专题09三角形中的特殊模型-燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模型（教师版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_常见几何模型全归纳-V13_2024版

专题09 三角形中的特殊模型-燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模型 近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及角度的计算（内角和定理、外角定理 等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模 型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型） 图1 图2 条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：① ；② 。 条件：如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC； 结论：∠O= （∠A+∠C）。 飞镖模型结论的常用证明方法： 例1．（2023·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图” 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹 四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是 一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．（即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 AB，则在 ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵ 在 ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180△°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方△法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是 ACD 和 BCD 的一个外角，. . . . . . 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你△有自己的△方法吗？ 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若 ∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小． 【答案】(1)三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°）；(2)见解析；(3)70° 【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形外角的性质可得∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，从而得到∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即可求证； （3）由（2）可得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，从而得到∠CAE+∠CBF=110°- ∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，再由AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，可得150°-∠C=2 （110°-∠ C），即可求解． 【详解】（1）解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°） （2）证明：连接 CD 并延长至 F， ∵∠1 和∠2 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B， ∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB ；（3）解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C， ∵∠ADB=150°，∠AGB=110°，∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°， ∴∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C， ∵AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，∴∠CAD =2∠CAE，∠CBD=2∠CBF， ∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF），∴150°-∠C=2（110°-∠ C），解得：∠C=70°． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角 形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 例2．（2023·成都市·七年级专题练习）如图， 平分 ， 平分 ， 与 交于点 ，若 ， ，则 （ ） A．80° B．75° C．60° D．45° 【答案】C 【分析】连接 先求解 再求解 可得 再利用角平分线 的定义可得： 从而可得： 再利用三角形的内角和定理可得 的大小. 【详解】解：连接 平分 ， 平分 ，故选： 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解 与之相关的角的大小是解题的关键. 例3．（2023·湖北·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如 果 ， ，那么 的度数是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出 再利用邻补角的性质 求出 ，再根据四边形的内角和求出 ，根据邻补角的性质即可求出 的度数． 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴∵ ∴ ∴ ∴ ,故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是 会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和： ． 例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中， ，为三角形内任意一点，连结 AP，并延长交BC于点D. 求证：（1） ；（2） . 【详解】（1）∵ ，∴ ∵ ，∴ ，∴ ∵ ，∴ （2）过点 作 ，交 、 于 、 ，则 ， 由（1）知 ∵ ， ∴ 即 （几何证明中后一问常常要用到前一问的结论） 例5．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这 样图形叫做“箭头四角形”．探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究 与 、 、 之间的关系，并说明理由； 应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 、 恰好经过点 、 ，若 ，则 ；②如图 3， 、 的2等分线（即角平分线） 、 相交于点 ，若 ， ，求 的度数； 拓展：（3）如图4， ， 分别是 、 的2020等分线（ ），它们的 交点从上到下依次为 、 、 、…、 ．已知 ， ，则 度． 【答案】（1） ，理由见详解； （2）①30；②95°；（3） 【分析】（1）连接AD并延长至点E，利用三角形外角的性质得出 左右两边相加即可得出结论； （2）①直接利用（1）中的结论有 ，再把已知的角度代入即可求出答案； ②先根据 求出 ，然后结合角平分线的定义再利用 即可求解； （3）先根据 求出 ，再求出 的度数，最 后利用 求解即可． 【详解】（1）如图，连接AD并延长至点E∵ 又∵ ∴ （2）①由（1）可知 ∵ ， ∴ ②由（1）可知 ∵ ， ∴ 平分 ，CF平分 （3）由（1）可知 ∵ ， ∴ ∵ ， 分别是 、 的2020等分线（ ） ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质和角平分线的定义是 解题的关键． 模型2、风筝模型（鹰爪模型）或角内翻模型图1 图2 1）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 图3 图4 3）角内翻模型: 如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图， ， ， 分别是四边形 的外角，判定下列大小关 系：① ；② ；③ ；④ ． 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】① 【分析】根据多边形（三角形）的外角和为 即可求解． 【详解】解：如图，连接 ，∵ ， ， ∴ ，故①正确，②不正确； ∵多边形的外角和是 ，∴ ，故③④不正确，故答案为：①． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理、外角和性质，掌握以上知识，能正确添加辅助线构成三角形 是解题的关键． 例2．（2022秋·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若 ∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（ ） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【分析】由折叠的性质可知 ,再利用平角的定义可求出 的 度数，进而利用三角形内角和可求∠B的度数. 【详解】由折叠的性质可知 ∵ ∴ ∴ 故选C 【点睛】本题考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键. 例3．（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图，将三角形纸片 沿 折叠，当点A落在四边形 的外部时，测量得 ， ，则 为（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用四边形的内角和定理求出 ，再利用三角形的内角和定理求出 ，根据对顶角 相等得出 ，根据三角形内角和定理可得结果． 【详解】解：∵ ， ，∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ，故B正确．故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，解题的关键是运用多边形的内角和 定理求出 的度数． 例4．（2023春·甘肃天水·七年级校联考期末）如图①， 、 是四边形 的两个不相邻的外角． (1)猜想并说明 与 、 的数量关系；(2)如图②，在四边形 中， 与 的平分 线交于点 ．若 ， ，求 的度数；(3)如图③， 、 分别是四边形 外 角 、 的角平分线．请直接写出 、 与 的数量关系 ． 【答案】(1) ；(2) ；(3) ． 【分析】（1）根据多边形内角和与外角即可说明 与 、 的数量关系；（2）结合(1)的结论，根据 与 的平分线， ， ，即可求 的度数； （3）结合(1)的结论，根据 、 分别是四边形 外角 、 的角平分线.进而可以写出 、 与 的数量关系． 【详解】（1）猜想： ，理由如下： ∵ ， ，∴ ， （2）∵ ， ， ， ∴ ， ∵ 、 分别平分 与 ，∴ ， ， ∴ ， ∴ ， （3） 、 与 的数量关系为： ，理由如下： ∵ 、 分别是四边形 外角 、 的角平分线， ∴ ， ， 由(1)可知: ， ， ∴ ，∴ ，故答案为： ． 【点睛】此题考查了多边形内角与外角、三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握多边形外角． 例5．（2022春·河南鹤壁·七年级统考期末） 中， ，点D，E分别是 边AC，BC上的 点，点P是一动点，令 ， ， ． 初探：(1)如图1，若点P在线段AB上，且 ，则 _____________； (2)如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2， 之间的关系为_____________； (3)如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1，∠2， 之间的关系为_____________； 再探：(4)如图4，若点P运动到 的内部，写出此时∠1，∠2， 之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4) ，见解析． 【分析】（1）连接 ，证明 即可；（2）利用（1）中结论解答即可； （3）直接利用三角形的外角性质求解即可；（4）同样直接利用三角形的外角性质求解即可．【详解】（1）解：如图，连接 ， ， ， ， ， ， ，故答案为： ； （2）解：由（1）可知， ，故答案为： ； （3）解：如图， ， ， ， 即 ，故答案为： ； （4）解： ，证明如下：如图，连接 ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形的外角和性质，解题的关键是灵活运用所学求解． 例6．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将 沿 折叠，使点 A落在 的内部的点 M处，当 ， 时，求 的度数； （2）如图，将 沿 折叠，使点 A 落在 的外部的点 M 处．求图中 ， ， 之间的数量关系； （3）如图 ，将 、 一起沿 折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别落在射线 的左右两侧， ， ， 、 的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程） 【答案】（1） ，（2） ，（3） 【分析】（1）根据翻折的性质表示出 、 ，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得，问题随之得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出 、 ，再根据三角形 的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出 、 ，再根据四边形的内角和定理 列式整理即可得解． 【详解】解：（1）如图， ， ， ， ， ∵翻折，∴ ， ， ∵ ， ， ， ∴ ，整理得， ， ∵ ， ，∴ ，即 ； （2）如图， ， ， ， ， ∵翻折，∴ ， ， ∵ ，∴ ， 整理得， ，即 ；故答案为： ； （3）如图， ， ， ， ， ∵翻折，∴ ， ， ∵ ，∴ ， 整理得， ，即 ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，翻折的性质，熟练掌握折痕是角平分线，三角形的内角和 是 ，是解题的关键．课后专项训练 1．（2023.广东八年级期中）如图，把 ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与 ∠1+∠2之间有始终不变的关系是（ △） A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2） 【答案】B 【分析】本题问的是关于角的问题，当然与折叠中的角是有关系的，∠1与∠AED的2倍和∠2与∠ADE的 2倍都组成平角，结合 AED的内角和为180°可求出答案． 【详解】∵△ABC纸片△沿DE折叠，∴∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°， ∴∠AED= (180°−∠1),∠ADE= (180°−∠2)， ∴∠AED+∠ADE= (180°−∠1)+ (180°−∠2)=180°− (∠1+∠2) 在 ADE中,∠A=180°−(∠AED+∠ADE)=180°−[180°− (∠1+∠2)]= (∠1+∠2) △ 则2∠A=∠1+∠2，故选择B项. 【点睛】本题考查折叠和三角形内角和的性质，解题的关键是掌握折叠的性质. 2．（2023·重庆万州·七年级统考期末）如图，六边形ABCDEF中，AF CD，AB DE，∠A=140°， ∠B=100°，∠ECD＝20°，将 CDE沿CE翻折，得到 ，则∠BC 的度数为（ ）A．60° B．80° C．100° D．120° 【答案】B 【分析】过点B作BG∥AF，利用平行线的性质求得∠BCD=120°，利用折叠的性质求得∠ECD=∠EC =20°，即可求解． 【详解】解：过点B作BG∥AF，∵AF∥CD，∴AF∥BG∥CD， ∵∠A=140°，∠ABC=100°，∴∠ABG=180°-140°=40°，∠GBC=100°-40°=60°， ∴∠BCD=180°-60°=120°，由折叠的性质得：∠ECD=∠EC =20°， ∴∠BC =120°-∠ECD-∠EC =120°-20°-20°=80°，故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． 3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在 中， ，沿图中虚线 翻折，使得点B落在 上的点D处，则 等于（ ）A．160° B．150° C．140° D．110° 【答案】C 【分析】由 得 ，再根据翻折知 ， ，即可求出 的值． 【详解】解： ， ， 翻折， ， ， ， ，故选：C． 【点睛】本题考查了翻折的性质以及三角形内角和定理，熟练运用翻折的性质是解题的关键． 4．（2023·浙江·八年级假期作业）如图， 中， ，将 沿 翻折后，点A落在 边上 的点 处．如果 ，那么 的度数为 ． 【答案】 / 度 【分析】根据折叠性质， ，根据三角形内角和定理，得到 ，根据平角计算即可． 【详解】根据折叠性质，得 ， ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角，熟练掌握折叠的性质，三角形内角和定理是 解题的关键． 5．（2023春·宁夏吴忠·九年级校考期中）将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D、A′E分别与 BC交于M、N两点，且DE BC．已知∠A′NM＝27°，则∠NEC＝ ．【答案】126° 【分析】利用平行线的性质求出∠DEN＝27°，再利用翻折不变性得到∠AED＝∠DEN＝27°，再根据平角 的性质即可解决问题． 【详解】解：∵DE∥BC，∴∠DEN＝∠A′NM＝27°， 由翻折不变性可知：∠AED＝∠DEN＝27°，∴∠NEC＝180°﹣2×27°＝126°，故答案为126°． 【点睛】本题考查翻折变换，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6.（2023·湖北·七年级期末）三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度．在下图中， E位于线段CA上，D位于线段BE上． （1）说明为什么 ．（2）说明为什么 ． （3） 与 ，哪一个更大？证明你的答案； （4） 与 ，哪一个更大？证明你的答案． （1）由三角形三边关系， ． （2）由三角形三边关系， ． 因此， ． （3）由三角形三边关系， ， ，以及 ， 将三个不等式相加，得 ． （4）由（2）可知 ． 类似可得 ，以及 ． 将这三个不等式相加，可得 ， 即 ． 7．（2023春·江苏扬州·七年级统考期末）（1）如图1，把三角形纸片 折叠，使 个顶点重合于点 ． 这时， __________ ；（2）如果三角形纸片 折叠后， 个顶点并不重合于同一点，如图 ，那么(1)中的结论是否仍然成立？ 请说明理由；（3）折叠后如图 所示，直接写出 、 、 、 、 、 之间的数量关系_______； （4）折叠后如图 ，直接写出 、 、 、 、 、 之间的数量关系：_______； 【答案】（1） ；（2）成立，详见解析；（3） ；（4） ． 【分析】（1）根据折叠性质和三角形内角和即可；（2）根据折叠性质和三角形内角和即可；（3）根据 折叠性质和三角形内角和外角性质计算即可；（4）根据折叠性质和三角形内角和外角性质计算即可． 【详解】（1）由折叠性质可知： ， ， ， ∴ ， ， ，∵ ∴ ， ∴ ，故答案为： ， （2）由由折叠性质可知： ， ， ， ∴ ， ， ， ∵ ， ， ， ，∴ ， 同理： ， ， ∴ ， （3）根据(2)可知： ， ， 如图3，∵ ， ，∴ ， ∴ ，故答案为： ， （4）根据（2）（3）可知： ， ， ， ∴ ，∴ ，故答案为： 【点睛】此题考查了翻折、角的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 8．（2023春·江苏连云港·七年级校联考阶段练习）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于 ”．在 三角形纸片中，点D，E分别在边 上，将 沿 折叠，点C落在点 的位置． (1)如图1，当点C落在边 上时，若 ，则 ＝ ，可以发现 与 的数量关系 是 ；(2)如图2，当点C落在 内部时，且 ， ，求 的度数；(3)如图 3，当点C落在 外部时，若设 的度数为x， 的度数为y，请求出 与x，y之间的数 量关系． 【答案】(1) ，互余(2) (3) 【分析】（1）根据平角定义求出 ，再利用折叠性质即可求出 ， 然后利用三角形内角和进行计算即可；（2）根据平角定义求出 ， ，然后利用折叠性质可得 ，然后利用三角形内角和进行计算即可；（3）根据平角定义求出 ，再利用折叠性质即可求 出 ，然后利用三角形内角和进行计算即可． 【详解】（1）解：∵ ，∴ ， 由折叠得： . ∴ ， ∵ ，∴ 与 的数量关系是互余． （2）解：∵ ， ∴ ， 由折叠得： ∴ ，∴ 的度数为 ；（3）解：如图： ∵ ，∴ ， 由折叠得： ， ∴ ， ∴ 与x，y之间的数量关系： ． 【点睛】本题考擦汗折叠性质和三角形内角和，灵活运用所学知识是关键． 9．（2022春·江苏扬州·七年级校考期末）如图①，把 纸片沿 折叠，使点A落在四边形 内 部点 的位置，通过计算我们知道： .请你继续探索： (1)如果把 纸片沿 折叠，使点A落在四边形 的外部点 的位置，如图②，此时 与 之间存在什么样的关系？ (2)如果把四边形 沿时折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部 、 的位置，如图③，你能求出 、 、 与 之间的关系吗？（直接写出关系式即可） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接 ，由外角的性质得到 ，做差即可得到答 案； （2）由图形折叠的性质可知 ，两式相加变形后即可得到答案．【详解】（1）连接 ， ∵ ， ，∴ ； （2）由图形折叠的性质可知 ， 两式相加得， ，即 ， ∴ ，即： ． 【点睛】此题考查了三角形外角的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握角之间的关系是解题的关键． 10．（2023春·江苏南京·七年级统考期中）如图，在 和 中， ．点F与A位于线段 所在直线的两侧，分别延长 、 至点 、 ． 【特殊化思考】若 时，请尝试探究： （1）当 在 内部时，请直接写出 、 与 的数量关系为__________； （2）当 在 外部时，请直接写出 、 与 的数量关系为__________； （3）若 平分 ， 平分 ．无论点 在 内部（如图③）还是 外部（如图④）时， 都有 ，请选择一幅图进行证明；【一般化探究】若 时，请尝试探究： （4）若射线 、 分别是 ， 的 等分线（ 为大于2的正整数），且 ， ．当 时，直接写出 与 需满足的条件：__________． 【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析；（4） 【分析】（1）根据三角形内角和定理及平角的定义得到 ，再根据 ，即可 得出结论；（2）根据三角形内角和定理及平角的定义得到 ，再根据 ，即 可得出结论；（3）选图3证明，根据角平分线的定义及（1）中的结论得出 ，再根据平 行线的性质与判定证明即可；（4）先根据平行公理的推论得到 ，再根据平行线的性质及角平分 线的定义即可得出 与 的关系． 【详解】解：（1）在 中， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ，故答案为： ； （2）在 中， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ，故答案为： ； （3）选择图③，证明：如图，过点 作 ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， 由（1）知 ， ， ， ， ， ， ； 选择图④，证明：如图，设 与 交于点 ， 平分 ， 平分 ， ， ， 同（2）可得： ， ， ， ， 是 的一个外角， ， 即 ， ， ； （4）证明： ， 只能在 内部，如图，过点 作 ，， ，连接 ， ， ， 又 ， ， 又 ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， 即 ．故答案为： ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质及角平分线的定义，熟记三角形内角和是 是解 题的关键，同时应熟练掌握平行线的性质与判定及角平分线的定义． 10．（2023·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和 ∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β．（1）如图1，若α+β=100°，求∠MBC+∠NDC的度数； （2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD=40°，请直接写出α、β所满足的数量关系式； （3）如图2，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） ；（2）β﹣α=80°；（3）平行，见解析 【分析】（1）连接AC，根据三角形的外角的性质，即可求解； （2）连接AG，由∠MBC+∠NDC=α+β，得∠MBG+∠NDG= (α+β)，结合∠MBG+∠NDG=α+40°，即可得到结论；（3）延长BC交DF于H，易得∠CBE+∠CDH= （α+β），结合∠CDH =β﹣∠DHB，可得∠CBE+β﹣ ∠DHB= （α+β），进而得∠CBE=∠DHB，即可得到结论． 【详解】（1）如图1，连接AC， ∵∠MBC=∠BAC+∠BCA，∠NDC=∠CAD+∠ACD， ∴∠MBC+∠NDC=∠BAC+∠BCA+∠CAD+∠ACD =（∠BAC+∠CAD）+（∠BCA+∠ACD）=∠BAD+∠BCD=α+β=100°； （2）如图1，连接AG，由（1）得∠MBC+∠NDC=α+β， ∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠MBG+∠NDG= ∠MBC+ ∠NDC= (α+β)， ∵∠MBG=∠BAG+∠BGA，∠NDG=∠DAG+∠DGA， ∴∠MBG+∠NDG=∠BAG+∠BGA+∠DAG+∠DGA=（∠BAG +∠DAG）+（∠DGA++∠BGA）=∠BAD+∠BGD=α+40°， ∴ (α+β)= α+40°，即：β﹣α=80°； （3）平行，理由如下：如图2，延长BC交DF于H，由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β， ∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBE= ∠MBC，∠CDH= ∠NDC， ∴∠CBE+∠CDH= ∠MBC+ ∠NDC= （∠MBC+∠NDC）= （α+β）， ∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，∴∠CBE+β﹣∠DHB= （α+β）， ∵α=β，∴∠CBE+β﹣∠DHB= （β+β）=β，∴∠CBE=∠DHB，∴BE∥DF． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质定理，角平分线的定义，平行线的判定定理，添加合适的辅助线， 构造三角形，熟练掌握三角形外角的性质定理，是解题的关键． 11．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，将 纸片沿 折叠，使点 落在四边形 内点 的位置，(1)探索 与 之间的数量关系，并说明理由．(2)如果点 落在四边形 外点 的位置， 与 、 之间的数量关系有何变化，请说明理由． 【答案】(1)2∠A=∠1+∠2，理由见解析(2)∠A= （∠2-∠1），理由见解析 【分析】（1）根据折叠性质得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根据三角形内角和定理得出 ∠AED+∠ADE=180°-∠A，代入∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE）求出即可； （2）先根据翻折的性质表示出∠1、∠2，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）2∠A=∠1+∠2， 理由是：∵沿DE折叠A和A′重合，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE， ∵∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE）， ∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A． （2）∵沿DE折叠A和A'′重合，∴∠AED=∠A′'ED，∠ADE=∠A′'DE， 又∵∠1=∠A'ED-∠BED=∠AED-（180°-∠AED）=2∠AED-180°， ∠2=180°-2∠ADE，∠AED+∠ADE=180°-∠A， ∴ ∠1+90°+90°- ∠2=180°-∠A，即∠A= （∠2-∠1）． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查 学生运用定理进行推理和计算的能力． 12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°． （1）∠ABC＋∠ADC＝ °；（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与 BF的位置关系，并证明；（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝ ∠CDN，∠CBE＝ ∠CBM），试求∠E的度数．【答案】（1）180°；（2）DE⊥BF；（3）450 【分析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解； （2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得∠CDE= ∠ADC，∠CBF= ∠CBM，然后求出 ∠CDE=∠CBF，再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根据垂直的定义证明即可； （3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和求解即可． 【详解】（1）解：∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；故答案为180°； （2）解：延长DE交BF于G， ∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，∴∠CDE= ∠ADC，∠CBF= ∠CBM， 又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，∴∠CDE=∠CBF， 又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，∴∠BGE=∠C=90°，∴DG⊥BF，即DE⊥BF； （3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°， ∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，∴∠CDE+∠CBE= ×180°=45°， 延长DC交BE于H，由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE， ∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，∴∠E=90°-45°=45° 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等 于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用． 13．（2023·重庆·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”． （1）求证： ；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于 点D，若 ，求 的度数． 【答案】（1）见解析；（2）240° 【分析】（1）延长CD交AB于点E，根据三角形外角性质可证 ， ，运用角的等量转换即可证明．（2）根据三角形外角性质，运用第（1）题的方 法可证 ， ， 和 是对顶角，可推出 的度数等于2倍 的度数，计算得出答案． 【详解】（1）证明：延长CD交AB于点E，如图： ∵ 是 的外角，∴ ． ∵ 是 的外角，∴ ， ∴ ． （2）解：∵ 和 是对顶角，∴ ． 由（1）的结论可知 ， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，灵活运用三角形外角性质是解题关键．14．（2023·广西·八年级专题练习）如图， 中， (1)若 、 的三等分线交于点 、 ，请用 表示 、 ；(2)若 、 的 等分线交于点 、 （ 、 依次从下到上），请用 表示 ， ． 【答案】(1) ， ， (2) ， 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得 ，再由 、 的三等分 线交于点 、 ，可得 再根据三角形的 内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的内角和定理可得 ，再由 、 的 等分线交于点 、 ，可得 再根据三角 形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ，∴ ， ∵ 、 的三等分线交于点 、 ， ∴ ∴ ， ；（2）解：∵ ，∴ ， ∵ 、 的 等分线交于点 、 ， ∴ ∴ ， ． 【点睛】本题主要考查了有关角平分线三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理，并利用类比 思想解答是解题的关键． 15．（2023·云南保山·八年级校考期中）已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD． （1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平 分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在 （2）的条件下， 将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明． 【答案】(1) 111º ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析. 【分析】（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解； （2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解； （3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线的性质即可得到. 【详解】（1）如图1,延长AD交BC于E，在 ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º， 在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ； （△2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：如图2， ∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3∴∠A+∠1=∠P+∠3 ∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴ ∠1=∠2,∠3=∠4∴∠A+∠2=∠P+∠4 由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C ∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C∴∠A－∠C=2∠P （3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:如图3, 同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2 ∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3 ∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴ ∠1=∠2,∠3=∠4 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠A+∠C=2∠P 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． 16．（2023·江苏苏州·七年级统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于180且小于360的角称为优 角，如果两个角相加等于360，那么称这两个角互为组角，简称互组．（1）若1、2互为组角，且1135，则2________； 【理解运用】习惯上，我们把有一个内角大于180的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形ABCD中，优角BCD与钝角BCD互为组角，试探索内角A、B、D与钝 角BCD之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图②，ABCDEF ________；（用含的代数式表示） ABCD AD BC Q AB DC P APD AQB （4）如图③，已知四边形 中，延长 、 交于点 ，延长 、 交于 ， 、 M AQCP180 的平分线交于点 ， ；①写出图中一对互组的角________（两个平角除外）； PM QM ②直接运用（2）中的结论，试说明： ； BO CO ABO ACO i1,2,3,,2017,2018 （5）如图④， i、 i分别为 ， 的2019等分线（ ）．它们的交点从 上到下依次为 O 1， O 2 ， O 3 ，…， O 2018．已知 BOC m ， BAC n ，则 BO 1000 C  _______  ．（用 含m、n的代数式表示） 【答案】（1）225°；（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；（3）2α；（4）①优角∠PCQ与钝角∠PCQ；②见 1000 1019 m n 解析；（5） 2019 2019 【分析】（1）根据互为组角的定义可知∠2=360°-∠1，代入数据计算即可； （2）根据四边形内角和定理可得∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，根据周角的定义可得优角∠BCD+钝角 ∠BCD=360°´，再利用等式的性质得出钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D； （3）两次运用镖形中的角的关系可得； （4）①根据互为组角的定义及周角的定义，结合图形可知优角∠PCQ与钝角∠PCQ是一对互组的角； ②先由∠APD、∠AQB的平分线交于点M，得出∠AQM=∠BQM，∠APM=∠DPM．令∠AQM=∠BQM=α， ∠APM=∠DPM=β．由（2）中的结论可知在镖形APMQ中，有∠A+α+β=∠PMQ，在镖形APCQ中，有∠A+2α+2β=∠QCP，于是根据等式的性质得出∠QCP+∠A=2∠PMQ，而∠A+∠QCP=180°，那么 ∠PMQ=90°，即PM⊥QM．（5）由 1019 BOC OBO OCO BO C (ABOACO)BO C ， 1000 1000 1000 2019 1000 1000 BO C ABO ACO BAC  (ABOACO)BAC 知 1000 1000 1000 2019 2019 1019 ABOACO (BO CBAC)，代入 BOC  (ABOACO)BO C 得 1000 1000 2019 1000 1019 2019 BOC   (BO CBAC)BO C ，据此得出 2019 1000 1000 1000 1000 1019 1000 1019 BO C  (BOC BAC) BOC BAC ，代入可得答案． 1000 2019 1000 2019 2019 【详解】解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1=135°，∴∠2=360°-∠1=225°； （2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D．理由如下： 如图①，∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°， 又∵优角∠BCD+钝角∠BCD=360°，∴钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D； （3）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2α； （4）①优角∠PCQ与钝角∠PCQ； ②∵∠APD、∠AQB的平分线交于点M，∴∠AQM=∠BQM，∠APM=∠DPM． 令∠AQM=∠BQM=α，∠APM=∠DPM=β． ∵在镖形APMQ中，有∠A+α+β=∠PMQ， 在镖形APCQ中，有∠A+2α+2β=∠QCP，∴∠QCP+∠A=2∠PMQ， ∵∠A+∠QCP=180°，∴∠PMQ=90°．∴PM⊥QM； （5）如图，1000 1019 由题意知ABO  ABO，OBO  ABO， 1000 2019 1000 2019 1000 1019 ACO  ACO ，OCO  ACO， 1000 2019 1000 2019 1019 BOCOBO OCO BO C (ABOACO)BO C ， 1000 1000 1000 2019 1000 1000 BO C ABO ACO BAC  (ABOACO)BAC ， 1000 1000 1000 2019 2019 1019 则ABOACO (BO CBAC)，代入 BOC  (ABOACO)BO C 得： 1000 1000 2019 1000 1019 2019 BOC   (BO CBAC)BO C ， 2019 1000 1000 1000 1000 1019 1000 1019 BO C  (BOC BAC) BOC BAC 解得： ， 1000 2019 1000 2019 2019 1000 1019 BO C  m n ， ， ． ∵BOC m BAC n 1000 2019 2019 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，四边形内角和定理，角平分线定义，垂直的定义，等式的性质， 学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解互为组角的定义以及得出（2）中的关系是解题的关键．