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专题04 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直
模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
.........................................................................................................................................................................................2
模型1.高分线模型...........................................................................................................................................2
模型2.双垂直模型...........................................................................................................................................6
模型3.子母型双垂直模型（射影模型）.......................................................................................................8
..................................................................................................................................................11
模型1.高分线模型
三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线
段叫做三角形的角平分线.
高分线模型：过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。
1）条件：如图1，在 中， ， 分别是 的高和角平分线，结论： ．
2）条件：如图2，F为 的角平分线AE的延长线上的一点， 于D，结论：
．
图1 图2
1）证明：∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ；
2）证明：如图，过 作 于 ，由（2）可知： ，
， ， ， ， ， ，
， ．
例1．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，AD， 分别是 的角平分线和高线，且， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，是基础题，准确识图找出各
角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和等于 求出 ，再根据角平分线的定义求出
，根据直角三角形两锐角互余求出 ，然后根据 代入数据进行计算即
可得解．
【详解】解： ， ， ，
是 的角平分线， ，
是 的高线， ，
．故答案为： ．
例2．（23-24八年级上·重庆·期中）已知：如图①所示，在 中， 为 的高， 为 平分
线交 于点E， ．
(1)求 的度数；(2) 与 之间有何数量关系？
(3)若将题中的条件“ ”改为“ ”（如图②），其他条件不变，则 与
之间又有何数量关系？请说明理由．
【答案】(1) (2) (3) ，理由见解析【分析】本题主要考查三角形中角与角之间的关系，掌握三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外
角的性质的应用．（1）首先根据三角形的内角和定理求得 ，再根据角平分线的定义求得 ，
再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得 ，最后根据直角三角形的两个锐角互余
即可求解，（2）根据（1）即可得出 与 、 之间的关系，
（3）根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质依次推理即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ， ，∴
又∵ 为 的平分线，∴
∵ 为 的高，∴ ， ，∴ ；
（2）解：由图知
；
（3）解： 理由如下：由三角形内角和知 ，
∵ 为 的平分线，∴
∵ 为 的高，∴
又∵ ，∴
∴ ．
例3．（23-24八年级上·广东·校考期中）已知：在 中， ， 平分 交 于点 ．
(1)如图①， 于点 ，若 ，求 的度数；
(2)如图①， 于点 ，若 ，求 的度数（用含 的式子表示）；(3)如图②，在 中， 于点 ， 是 上的任意一点（不与点 ， 重合），过点 作
于点 ，且 ，请你运用（2）中的结论求出 的度数；
(4)在（3）的条件下，若点 在 的延长线上（如图③），其他条件不变，则 的度数会发生改变吗？
说明理由．
【答案】(1) (2) (3) (4) 的度数不会发生改变，理由见解析
【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可得 ，再结合角平分线的定义可知
，然后由“直角三角形两锐角互余”可得 ，
进而可得 ，即可获得答案；（2）结合（1）可得结论；
（3）结合 ，易得 ，再证明 ，由“两直线平行，同位角相等”
可得 ，即可获得答案；
（4）证明 ，由“两直线平行，内错角相等”可得 ，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵在 中， ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
当 时， ；
（2）由（1）可知， ，∴当 时，∴ ；
（3）∵ ，而 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ；
（4） 的度数大小不发生改变．理由如下：
∵ ， ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线的定义、
垂直的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．模型2.双垂直模型
双垂直模型的定义是一个三角形中有两条高，则图中会产生多个直角三角形。双垂直模型的核心是倒角之
间的关系。
条件：如图所示，在 ABC中，BD，CE是两条高，
结论：①∠ABD=∠A△CE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③ 。
证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°，
∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A，
∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。
∵BD，CE是 ABC的两条高，∴ ，∴ 。
△
例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在 中， 分别是 边上的高，并且 交于
点P，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意和直角三角形的两个锐角互余可求得 的度数，再根据三角形的外角即可得．
【详解】解：∵ 是 边上的高，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ 是 边上的高，∴ ，∴ ，故选：A．
【点睛】本题考查了余角，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．
例2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在 中， ， 是它的两条高，直线
交于点F， ．
【答案】 或
【分析】分两种情况：当 为锐角三角形时，当 为钝角三角形时，用三角形内角和求解即可．
【详解】解：当 为锐角三角形时，如图，
∵ ， 是它的两条高，∴ ；
当 为钝角三角形时，如图，∵ ， 是它的高，∴ ，
∵ 是 的高，∴ ，综上所述： 或 ，故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了垂直的定义、四边形的内角和，熟练掌握四边形的内角和为360度及分类讨论是
解题的关键．
例3．（2022秋·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在 中， 和 分别是 边上的高，若
， ，则 的值为（ ）．A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的高的性质，利用等积法求解即可．
【详解】∵ ，∴ ，∴ ．故选B．
【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算问题．根据三角形的面积公式得出 是解题关
键．
模型3.子母型双垂直模型（射影模型）
子母型双垂直模型的定义是一个直角三角形和斜边上的高。子母型双垂直模型的核心还是倒角之间的关系。
条件：在Rt 中，∠ACB=90°，CD是 的高线，
结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③ 。
证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°，
∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，
∵∠ACB=90°，CD是高线，∴ ，∴ 。
例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 于D，求证：
．【答案】见解析
【分析】根据 可得 ，再根据 ，即可求证．
【详解】证：∵ ， ∴
又∵ ，∴
又∵ ，∴ ∴
【点睛】此题考查了三角形内角和性质的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质．
例2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在 中， ， 为 边
上的高．(1)求斜边 的长；(2)求 的长．
【答案】(1)10(2)4.8
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，掌握勾股定理是解本题的关键．
（1）由勾股定理可求解；（2）由面积法可求解．
【详解】（1）在 中， ，∴ ；
（2）∵ ，∴ ，∴ ．
例3．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图①，在 中， ， 是 边上的高．
（1）求证： ；（2）如图②， 的角平分线 交 于点 ．求证： ；
（3）在（2）的条件下， 的平分线分别与 ， 相交于点 、点 ，如图③，若 ，
， ，求 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AD=9.6．
【分析】（1）据三角形高的定义及直角三角形两锐角互余的关系即可得结论；（2）根据角平分线的定义
及直角三角形两锐角互余的关系可得∠AFE=∠CED，根据对顶角相等的性质即可得结论；（3）根据等腰
三角形“三线合一”的性质可得AH⊥EF，根据勾股定理可求出HG的长，进而可得AG的长，利用面积
法即可得答案．
【详解】（1）∵ ，∴ ，
是 边上的高，∴ ，∴ ．
∴ ，∴ ．
（2）∵CF是 的角平分线，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
（3）由（2）可知：∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，
∵AG平分∠BAD，AG分别与 ， 相交于点 、点 ，∴AH⊥EF，
∵CH=8，CG=10，∴GH= =6，
∵AH=6，∴AG=AH+GH=12，∴S = AG·CH= CG·AD，即12×8=10AD，解得：AD=9.6．
AGC
△
【点睛】本题考查角平分线的定义、直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，直角三角形两锐
角互余；等腰三角形底边的中线、底边上的高及顶角的角平分线“三线合一”；直角三角形的两条直角边
的平方和等于斜边的平方；熟练掌握相关性质和定理是解题关键．1．（2023·北京通州·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，垂足为 ．如果
， ，则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出AB，再利用三角形面积求出BD即可．
【详解】解：∵ ， ， ，∴根据勾股定理 ，
∵ ，∴S ABC= ，即 ，解得： ．故选择D．
△
【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式是解题关键．
2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图， 中， ， 平分 ，若 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，那么 ，然后利用 分别表示 ， ， ，最后利用三角形内
角和定理建立方程解决问题．
【详解】解：∵ 中， ，∴设 ，那么 ，∴
，
∵ 平分 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ．故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，同时也利用了角平分线的定义，解题的关键是熟练使用三角
形内角和定理．
3．（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在 中， ， ， ，垂
足分别为点D、E，AD、CE交于点H， ．下列结论：① ；② ；③
；④ ．你认为正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、三角形的
一个外角等于与它不相邻的两个内角．
①根据 ，若 ，则 ，而 ，很明显不成立；②③可以通过证明
得到；④延长 交 于点L，则 ，所以 ．
【详解】解：假设 成立，∵ ，∴ ，
∵ ，矛盾，∴ 不成立，故①错误．
∵ ， ，∴ ，
在 和 中， ∴ ∴ 故②正确．
∵ ，∴ 故③正确．延长 交 于点L，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，故④正确．故选：B．
4．（23-24八年级下·广西柳州·开学考试）如图，在 中， 和 的平分线 ， 相交于
点O， 交 于E， 交 于F，过点O作 于D，下列三个结论：① ；
②当 时， ；③若 ， ，则 ．其中正确的是
（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】A【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线
证得 ，得到 ，是解决问题的关键．由角平分线的定义结合三角形的内
角和的可求解 与 的关系，进而判断①；在 上取一点N，使 ，证得 ，
得到 ，再证得 ，得到 ，进而判断②正确；作 于H，
于M，根据三角形的面积可证得③错误．
【详解】解：∵ 和 的平分线相交于点O，∴ ， ，
∴ ，故①正确．
∵ ，∴ ，
∵ ， 分别是 和 的平分线，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，如图，在 上取一点N，使 ，
∵ 是 的角平分线，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ， ，∴
∵ ∴ ∴ ∴ ，故②正确．
作 于H， 于M，∵ 和 的平分线 ， 相交于点O，∴点O在 的平分线上，∴ ，
∵ ，∴ ．
故③错误．故选：A．
5．（2023下·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，钝角 中， 为钝角， 为 边上的高， 为
的平分线，则 与 、 之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关
系，你发现的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质依次推理即可得出结论．
【详解】解：由三角形内角和知∠BAC=180°-∠2-∠1，
∵AE为∠BAC的平分线，∴∠BAE= ∠BAC= （180°-∠2-∠1）．
∵AD为BC边上的高，∴∠ADC=90°=∠DAB+∠ABD．
又∵∠ABD=180°-∠2，∴∠DAB=90°-（180°-∠2）=∠2-90°，
∴∠EAD=∠DAB+∠BAE=∠2-90°+ （180°-∠2-∠1）= （∠2-∠1）．故选：B
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形外角性质及三角形的高的定义，
解答的关键是找到已知角和所求角之间的联系．
6．（2023下·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在 中， 是高， 是角平分线， 是中线
与 相交于 ， 以下结论正确的有（ ）① ；② ；③ ；④
；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】解：由高的定义，得 ，①正确；由中线得 ，两三角形
等底同高，于是 ,②正确；根据直角三角形两锐角互余及外角知识，得
，结合角平分线定义可判断③正确；如图，过点E作 ，
垂足为H，I，根据角平分线性质，得 ，可证得 ．
④正确．
【详解】解：∵ 是高，∴ ．∴ ，①正确；
∵ 是中线，∴ ．令 中 边上的高为h，∴ ,②正确；
∵ ∴ .
∵ 是角平分线，∴ ．
∴ ，③正确；
如图，过点E作 ，垂足为H，I，∵ 是角平分线，∴ ．．④正确．故选：D．
【点睛】本题考查三角形角平分线，中线，高的定义，直角三角形性质，三角形内角和定理，角平分线性
质；熟练掌握相关定义是解题的关键．
7．（2023下·重庆江北·七年级校考期中）如图，在 中， ， ， 分别是高和角平分
线，点 在 的延长线上， 交 于 ，交 于 ，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据垂直的定义可得 ，然后根据同角的余角相等即可判定A；根据角平
分线的定义可得 ，由三角形外角的性质可得
，然后运用角的和差即可判定B；先根据三角形
外角的性质可得 ,再结合 可判定C；先说明 ，
然后根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，故A正确；∵ 、 分别是高和角平分线，∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；故B正确；∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
由A得： ，∴ ，故C错误；
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，故D正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、垂直的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角
形内角和定理是解题的关键．
8．（2023·山西吕梁·八年级统考期末）如图， 是等腰三角形， ， ，在腰 上取
一点D， ，垂足为E，另一腰 上的高 交 于点G，垂足为F，若 ，则 的长为
．
【答案】6
【分析】过点G作 交 于点M，过点M作 ，根据等腰三角形各角之间的关系得出，再由垂直及等量代换得出 ，利用等角对等边确定 ，
，再由全等三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：过点G作 交 于点M，过点M作 ，如图所示：
∵ ， ， ，∴ ， ， ，
∴ ， ∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ， ，
在 与 中， ，∴
∴ ，∴ ，故答案为：6．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟
练运用等腰三角形的判定和性质是解题关键．
9．（2024·重庆·三模）如图， 中， 于点 ， 于点 ， 与 相交于点 ，已
知 ， ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据 证明 ，得到 ，再根据 的面积 解答即可求解，证明 是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，
在 与 中， ， ∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 的面积 ，故答案为： ．
10．（23-24八年级上·安徽六安·期中）如图，在 中， ，两条高
交于点O，连接 ，则 ．
【答案】 /42度
【分析】本题考查了三角形的三条高交于一点，三角形内角和定理．熟练掌握三角形的三条高交于一点是
解题的关键．
如图，延长 交 于 ，则 为 边上的高，即 ，根据 ，
计算求解即可．
【详解】解：如图，延长 交 于 ，
∵两条高 交于点O，∴ 为 边上的高，即 ，
∴ ，故答案为： ．
11．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在 中， ， 、 分别是
的高和角平分线，点E为 边上一点，当 为直角三角形时，则 ．【答案】50或25/25或50
【分析】根据三角形内角和定理得 ，由角平分线的定义得 ，当 为直角三角
形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：∵ ，∴
∵ 平分 ∴
当 为直角三角形时，有以下两种情况：
①当 时，如图1，∵ ，∴ ；
②当 时，如图2，∴ ，
∵ ，∴ ，
综上， 的度数为 或 ．故答案为：50或25．
【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解
答此题的关键．
12．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在 中， ， 于 ， 平分
交 于 ，交 于F．(1)如果 ，求 的度数；(2)试说明： ．
【答案】(1) (2)见解析
【分析】（1）根据三角形内角和 可得 的度数，根据角平分线的定义可得 的度数，根据直角
三角形的性质可得 的度数；
（2）根据直角三角形的两锐角互余可得 ， ，根据角平分线的定
义可得 ，从而可得 ，即可得证．
【详解】（1）解： ， ， ，
平分 交 于 ， ， ；
（2）证明： ， ，
， ， ，
平分 交 于 ， ， ，
， ．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性
质是解题的关键．
13．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在 中， 平分 ， 为线段 上的一个
点， 交直线 于点 ．(1)若 ， ，求 的度数．(2)猜想 与 、
的数量关系．
【答案】(1) ；(2) ．
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于 是解答此题的关键．（1）首先根据三角形的内角和定理求得 的度数，再根据角平分线的定义求得 的度数，从而
根据三角形的内角和定理即可求出 的度数，进一步求得 的度数；
（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．
【详解】（1）解： ， ， ，
平分 ， ， ， ；
（2）如图，设 ， ， 平分 ， ，
， ， ， ，
， ，
， ， ．
14．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）（1）如图①，在Rt ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为
D，求证：∠ACD=∠B；（2）如图②，在Rt ABC中，∠C△=90°，D、E分别在AC，AB上，且
∠ADE=∠B，判断△ADE的形状？并说明理由△？（3）如图③，在Rt ABC和Rt DBE中，∠C=90°，
∠E=90°，点C，B，E在同一直线上，若AB⊥BD，AB=BD，则CE△与AC，DE△有什么等量关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析（2）直角三角形（3）CE=AC+DE
【分析】（1）根据直角三角形的性质得出∠ACD+∠A=∠B+∠DCB=90°，再解答即可；（2）根据直角三
角形的性质得出∠ADE+∠A=∠A+∠B=90°，再解答即可；（3）由AB⊥BD可得∠DBE+∠ABC=90°，进
而可证明∠A=∠DBE，利用AAS可证明 ABC≌ BDE，即可证明BC=DE，AC=BE，从而可证明
CE=AC+DE. △ △
【详解】（1）∵在Rt ABC中，∠ACB=90°， ∴∠A+∠B =90°，
∵CD⊥AB，∴∠ACD△+∠A=90°，∴∠ACD=∠B.（2） ADE是直角三角形，理由如下：∵在Rt ABC中，∠ACB=90°， ∴∠A+∠B =90°，
∵∠A△DE=∠B，∴∠A+∠ADE=90°，∴∠AED=△90°，即 ADE得直角三角形.
（3）CE=AC+DE，证明如下：∵点C、B、E在同一直线△上，AB⊥BD，∴∠DBE+∠ABC=90°，
∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE∵∠C=∠E=90°，AB=BD，∠A=∠DBE，∴△ABC≌ BDE，
∴BC=DE，AC=BE，∴CE=CB+BE=DE+AC. △
【点睛】此题考查直角三角形的判定与性质及全等三角形的判定，根据直角三角形的性质得出两锐角互余
是解题关键.
15．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知在 中， 于点D．
(1)如图1，若 的平分线交 于点E， ， ，则 的度数为______．
(2)如图2，点M、N分别在线段 、 上，将 折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分
别为 和 ，点G、F均在直线 上，若 ，试说明 ．
【答案】(1) (2)见解析
【分析】本题考查三角形综合题，涉及翻折变换，三角形的内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．（1）利用三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解决问
题，
（2）由折叠可知 和 ，由 得出 ，再根据三角形外角的性
质可得出 ，从而得出 ，即可
证明结论．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ， ，
∵ 平分 ，∴ ，∴ ．
（2）解：由折叠可知 ， ．
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，∴ ，∴ ．
16．（22-23八年级上·广西桂林·期中）如图， 中， ， ， 平分 ，
于D， ，交 于F，求：(1) 的度数；(2)当 平分 时， ，若
， ， ，请用含m，n，a的代数式表示 的长．
【答案】(1) ；(2) ．
【分析】本题考查了三角形的内角和 以及角平分线的定义，一元一次方程的应用．
（1）首先根据三角形的内角和定理求得 的度数，根据角平分线的定义求得 的度数，则
可以求解，然后在 中，利用内角和定理即可求得 的度数；
（2）设 ，则 ，代入计算即可求解．
【详解】（1）解： ， ， ，
平分 ， ，
， ， ， ，
， ， ；
（2）解：设 ，则 ，∵ ，且 ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，即 ．
17．（2024·河北邢台·八年级校考期中）在 中， ，D，E分别是边 和 延长线上
的点，连接 ， ， ．(1)如图1，若 ， ，求 的度数；(2)如
图2，已知 ．①判断 是否平分 ，并说明理由；②F为射线 上一点（不与点D
重合），过点F作 ，垂足为G．若 ， ，直接用含 ， 的式子表示出 的
度数．【答案】(1) (2)① 平分 ，理由见解析；② 或
【分析】（1）如图1，由 ， ，得 ，再根据三角形的外角性质即
可求解；（2）如图2，①根据 ， ， ，
可得 ，从而证明结论成立；②解：如图2，分两种情况：当点 在AD上时，
由角平分线定义及三角形的内角和定理可得 ，从而利用三角形外角性质得
，最后根据直角三角形的性质及补角即可求解；当点 在AD的延长线上时，先证明
，再利用平行线的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图1，∵ ， ，∴ ．
∵ 是 的外角，∴ ，∴ ．
（2）（2）① 平分 ，理由如下：
∵ ， ， ， ，
∴ ，∴AD平分 ；
②解：如图2，
分两种情况：当点 在AD上时．
∵AD平分 ，∴ ．∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
当点 在AD的延长线上时．∵ ， ，∴ ，
∴ ．综上所述， 的大小为 或 ．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质、直角三角形两锐角互余以及平行线的
判定及性质，熟练掌握三角形的内角和定理及其外角性质是解题的关键．
18．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在 中， ， 、 分别在边 、
上， 、 相交于点 ．
(1)给出下列信息：① ；② 是 的角平分线；③ 是 的高．请你用其中的两
个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件：______，结论：______．（填序号）
证明：
(2)在（1）的条件下，若 ，求 的度数．（用含 的代数式表示）
【答案】(1)①②；③；见解答(2)
【分析】（1）条件：①②，结论：③，由角平分线的性质可得 ，由 和
，得出 ，利用三角形内角和可得结论；
（2）利用（1）的结论和三角形外角性质即可得答案．
【详解】（1）条件：①②，结论：③，
证明：∵ 是 的角平分线，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ 是 的高．
条件：①③，结论：②，
证明：∵ 是 的高，∴ ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ∴ 是 的角平分线；
条件：②③，结论：①，
证明：∵ 是 的角平分线，∴ ，
∵ 是 的高，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ； 故答案为：①②；③；
证明：见解答；
（2）∵ ，∴ ，
∵ 是 的角平分线，∴ ，
∵ ，∴ ．
【点睛】本题考查命题与定理，掌握角分线的定义，三角形内角和定理，外角性质，掌握三角形外角的性
质是解题关键．
19．（2023·福建莆田·八年级校考期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，
那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分
割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，
我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
(1)如图1，在 中， ， ，请写出图中两对“等角三角形”；
(2)如图2，在 中， 为 的平分线， ， ．求证： 为 的“等角分割线”；
(3)在 中，若 ， 是 的“等角分割线”，请求出所有可能的 的度数．
【答案】(1) 与 ； 与 ； 与 （任意写出两对“等角三角形”即可）
(2)见解析 (3) 的度数为 或 或 或
【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得 ， ， ，
再根据“等角三角形”的定义即可得；
（2）先根据三角形的内角和定理可得 ，从而可得 ，根据等腰三角形的判
定可得 是等腰三角形，再根据三角形的内角和定理可得 ，从而可得 与
是“等角三角形”，然后根据等角分割线的定义即可得证；
（3）分①当 是等腰三角形， 时；②当 是等腰三角形， 时；③当 是等
腰三角形， 时；④当 是等腰三角形， 时四种情况，利用等腰三角形的性质、三
角形的外角性质求解即可得．
【详解】（1）解： ， ， ，
， ， ，
与 ； 与 ； 与 是“等角三角形”．（任意写出两对“等角三角
形”即可）
（2）证明：在 中， ， ，∴ ，
∵ 为角平分线，∴ ，∴ ， ，
∴ ，∴ 是等腰三角形，
∵在 中， ， ，∴ ，
∴ ，∴ 与 是“等角三角形”，∴ 为 的等角分割线．
（3）解：由题意，分以下四种情况：
①当 是等腰三角形， 时， ，
∴ ；
②当 是等腰三角形， 时， ， ，
∴ ；③当 是等腰三角形， 时， ，
∴ ；
④当 是等腰三角形， 时， ，
设 ，则 ， ，
由三角形的外角性质得： ，即 ，解得 ，
∴ ；
综上， 的度数为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，较难的是题（3），
正确分四种情况讨论是解题关键．
20．（2023下·河南新乡·七年级期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线
段”为主题开展数学活动．
(1)【操作判断】在 中， ， ，作 的平分线 交 于点 ．
①操作一：在下图中，用三角尺作 边上的高 ，垂足为点 ，求 的度数；
②操作二：如图1，在 上任取点 ，作 ，垂足为点 ，直接写出 的度数；
(2)【迁移探究】操作三：如图2，将（1）中“在 上任取点 ”改为“在 的延长线上任取点 ”其
他条件不变，判断 的度数是否会发生变化，并说明理由；(3)【拓展应用】如图3、图4在 中， ， ， 是 的平分线，在直线 上任取
点 ，过点 作 与直线 交于点 ，请直接写出 与 ， 之间的数量关系．
【答案】(1)① ；② (2)不变，理由见解析
(3)对于图3 ；对于图4
【分析】（1）①由三角形内角和得到 ，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余
求解即可得到答案；②由①的求解过程，同理即可得到答案；
（2）由三角形内角和得到 ，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得
到答案；（3）对于图3，由三角形内角和得到 ，再由角平分线定义、外角性质及直角
三角形两锐角互余求解即可得到答案；对于图4，由三角形内角和得到 ，再由角平分
线定义、三角形内角和定理及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案．
【详解】（1）解：①如图所示：
在 中， ， ， ，
是 的平分线， ，
是 的一个外角， ，
用三角尺作 边上的高 ，垂足为点 ， ；
②如图所示: 是 的一个外角， ，
， ；
（2）解：不变，理由如下：由（1）可知 ， ，
是 的一个外角， ，
， ；
（3）解：如图所示：
在 中， ， ， ，
是 的平分线， ，
是 的一个外角， ，
， ；如图所示：
在 中， ， ， ，
是 的平分线， ，
，， ；
综上所述，对于图3 ；对于图4 ．
【点睛】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质、直角三角形两锐
角互余等知识，数形结合是解决问题的关键．
