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专题03 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字
模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
.........................................................................................................................................................................................1
模型1.“8”字模型.............................................................................................................................................1
模型2.“A”字模型............................................................................................................................................4
模型3.三角板拼接模型...................................................................................................................................5
....................................................................................................................................................8
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模型1.“8”字模型
“8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。
图1 图2
1）8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；
结论：① ；② 。
证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；
∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴ 。
2）8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；
结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则 ，即2∠P=∠B+∠D
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例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正
确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
例2．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，求 的度数．
例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段 相交于点O，连接 ，则我
们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证： ；(2)如图2，若 和 的平
分线 和 相交于点P，且与 分别相交于点 ．①若 ，求 的度数；
②若角平分线中角的关系改为“ ”，试探究 与 之间的数量
关系．
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例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段 ， 交于点 ，连接 ， ，判断 与 的大小关系，并说明理由；
(2)如图2， 平分 ， 为 上任意一点，在 ， 上截取 ，连接 ， ．求证：
；
(3)如图3，在 中， ， 为角平分线 上异于端点的一动点，求证： ．
例5．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题
(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则 ， ， ， 四个角的数量关系是______；
(2)如图2，若 ， 的角平分线 ， 交于点 ，则 与 ， 的数量关系为
______；
(3)如图3， ， 分别平分 ， ，当 时，试求 的度数（提醒：解
决此问题可以直接利用上述结论）；
(4)如图4，如果 ， ，当 时，则 的度数为______．
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模型2.“A”字模型
如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。
条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
例1．（2023·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件， 的度数是（ ）
A． B． C． D．
例2．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在 中， ，若剪去 得到四边形 ，则
．
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例3．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线 与 的边 ， 分别相交于点 ，
（都不与点 重合）.
(1)若 ，①求 的度数；②如图2，直线 与边 ， 相交得到 和 ，直接写出
的度数.(2)如图3， ， 分别平分 和 ，写出 和 的数量关系，并说明
理由；
(3)如图4，在四边形 中，点 ， 分别是线段 、线段 上的点， ， 分别平分
和 ，直接写出 与 ， 的关系.
模型3.三角板拼接模型
由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
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图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，
当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、
60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。
常见角度拼接（证明特别简单，故略过）：
例1．（2023春·贵州遵义·八年级校联考期中）把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中
， ， ， ，则 ．
例2．（23-24七年级下·四川成都·期末）将一副直角三角板如图摆放，点A落在 边上， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023春·江苏无锡·七年级统考期末）有一副直角三角板 、 ，其中 ，
， ．如图，将三角板 的顶点E放在 上，移动三角板 ，当点E从点A沿
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向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．下列结论：①当 时， ；
② 逐渐变小；③若直线 与直线 交于点M，则 为定值；④若 的一边与
的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个．正确的有 ．（填序号）
例4．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如图1，将一副三角板放在直线 上，两个直角顶点重合在一
起，交直线 于点C，其中 ， ．
(1)如图2，将图1中的三角板 绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中， 与 的数量关
系是___________；(2)将图1中的三角板 绕点C按逆时针方向旋转至图3所示的位置，此时 在
的内部， 与 相交于点P，当 时，求 的度数；(3)将图1中的三角板
绕点C按逆时针方向旋转，当 时， 的度数为___________．（直接写出结果即可）
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1．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在 中， ，若沿图中虚线剪去 ，则
的度数是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中 ，
， 则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含 角的直角三角板的直角顶点在另一
个三角板的斜边上，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图， 的度数为（ ）
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A．540° B．500° C．460° D．420°
5．（2023·广东清远·八年级校考阶段练习）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（ ）
A．90° B．360° C．180° D．无法确定
6．（2024·安徽·八年级校考期中）如图，若 ，则
．
7．（2023·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知 ， ．
8．（2023·上海七年级课时练习）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式
叠放在一起，当 ，且点E在直线 的上方时，他发现若 ，则三角板
有一条边与斜边 平行．
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9．（2023·广东·八年级假期作业）如图，若 ，则
．
10．（2023·广东揭阳·八年级校考期末）探索归纳：
（1）如图1，已知 ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2= °．
（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2= °．
（3）如图2，根据△（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ．
11．（2024·重庆·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， 是 边上一点，连
接 ，将 沿 翻折，使 点落在 边上的 点处，则 的度数为 度．
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12．（2024·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°．
(1) 若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数；
(2) 若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．
13．（2023·广东湛江·八年级统考期中）问题情景：如图①，有一块直角三角板 放置在 上（
点在 内），三角板 的两条直角边 、 恰好分别经过点 和点 ．探究 与 是
否存在某种确定的数量关系．(1)特殊探究：若 ，则 _____度，
_____度， _____度；(2)类比探索：请探究 与 的关系；(3)类比延伸：如
图②，改变直角三角板 的位置，使 点在 外，三角板 的两条直角边 、 仍然分别经
过点 和点 ，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理由．
14．（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）如图， 与 的角平分线交于点 ．
(1)若 ， ，求 的度数；(2)直接写出 ， ， 的数量关系；(3)若 与
的大小发生变化，（2）的结论是否仍然成立？若成立，说明理由，若不成立，写出成立的式子．
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15．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图 ，将三角板 与三角板 摆放在一起；如图 ，其
中 ， ， ．固定三角板 ，将三角板 绕点 按顺时针方
向旋转，记旋转角 ．
(1)在旋转过程中，当 为 度时， ；当 为 度时， ．
(2)当 时，连接 ，利用图 探究 值的大小变化情况，并说明理由．
16．（2023·河南驻马店·八年级统考期中）将三角尺（ ， ）放置在 上（点 在
内），如图①所示，三角尺的两边 、 恰好经过点 和点 ，我们来研究 与 是否
存在某种数量关系．(1)特例探究：若 ，则 ________度，
________度．
(2)类比探究： 、 、 的关系是 ___________________．
(3)变式探究：如图②所示，改变三角尺的位置，使点 在 外，三角尺的两边 、 仍恰好经过
点 和点 ，探究 、 、 的关系(只要求直接写出结论)：____________________．
17．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角
形”．例如，在图 中， △AOB的内角 与 的内角 互为对顶角，则 与
为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质： ．
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(1)如图1，在“对顶三角形” 与 中，若 ，则 ；
(2)如图2，在 中， 、 分别平分 和 ，若 ， 比 大 ，求
的度数．(3)如图3， 、 是 的角平分线，且 和 的平分线 和 相交于
点 ，设 ，直接写出 的度数（用含 的式子表示 ）．
18．（23-24七年级下·河南南阳·期末）在学习完三角形的内角、外角相关知识后，利用三角形的内角和同
学们很容易证明三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系．于是，爱思考的小红在想，三角形的一
个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
①尝试探究：如图1， 与 分别为 的两个外角，试探究 与 之间存在怎样的数量关系？
为什么？
解：数量关系： ．
理由：∵ 与 分别为 的两个外角，
∴ ．∴ ．
∵三角形的内角和为 ，∴ ．
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∴ ．
小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题．
②初步应用：（1）如图2，在 纸片中剪去 ，得到四边形 ， ，则 ；
（2）如图3，在 中， 分别平分外角 ，则 与 有何数量关系？ ；
（直接填答案）；③拓展提升：（3）如图4，在四边形 中， 分别平分外角 ，
则 与 有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）。
19．（2022春·山东烟台·七年级统考期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传
统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，∠A＝80°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2
（或∠1－∠2）与∠A的数量关系．
(1)如图①，若沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______．
(2)如图②，若沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______．
(3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数
(4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
20．（2023春·江苏·七年级专题练习）【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
【简单应用】（2）如图2， AP、CP分别平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的
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度数；
【问题探究】（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若
∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】（4） ①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP= ∠CAB，∠CDP= ∠CDB，试问∠P与
∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P）； ②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的
外角∠BCE， 猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．
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