2025年中考数学几何模型综合训练（通用版）专题02三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型解读与提分精练（教师版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题02 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、 风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点， 因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在 几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解 每一个题型，做到活学活用！ .........................................................................................................................................................................................1 模型1.飞镖模型（燕尾）模型.......................................................................................................................1 模型2.风筝（鹰爪）模型...............................................................................................................................7 模型3.角内（外）翻模型.............................................................................................................................11 ..................................................................................................................................................16 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖 （回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 图1 图2 图3 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：① ；② 。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中， ；在△CDQ中， 。 即： ，故 。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O= （∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO= ∠ABC；∠ADO= ∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A= ∠ABC+ ∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O= （∠A+∠C）。 拓展模型2：条件：如图3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O= （∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型： = + + ，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO= ∠DCB，∠DAO= ∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO= （∠DCB-∠DAB）= （∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O= （∠D+∠B）,即∠O= （∠D-∠B） 例1．（2023·福建南平·八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”． 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹 四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是 一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下： 方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°， 即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°， 又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°， ∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图3，连结CD并延长至F， ∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，．．．．．．．．．． 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论． 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________； (2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 【答案】(1)三角形的内角和定理 (2)见解析 【分析】（1）根据解题过程作答即可；（2）连结CD并延长至F，由三角形外角的性质即可证明． 【详解】（1）由解题过程可得，“方法一”主要依据的一个数学定理是三角形的内角和定理， 故答案为：三角形的内角和定理； （2）连结CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角， ， ，即 ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的 关键． 例2．（2023·湖北·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如 果 ， ，那么 的度数是（ ）． 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出 再利用邻补角的性质 求出 ，再根据四边形的内角和求出 ，根据邻补角的性质即可求出 的度数． 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ,故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是 会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和： ． 例3．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这 样图形叫做“箭头四角形”． 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究 与 、 、 之间的关系，并说明理由； 应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 、 恰好经过点 、 ，若 ，则 ；②如图 3， 、 的2等分线（即角平分线） 、 相交于点 ，若 ， ，求 的度数； 拓展：（3）如图4， ， 分别是 、 的2020等分线（ ），它们的 交点从上到下依次为 、 、 、…、 ．已知 ， ，则 度． 【答案】（1） ，理由见详解； （2）①30；②95°；（3） 【分析】（1）连接AD并延长至点E，利用三角形外角的性质得出 左右两边相加即可得出结论；（2）①直接利用（1）中的结论 有 ，再把已知的角度代入即可求出答案；②先根据 求出 ，然后结合角平分线的定义再利用 即可求解； （3）先根据 求出 ，再求出 的度数，最 后利用 求解即可． 【详解】（1）如图，连接AD并延长至点E，∵ 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 又∵ ∴ （2）①由（1）可知 ∵ ， ∴ ②由（1）可知 ∵ ， ∴ 平分 ，CF平分 （3）由（1）可知 ∵ ， ∴ ∵ ， 分别是 、 的2020等分线（ ） ∴ ∴ 【点睛】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质和角平分线的定义是解题 的关键． 例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中， ，为三角形内任意一点，连结 AP，并延长交BC于点D. 求证：（1） ；（2） . 【详解】（1）∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ，∴ （2）过点 作 ，交 、 于 、 ，则 ， 由（1）知 ∵ ， ∴ 即 （几何证明中后一问常常要用到前一问的结论） 模型2.风筝（鹰爪）模型 图1 图2 1）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 例1．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中， 、 、 分别为 、 、 的外角 判断下列大小关系何者正确？（ ） 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形的外角和是 及三角形的外角定理求解判断即可． 【详解】解：如图，连结BD，延长AD到E， ， ， ， 故选项A正确，符合题意；B不正确，不符合题意； 多边形的外角和是 ，∴ ∴ 故选项C不正确，不符合题意；选项D不正确，不符合题意．故选：A． 【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和是 是解题的基础． 例2．（2023·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】已知 ，在 的两边上分别取点B、 C，在 的内部取一点O，连接 、 ．设 ， ，探索 与 、 、 之间的数量关系． 【初步感知】如图1，当点O在 的边 上时， ，此时 ，则 与 、 、 之间的数量关系是 ． 【问题再探】（1）如图2，当点O在 的内部时，请写出 与 、 、 之间的数量关系 并说明理由；（2）如图3，当点O在 的外部时， 与 、 、 之间的数量关系是 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ________； 【拓展延伸】（1）如图4， 、 的外角平分线相交于点P． ①若 ， ，则 ________°；②若 且 ，则 ________°； ③直接写出 与 、 之间的数量关系； （2）如图5， 的平分线与 的外角平分线相交于点Q，则 ________（用 、 表示）． 【答案】[问题再探]（1）结论：∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．证明见解析；（2） ∠BOC+∠BAC+∠1+∠2=360°；[拓展延伸]（1）①25；②20；③∠BOC=∠A+2∠P；（2） 【分析】[问题再探]（1）如图2中，结论： ．连接 ，延长 到 ．利用三 角形的外角的性质解决问题即可．（2）利用四边形内角和定理解决问题即可． [拓展延伸]（1）①求出 ，再利用结论，构建关系式即可解决问题． ②根据 ，可得结论． ③根据 ，可得结论． （2）结论： ．设 ， ．构建方程组求解即可． 【详解】解：[问题再探]（1）如图2中，结论： ． 理由：连接 ，延长 到 ． ， ， 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ． （2）如图3中，结论： ． 理由：连接 ． ， ， ， ． [拓展延伸]①如图4中， ， ， ， 、 的外角平分线相交于点 ， ， ，故答案为：25． ② ， ， ， ，故答案为：20． ③ ， ． （2）如图5中，结论： ．理由：设 ， ． 则有 ．② ①可得， ， 即 ，故答案为： ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等 知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形转化为三角形解决，学会利用参数构建方程组解决问 题，属于中考压轴题． 例3．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图，在 中， ，点 、 是 边 、 上 的点，点 是平面内一动点．令 ， ， ． (1)若点 在线段 上，如图1所示， ，求 的值； (2)若点 在边 上运动，如图2所示，则 、 、 之间的关系________； (3)若点 运动到边 的延长线上，如图3所示，则 、 、 之间有何关系？猜想并说明理由； (4)若点 运动到 外，如图4所示，则请表示 、 、 之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)猜想 ，理由见解析(4) ，理由见解析 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质： （1）根据 ，可得 ，再根据平角的定义可得 ，则 ；（2）同（1）求解即可； （3）由三角形的外角的性质知： ， ，据此可得结论；（4）由三角形的 外角的性质知： ， ，再由 ，则 ． 【详解】（1）解：∵在四边形 中， （四边形内角和可以看做连 接对角线后两个三角形的内角和）， ， ，∴ ∵ ，∴ ，∴ ； （2）解：∵在四边形 中， （四边形内角和可以看做连接对角线 后两个三角形的内角和）， ，∴ ∵ ，∴ ，∴ ； （3）解：猜想 ，理由如下：设 交于M， 由三角形的外角的性质知： ， ， ，即 ； （4）解： ，理由如下：设 交于M， 由三角形的外角的性质知： ， ， ， ，，即 ， 模型3.角内（外）翻模型 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 图3 图4 条件：如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时， 结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C 。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时， 结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 例1．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张 的纸片，点 ， 分别在边AB， 上，将 沿着DE折叠压平， 与 重合，若 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠可得 ， ，进而可得 ，结合 ， 可得 ，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵将 沿着 折叠压平， 与 重合， 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ， ∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，故答案为： ． 例2．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）如图，把 纸片沿 折叠，当点 落在四边形 的外面时，此时测得 ， ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题的 关键．根据折叠的性质得出 ，根据三角形外角的性质得出 ，再次利用 三角形外角的性质即可求出 的度数． 【详解】解：如图，设 与 交于点 ， ， 根据折叠的性质， ， ， ， ， ， ，故选： ． 例3．（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）（1）如图1，将 纸片沿 折叠，使点 落在四边形 内点 的位置．则 之间的数量关系为：_______； （2）如图2，若将（1）中“点 落在四边形 内点 的位置”变为“点 落在四边形 外点 的位置”，则此时 之间的数量关系为：_________； 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3）如图3，将四边形纸片 （ ， 与 不平行）沿 折叠成图3的形状，若 ， ，求 的度数； （4）在图3中作出 的平分线 ，试判断射线 的位置关系，当点 在 边 上向点 移动时（不与点 重合）， 的大小随之改变（其它条件不变），上述 ， 的位置关系改变吗？为什么？ 【答案】（1） ，（2） ；（3） ；（4）位 置不改变， ． 【分析】（1）连接 ，证明 ，结合 ， ， 再利用角的和差关系可得答案； （2）连接 ，证明 ，结合 ， ，再利用 角的和差关系可得答案；（3）如图，延长 ， 交于点Q，延长 ， 交于点 ，则对折后 与 重合，由（2）的结论可得： ，可得 ，再利用三角形的内 角和定理可得答案；（4）如图， 平分 ， 平分 ，可得 ， ，由对折可得： ， ， 由（2）的结论可得： ，即 ，证明 ，可得 ． 【详解】（1）结论： 理由：连接 ， 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 沿 折叠A和 重合，∴ ∵ ， ∴ ． （2） 理由：连接 ， 沿 折叠A和 重合，∴ ∵ ， ∴ ； （3）如图，延长 ， 交于点Q，延长 ， 交于点 ，则对折后 与 重合， 由（2）的结论可得： ，而 ， ， ∴ ，∴ ，∵ ，∴ ； （4） ，理由见解析 如图， 平分 ， 平分 ， ∴ ， ， 由对折可得： ， ， 由（2）的结论可得： ，即 ∴ ， ∴ ， ∴ ， 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ，∴ ． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的 性质并进行解题是关键． 1．（2024.山东七年级期中）如图，把 ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与 ∠1+∠2之间有始终不变的关系是（ △ ） 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2） 【答案】B 【分析】本题问的是关于角的问题，当然与折叠中的角是有关系的，∠1与∠AED的2倍和∠2与∠ADE 的2倍都组成平角，结合 AED的内角和为180°可求出答案． 【详解】∵△ABC纸片沿△DE折叠，∴∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°， ∴∠AED= (180°−∠1),∠ADE= (180°−∠2)， ∴∠AED+∠ADE= (180°−∠1)+ (180°−∠2)=180°− (∠1+∠2) 在 ADE中,∠A=180°−(∠AED+∠ADE)=180°−[180°− (∠1+∠2)]= (∠1+∠2) △ 则2∠A=∠1+∠2，故选择B项. 【点睛】本题考查折叠和三角形内角和的性质，解题的关键是掌握折叠的性质. 2．（2023·河南·八年级假期作业）如图，在 中， ， 与 的角平分线交于 ， 与 的角平分线交于点 ，依此类推， 与 的角平分线交于点 ，则 的度数 是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD，CD，CD，BD…BD，CD 是角平分线，可得 1 1 2 2 n n 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∠ABD +∠ACD =160×（ ）n，可求∠BCD+∠CBD 的值，再根据三角形内角和定理可求结果． n n n n 【详解】解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=160°， ∵BD 平分∠ABC，CD1平分∠ACB，∴∠ABD = ∠ABC，∠ACD = ∠ACD， 1 1 1 ∵BD 平分∠ABD ，CD 平分∠ACD ，∴∠ABD = ∠ABD = ∠ABC，∠ACD = ∠ACD = ∠ACB， 2 1 2 1 2 1 2 1 同理可得∠ABD = ∠ABC，∠ACD = ∠ACB，∴∠ABD +∠ACD =160× =5°， 5 5 5 5 ∴∠BCD+∠CBD=155°， 5 5 ∴∠BDC=180-∠BCD-∠CBD=25°，故选B． 5 5 5 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题． 3．（2023·广东广州·八年级统考期中）如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（ ） A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3 C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形内角与外角的关系．根据外角的性质，可推出∠1+∠4=∠6，∠6=∠2-∠3， 从而推出∠1+∠4=∠2-∠3 【详解】解：∵∠6是△ABC的外角，∴∠1+∠4=∠6①， 又∵∠2是△CDF的外角，∴∠6=∠2-∠3②， 由①和②得：∠1+∠4=∠2-∠3．故选D． 【点睛】此题考查了三角形内角和外角，解题的关键是记住外角和定理． 4．（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）如图，在五边形 中，若去掉一个 的角后得到一个六边 18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 形 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和定理可得 ，根据平角的定义可得 ，从而求出结论． 【详解】解：∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ．故选D． 【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键． 5．（2024·江苏·模拟预测）如图，将四边形纸片 沿 折叠，使点 落在四边形 外点 的 位置，点 落在四边形 内点 的位置，若 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握多边形的内角和 定理和外角的性质是解题的关键． 延长 交 于点 ，利用四边形的内角和定理得到： ，利用四边形的内角和定理， 折叠的性质，三角形的内角和定理，等量代换的性质求得 的值，则结论可求． 【详解】解：延长 交 于点 ，设 交 于点 ，如图， 19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 四边形的内角和为 ， ， ， ． 由折叠的性质可得： ． ， ． 在 和 中， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ．故选：D． 6．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠A的 度数是 度． 【答案】55/五十五 【分析】延长B'E，C'F，交于点D，依据∠A=∠D，∠AED+∠AFD=250°，即可得到∠A的度数． 【详解】解：如图，延长B'E，C'F，交于点D， 20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 由折叠可得，∠B=∠B'，∠C=∠C'，∴∠A=∠D， 又∵∠1+∠2=110°，∴∠AED+∠AFD=360°-110°=250°， ∴四边形AEDF中，∠A= （360°-250°）=55°，故答案为：55． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是构造四边形，利用四边形内角和进行计算． 7．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）在 中， ， ，将 、 按照如图所示 折叠，若 ，则 ° 【答案】 【分析】先根据折叠的性质求出 ， ， ，再根据三角形内 角和定理求出 ， ，进而求出 ，然后求出四边形内角和，进而得出 ，即可 得出答案． 【详解】根据折叠性质得 ， ， ． ∵ ， ，∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ． 在四边形 中， . ∴ ， 即 ，∴ ， ∴ ．故答案为：265． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，折叠的性质，四边形的内角和等，确定各角之间的数量关系是解题 的关键． 21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 8．（2023·河北保定·统考模拟预测）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且 ∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将 ∠BCD （填“增大”或“减小”） °． 【答案】 增大 10 【分析】利用三角形的外角性质先求得∠ABE+∠ADE=30°，根据角平分线的定义得到 ∠ABC+∠ADC=60°，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，连接AE并延长，连接AC并延长， ∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°， ∵∠BAD＝70°，∴∠ABE+∠ADE=30°，∵BE，DE分别是∠ABC、∠ADC平分线， ∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°， 同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°， ∴∠BCD增大了10°．故答案为：增大，10． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练运用题目中 所给的结论是解题的关键． 9．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，BE是ABD的平分线，CF是ACD的平分线，BE与CF交 于G，若BDC 140，BGC 110，则A ． 22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】80 【分析】首先连接BC，根据三角形的内角和定理，求出1240，∠1+∠2+∠3+∠4=70°；然后判断 出3430，再根据BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，判断出5630；最后根 180(123456) 据三角形的内角和定理，用 即可求出∠A的度数. 【详解】如下图所示，连接BC， ∵BDC 140，∴1218014040， ∵BGC 110，∴123418011070，∴34704030， ∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，∴∠3=∠5，∠4=∠6， 又∵3430，∴5630， 123456(1234)(56)7030100 ∴ ， ∴A18010080. 故答案为：80. 【点睛】本题主要考查了三角形内角和的应用，熟练掌握相关角度的和差计算是解决本题的关键. 10．（2023·重庆·八年级统考期末）已知，如图，P，Q为三角形ABC内两点，B，P，Q，C构成凸四边形． 求证： ． 23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A A Q Q N P P M B C B C 【详解】作直线PQ，分别与AB，AC交于点M，N 由三角形的三边关系可得 ①+②+③得 ∴ ，即 ． 11．（2023春·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形 形似圆规，这样的四边形称为“规 形”， (1)如图①，在规形 中，若 ， ， ，则 ______°； (2)如图②，将 沿 ， 翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若 ，则 ______°； (3)如图③，在规形 中， 、 的角平分线 、 交于点E，且 ，试探究 ， ， 之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)20(2)54(3) ；理由见解析 【分析】（1）连接 ，并延长到点E，根据三角形外角的性质得出 、 ，即可 得出 ，根据 ， ， ，即可得出答案； （2）根据翻折得出 ， ，根据三角形内角和得出 ，在根据 ，列出关于 的方程，解方程即可得出答案； 24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3）根据角平分线的定义结合解析（1）得出 ， ，根据 ， ，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，连接 ，并延长到点E， 则 、 ，∴ ，即 ， ∵ ， ， ，∴ ，故答案为：20； （2）解：∵将 沿 ， 翻折，顶点A，B均落在点O处， ∴ ， ，∴ ，∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ． （3）解： ；理由如下：如图3，由（1）知 ， ∵ 平分 ，∴ ， ∵ 平分 ，∴ ，∵ ， ， ∴ 即 ． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌 握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 12．（2023·北京·一模）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质． 定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四 边形（如图1）． 25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ； ① ② ③ 定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）． 特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形． 小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究. 下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形 性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB=AD=6， BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）． 【答案】（1）①；（2）证明见解析；（3） ． 【分析】（1）根据凹四边形的定义即可得出结论；（2）由燕尾四边形的定义可以得出燕尾四边形的性质； （3）连接BD，根据SΔABD-SΔBCD即可求出燕尾四边形ABCD的面积． 【详解】解：（1）由凹四边形的定义得出，图①是凹四边形．故答案是①； （2）①一组对角相等；②它是一个轴对称图形；①已知：如图1， 26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 在凹四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC．求证：∠B=∠D． 证明：连接AC．在△ABC和△ADC中， ，∴△ABC≌△ADC．∴∠B=∠D． ②由①知，△ABC≌△ADC，∴AC所在的直线是燕尾四边形的对称轴； （3）如图2，连接AC，过点B作BE⊥AC交AC的延长线于E； 由（2）知，燕尾四边形ABCD是轴对称图形，∴∠BCE= ∠BCD=60°，∴∠CBE=30°， 在Rt BCE中，∠CBE=30°，BC=4，∴CE= BC=2，BE= CE=2 ， △ 在Rt ABE中，AB=6，BE=2 ，根据勾股定理得，AE= ， △ ∴S =S -S = BE•AE- BE•CE= BE（AE-CE）= ×2 ×（2 -2）=6 -2 ABC ABE CBE △ △ △ ∴燕尾四边形ABCD的面积为2S =12 −4 ． ABC △ 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，勾股 定理，三角形的面积公式，解本题的关键是构造出直角三角形． 13．（2023春·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形 形似圆规，这样的四边形称为“规 形”， 27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)如图①，在规形 中，若 ， ， ，则 ______°； (2)如图②，将 沿 ， 翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若 ，则 ______°； (3)如图③，在规形 中， 、 的角平分线 、 交于点E，且 ，试探究 ， ， 之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)20(2)54(3) ；理由见解析 【分析】（1）连接 ，并延长到点E，根据三角形外角的性质得出 、 ，即可 得出 ，根据 ， ， ，即可得出答案； （2）根据翻折得出 ， ，根据三角形内角和得出 ，在根据 ，列出关于 的方程，解方程即可得出答案； （3）根据角平分线的定义结合解析（1）得出 ， ，根据 ， ，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，连接 ，并延长到点E， 则 、 ，∴ ，即 ， ∵ ， ， ，∴ ，故答案为：20； （2）解：∵将 沿 ， 翻折，顶点A，B均落在点O处， ∴ ， ，∴ ，∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ． （3）解： ；理由如下：如图3， 由（1）知 ，∵ 平分 ，∴ ， ∵ 平分 ，∴ ，∵ ， ， 28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ 即 ． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌 握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 14．（2023·河北·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做 “飞镖模型”． （1）求证： ；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于 点D，若 ，求 的度数． 【答案】（1）见解析；（2）240° 【分析】（1）延长CD交AB于点E，根据三角形外角性质可证 ， ，运用角的等量转换即可证明．（2）根据三角形外角性质，运用第（1）题的方 法可证 ， ， 和 是对顶角，可推出 的度数等于2倍 的度数，计算得出答案． 【详解】（1）证明：延长CD交AB于点E，如图： ∵ 是 的外角，∴ ． ∵ 是 的外角，∴ ， ∴ ． （2）解：∵ 和 是对顶角，∴ ． 由（1）的结论可知 ， ， ∴ ． 29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点睛】本题考查了三角形外角性质，灵活运用三角形外角性质是解题关键． 15．（2023春·江苏连云港·七年级校联考阶段练习）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于 ”． 在三角形纸片中，点D，E分别在边 上，将 沿 折叠，点C落在点 的位置． (1)如图1，当点C落在边 上时，若 ，则 ＝ ，可以发现 与 的数量关系 是 ；(2)如图2，当点C落在 内部时，且 ， ，求 的度数；(3)如图 3，当点C落在 外部时，若设 的度数为x， 的度数为y，请求出 与x，y之间的数 量关系． 【答案】(1) ，互余(2) (3) 【分析】（1）根据平角定义求出 ，再利用折叠性质即可求出 ， 然后利用三角形内角和进行计算即可；（2）根据平角定义求出 ， ，然后利用折叠性质可得 ，然后利用三角形内角和进行计算即可；（3）根据平角定义求出 ，再利用折叠性质即可求 出 ，然后利用三角形内角和进行计算即可． 【详解】（1）解：∵ ，∴ ， 由折叠得： . ∴ ， ∵ ，∴ 与 的数量关系是互余． （2）解：∵ ， ∴ ， 由折叠得： ∴ ，∴ 的度数为 ； 30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3）解：如图：∵ ，∴ ， 由折叠得： ， ∴ ， ∴ 与x，y之间的数量关系： ． 【点睛】本题考擦汗折叠性质和三角形内角和，灵活运用所学知识是关键． 16．（2024·江苏扬州·七年级校考期末）如图①，把 纸片沿 折叠，使点A落在四边形 内部 点 的位置，通过计算我们知道： .请你继续探索： (1)如果把 纸片沿 折叠，使点A落在四边形 的外部点 的位置，如图②，此时 与 之间存在什么样的关系？(2)如果把四边形 沿时折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部 、 的位置，如图③，你能求出 、 、 与 之间的关系吗？（直接写出关系式即可） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接 ，由外角的性质得到 ，做差即可得到答 案； （2）由图形折叠的性质可知 ，两式相加变形后即可得到答案． 【详解】（1）连接 ， 31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ，∴ ； （2）由图形折叠的性质可知 ， 两式相加得， ，即 ， ∴ ，即： ． 【点睛】此题考查了三角形外角的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握角之间的关系是解题的关键． 17．（2024·江苏·七年级统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于180且小于360的角称为优角， 如果两个角相加等于360，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若1、2互为组角，且1135，则2________； 【理解运用】习惯上，我们把有一个内角大于180的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形ABCD中，优角BCD与钝角BCD互为组角，试探索内角A、B、D与钝 角BCD之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图②，ABCDEF ________；（用含的代数式表示） ABCD AD BC Q AB DC P APD AQB （4）如图③，已知四边形 中，延长 、 交于点 ，延长 、 交于 ， 、 M AQCP180 的平分线交于点 ， ；①写出图中一对互组的角________（两个平角除外）； PM QM ②直接运用（2）中的结论，试说明： ； BO CO ABO ACO i1,2,3,,2017,2018 （5）如图④， i、 i分别为 ， 的2019等分线（ ）．它们的交点从 上到下依次为 O 1， O 2 ， O 3 ，…， O 2018．已知 BOC m ， BAC n ，则 BO 1000 C  _______  ．（用 含m、n的代数式表示） 32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】（1）225°；（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；（3）2α；（4）①优角∠PCQ与钝角∠PCQ；② 1000 1019 m n 见解析；（5） 2019 2019 【分析】（1）根据互为组角的定义可知∠2=360°-∠1，代入数据计算即可； （2）根据四边形内角和定理可得∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，根据周角的定义可得优角∠BCD+钝角 ∠BCD=360°´，再利用等式的性质得出钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；（3）两次运用镖形中的角的关系可得； （4）①根据互为组角的定义及周角的定义，结合图形可知优角∠PCQ与钝角∠PCQ是一对互组的角； ②先由∠APD、∠AQB的平分线交于点M，得出∠AQM=∠BQM，∠APM=∠DPM．令 ∠AQM=∠BQM=α，∠APM=∠DPM=β．由（2）中的结论可知在镖形APMQ中，有∠A+α+β=∠PMQ，在 镖形APCQ中，有∠A+2α+2β=∠QCP，于是根据等式的性质得出∠QCP+∠A=2∠PMQ，而 ∠A+∠QCP=180°，那么∠PMQ=90°，即PM⊥QM．（5）由 1019 BOC OBO OCO BO C (ABOACO)BO C ， 1000 1000 1000 2019 1000 1000 BO C ABO ACO BAC  (ABOACO)BAC 知 1000 1000 1000 2019 2019 1019 ABOACO (BO CBAC)，代入 BOC  (ABOACO)BO C 得 1000 1000 2019 1000 1019 2019 BOC   (BO CBAC)BO C ，据此得出 2019 1000 1000 1000 1000 1019 1000 1019 BO C  (BOC BAC) BOC BAC ，代入可得答案． 1000 2019 1000 2019 2019 【详解】解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1=135°，∴∠2=360°-∠1=225°； （2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D．理由如下： 如图①，∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°， 又∵优角∠BCD+钝角∠BCD=360°，∴钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D； 33关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2α； （4）①优角∠PCQ与钝角∠PCQ； ②∵∠APD、∠AQB的平分线交于点M，∴∠AQM=∠BQM，∠APM=∠DPM． 令∠AQM=∠BQM=α，∠APM=∠DPM=β．∵在镖形APMQ中，有∠A+α+β=∠PMQ， 在镖形APCQ中，有∠A+2α+2β=∠QCP，∴∠QCP+∠A=2∠PMQ， ∵∠A+∠QCP=180°，∴∠PMQ=90°．∴PM⊥QM； 1000 1019 （5）如图，由题意知ABO  ABO，OBO  ABO ， 1000 2019 1000 2019 1000 1019 ACO  ACO，OCO  ACO， 1000 2019 1000 2019 1019 BOCOBO OCO BO C (ABOACO)BO C ， 1000 1000 1000 2019 1000 1000 BO C ABO ACO BAC  (ABOACO)BAC ， 1000 1000 1000 2019 2019 1019 则ABOACO (BO CBAC)，代入 BOC  (ABOACO)BO C 得： 1000 1000 2019 1000 1019 2019 BOC   (BO CBAC)BO C ， 2019 1000 1000 1000 1000 1019 1000 1019 BO C  (BOC BAC) BOC BAC 解得： ， 1000 2019 1000 2019 2019 1000 1019 BO C  m n ， ， ． BOC m BAC n 1000 2019 2019 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，四边形内角和定理，角平分线定义，垂直的定义，等式的性质， 学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解互为组角的定义以及得出（2）中的关系是解题的关键． 18．（2023·云南保山·八年级校考期中）已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD． （1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分 ∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在 （2）的条件下，将 点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明． 34关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】(1) 111º ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析. 【分析】（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解；（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外 角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解；（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线 的性质即可得到. 【详解】（1）如图1,延长AD交BC于E， 在 ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º， 在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ； （△2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：如图2， ∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3∴∠A+∠1=∠P+∠3 ∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴ ∠1=∠2,∠3=∠4∴∠A+∠2=∠P+∠4 由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C ∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C∴∠A－∠C=2∠P （3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:如图3, 35关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2 ∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3 ∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴ ∠1=∠2,∠3=∠4 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠A+∠C=2∠P 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． 19．（2023春·江苏泰州·七年级校联考期中）已知，在 中， ，点 在 上，过点 的一条直线与直线 、 分别交于点 、 ．(1)如图1， ，则 ______°． (2)如图2，猜想 、 、 之间的数量关系，并加以证明； (3)如图3，直接写出 、 、 之间的数量关系______． 【答案】(1)140(2) ，证明见解析(3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理先求出 ，再根据 ， 代入后得出 ，即可得出答案； （2）先求出 ，再得出 ，进而可得出答案； （3）根据三角形内角和定理和三角形的外角的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ； （2） ， 证明：在 中∵ ，∴ ， 在 中，∵ ，∴ ， ∴ ，∵ ，∴ ； （3）解：∵ ， ， ， ∴ ，∴ ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形内角和180度是解题的关键． 20．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）（1）如图1，已知 为直角三角形， ，若沿图中虚 线剪去 ，则 ____； 36关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）如图2，已知 中， ，剪去 后成四边形，则 ____； （3）如图3，当 时，将 折成如图3形状，试求 的度数（用含α的式子表示）． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】（1）根据三角形的内角和为 ，三角形的外角和定理，则 ， ， ，即可； （2）根据三角形的内角和为 ，三角形的外角和定理，则 ， ， ，即可； （3）根据折叠的性质，则 ，根据全等三角形的性质，三角形内角和，平角的性质，则 ， ， ，再根据等量代换即可． 【详解】解：（1）如图， 为直角三角形， ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ； （2）如图，∵ ，∴ ，∵ ， ， ∴ ，∴ ； 37关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3）如图， ，理由见下： 由题意得， ，∴ ， ， ∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ，即 ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，外角的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质， 熟练掌握三角形内角和定理，外角的性质是解题的关键． 38关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 39