】
【典例7】（2021秋•东港区期末）（1）先化简，再求值：3x2y﹣[2x2y﹣3（2xy﹣x2y）﹣
xy]，其中x＝﹣ ，y＝2．
（2）已知A＝ y2+3ay﹣1，B＝by2+4y﹣1，且4A﹣3B的值与y的取值无关，求a，b
的值．
【解答】解：（1）原式＝3x2y﹣（2x2y﹣6xy+3x2y﹣xy）
＝3x2y﹣2x2y+6xy﹣3x2y+xy
＝﹣2x2y+7xy，
当 ，y＝2时，
原式＝ ．
（2）4A﹣3B＝
＝3y2+12ay﹣4﹣3by2﹣12y+3
＝（3﹣3b）y2+（12a﹣12）y﹣1，
∵4A﹣3B的值与y的取值无关，
∴3﹣3b＝0，12a﹣12＝0，
∴a＝1，b＝1．
【变式7-1】（2022春•泰州期末）已知：A＝3x2+2xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy．（1）计算：A﹣3B；
（2）若A﹣3B的值与y的取值无关，求x的值．
【解答】解：（1）A﹣3B
＝（3x2+2xy+3y﹣1）﹣3（x2﹣xy）
＝3x2+2xy+3y﹣1﹣3x2+3xy
＝5xy+3y﹣1；
（2）∵A﹣3B＝5xy+3y﹣1＝（5x+3）y﹣1，
又∵A﹣3B的值与y的取值无关，
∴5x+3＝0，
∴x＝﹣ ．
【变式7-2】（2021秋•井研县期末）已知A＝2x2+xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy．
（1）当x＝﹣1，y＝3时，求A﹣2B的值；
（2）若3A﹣6B的值与y的值无关，求x的值．
【解答】解：（1）∵A＝2x2+xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy，
∴A﹣2B
＝（2x2+xy+3y﹣1）﹣2（x2﹣xy）
＝2x2+xy+3y﹣1﹣2x2+2xy
＝3xy+3y﹣1，
当x＝﹣1，y＝3时，
原式＝3×（﹣1）×3+3×3﹣1
＝﹣9+9﹣1
＝﹣1；
（2）∵A＝2x2+xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy，
∴3A﹣6B
＝3（2x2+xy+3y﹣1）﹣6（x2﹣xy）
＝6x2+3xy+9y﹣3﹣6x2+6xy
＝9xy+9y﹣3
＝（9x+9）y﹣3，
∵3A﹣6B的值与y的值无关，
∴9x+9＝0，
∴x＝﹣1．【考点8 整式加减的看错问题】
【典例8】（2021秋•济宁期末）已知多项式M，N，其中M＝2x2﹣x﹣1，小马在计算2M
﹣N时，由于粗心把2M﹣N看成了2M+N求得结果为﹣3x2+2x﹣1，请你帮小马算出：
（1）多项式N；
（2）多项式2M﹣N的正确结果．求当x＝﹣1时，2M﹣N的值．
【解答】解：（1）根据题意得：N＝﹣3x2+2x﹣1﹣2（2x2﹣x﹣1）
＝﹣3x2+2x﹣1﹣4x2+2x+2
＝﹣7x2+4x+1；
（2）2M﹣N＝2（2x2﹣x﹣1）﹣（﹣7x2+4x+1）＝4x2﹣2x﹣2+7x2﹣4x﹣1＝11x2﹣6x﹣
3，
当x＝﹣1时，2M﹣N＝11+6﹣3＝14．
【变式8】（2021秋•禹州市期末）某同学做一道题，已知两个多项式 A、B，求A﹣2B的
值．他误将“A﹣2B”看成“A+2B”，经过正确计算得到的结果是 x2+14x﹣6．已知A
＝﹣2x2+5x﹣1．
（1）请你帮助这位同学求出正确的结果；
（2）若x是最大的负整数，求A﹣2B的值．
【解答】解：（1）由题意得：
2B＝x2+14x﹣6﹣（﹣2x2+5x﹣1）
＝x2+14x﹣6+2x2﹣5x+1
＝3x2+9x﹣5，
所以，A﹣2B＝﹣2x2+5x﹣1﹣（3x2+9x﹣5）
＝﹣2x2+5x﹣1﹣3x2﹣9x+5
＝﹣5x2﹣4x+4；
（2）由x是最大的负整数，可知x＝﹣1，
所以，A﹣2B＝﹣5×（﹣1）2﹣4×（﹣1）+4
＝﹣5+4+4
＝3
【考点8整式加减的应用】
【典例9】（2021秋•海沧区期末）为了促进“资源节约和环境友好型”社会建设，引导居
民合理用电．某市结合实际，决定提供两种家庭用电计费方式供居民选择．
方式一：峰谷计价．收费标准为：峰时段（上午8：00～晚上21：00）用电的电价为0.65元/度，谷时段（晚上21：00～
次日晨8：00）用电的电价为0.35元/度．
方式二：阶梯计价．收费标准如下表：
居民一个月用电量 不超过200度 超过200度但不 超过400度的部分
超过400度的部分
电价（单位：元/度） 0.50 0.60 0.75
（1）若该市居民小王家某月用电300度，其中，峰时段用电200度，谷时段用电100度．
他家选择哪种计费方式费用较低？
（2）若该市居民小张家某月总用电量为a度，其中80%为峰时段的用电量．请用含a
的式子分别表示两种计费方式应缴的电费．
【解答】解：（1）方式一：200×0.65+100×0.35
＝130+35
＝165（元）．
方式二：200×0.50+（300﹣200）×0.60
＝100+100×0.60
＝100+60
＝160（元）．
160元＜165元，所以他家选择方式二计费方式费用较低．
（2）方式一：80%a×0.65+（1﹣80%）×a×0.35
＝0.8a×0.65+0.2a×0.35
＝0.52a+0.07a
＝0.59a（元）．
方式二：
当a不超过200时，电费为：
a×0.5＝0.5a（元）．
当a超过200但不超过400时，电费为：
200×0.5+（a﹣200）×0.6
＝100+0.6a﹣120
＝0.60﹣（120﹣100）
＝（0.6a﹣20）（元）．
当a超过400时，电费为：200×0.50+（400﹣200）×0.60
+（a﹣400）×0.75
＝100+120+0.75a﹣400×0.75
＝220+0.75a﹣300
＝0.75a﹣（300﹣220）
＝（0.75a﹣80）（元）．
答：小张家按方式一计费方式应缴电费0.59元．方式二计费时，当a不超过200时，应
缴电费0.5a元；当a超过200但不超过400时，应缴电费（0.6a一20）元；当a超过
400时，应缴电费（0.75a一80）元．
【变式9】（2021秋•沐川县期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.45元/分钟 0.4元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计
算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内
（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元．
（1）若小东乘坐滴滴快车，行车里程为5公里，行车时间为10分钟，则需付车费多少
元；
（2）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则小明应付车费
多少元？（用含a、b的代数式表示，并化简）
（3）小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为 9.5公里与14.5公里，并且小王
的行车时间比小张的行车时间多24分钟，请计算说明两人下车时所付车费有何关系？
【解答】解：（1）1.8×5+0.45×10＝13.5（元），
答：需付车费13.5元；
（2）当a≤10时，小明应付费（1.8a+0.45b）元；
当a＞10时，小明应付费1.8a+0.45b+0.4（a﹣10）＝（2.2a+0.45b﹣4）元；
（3）设小王与小张乘坐滴滴快车分别为a分钟、（a﹣24）分钟，
则小王应付车费1.8×9.5+0.45a＝17.1+0.45a，
小张应付车费1.8×14.5+0.45（a﹣24）+0.4×（14.5﹣10）＝17.1+0.45a，
因此，两人车费一样多
【典例10】（2021秋•新泰市期末）如图是一块长方形花园，内部修有两个凉亭及过道，
其余部分种植花圃（阴影部分）．
（1）用整式表示花圃的面积；（2）若a＝3m，修建花圃的成本是每平方米60元，求修建花圃所需费用．
【解答】解：（1）根据题意得：（7.5+12.5）×（a+2a+2a+2a+a）﹣12.5•2a×2
＝20•8a﹣50a
＝160a﹣50a
＝110a（m2），
所以，花圃的面积为：110a；
（2）当a＝3m、修建花圃的成本是每平方米60元时，
修建花圃所需费用为110×3×60＝19800（元），
所以，修建花圃所需费用为19800元．
【变式10】（2022春•莱州市期末）如图是一个长方形游乐场，其宽是 4a米，长是6a米．
其中半圆形休息区和长方形游泳区以外的地方都是绿地．已知半圆形休息区的直径和长
方形游泳区的宽是2a米，游泳区的长是3a米．
（1）该游乐场休息区的面积为 a 2 m2，游泳区的面积为 6 a 2 m2．（用含有a
的式子表示）
（2）若长方形游乐场的宽为40米，绿化草地每平方米需要费用30元，求这个游乐场
中绿化草地的费用．
【解答】解：（1）休息区的面积为： × ×a2＝ a2（m2）；
π游泳区的面积为：3a×2a＝6a2（m2）．
故答案为： a2，6a2；
（2）∵长方形游乐场的宽为40米，
∴a＝10米．
所以（6a×4a﹣6a2﹣ a2）×30
≈（24a2﹣6a2﹣1.57a2）×30
＝16.43a2×30
＝492.9a2．
当a＝10时，
原式＝49290（元）．
答：游乐场中绿化草地的费用为49290元．
【典例11】（2021秋•连城县期中）某商场销售一种西装和领带，西装每套定价 1000元，
领带每条定价200元，“国庆节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两
种优惠方案．
方案一：买一套西装送一条领带：
方案二：西装和领带都按定价的90%付款．
现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）．
（1）若该客户按方案一购买，需付款 元．（用含x的代数式表
示）若该客户按方案二购买，需付款 元．（用含x的代数式表
示）
（2）若x＝40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．并算
出需要付款多少元？
【解答】解：（1）客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）．
方案一费用：20×1000+（x﹣20）×200＝（200x+16000）元，
方案二费用：（20×1000+200x）×0.9＝（180x+18000）元，
故答案为：（200x+16000），（180x+18000）．
（2）当x＝40时，
方案一：200×40+16000＝24000（元），
方案二：180×40+18000＝25200（元），所以，按方案一购买较合算．
（3）能给出一种更为省钱的购买方案；先按方案一购买 20套西装获赠送20条领带，
再按方案二购买20条领带；需要付款：20000+200×20×90%＝23600（元）．
【变式11】（2021秋•淅川县期中）某校羽毛球队需要购买6支羽毛球拍和x盒羽毛球（x
＞6），羽毛球拍市场价为150元/支，羽毛球为30元/盒．甲商场优惠方案为：所有商
品九折．乙商场优惠方案为：买1支羽毛球拍送1盒羽毛球，其余原价销售．
（1）分别用x的代数式表示在甲商场和乙商场购买所有物品的费用．
（2）当x＝20时，请通过计算说明选择哪个商场购买比较省钱．
【答案】（1甲：27x+810 乙： 30x+720 （2）乙商场购买比较省钱
【解答】解：（1）在甲商场购买所有物品的费用为：0.9（6×150+30x）＝27x+810，
在乙商场购买所有物品的费用为：6×150+30（x﹣6）＝30x+720；
（2）当x＝20时，27x+810＝1350（元）；
30x+720＝1320（元）；
1350＞1320，
答：选择乙商场购买比较省钱．
