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专题02 三角形中的倒角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型
近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就飞镖型、风筝模型
进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型）
图1 图2 图3
条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：① ；② 。
条件：如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC； 结论：∠O= （∠A+∠C）。
条件：如图3，线段AO平分∠DAB，线段CO平分∠BCD； 结论：∠O= （∠D-∠B）。
飞镖模型结论的常用证明方法：
例1．（2023·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
有趣的“飞镖图”：如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发
现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四
边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个
内角之和．
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（即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下：
方法一：如图 2，连接 AB，则在 ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵
在 ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180△°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．
方△法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是 ACD 和 BCD 的一个外角，. . . . . .
大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你△有自己的△方法吗？
任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ；
(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；
(3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若
∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小．
例2．（2023·广东河源·八年级校考期末）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究 与
、 、 的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2， 平分 ， 平分 ，
， ，请直接写出 的度数．
例3．（2022秋·广西八年级期中）如图， ， 的角平分线交于点 ，若 ， ，
则 的度数（ ）
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A． B． C． D．
例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中， ，为三角形内任意一点，连结
AP，并延长交BC于点D. 求证：（1） ；（2） .
例5．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这
样图形叫做“箭头四角形”．
探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究 与 、 、 之间的关系，并说明理由；
应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 、 恰好经过点 、 ，若
，则 ；②如图 3， 、 的2等分线（即角平分线） 、
相交于点 ，若 ， ，求 的度数；
拓展：（3）如图4， ， 分别是 、 的2020等分线（ ），它们的
交点从上到下依次为 、 、 、…、 ．已知 ， ，则 度．
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模型2、风筝模型（鹰爪模型）或角内翻模型
图1 图2
1）风筝（鹰爪）模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；
2）风筝（鹰爪）模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。
例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图， ， ， 分别是四边形 的外角，判定下列大小关
系：① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的是 ．（填序号）
例2．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务．
在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角 内部有一点D，在其两边 和 上各取任
意一点E，F，连接 ．求证： ．
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小丽的证法 小红的证法
证明：
证明：
如图2，连接 并延长至点M，
∵ ，
，
（量角器测量所得），
（ 依据 ）
， ∴ ，
又∵ ， （计算所得）．
， ∴ （等量代
换）．
∴ ．
任务：(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________；
(2)下列说法正确的是____________．
A．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理
B．小丽的证法还需要改变 的大小，再进行证明，该定理的证明才完整
C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理
D．小红的证法只要将点D在 的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理
(3)如图，若点D在锐角 外部， 与 相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成
立，请说明理由；若不成立，请探索 之间的关系．
例3．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于
如何证明这个定理呢？我们知道，平角是 ，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角
中去，请根据如下条件，证明定理．
（1）【定理证明】
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已知： 如图①，求证： ．
（2）【定理推论】如图②，在 中，有 ，点D是 延长线上一点，由平角的定
义可得 ，所以 _______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角
等于与它不相邻的两个内角的和．
【初步运用】如图③，点D、E分别是 的边 延长线上一点．
（3）若 ， ，则 _______．（4）若 ，则 _______．
【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形 的边 延长线上一点．
（5）若 ， ，则 _________．
（6）分别作 和 的平分线 ，如图⑤，若 ，则 和 的关系为
__________．
（7）分别作 和 的平分线，交于点O，如图⑥，求出 ， 和 的数量关系，说明理由．
模型3、角内翻模型
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图1 图2
条件：如图 1，将三角形纸片 ABC 沿 EF 边折叠，当点 C 落在四边形 ABFE 内部时，结论：
2∠C=∠1+∠2；
条件：如图2，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。
例1．（2023春·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图， 中， ，将 沿 翻折后，点
A落在 边上的点 处，如果 ，那么 的度数为 ．
例2．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在 中， ，将 沿直线m翻折，点B
落在点D的位置，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图1， 中， ， ， ．点 是
边上的定点，点 在 边上运动，沿 折叠 ，折叠后点 落在点 处．下面我们来研究折叠
后的 有一边与原三角形 的一边平行时 的值．
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(1)首先我们来研究边 ．因为 和 的 、 相交，所以只有一种可能的情况（如图2），
，此时 ．
(2)其次，我们来研究边 ．因为点 在 上，所以 可能与 的边 、 边分别平行．
当 时（如下图），则 ．
当 时（如下图），则 ．
(3)最后，我们来研究边 ．因为点 在 上，所以 可能与 的边 、 边分别平行．
当 时， ．当 时， ．
例4．（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将 沿 折叠，使点 A落在 的内
部的点 M处，当 ， 时，求 的度数；
（2）如图，将 沿 折叠，使点 A 落在 的外部的点 M 处．求图中 ， ，
之间的数量关系；（3）如图 ，将 、 一起沿 折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别
落在射线 的左右两侧， ， ， 、 的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程）
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课后专项训练
1．（2023·四川绵阳·八年级校考期中）如图， 中， ，将 沿 折叠，使得点B落在
边上的点F处，若 且 ，则 的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．（2023·河南安阳·八年级校考期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部
时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（
）
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A．2∠A＝∠1﹣∠2 B．3∠A＝2（∠1﹣∠2） C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．∠A＝∠1﹣∠2
3．（2023秋·重庆开州·八年级统考期末）如图，将 沿 翻折交 于点 ，又将 沿 翻折，
点 落在 上的 处，其中 ， ，则原三角形中 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广东八年级课时练习）如图，在 中， ，将 沿直线m翻折，点B落在点D
的位置，则 ．
5．（2023·河南平顶山·八年级统考期末）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接
，若 ，则 ．
6．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在 中， 是 边上的高，点E，F分别是 ， 边
上的点，连接 ，将 沿着 翻折，使点A与 边上的点G重合，若 ，
，则 的度数为 ．
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7．（2023春·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图， 中， ，将 沿 翻折后，点A
落在 边上的点 处，如果 ，那么 的度数为 ．
8．（2023·湖南永州·八年级统考期中）如图，若 ≌ ，且 ， ，则
．
9．（2023春·四川·七年级统考期末）在四边形 中， ， ．
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(1)如图1，若 ，则 __________度；
(2)如图2，作 的平分线 交 与点E，若 ，求 的度数；
(3)如图3，作 和 的平分线交于点E，求 的度数．
10．（2023·浙江杭州·八年级专题练习）（2018十三中开学考）已知，在 中，∠A=60°，
（1）如图①，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= ；
（2）如图②，∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点O ，O ，则 ；
1 2
（3）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O ，O ，…， （内部有 个点），则
1 2
；
（4）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O ，O ，…， ，若 ，求n的值．
1 2
11．（2023·北京·一模）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质．
定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四
边形（如图1）．
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（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ；
① ② ③
定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）．
特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形．
小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究.
下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形
性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB=AD=6，
BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）．
12．（2023·重庆·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做
“飞镖模型”．
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（1）求证： ；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于
点D，若 ，求 的度数．
13．（2023·四川达州·中考模拟）箭头四角形,模型规律:如图1，延长CO交AB于点D，则
．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“ ”
这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用:
（1）直接应用：①如图2， ．②如图3， 的2等分
线（即角平分线） 交于点F，已知 ，则
③如图4， 分别为 的2019等分线 ．它们的交点从上到下依
次为 ．已知 ，则 度
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14．（2022秋·浙江·八年级期末）如图（1） 是一个三角形的纸片，点D、E分别是 边上的两
点，
研究（1）：如果沿直线 折叠，写出 与 的关系，并说明理由．
研究（2）：如果折成图2的形状，猜想 和 的关系，并说明理由．
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想 和 的关系，并说明理由．
15．（2022秋·河北唐山·八年级校考阶段练习）已知，在四边形ABCD中， ．
（1）求证： ．
（2）如图1，若DE平分 ，BF平分 的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明．
（3）如图2，若BF、DE分别平分 ， 的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明．
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16．（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线分别在法线
两侧，反射角等于入射角．如图1， 为一镜面, 为入射光线，入射点为点O， 为法线（过入射点
O且垂直于镜面 的直线）， 为反射光线,此时反射角 等于入射角 ，由此可知 等
于 ．
（1）两平面镜 、 相交于点O，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点B．
①如图2，当 为多少度时，光线 ？请说明理由．
②如图3，若两条光线 、 所在的直线相交于点E，延长 发现 和 分别为 一个内角
和一个外角的平分线，则 与 之间满足的等量关系是_______．（直接写出结果）
（2）三个平面镜 、 、 相交于点M、N，一束光线从点A出发,经过平面镜三次反射后，恰好经
过点E，请直接写出 、 、 与 之间满足的等量关系．
17．（2023·江西新余·八年级统考阶段练习）已知，P为第四象限一动点，Q为x轴负半轴上一动点，R在
下方且为y轴负半轴上一动点．
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(1)如图①，若 ， ， ，求 ；(2)如图②，若 、 分别平分
，P、Q、R在运动过程中， 是否存在确定的数量关系？若存在，请证明你的结论；
若不存在．请说明理由；(3)如图③，若将R点改为y轴正半轴上一动点，且在P、Q及（2）中的条件不变
的前提下， 又有何数量关系？
18．（2023·山东·八年级假期作业）模型规律：如图1，延长 交 于点D，则
．因为凹四边形 形似箭头，其四角具有“
”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
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模型应用：（1）直接应用：①如图2， ，则 __________ ；
②如图3， __________ ；
（2）拓展应用：①如图4， 、 的2等分线（即角平分线） 、 交于点 ，已知
， ，则 __________ ；
②如图5， 、 分别为 、 的10等分线 ．它们的交点从上到下依次为 、
、 、…、 ．已知 ， ，则 __________ ；
③如图6， 、 的角平分线 、 交于点D，已知 ，则
__________ ；
④如图7， 、 的角平分线 、 交于点D，则 、 、 之间的数量关系为
__________．
19．（2023春·山东·七年级校联考期中）实验探究：（1）动手操作：
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①如图1，将一块直角三角板 放置在直角三角板 上，使三角板 的两条直角边DE、 分别
经过点 、 ，且 ，已知 ，则 ；
②如图2，若直角三角板 不动，改变等腰直角三角板 的位置，使三角板 的两条直角边 、
仍然分别经过点 、 ，那么 ；
（2）猜想证明：如图3， 与 、 、 之间存在着什么关系，并说明理由；
（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决下列问题：①如图4， 平分 ， 平分 ，若
， ，求 度数．②如图5， ， 的 等分线相交于点
，若 ， ，则 的度数为 ．
20．（2023·广东清远·七年级统考期末）（1）如图①，在四边形 中， ， ，
．直接写出 与 ， ， 之间的关系．
（2）根据图②中的条件，利用（1）中你得出的结论计算 的度数．
（3）如图③，在 中，设 ， 和 的平分线 ， 交于点O，过B作 的平行
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线 交 的延长线于点 ，试用含 的代数式表示 的度数．
21．（2023·安徽淮北·八年级统考期末）如图，在 中， ，直线 分别交 的边 、
和 的延长线于点D、E、F．(1)若 ，则 ．(2) 、 、 有什么数
量关系？请说明理由．
22．（2023·江苏·八年级专题练习）Rt ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一
动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，△∠DPE＝∠α．
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(1)若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝ °；
(2)若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ；
(3)如图3，若点P在斜边BA的延长线上运动(CE＜CD)，请写出∠α、∠1、∠2之间的关系式，并说明理由．
21
