文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题23 全等与相似模型之十字架模型
几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几
何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学
生更好地理解和掌握。
.........................................................................................................................................................................................1
模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）.........................................................................................................1
模型2.矩形中的十字架模型（相似模型）.............................................................................................................6
模型3.等边三角形中的斜十字模型（相似模型）.................................................................................................8
模型4.直角三角形中的十字模型（相似模型）.....................................................................................................9
..................................................................................................................................................10
模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）
“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐
角及一组全等的三角形。
条件：1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；结论：AE=BF。
证明： 四边形 是正方形， ， ，∴
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
AE⊥BF，∴ ， ， ，∴AE=BF。
条件：2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；结论：
AE=GF。
证明：在FC上取一点P，使得GB=PF，连结BP。
四边形 是正方形，∴AB//CD，∴四边形 是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP，
同1）中证明，可得AE=GF。
条件：3）如图3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF；
结论：HE=GF。
证明：在FC、BE上取一点P、Q，使得GB=PF，AH=QE，连结BP、AQ。
四边形 是正方形，∴AB//CD，∴四边形 是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP，
同理可证得：四边形 是平行四边形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中证明，可得HE=GF。
例1．（2023.江苏吴江九年级期中）如下图，将边长为9cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边
CD上的E点，折痕为MN．若CE的长为6cm，则MN的长为 cm．
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
例2．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形 中， ，点E，F分别在边 ，
上， 与 相交于点G，若 ，则 的长为 ．
例3．（2024·广东梅州·一模）如图，E、F分别是正方形 的边 ， 上的点，且 ， ，
相交于点 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ 中，正确的结论有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例4．（23-24江苏九年级期中）苏科版八下数学教材中，对正方形的性质和判定进行了探究，同时课本94
页第19题对正方形中特殊线段的位置和数量关系也进行了探究，在此，我们也来作进一步的探究，如图
1，探究所提供的正方形 的边长都为2．
【探究】(1)如图2，在正方形 中，如果点E、F分别在 、 上，且 ，垂足为M，那么
与 相等吗？证明你的结论．
【应用】(2)如图3，在正方形 中，动点E、F分别在边 、 上，将正方形 沿直线 折
叠，使点B对应的点M始终落在边 上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处， 与 交于
点P，设 ，求线段 的长（用含t的式子表示）．
【拓展】(3)如图4，在正方形 中，E是 的中点，F、G分别是 、 上的动点，且 ，
求 的最小值．
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
模型2.矩形中的十字架模型（相似模型）
矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩
形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。
1）条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论： .
证明： 四边形 为矩形， ， ；
DE⊥AC， ， ， ， ， .
2）条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论： .
证明：如图，过点F作 于点G，则 ；
四边形 为矩形， ， 四边形 为矩形， ；
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
； EF⊥AC， ， ；
， ， ，易证：DC=AB，FG=BC， .
3）条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，EF⊥MN，结论：
.
证明：如图：过点N、F作 、 垂直 ， ；
四边形 为矩形， ， 四边形 为矩形， ；
∵EF⊥MN， ，∴ ；
又∵ （对顶角相等），∴ ；
∴ ， ，易证：NH=AB，FG=BC， .
例1．（2024·山西大同·模拟预测）矩形 中，E为AD边上一点，且 ， ．将 沿
翻折到 处，延长 交 边于G点，延长 交CD边于点H，且 ，则线段 的长
为 ．
例2．（22-23下·衢州·二模）在矩形 中，E是 边的中点，连接 ，过点B作 于点F，
射线 与直线 交于点P，设 ．
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如图①，若 ，求证： ；(2)如图②，当点P恰好与点D重合时，试确定m的值；
(3)作点B关于直线 的对称点 ，当以点P，D， 为顶点的三角形是等腰三角形时，求 的值．
例3．（2023年河南九年级中考三模数学试题）综合与实践
【问题发现】(1)如图1，在正方形 中，点E，F，G，H分别在边 ， ， ， 上，且
于点O．试猜想线段 与 的数量关系为__________；
【类比探究】(2)如图2，在矩形 中， ， ，点E，F，G，H分别在边 ， ， ，
上，连接 ， ，且 ，垂足为O．试写出线段 与 的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】(3)如图3，在四边形 中， ， ，点M，N分别在边 ， 上，
连接 ， ，且 ，垂足为O．已知 ， ，若点M为 的三等分点，直接写
出线段 的长．
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
模型3.等边三角形中的斜十字模型（相似模型）
条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），
结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。
证明：如图，在等边 中， ， ，
在 与 中， ， ，∴AD=BE， ；
，∴AD和BE夹角为60°；
， ， ，同理：
，
例1．（23·24下·淄博·一模）如图，等边 ，点E，F分别在AC，BC边上， ，连接AF，
BE，相交于点P．(1)求 的度数；(2)求证： ．
例2．（23·24·南通·模拟预测）如图，已知 是等边 内的一点，且 ，延长 ， ，分
别交 ， 于点D，E．若 ， ，则 的周长等于 ．
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
例3．（23·24下·吉安·模拟预测）课本再现：
(1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边 上的点，且 ．求证： ．下面是小涵同
学的证明过程：证明：∵ 是等边三角形，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
小涵同学认为此题还可以得到另一个结论： 的度数是 ；
迁移应用：(2)如图2，将图1中的 延长至点G，使 ，连接 ．利用（1）中的结论完成
下面的问题．①求证： ；②若 ，求证： ；拓展提升：(3)在等边 中，
若点D，E分别在射线 上，连接 交于点F，且 ，将 绕点C逆时针旋转到
，且使得 ．直线 与直线 交于点P，若 ，则 的值为
模型4.直角三角形中的十字模型（相似模型）
该模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形两类情况讨论。
1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，
④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦ ，以上七个结论中，可“知二得五”。
证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。
如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，
∴∠CBH+∠CHB=90°
∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，
∴∠CHB=∠ADB，
∵AB=BC，∴ ，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH，
易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴ ，∴AF：CF=BA：HC=2：1
∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°，
∵DC=CH，CF=CF，∴ ，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD，
∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD，
如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°，
∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴ ，
∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证： ，∴EA：QC=AF：CF=2：1。
∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴ QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°，
∴∠AEC=135°， 。
2）直角三角形中的十字模型：
如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦ ，以上七个结论中，可“知二得五”。
（全等+相似）
证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。
由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证
明，有兴趣的同学可以自行证明即可。
例1．（23·24上·深圳·期中）如图，在 中， ， ，点D为 边上的中点，
连接 ，过点B作 于点E，延长 交 于点F．则 的长为 ．
例2．（23·24下·沧州·二模）如图，在 中， ， ，点D是线段 上的一点，
连接 ，过点B作 ，分别交 、 于点E、F，与过点A且垂直于 的直线相交于点G，连
接 ，下列结论错误的是（ ）
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B．若点D是AB的中点，则
C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若 ，则
例3．（23·24下·三明·期末）如图①，在 中， ， ，点D在边 上，过点C作
，垂足为M，交 于点E．
(1)小亮通过探究发现 ，请你帮他说明理由；(2)如图②， 平分 交 于点N，小
明通过度量猜想有 ，他的猜想正确吗？请你帮他说明理由；(3)如图③，连接 ，若D是 的
中点，小刚通过探究得到结论 ，请你帮他说明理由．
1．（23-24江苏八年级期末）如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G
处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则 GPQ的周长最小值是（ ）
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
2．（2023安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形 中，点E、F、H分别是 的中点，
交于G，连接 ．下列结论：① ；② ；③ ；④
．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（23·24下·贵港·一模）如图，在等边 的 ， 边上各任取一点 ， ，且 ， ，
相交于点 ，下列三个结论：①若PC=2AP，则BO=6PO；②若 ， ，则 ，③
，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（23·24·德州·二模）如图，正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE，过点D作DM⊥AE，
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
垂足为点M，交AB于点F．将△AMF沿AB翻折得到△ANF．延长DM，AN交于点P． 给出以下结论
① ；② ；③ ；④若 ，则 ；．
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④
5．（23·24下·江门·模拟预测）如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，
连接AD，过点C作CG⊥AD，分别交AD、△AB于点G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，点D
是BC的中点，连接DE．则 = ；
6．（23·24下·山西·一模）如图，在Rt ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC边上的中线，过点
B作AE的垂线BD，垂足为H，交AC于△点D，则AD的长为 ．
7．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在 中， ， ，点D为 边上
一动点（不与点B、C重合）， 垂直 交 于点E，垂足为点H，连接 并延长交 于点F，下
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
面结论：①若 是 边上的中线，则 ；②若 平分 ，则 ；③若 ，
则 ；④当 时， ．正确的有（填序号） ．
8．（23·24上·珠海·期中）在 中， ， ，D为 中点，连接 ，过点C作
于点E，交 于点M．过点B作 交 的延长线于点F，则下列结论正确的有
（请填序号）① ；② ；③连接 ，则有 是等边三角形；④连接
，则有 垂直平分 ．
9．（23·24上·无锡·期末）如图，在边长为3的等边 中，D、E分别为边 上的点 ，
与 相交于点P， ．若 ，则 ．
10．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图所示，在矩形 中，F是 上一点， 平分 交 于
点E，且 ，垂足为点M， ， ，则 的长是
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
11．（2023·北京海淀·一模）如图，正方形 中，点 分别在 上， 交于
点 ；(1) _______．(2)在线段 上截取 ，连接 的角平分线交 于点 ．
①依题意补全图形；②用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
12．（2024·河南·一模）综合与实践
数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形 中，已知 ，求证： ．
甲小组同学的证明思路如下：由同角的余角相等可得 ．再由 ，
，证得 （依据：________），从而得 ．
乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知 ，同样可证得 ，证明思路如下：
由 ， 可证得 ，可得 ，再根据角的等量代换即可
证得 ．
完成任务：（1）填空：上述材料中的依据是________（填“ ”或“ ”或“ ”或“ ”）
【发现问题】同学们通过交流后发现，已知 可证得 ，已知 同样可证得 ，
为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．
【迁移探究】（2）在正方形 中，点E在 上，点M，N分别在 上，连接 交于点
P．甲小组同学根据 画出图形如图2所示，乙小组同学根据 画出图形如图3所示．甲小
组同学发现已知 仍能证明 ，乙小组同学发现已知 无法证明 一定成
立．
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
①在图2中，已知 ，求证： ；②在图3中，若 ，则 的度数为多少?
【拓展应用】（3）如图4，在正方形 中， ，点E在边 上，点M在边 上，且
，点F，N分别在直线 上，若 ，当直线 与直线 所夹较小角的度数为
时，请直接写出 的长．
13．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）请阅读，完成证明和填空．
九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
(1)如图1，正三角形 中，在 、 边上分别取点 、 ，使 ，连结 、 ，发现
，且 .请证明： .
(2)如图2，正方形 中，在 、 边上分别取点 、 ，使 ，连结 、 ，那么
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
______，且 ______度．
(3)如图3，正五边形 中，在 、 边上分别取点 、 ，使 ，连结 、 ，那么
______，且 ______度．
(4)在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．
请大胆猜测，用一句话概括你的发现：________________________________．
14．（23-24八年级下·江西宜春·期中）[特例感知]如图1，在正方形 中，点E，F分别为 ，
的中点， 、 交于点G．
（1）易证 ，可知 、 的关系为___________；（2）连接 ，若 ，求 的长．
[初步探究]如图2，在正方形 中，点E为 边上一点， 分别交 、 于F、G，垂足为
O．求证： ．
[基本应用]如图3，将边长为6的正方形 折叠，使得点A落在边 的中点M处，折痕为 ，点
P、Q分别在边 、 上，请直接写出折痕 的长： ________．
[应用拓展]如图4，在四边形 中， ， ， ， ， 于
E， 交 于F，则 长为________．
15．（23·24下·成都市·九年级期中）已知四边形 中， 、 分别是 、 边上的点， 与
交于点 ．（1）如图①，若四边形 是矩形，且 ，求证： ； （2）如图②，
若四边形 是平行四边形，试探究：当 与 满足什么关系时， 成立？并证明你的
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
结论；（3）如图③，若 ， ， ， ，请直接写出 的值．
16．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）【实践探究】
（1）如图1，矩形 中， 交 于点E，则 的值是______；
【变式探究】（2）如图2， 中， 为 边上一点，连接
，交 于点E，若 ，求 的长；
【灵活应用】（3）如图3，在矩形 中， ，点E，F分别在 上，以 为折痕，将四边
形 翻折，使得 的对应边 恰好经过点A，过点A作 交 于点N，若 ，设
的面积为 的面积为 的面积为 ，若 ，则 的值为_______．
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
17．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相
邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中
平行四边形”．
(1)如图1所示，四边形 为“垂中平行四边形”， ， ，则 ________；
________；
(2)如图2，若四边形 为“垂中平行四边形”，且 ，猜想 与 的关系，并说明理由；
(3)①如图3所示，在 中， ， ， 交 于点 ，请画出以 为边的垂
中平行四边形，要求：点 在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若 关于直线 对称得到 ，连接 ，作射线 交①中所画平行四边形的边于点 ，连接
，请直接写出 的值．
18．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）【数学模型】（1）如图1，在矩形 中， ， ，
点 、 分别在边 、 上， ，垂足为点 ，则 ．
【模型探究】（2）如图2，在平行四边形 中，点 、 分别在边 、 上， 与 交于点 ，
且 ，请证明： ；
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【拓展应用】（3）如图3，白云小区有一块四边形绿地 ，为了居民出行方便计划在四边形 中
修两条小路，在边 上取一点 ，连接 与 交于点 ， 、 即为规划的两条小路，其中
， ， ，且 ，求两条小路长度的比，即求 的值．
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
21
