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专题03 三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型
近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”
字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型
图1 图2
8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：① ；②
。
8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
例1．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图）， 与 的交点为 ，且 ，
， 保持不变．为了舒适，需调整 的大小，使 ，则图中 应 （填
“增加”或“减少”） 度．
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例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．
例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段 相交于点O，连接 ，则我
们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证： ；(2)如图2，若 和 的平
分线 和 相交于点P，且与 分别相交于点 ．①若 ，求 的度数；
②若角平分线中角的关系改为“ ”，试探究 与 之间的数量
关系．
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例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段 ， 交于点 ，连接 ， ，判断 与 的大小关系，并说明理由；
(2)如图2， 平分 ， 为 上任意一点，在 ， 上截取 ，连接 ， ．求证：
；
(3)如图3，在 中， ， 为角平分线 上异于端点的一动点，求证： ．
例5．（2023春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能
够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为
基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问
题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论 ．
我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论 ．
(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：
如图2， 、 分别平分 、 ，说明： ．
(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：
①如图3，直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，若 ， ，求
的度数．②在图4中， 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，猜想 与 、
的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中， 平分 ， 平分 的外角
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，猜想 与 、 的关系（直接写出结果，无需说明理由）．
模型2、“A”字模型
结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。
例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若 ，那么 的度数为
．
例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图， 中， ，直线 交 于点D，交 于点
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E，则 （ ）．
A． B． C．235 D．245
例3．（2022·福建泉州·九年级校考期中）如图， ，若 ，那么
（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示， 的两边上各有一点 ，连接 ，求证
．
例5．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在 中， ，现将一块直角三角板放在
上，使三角板的两条直角边分别经过点 ，直角顶点D落在 的内部，则 （ ）．
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A． B． C． D．
例6．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1， 为直角三角形， ，若沿图中
虚线剪去 ，则 __________；
（2）如图2，在 中， ，剪去 后成为四边形，则 __________；
（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳 与 的关系是______________；
（4）若没有剪去 ，而是将 折成如图3的形状，试探究 与 的关系，并说明理由．
例7．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF = ∠A + ∠B + ∠C；
应用上面模型解决问题：
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(1)如图（2），“五角星”形，求 ？
分析： 图中 是“A”型图，于是 ，所以 = ；
(2)如图（3），“七角星”形，求 ；
(3)如图（4），“八角星”形，可以求得 = ；
模型3、三角板模型
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【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，
例1．（2023·山西吕梁·联考模拟预测）如图： 和 是两块直角三角尺，两直角三角尺的
斜边AB、DE在同一直线上，其中 ， ， ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023春·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中 ， ，
，若 相交于点E，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
例3.（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在 的延长线上，点
C、F分别为直角顶点，且 ， ，若 ，则 的度数是（ ）
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A．15° B．20° C．25° D．30°
例3．（2023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含 角的直角三角板的直角顶点在另
一个三角板的斜边上，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）如图， ，一副直角三角板 和 如图摆放，
， ，若 ，则下列结论：① ；② ；③ ；
④ 平分 ，正确的有 ．（填序号）
例5．（2023春·湖南衡阳·七年级统考期末）一副三角板如图1摆放， ， ，
，点 在 上，点 在 上，且 平分 ，现将三角板 绕点 以每秒 的速度顺
时针旋转（当点 落在射线 上时停止旋转），设旋转时间为 秒．
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(1)当 ______秒时， ；当 ______秒时， ；
(2)在旋转过程中， 与 的交点记为 ，如图2，若 有两个内角相等，求 的值；
(3)当边 与边 、 分别交于点 、 时，如图3，连接 ，设 ， ，
，试问 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
课后专项训练
1．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图， 的度数为（ ）
A．540° B．500° C．460° D．420°
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形 中， ，若沿图中虚线剪去 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角
板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠ABD+∠ACD的值为( )
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A．60° B．50° C．40° D．30°
4．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在 中， ，若沿图中虚线剪去 ，则
的度数是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中 ，
， 则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在由线段 组成的平面图形中，
，则 的度数为（ ）．
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A． B． C． D．
7．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）一副三角板如图所示放置，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·海南海口·九年级校考期末）将一个直角三角板 与一个直尺按如图所示的方式摆放，若
， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
9（2022春·广东揭阳·八年级校考期末）探索归纳：
（1）如图1，已知 ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2= °．
（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2= °．
（3）如图2，根据△（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ．
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10．（2022·安徽·八年级校考期中）如图，若 ，则
．
11．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知 ，
．
12．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图 ，将三角板 与三角板 摆放在一起；如图 ，其
中 ， ， ．固定三角板 ，将三角板 绕点 按顺时针方
向旋转，记旋转角 ．
(1)在旋转过程中，当 为 度时， ；当 为 度时， ．
(2)当 时，连接 ，利用图 探究 值的大小变化情况，并说明理由．
13．（2023春·安徽宿州·八年级校联考期中）小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣．
他用一副三角板拼成了如下两幅图．(1)图1中， 的度数是______．(2)①求图1中 的度数；②
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图2中， ，求 的度数．
14．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图所示，有一块直角三角板 足够大 ，其中，
把直角三角板放置在锐角 上，三角板 的两边 、 恰好分别经过 、 ．
(1)若 ，则 ______ ， ______ ， ______
(2)若 ，则 ______ ．（写出求解过程）
(3)请你猜想一下 与 所满足的数量关系，并说明理由．
15．（2023·福建南平·八年级统考期末）结论：直角三角形中， 的锐角所对的直角边等于斜边的一半.
如图①，我们用几何语言表示如下：
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∵在 中， ， ，∴ .
你可以利用以上这一结论解决以下问题：如图②，在 中， ， ， ， ，
（1）求 的面积；（2）如图③，射线 平分 ，点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿
着射线 的方向运动，过点 分别作 于 ， 于 ， 于 .设点 的运动时间
为 秒，当 时，求 的值.
16．（2022·广东云浮·九年级校考期中）把一副三角板按如图甲放置，其中 ，
， ，斜边 ， ．把三角板 绕点 顺时针旋转 得到 （如
图乙）．这时 与 相交于点 、与 相交于点 ．
(1)写出 度；(2)线段 的长为 ；(3)若把 绕着点 顺时针旋转 得 ，
这时点 在 的内部、外部、还是边上？说明理由．
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17．（2022·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°．
(1) 若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数；
(2) 若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．
18．（2023·广东湛江·八年级统考期中）问题情景：如图①，有一块直角三角板 放置在 上（
点在 内），三角板 的两条直角边 、 恰好分别经过点 和点 ．探究 与 是
否存在某种确定的数量关系．
(1)特殊探究：若 ，则 ____度， ____度， ____度；
(2)类比探索：请探究 与 的关系；
(3)类比延伸：如图②，改变直角三角板 的位置，使 点在 外，三角板 的两条直角边 、
仍然分别经过点 和点 ，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理
由．
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19．（2023·安徽淮北·八年级统考期末）如图，在 中， ，直线 分别交 的边 、
和 的延长线于点D、E、F．(1)若 ，则 ．(2) 、 、 有什么数
量关系？请说明理由．
20．（2023·山东青岛·八年级校联考期末）阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】探索一：如图1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 ；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间
的数量关系为 ．
【模型应用】应用一：如图4，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角
∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P．则∠A＝ （用含有α和β的代数式表示），
∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角
∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
【拓展延伸】拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB，试问∠P与
∠C、∠B之间的数量关系为 ．（用x、y表示∠P）
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写
出结论 ．
17
