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专题09 三角形中的特殊模型-燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模型
近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及角度的计算（内角和定理、外角定理
等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模
型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型）
图1 图2
条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：① ；② 。
条件：如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC； 结论：∠O= （∠A+∠C）。
飞镖模型结论的常用证明方法：
例1．（2023·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
有趣的“飞镖图”
如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹
四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是
一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．（即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下：
方法一：如图 2，连接 AB，则在 ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵
在 ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180△°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．
方△法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是 ACD 和 BCD 的一个外角，. . . . . .
大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你△有自己的△方法吗？
任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ；
(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；
(3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若
∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小．
例2．（2023·成都市·七年级专题练习）如图， 平分 ， 平分 ， 与 交于点 ，若
， ，则 （ ）
A．80° B．75° C．60° D．45°例3．（2023·湖北·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如
果 ， ，那么 的度数是（ ）．
A． B． C． D．
例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中， ，为三角形内任意一点，连结
AP，并延长交BC于点D. 求证：（1） ；（2） .
例5．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这
样图形叫做“箭头四角形”．
探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究 与 、 、 之间的关系，并说明理由；
应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 、 恰好经过点 、 ，若
，则 ；②如图 3， 、 的2等分线（即角平分线） 、相交于点 ，若 ， ，求 的度数；
拓展：（3）如图4， ， 分别是 、 的2020等分线（ ），它们的
交点从上到下依次为 、 、 、…、 ．已知 ， ，则 度．
模型2、风筝模型（鹰爪模型）或角内翻模型
图1 图2
1）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；
2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。
图3 图4
3）角内翻模型:
如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2；如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。
例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图， ， ， 分别是四边形 的外角，判定下列大小关
系：① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的是 ．（填序号）
例2．（2022秋·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若
∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
例3．（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图，将三角形纸片 沿 折叠，当点A落在四边形
的外部时，测量得 ， ，则 为（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023春·甘肃天水·七年级校联考期末）如图①， 、 是四边形 的两个不相邻的外角．(1)猜想并说明 与 、 的数量关系；(2)如图②，在四边形 中， 与 的平分
线交于点 ．若 ， ，求 的度数；(3)如图③， 、 分别是四边形 外
角 、 的角平分线．请直接写出 、 与 的数量关系 ．
例5．（2022春·河南鹤壁·七年级统考期末） 中， ，点D，E分别是 边AC，BC上的
点，点P是一动点，令 ， ， ．
初探：(1)如图1，若点P在线段AB上，且 ，则 _____________；
(2)如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2， 之间的关系为_____________；
(3)如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1，∠2， 之间的关系为_____________；
再探：(4)如图4，若点P运动到 的内部，写出此时∠1，∠2， 之间的关系，并说明理由．
例6．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将 沿 折叠，使点 A落在
的内部的点 M处，当 ， 时，求 的度数；
（2）如图，将 沿 折叠，使点 A 落在 的外部的点 M 处．求图中 ， ，
之间的数量关系；
（3）如图 ，将 、 一起沿 折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别落在射线 的左右两侧，
， ， 、 的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程）课后专项训练
1．（2023.广东八年级期中）如图，把 ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与
∠1+∠2之间有始终不变的关系是（ △）
A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）
2．（2023·重庆万州·七年级统考期末）如图，六边形ABCDEF中，AF CD，AB DE，∠A=140°，
∠B=100°，∠ECD＝20°，将 CDE沿CE翻折，得到 ，则∠BC 的度数为（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在 中， ，沿图中虚线 翻折，使得点B落在
上的点D处，则 等于（ ）A．160° B．150° C．140° D．110°
4．（2023·浙江·八年级假期作业）如图， 中， ，将 沿 翻折后，点A落在 边上
的点 处．如果 ，那么 的度数为 ．
5．（2023春·宁夏吴忠·九年级校考期中）将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D、A′E分别与
BC交于M、N两点，且DE BC．已知∠A′NM＝27°，则∠NEC＝ ．
6.（2023·湖北·七年级期末）三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度．在下图中，
E位于线段CA上，D位于线段BE上．
（1）说明为什么 ．（2）说明为什么 ．
（3） 与 ，哪一个更大？证明你的答案；
（4） 与 ，哪一个更大？证明你的答案．7．（2023春·江苏扬州·七年级统考期末）（1）如图1，把三角形纸片 折叠，使 个顶点重合于点 ．
这时， __________ ；
（2）如果三角形纸片 折叠后， 个顶点并不重合于同一点，如图 ，那么(1)中的结论是否仍然成立？
请说明理由；（3）折叠后如图 所示，直接写出 、 、 、 、 、 之间的数量关系_______；
（4）折叠后如图 ，直接写出 、 、 、 、 、 之间的数量关系：_______；
8．（2023春·江苏连云港·七年级校联考阶段练习）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于 ”．在
三角形纸片中，点D，E分别在边 上，将 沿 折叠，点C落在点 的位置．
(1)如图1，当点C落在边 上时，若 ，则 ＝ ，可以发现 与 的数量关系
是 ；(2)如图2，当点C落在 内部时，且 ， ，求 的度数；(3)如图
3，当点C落在 外部时，若设 的度数为x， 的度数为y，请求出 与x，y之间的数
量关系．
9．（2022春·江苏扬州·七年级校考期末）如图①，把 纸片沿 折叠，使点A落在四边形 内
部点 的位置，通过计算我们知道： .请你继续探索：(1)如果把 纸片沿 折叠，使点A落在四边形 的外部点 的位置，如图②，此时 与
之间存在什么样的关系？(2)如果把四边形 沿时折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部
、 的位置，如图③，你能求出 、 、 与 之间的关系吗？（直接写出关系式即可）
10．（2023春·江苏南京·七年级统考期中）如图，在 和 中， ．点F与A位于线段
所在直线的两侧，分别延长 、 至点 、 ．
【特殊化思考】若 时，请尝试探究：
（1）当 在 内部时，请直接写出 、 与 的数量关系为__________；
（2）当 在 外部时，请直接写出 、 与 的数量关系为__________；
（3）若 平分 ， 平分 ．无论点 在 内部（如图③）还是 外部（如图④）时，
都有 ，请选择一幅图进行证明；
【一般化探究】若 时，请尝试探究：（4）若射线 、 分别是 ， 的 等分线（ 为大于2的正整数），且 ，
．当 时，直接写出 与 需满足的条件：__________．
10．（2023·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和
∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β．（1）如图1，若α+β=100°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD=40°，请直接写出α、β所满足的数量关系式；
（3）如图2，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．
11．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，将 纸片沿 折叠，使点 落在四边形 内点
的位置，(1)探索 与 之间的数量关系，并说明理由．
(2)如果点 落在四边形 外点 的位置， 与 、 之间的数量关系有何变化，请说明理由．12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．
（1）∠ABC＋∠ADC＝ °；（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与
BF的位置关系，并证明；（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝
∠CDN，∠CBE＝ ∠CBM），试求∠E的度数．
13．（2023·重庆·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做
“飞镖模型”．（1）求证： ；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于
点D，若 ，求 的度数．
14．（2023·广西·八年级专题练习）如图， 中，
(1)若 、 的三等分线交于点 、 ，请用 表示 、 ；(2)若 、
的 等分线交于点 、 （ 、 依次从下到上），请用 表示 ，
．15．（2023·云南保山·八年级校考期中）已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．
（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平
分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在 （2）的条件下，
将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．
16．（2023·江苏苏州·七年级统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于180且小于360的角称为优
角，如果两个角相加等于360，那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若1、2互为组角，且1135，则2________；
【理解运用】习惯上，我们把有一个内角大于180的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形ABCD中，优角BCD与钝角BCD互为组角，试探索内角A、B、D与钝
角BCD之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图②，ABCDEF ________；（用含的代数式表示）
ABCD AD BC Q AB DC P APD AQB
（4）如图③，已知四边形 中，延长 、 交于点 ，延长 、 交于 ， 、
M AQCP180
的平分线交于点 ， ；①写出图中一对互组的角________（两个平角除外）；
PM QM
②直接运用（2）中的结论，试说明： ；BO CO ABO ACO i1,2,3,,2017,2018
（5）如图④， i、 i分别为 ， 的2019等分线（ ）．它们的交点从
上到下依次为 O 1， O 2 ， O 3，…， O 2018．已知 BOC m ， BAC n ，则 BO 1000 C _______ ．（用
含m、n的代数式表示）
