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专题 06 三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型
近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握
的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模
型(M型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，
这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：猪蹄模型（M型）
【模型解读】
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P+∠P=∠A+∠B+∠P
1 3 2.
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P+∠P+...+∠P =∠A+∠B+∠P+...+∠P
1 3 2n+1 2 2n.
例1．（2022·河南·统考二模）如图， ， ， ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物
线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线 ， 反射后沿着与 平行的方向射出，已知图中
， ，则 的度数为（ ）
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A． B． C． D．
例3．（2023春·四川泸州·七年级校考期末）如图所示，若AB∥EF，用含 、 、 的式子表示 ，应为
（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们
青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进
滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺
直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示， ，当人脚与地面的夹角
时，求出此时上身 与水平线的夹角 的度数为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023春·河南驻马店·九年级专题练习）已知 ， ， ，
若 ，则 为（ ）
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A．23° B．33° C．44° D．46°
例6．（2022·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的
断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口
问题”．（1）如图（2）所示，已知 ，请问 ， ， 有何关系并说明理由；
（2）如图（3）所示，已知 ，请问 ， ， 又有何关系并说明理由；
（3）如图（4）所示，已知 ，请问 与 有何关系并说明理由．
模型2：铅笔头模型
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图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
例1．（2023·广东·统考二模）如图所示，已知 ，那么 （ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
例 2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台
平行 若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2
所示的数学图形．已知 垂直地面上的直线 于点 ，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的 段将
绕点 缓慢向上抬高， 段则一直保持水平状态上升（即 始终平行于 ）．在该运动过程中，当
时， 的度数是（ ）
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A． B． C． D．
例4．（2023春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果AB CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °．
例5．（2022春·河北保定·七年级校考期中）如图，已知 ，则 ，则
等于 （用含 的式子表示）．
模型3：牛角模型
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论： . 如图2，已知：AB∥DE，结论： .
例1．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，若 ，则∠1+∠3-∠2的度数为
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例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平
分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．
例4．（2023春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线 ，点 为直线 ， 所确定的平面内
的一点，(1)问题提出：如图1， ， ．求 的度数：
(2)问题迁移：如图2，写出 ， ， 之间的数量关系，并说明理由：
(3)问题应用：如图3， ， ， ，求 的值．
例5．（2023·余干县八年级期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量
关系为 ；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间
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的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM= ∠MBE，∠CDN= ∠NDE，直线MB、ND交于点
F，则 = ．
模型4：羊角模型
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论： .
如图2，已知：AB∥DE，结论： .
例1．（2023春·上海·七年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为
．
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例2．（2022·江苏七年级期中）如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D
例4．（2023·河南·统考三模）如图，已知 ， ， ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图， ， ， ， ，点 是
上一点． （1） 的度数为 ；（2）若 ．则 与 （填“平行”或
“不平行”）．
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模型5：蛇形模型（“5”字模型）
基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论： .
如图2，已知：AB∥DE，结论： .
例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，
如图，若 ，则 等于（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
例2．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若 ， ， ，则 的度数是
（）
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A．115° B．130° C．140° D．150°
例3．（2023·河南周口·校联考三模）如图， ， ， ，则 的度数是（
）
A． B． C． D．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， ， ， 平分 ，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023·江西·九年级校考阶段练习）如图 于点D，将 绕点A
逆时针旋转 ，使 ，则 的最小值为 ．
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课后专项训练
1．（2023·山东临沂·统考二模）如图， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，已知： ， ，求证： ．在证明该结
论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（ ）
A．延长 交 的延长线于点 B．连接 C．分别作 ， 的平分线 ，
D．过点 作 （点 在点 左侧），过点 作 （点 在点 左侧）
3．（2023·浙江台州·统考一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若
， ，则 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线 、 平行，则 （ ）．
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A． B． C． D．
5．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，若 ， ，那么 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·安徽芜湖·七年级期中）如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与
∠ABE 互补，则∠F 的度数为
A．30° B．35° C．36° D．45°
7．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中 ， ，
，则 的度数为（ ）
A．56 B．66 C．98 D．104
8．（2023春·重庆江津·七年级校联考期中）如图，AB CD，∠ABE＝ ∠EBF，∠DCE＝ ∠ECF，设
∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（ ）
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A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360° C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°
9．（2022·江苏七年级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠3－∠2的度数等于 __________．
10．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图所示， ， ， ，则 度．
11．（2022·四川成都·七年级期末）已知直线 ，射线 、 分别平分 ， ，两射
线反向延长线交于点 ，请写出 ， 之间的数量关系：________．
12．（2022·黑龙江·七年级月考）如图， ，E是 上的点，过点E作 ，若
， 平分 ， ， ，则 _______．
13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知 ， ，求 的度数．
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14．（2023春·重庆南岸·九年级校考期中）在数学课上老师提出了如下问题：
如图， ，当 与 满足什么关系时， ?
小明认为 时 ，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作
图与填空：
解：用直尺和圆规，在 的右侧找一点M，使 （只保留作图痕迹）．
∵ ，
∴①_____________
∵
∴ ②_________ ，
∵ ，
∴ ③__________ ，
∴④_____________
∴ ．
所以满足的关系为：当 时， ．
15．（2023春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）（1）如图（1） ，猜想 与 的关系，
说出理由．
（2）观察图（2），已知 ，猜想图中的 与 的关系，并说明理由．
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（3）观察图（3）和（4），已知 ，猜想图中的 与 的关系，不需要说明理由．
16．（2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习）（1）如图①，如果 ，求证： ．
（2）如图②， ，根据上面的推理方法，直接写出 ___________．
（3）如图③， ，若 ，则 ___________（用x、
y、z表示）．
17．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）如图， ，点E为两直线之间的一点．
(1)如图1，若 ， ，则 ；
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如图1，若 ， ，则 ；
(2)如图2，试说明， ；(3)如图3，若 的平分线与 的平分线相交
于点F，判断 与 的数量关系，并说明理由．
18．（2022·湖南株洲市八年级期末）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分
别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，
∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
（1）如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；（提示：过点P作PM∥a）
（2）当点P在线段EF外运动时有两种情况，①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明．
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
19．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中， AB CD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．
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解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯
碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．
20．（2023春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，
(1)求证： ：
(2)如图②， 分别为 的平分线所在直线，试探究 与 的数量关系；
(3)如图③，在（2）的前提下，且有 ，直线 交于点P， ，直接写出
．
21．（2023春·广东·七年级专题练习）（1）如图1， ， ， ，直接写出
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的度数．（2）如图2， ，点 为直线 间的一点， 平分 ， 平分 ，
写出 与 之间的关系并说明理由．（3）如图3， 与 相交于点 ，点 为 内一点，
平分 ， 平分 ，若 ， ，直接写出 的度数．
22．（2023春·福建三明·七年级校考期中）探索：小明在研究数学问题：已知 ，AB和CD都不经
过点P，探索 与 、 的数量关系．
发现：在图1中， ；如图5
小明是这样证明的：过点Р作
∴ ___________
∵ ， ．
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∴ __________
∴
∴
即
（1）为小明的证明填上推理的依据；
（2）理解：
①在图2中， 与 、 的数量关系为_____________________；
②在图3中，若 ， ，则 的度数为_________________；
（3）拓展：
在图4中，探究 与 、 的数量关系，并说明理由．
23．（2023春·山东·七年级专题练习）如图1，直线AB CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F
在CD上，连接PE，PF．
（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）
（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说
明理由，请直接写出答案）
（3）如图3，在图1的基础上，作PE平分∠PEB，PF平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则
1 1
∠P= （用含x，y的式子表示）．若PE平分∠PEB，PF平分∠PFD，可得∠P；PE平分∠PEB，PF
1 2 1 2 1 2 3 2 3
平分∠PFD，可得∠P…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y的式子表示）
2 3
19
