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重难点突破 07 三角形的 6 种模型
（A 字、8 字、飞镖、老鹰抓小鸡、双角平分线模型、三角形折叠）
目 录
题型01 A字模型
题型02 8字模型
题型03 飞镖模型
题型04 老鹰抓小鸡模型
题型05 双角平分线模型
题型06 三角形折叠模型
【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型 01 A 字模型
【模型介绍】图形像“A”字，故曰“A”字模型.
已知 图示 结论（性质）
已知△ABC，延长AB ∠1+∠2=∠A+180°
至D，延长AC至E
1．（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，
若∠1=125°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．55°
【答案】A
【分析】根据三角形外角的性质可得∠3=∠1−∠4，根据平行线的性质可得∠2=∠3．
【详解】解：如图，
由题意知∠4=90°，AB∥CD，
∵ ∠1=∠4+∠3，∠1=125°，
∴ ∠3=∠1−∠4=125°−90°=35°，
∵ AB∥CD，
∴ ∠2=∠3=35°．
【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的定义和性质，解题的关键是掌握：三角形的外角等于与它
不相邻的两个内角的和；两直线平行，同位角相等．
2．（2020·四川广安·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形
BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（ ）
A．210° B．110° C．150° D．100°
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和定理可得∠AMN＋∠ANM=150°，根据平角的定义可得∠1＋∠AMN=180°，
∠2＋∠ANM=180°，从而求出结论．
【详解】解：∵∠A=30°，
∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°
∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°
∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210°
故选A．
【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键．
3．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图，将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形．下列判断正确的是
（ ）
结论①：变成五边形后外角和不发生变化；
结论②：变成五边形后内角和增加了360°；
结论③：通过图中条件可以得到∠1+∠2=240°；
A．只有①对 B．①和③对 C．①、②、③都对 D．①、②、③都不对
【答案】B
【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】根据多边形的外角和是360°，判断①，根据多边形内角和公式即可判断②，根据三角形的外角的
性质即可求解．
【详解】解：①任意多边形的外角和是360°，故①正确；
根据多边形内角和定理(5−2)×180°−(4−2)×180°=180°，
四边形ABCD剪掉一个角得到五边形内角和增加了180°，故②错误，
如图所示，
∵∠1=∠4+∠A,∠2=∠3+∠A
∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠A+∠A=180°+∠A=180°+60°=240°，故③正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上
知识是解题的关键．
4．（2023·广东广州·统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发
现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2= 度．
【答案】240
【分析】由等边三角形的性质可得∠A=60°，再根据三角形外角的性质和内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，
∵ △ABC是等边三角形，
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∴ ∠A=60°，
∵ ∠1=∠A+∠AED，∠2=∠A+∠ADE，
∴ ∠1+∠2=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∵ ∠AED+∠A+∠ADE=180°，
∴ ∠1+∠2=∠A+180°=60°+180°=240°，
故答案为：240．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理等，解题的关键是掌
握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
5．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，在四边形纸片中，∠D＝50°，若沿图中虚线剪去∠D，则
∠1＋∠2＝ °．
【答案】230
【分析】根据三角形的内外角之间的关系可求解.
【详解】解：三角形的内角和等于180°，∠D＝50°，
∴∠1=∠D+∠DFE，∠2=∠D+∠≝¿.
∵∠≝+∠DFE+∠D=180°，
∴∠1+∠2=∠≝+∠DFE+∠D+∠D=180°+50°=230°.
故答案为：230.
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是明确三角形的内外角之间的关系和三角形的内角
和等于180°的知识点.
6．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，∠DAE的两边上各有一点B,C，连接BC，求证
∠DBC+∠ECB=180°+∠A．
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【答案】见解析
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．
【详解】解：∵∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，
∴∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC．
又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关
键．
题型 02 8 字模型
【模型介绍】图形像“8”字，故曰“8”字模型.
已知 图示 结论（性质）
已知AD，BC相交于O ∠A+∠B=∠C+∠D
已知线段AP平分 1
∠P= (∠B+∠D)
∠BAD，线段CP平分 2
∠BCD
7．（2023下·北京海淀·七年级北京市十一学校校考期中）如图，AD、BC相交于点O，连接AB、CD．
下列结论正确的是（ ）
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A．∠BOD=∠B B．∠AOC<∠D
C．∠BOD=∠C+∠D D．∠AOC=∠A+∠C
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质进行求解即可．
【详解】解：由三角形外角的性质可知，∠BOD=∠B+∠A=∠C+∠D，
∠AOC=∠D+∠C=∠A+∠B，
∴∠AOC>∠D，
∴四个选项中只有C选项结论正确，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度
数之和是解题的关键．
8．（2023·黑龙江大庆·统考三模）如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，若∠C=28°，
∠D=22°，则∠P的度数为（ ）
A．22° B．25° C．28° D．30°
【答案】B
1 1
【分析】设∠CAD=a，∠CBD=b，根据角平分线的定义可知，∠DAP=∠PAC= ∠CAD= a，
2 2
1 1 1 1
∠DBP=∠PBC= ∠CBD= b，再根据三角形外角的性质可得 a+∠P= b+28°，
2 2 2 2
1 1
a+22°= b+∠P，从而可得28°−∠P=∠P−22°，再进行求解即可．
2 2
【详解】解：如图，设∠CAD=a，∠CBD=b，
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∵AP平分∠CAD，BP平分∠CBD，
1 1 1 1
∴∠DAP=∠PAC= ∠CAD= a，∠DBP=∠PBC= ∠CBD= b，
2 2 2 2
∵∠BFA=∠FAP+∠P，∠BFA=∠CBP+∠C，
∴∠FAP+∠P=∠CBP+∠C，
1 1 1 1
∴ a+∠P= b+28°，即 a− b=28°−∠P，
2 2 2 2
又∵∠AEB=∠DAP+∠D，∠AEB=∠DBP+∠P，
∴∠DAP+∠D=∠DBP+∠P，
1 1 1 1
∴ a+22°= b+∠P，即 a− b=∠P−22°，
2 2 2 2
∴28°−∠P=∠P−22°，即2∠P=50°,
∴∠P=25°，
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
9．（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）如图，AD与BC交于点O，甲、乙两人要证明
∠A+∠B=∠D+∠C，做法如下：
甲：∵∠BOD是△AOB和△DOC的外角，
∴∠BOD=∠A+∠B=∠D+∠C，
故得证．
乙：作一圆通过A，B，C，D四点，
∵∠A与∠C对同弧B´D，∠B与∠D对同弧A´C．
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
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∴∠A+∠B=∠D+∠C．
对于甲、乙两人的做法，以下结论正确的是（ ）
A．甲、乙两人的做法都是正确的 B．甲的做法正确，乙的做法错误
C．乙的做法正确，甲的做法错误 D．甲、乙两人的做法都是错误的
【答案】B
【分析】根据三角形外角性质可判断甲的做法正确，由于不能确定点A、B、C、D在同一个圆上，于是
可判断乙的做法不正确．
【详解】解：∵∠BOD是△AOB和△DOC的外角，
∴∠BOD=∠A+∠B=∠D+∠C，
即∠A+∠B=∠D+∠C，所以甲的做法正确；
∵点A、B、C、D不一定在同一个圆上，
∴乙的做法不正确．
故选：B
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，圆周角定理以及确定圆的条件，解题的关键是确定A、B、C、
D四个点不一定在同一个圆上．
10．（2023·陕西榆林·统考一模）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1
中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根
据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A十∠B=∠C十∠D．
(1)如图1，在“对顶三角形”△AOB与△OOD中，∠AOB=70°，则∠C十∠D= °．
(2)如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求
∠BED的度数．
【答案】(1)110
(2)27°
【分析】（1）由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，再根据三角形内角和定理即可得到答案；
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（2）根据角平分线的性质可得∠1=∠2，∠3=∠4，根据三角形内角和定理可得到∠BAC+∠ABC=180°−
∠C=180°−60°=120°，进而得到∠1+∠3=60°，由图知△ABF与△DEF为对顶三角形得出
∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°，由题意知∠ADE比∠BED大6°，联立方程组即可解得答案．
【详解】（1）解：由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，
在△AOB中，∠A+∠B=180°−∠AOB=180°−70°=110°，
∴∠C+∠D=110°；
（2）∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=180°−∠C=180°−60°=120°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=120°，
∴2∠1+2∠3=120°，
∴∠1+∠3=60°，
由图知△ABF与△DEF为对顶三角形，
∴∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°①，
又∵∠ADE比∠BED大6°，
∴∠ADE−∠BED=6°②，
联立①②得¿，
解得：¿，
∴∠BED=27°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，利用对顶三角形的性质解答是解此题的关键．
11．（2020·全国·九年级专题练习）阅读材料：
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如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．
【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析
【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出
结论；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；
（3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理
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得出结论；
（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结
论．
【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D
＋∠E＋∠F＝360°；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋
∠G＝540°；
（3）连接BH、DE，
∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋
180°＝720°；
（4）连接ND、NE，
∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内
角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．
故答案为：360°；540°；720°；1080°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形
的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键．
12．（2020·全国·九年级专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．
【答案】360°
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【分析】根据三角形内角和外角的性质可得：∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，再根
据三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，
∴∠G＋∠D＋∠F＋∠C＋∠E＋∠H＝∠3＋∠4＋∠2，
∵∠B＋∠2＋∠1＝180°，∠3＋∠5＋∠A＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠2＋∠4＋∠3＝360°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°．
【点睛】此题主要考查了三角形内角与外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个
内角的和．
13．（2020·全国·九年级专题练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°
【分析】（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四
边形ADEF的内角和，
（2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，
（3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和．
【详解】解：（1）如图①，连接AD，
由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F
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即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，
（2）如图②，由（1）方法可得：
∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，
∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，
（3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，
∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，
∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，
【点睛】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键．
14．（2021下·江苏苏州·七年级苏州市第十六中学校考阶段练习）（1）已知：如图①的图形我们把它称为
“8字形”，试说明：∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）如图②，AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD，若∠ABC=36°,∠ADC=16°，求∠P的度数．
（3）如图③，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE，若
∠ABC=α,∠ADC=β，则∠P=________用α、β的代数式表示）
1
【答案】（1）证明见解析；（2）∠P=26°；（3）∠P= (α+β)．
2
【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；
（2）设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；
（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解．
【详解】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，
∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．
∵∠AOB=∠COD，
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∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）∵AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD，
设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，
则有¿，
∴∠ABC-∠P=∠P-∠ADC，
1 1
∴∠P= (∠ABC+∠ADC)= (36°+16°)=26°；
2 2
（3）如图，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°-∠2=180°-∠1，∠PCD=180°-∠3，
∵∠P+（180°-∠1）=∠ADC+（180°-∠3），
∠P+∠1=∠ABC+∠4，
∴2∠P=∠ABC+∠ADC，
∵∠ABC=α,∠ADC=β，
1 1
∴∠P= (∠ABC+∠ADC)= (α+β)．
2 2
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后
列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．
15．（2019下·河南新乡·七年级校联考期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如
图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点
P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．
（直接写出结果，不必证明）．
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【答案】（1）∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）6；（3）∠P＝45°；（4）2∠P＝∠D+∠B．
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；
（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，
再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而求
出∠P的度数；
（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．
【详解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个，
故答案为：6；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
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∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；
（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．
∠D+∠1＝∠P+∠3①
∠B+∠4＝∠P+∠2②
①+②得：
∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴2∠P＝∠D+∠B．
【点睛】此题也是属于规律的题型，但也涉及到已经学过的知识，读懂题目是关键，融合已学知识，进行
运用.
题型 03 飞镖模型
【模型介绍】图形像“飞镖”，故曰飞镖模型.
已知 图示 结论（性质）
已知四边形ABCD ∠C=∠A+∠B+∠D
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已知四边形ABCD，线 1
∠O= (∠A+∠C)
段BO平分∠ABC，线 2
段OD平分∠ADC
16．（2013·湖北鄂州·中考真题）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是
（ ）
A．165° B．120° C．150° D．135°
【答案】A
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再由邻补角的定义求得∠2的度数，再根据三角形的一个
外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求得∠α的度数．
【详解】∵图中是一副三角板，
∴∠1=45°，
∴∠2=180°-∠1=180°-45°=135°，
∴∠α =∠2+30°=135°+30°=165°．
故选A．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的
性质，熟记性质是解题的关键．
17．（2023·山东淄博·统考一模）如图，点F是△ABC的内心，连接BF，CF，若∠BFC=112°，则
∠A=（ ）
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A．44° B．45° C．50° D．55°
【答案】A
【分析】根据三角形内心的定义得到BF、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，再利用三角形的内
角和定理即可得到∠A的度数．
【详解】解：∵点F是△ABC的内心，
∴BF、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
1 1
∴∠FBC= ∠ABC，∠FCB= ∠ACB,
2 2
∵∠BFC=112°，
∴∠FBC+∠FCB=180°−∠BFC=180°−112°=68°，
1
∴ (∠ABC+∠ACB)=68°，
2
∴∠ABC+∠ACB=136°，
∴∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)=44°，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内心的定义，角平分线的定义，三角形的内角定理，掌握三角形内心的定义是
解题的关键．
18．（2023上·河北邯郸·八年级统考期末）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上
方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，
将∠BCD （填“增大”或“减小”） °．
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【答案】 增大 10
【分析】利用三角形的外角性质先求得∠ABE+∠ADE=30°，根据角平分线的定义得到
∠ABC+∠ADC=60°，再利用三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：如图，连接AE并延长，连接AC并延长，
∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°，
∵∠BAD＝70°，
∴∠ABE+∠ADE=30°，
∵BE，DE分别是∠ABC、∠ADC平分线，
∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°，
同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°，
∴∠BCD增大了10°．
故答案为：增大，10．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练运用题目中
所给的结论是解题的关键．
19．（2023·河北邯郸·统考一模）嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据（如图），淇淇说，
这四个数据中有一个是标错的；嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改：若∠A，∠B，∠BCD保持不变，
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则将图中∠D （填“增大”或“减小”） 度，淇淇说，“改得不错”．
【答案】 增大 5
【分析】连接BD，利用三角形的内角和计算即可．
【详解】解：连接BD，
∵∠CDB+∠CBD=180°−∠A−∠ABC−∠ADC
∠CDB+∠CBD=180°−∠BCD
∴∠A+∠ABC+∠ADC=∠BCD
∵∠A=90°，∠ABC=25°，∠BCD=145°
∴∠ADC=145°−25°−90°=30°
∴30°−25°=5°
故答案为：增大，5
【点睛】本题主要考查三角形的内角和，添加辅助线利用三角形内角和计算是解决本题的关键．
20．（2021·全国·九年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如
果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度数是（ ）．
A．72° B．70° C．65° D．60°
【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】B
【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出∠BOC,再利用邻补角的性
质求出∠DEO，再根据四边形的内角和求出∠DFO，根据邻补角的性质即可求出∠DFC的度数．
【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，
∵∠OAB+∠B+∠AOB=180°,
∴∠AOB=180°−∠B−∠OAB,
同理得∠AOC=180°−∠OAC−∠C,
∵∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°,
∴∠BOC=360°−∠AOB−∠AOC
=360°−(180°−∠B−∠OAB)−(180°−∠OAC−∠C)
=∠B+∠C+∠BAC=107°,
∵∠BED=72°,
∴∠DEO=180°−∠BED=108°,
∴∠DFO=360°−∠D−∠DEO−∠EOF
=360°−35°−108°−107°=110°,
∴∠DFC=180°−∠DFO=180°−110°=70°,
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是
会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的
两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：180°(n−2)．
21．（2021·全国·九年级专题练习）如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
．
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【答案】230°
【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，
∠1=∠A+∠B，即可得到结论．
【详解】解：如图
∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，
∴∠E+∠D+∠C=115°，
∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠F=115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，
故答案为：230°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角
性质．
22．（2019·全国·九年级专题练习）如图，ΔABC中，
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(1)若∠ABC、∠ACB的三等分线交于点O 、O ，请用∠A表示∠BO C、∠BO C；
1 2 1 2
(2)若∠ABC、∠ACB的n等分线交于点O 、O ⋅⋅⋅⋅⋅⋅O （O 、O ⋅⋅⋅⋅⋅⋅O 依次从下到上），
1 2 n−1 1 2 n−1
请用∠A表示∠BO C，∠BO C．
1 n−1
1 2
【答案】(1)∠BO C=120°+ ∠A，∠BO C=60°+ ∠A，
1 3 2 3
180°(n−1) 1 180° n−1
(2)∠BO C= + ∠A，∠BO C= + ∠A
1 n n n−1 n n
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°−∠A，再由∠ABC、∠ACB的三
1
等分线交于点O 、O ，可得∠O BC+∠O CB= (180°−∠A),
1 2 1 1 3
2
∠O BC+∠O CB= (180°−∠A),再根据三角形的内角和定理，即可求解；
2 2 3
（2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°−∠A，再由∠ABC、∠ACB的n等分线交
1
于点O 、O ⋅⋅⋅⋅⋅⋅O ，可得∠O BC+∠O CB= (180°−∠A),
1 2 n−1 1 1 n
n−1
∠O BC+∠O CB= (180°−∠A),再根据三角形的内角和定理，即可求解．
n−1 n−1 n
【详解】（1）解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∵∠ABC、∠ACB的三等分线交于点O 、O ，
1 2
1 2
∴∠O BC+∠O CB= (180°−∠A), ∠O BC+∠O CB= (180°−∠A),
1 1 3 2 2 3
1 1
∴∠BO C=180°−(∠O BC+∠O CB)=180°− (180°−∠A)=120°+ ∠A，
1 1 1 3 3
2 2
∠BO C=180°−(∠O BC+∠O CB)=180°− (180°−∠A)=60°+ ∠A；
2 2 2 3 3
（2）解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∵∠ABC、∠ACB的n等分线交于点O 、O ⋅⋅⋅⋅⋅⋅O ，
1 2 n−1
1 n−1
∴∠O BC+∠O CB= (180°−∠A), ∠O BC+∠O CB= (180°−∠A),
1 1 n n−1 n−1 n
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1 180°(n−1) 1
∴∠BO C=180°−(∠O BC+∠O CB)=180°− (180°−∠A)= + ∠A，
1 1 1 n n n
n−1 180° n−1
∠BO C=180°−(∠O BC+∠O CB)=180°− (180°−∠A)= + ∠A．
n−1 n−1 n−1 n n n
【点睛】本题主要考查了有关角平分线三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理，并利用类比
思想解答是解题的关键．
23．（2020下·七年级统考课时练习）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这
样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若
∠A=50°，直接写出∠ABX+∠ACX的结果；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°,∠DBE=130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点G1、G 、⋯、G ，若
2 9
∠BDC=140°,∠BG C=77°，求∠A的度数．
1
【答案】(1)∠BDC=∠A+∠B+∠C，见解析
(2)①40°；②90°；③70°
【分析】（1）首先连接AD并延长，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出
∠ABX+∠ACX的值；②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根据
∠DAE=50°,∠DBE=130°，求出∠ADB+∠AEB的值；然后根据
1
∠DCE= (∠ADB+∠AEB)+∠DAE，即可求出∠DCE的度数；③设∠ABG =x°，∠ACG = y°，
2 1 1
结合已知可得∠ABD=10x°，∠ACD=10 y°，再根据（1）可得∠A+x°+ y°=77°，
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∠A+10x°+10 y°=140°，即可判断出∠A的度数．
【详解】（1）解：∠BDC=∠A+∠B+∠C，理由如下：
如图，连接AD并延长．
根据外角的性质，可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，
又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C，
故答案为：∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
∵∠A=50°，∠BXC=90°，
∴∠ABX+∠ACX=90°−50°=40°；
②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB=∠DBE−∠DAE=130°−50°=80°，
1
∴ (∠ADB+∠AEB)=80°÷2=40°，
2
1
∴∠DCE= (∠ADB+∠AEB)+∠DAE=50°+40°=90°；
2
③设∠ABG =x°，∠ACG = y°，
1 1
则∠ABD=10x°，∠ACD=10 y°，
则∠A+x°+ y°=77°，∠A+10x°+10 y°=140°，
解得x+ y=7°，
所以∠A=77°−7°=70°，
即∠A的度数为70°．
【点睛】此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于
和它不相邻的两个内角的和．
24．（2021下·江苏镇江·七年级统考期中）模型规律：如图1，延长CO交AB于点D，则
∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“
∠BOC=∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
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模型应用
（1）直接应用：
①如图2，∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°，则∠BOC=__________°；
②如图3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________°；
（2）拓展应用：
①如图4，∠ABO、∠ACO的2等分线（即角平分线）BO 、CO 交于点O ，已知∠BOC=120°，
1 1 1
∠BAC=50°，则∠BO C= __________°；
1
②如图5，BO、CO分别为∠ABO、∠ACO的10等分线(i=1,2,3,…,8,9)．它们的交点从上到下依次为
O 、O 、O 、…、O ．已知∠BOC=120°，∠BAC=50°，则∠BO C= __________°；
1 2 3 9 7
③如图6，∠ABO、∠BAC的角平分线BD、AD交于点D，已知∠BOC=120°,∠C=44°，则
∠ADB=__________°；
④如图7，∠BAC、∠BOC的角平分线AD、OD交于点D，则∠B、∠C、∠D之间的数量关系为
__________．
【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0
【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；
②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入计算即可；
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（2）①同理可得∠BOC=∠BOC-∠OBO -∠OCO ，代入计算可得；
1 1 1
1
②同理可得∠BOC=∠BOC- （∠BOC-∠A），代入计算即可；
7 7
1
③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°- （∠BOC-∠C）计算可得；
2
④根据两个凹四边形ABOD和ABOC得到两个等式，联立可得结论．
【详解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；
②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；
（2）①∠BOC=∠BOC-∠OBO -∠OCO
1 1 1
1
=∠BOC- （∠ABO+∠ACO）
2
1
=∠BOC- （∠BOC-∠A）
2
1
=∠BOC- （120°-50°）
2
=120°-35°
=85°；
3
②∠BOC=∠BOC- （∠BOC-∠A）
7 10
3
=120°- （120°-50°）
10
=120°-21°
=99°；
③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）
3
=180°- （∠BOC-∠C）
10
1
=180°- （120°-44°）
2
【28淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
=142°；
1 1
④∠BOD= ∠BOC=∠B+∠D+ ∠BAC，
2 2
∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，
联立得：∠B-∠C+2∠D=0．
【点睛】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图
形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质．
题型 04 老鹰抓小鸡模型
已知 图示 结论（性质）
∠A+∠O=∠1+∠2
口诀：腋下两角之和等于上下两角之和
∠A+∠O=∠2-∠1
25．（2019上·广东珠海·八年级珠海市文园中学校考阶段练习）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与
B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【分析】由折叠的性质可知∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE,再利用平角的定义可求出
∠BED+∠BDE的度数，进而利用三角形内角和可求∠B的度数.
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【详解】由折叠的性质可知∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE
∵∠1+∠BED+∠B'ED=180°,∠2+∠BDE+∠B'DE=180°
1 1
∴∠BED+∠BDE= (360°−∠1−∠2)= ×(360°−80°)=140°
2 2
∴∠B=180°−(∠BED+∠BDE)=180°−140°=40°
故选C
【点睛】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关
键.
26．（2022上·湖北恩施·八年级期末）如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，∠A=60°，
∠1=96°，则∠2 的度数为（ ）
A．30° B．24° C．25° D．26°
【答案】B
【分析】由三角形的内角和，得∠AEF+∠AFE=120°，由邻补角的性质得∠FEB+∠EFC=240°，
根据折叠的性质得∠B'EF+∠C'FE=240°，即∠1+∠AEF+∠2+∠AFE=240°，所以，∠2=24°．
【详解】解：∵∠A=60°，
∴∠AEF+∠AFE=180°−∠A=180°−60°=120°，
∴∠FEB+∠EFC=360°−120°=240°，
由折叠的性质可得：
∠B'EF+∠C'FE=∠FEB+∠EFC=240°，
∴∠1+∠AEF+∠2+∠AFE=240°，
∵∠1=96°，
∴96°+120°+∠2=240°，
即∠2=240°−120°−96°=24°．
【30淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质、折叠的性质，熟悉掌握三角形的内角和为180°，
互为邻补角的两个角之和为180°以及折叠的性质是本题的解题关键．
27．（2020下·江苏常州·七年级校联考期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若
∠B=60°，∠C=80°，则∠1+∠2等于( )
A．40° B．60° C．80° D．140°
【答案】C
【分析】根据平角定义和折叠的性质，得∠1+∠2=360°−2(∠3+∠4)，再利用三角形的内角和定理进
行转换，得∠3+∠4=∠B+∠C=140°从而解题．
【详解】解：根据平角的定义和折叠的性质，得
∠1+∠2=360°−2(∠3+∠4)．
又∵∠A+∠3+∠4=180°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠3+∠4=∠B+∠C=60°+80°=140°，
∴∠1+∠2=360°−2(∠3+∠4)=360°−2×140°=80°，
故选： C
【点睛】此题综合运用了平角的定义、折叠的性质和三角形的内角和定理．
28．（2022下·河南南阳·七年级校考阶段练习）如图，在四边形纸片ABCD中，∠A=80°，∠B=75°，
将纸片折叠，使点C，D落在AB边上的点C'，D'处，折痕为EF，则∠1+∠2=（ ）
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A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【分析】根据四边形内角和定理得到∠C+∠D=205°，进而由折叠的性质得到
∠FC'D'+∠C'D'E=205°，再由平角的定义得到∠BC'F+∠AD'E=155°，由此利用三角形内角和
定理即可求出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD中，∠A=80°，∠B=75°，
∴∠C+∠D=360°−∠A−∠B=205°，
由折叠的性质可得∠FC'D'=∠C，∠C'D'E=∠D，
∴∠FC'D'+∠C'D'E=∠C+∠D=205°，
∵∠FC'D'+∠BC'F=180°，∠C'D'E+∠AD'E=180°，
∴∠FC'D'+∠BC'F+∠C'D'E+∠AD'E=360°，
∴∠BC'F+∠AD'E=155°，
∵∠B+∠BC'F+∠2=180°，∠AD'E+∠A+∠1=180°，
∴∠B+∠BC'F+∠2+∠AD'E+∠A+∠1=360°，
∴155°+155°+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=50°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了四边形内角和定理，三角形内角和定理，折叠的性质，正确求出
∠BC'F+∠AD'E=150°是解题的关键．
29．（2023下·河南郑州·八年级校考开学考试）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色
的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或
∠1−∠2）与∠A的数量关系．
(1)如图①，若∠A＝60°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝ ．
(2)如图②，翻折后，点A落在点A'处，若∠1+∠2=110°，求∠B+∠C的度数．
(3)如图③，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，若∠1=80°，∠2=28°，则∠A的度数为 ．
【答案】(1)240°
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(2)125°
(3)26°
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠ADE+∠AED=180°−60°=120°，再由平角进行求解即
可；
（2）连接A A'，根据三角形外角的性质得出∠1=∠DA A'+∠DA' A，∠2=∠EA A'+∠EA' A，再
利用各角之间的关系得出结果；
（3）设AB与DA'交于点F，根据三角形外角性质得出∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠2+∠A'，再由
折叠的性质得出∠A=∠A'，结合图形及各角之间的关系进行求解即可．
【详解】（1）解：∵∠A=60°
∴∠ADE+∠AED=180°−60°=120°，
∴∠1+∠2=360°−∠ADE−∠AED=240°，
故答案为：240°．
（2）解：连接A A'，如图所示：
∵∠1=∠DA A'+∠DA' A，∠2=∠EA A'+∠EA' A，
∴∠1+∠2=∠DA A'+∠DA' A+∠EA A'+∠EA' A=∠EAD+∠EA'D,
∵∠EAD=∠EA'D，
∴∠1+∠2=2∠EAD=110°，
∴∠EAD=55°，
∴∠B+∠C=180°−55°=125°．
（3）解：如图，设AB与DA'交于点F，
，
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∵∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠2+∠A'，
由折叠可得，∠A=∠A'，
∴∠1=∠A+∠A'+∠2=2∠A+∠2，
又∵∠1=80°，∠2=28°，
∴80°=2∠A+28°，
∴∠A=26°
故答案为：26°
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理及三角形外角的性质，平角的定义等，理解题意作出相应辅助
线求解是解题的关键．
30．（2022下·山东烟台·七年级统考期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传
统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－
∠2）与∠A的数量关系．
(1)如图①，若∠A＝80°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______．
(2)如图②，若∠A＝80°，沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______．
(3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数
(4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
【答案】(1)260°
(2)160°
(3)∠B+∠C=140°
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(4)∠A=28°
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠B+∠C＝180°-80°=100°，再由平角进行求解即可；
（2）利用翻折的性质得出∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,根据三角形内角和定理得出∠ADE+∠AED＝
100°，结合图形，由平角及各角之间的关系进行计算即可‘
（3）连接A A'．根据三角形外角的性质得出∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，然后利用各角
之间的数量关系得出∠EAD=40°，再由三角形内角和定理即可求解；
（4）设AB与DA'交于点F，根据三角形外角得出∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A'+∠2，再由折叠
的性质得出∠A=∠A'，结合图形及各角之间的数量关系进行求解即可
【详解】（1）解：∵∠A＝80°，
∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，
∴∠1+∠2=360°−∠ADE−∠AED=260°，
故答案为：260°；
（2）∵∠A＝80°，
∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，
∵翻折，
∴∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,
∴∠ADA’+∠AEA’＝2(∠ADE+∠AED)=200°，
∴∠1+∠2=360°-(∠ADA’+∠AEA’)=160°，
故答案为：160°；
（3）解：连接A A'．如图所示：
∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，
∴∠1+∠2=∠DAA’+∠DA’A+∠EAA’+∠EA’A=∠EAD+∠EA’D，
∵∠EAD=∠EA'D，
∴∠1+∠2=2∠EAD=80°，
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∴∠EAD=40°，
∴∠B+∠C=180°−40°=140°．
（4）解：如图，设AB与DA'交于点F，
∵∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A'+∠2，
由折叠可得，∠A=∠A'，
∴∠1=∠A+∠A'+∠2=2∠A+∠2，
又∵∠1=80°，∠2=24°，
∴80°=2∠A+24°，
∴∠A=28°．
【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及三角形外角的性质，平角的定义等，理解题意，作出相应辅助
线求解是解题关键．
31．（2019下·江苏宿迁·七年级校联考期中）如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在四边形
ABDE内点C’的位置，
（1）①若∠1=200,∠2=500，则∠C= ；
②若∠C=420，则∠1+∠2= ；
③探索∠C 、∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由；
（2）直接按照所得结论，填空：
①如图中，将△ABC纸片再沿FG、MN折叠，使点A、B分别落在△ABC内点A’、B’的位置，则
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ；
②如图中，将四边形ABCD按照上面方式折叠，则∠1+∠2+⋯+∠8= ；
③若将n边形A A A ⋯A 也按照上面方式折叠，则∠1+∠2+⋯+∠2n= ；
1 2 3 n
（3）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在△ABC边AC上方点C'的位置， 探索∠C、∠1与∠2
之间的数量关系，并说明理由.
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【答案】（1）①35°；②84°；③2∠C=∠1+∠2；（2）①360°；②720°；③360°(n−2)；（3）
2∠C=∠2−∠1
【分析】（1）①由邻补角的定义可知∠CEC′=160°，∠CDC′=130°，根据折叠的性质可求出∠CED=80°，
∠CDE=65°,然后根据三角形内角和定理求解即可；
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②由三角形内角和可求出∠CED+∠CDE=138°,再由折叠的性质可知∠CEC′+∠CDC′=276°，然后根据邻补
角的定义可求出∠1+∠2=84°；
③由邻补角定义可知∠1+∠CEC'=180°，从而∠2+∠CDC'=180°，所以，∠1+ ∠CEC′+ ∠2+
∠CDC′=360 °，结合∠C+∠CEC'+∠C'+∠CDC'=360°，可求出2∠C=∠1+∠2；
（2）① 由（1）得∠1+∠2=2∠C，∠3+∠4=2∠B，∠5+∠6=2∠A，从而
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2(∠A+∠B +∠C)，结合三角形内角和求解即可；
②由①可知，∠1+∠2+⋯+∠8= 2(∠A+∠B +∠C+∠D)，结合四边形内角和求解即可;
③由①可知，∠1+∠2+⋯+∠2n=2×180°×(n−2)=360°×(n−2) ；
（3）由外角的性质可知∠2=∠3+∠C，∠3=∠1+∠C，整理可得2∠C=∠2−∠1.
【详解】解：（1）①∵∠1=200,∠2=500，
∴∠CEC′=160°，∠CDC′=130°，
∵ ∠CED=80°，∠CDE=65°,
∴∠C= 180°-80°-65°=35°；
②∵∠C=420，
∴ ∠CED+∠CDE=180°-42°=138°,
∴∠CEC′+∠CDC′=276°，
∴∠1+∠2=360°-276°=84°；
③2∠C=∠1+∠2，
因为∠1+∠CEC'=180°，∠2+∠CDC'=180°，
所以∠1+∠CEC'+∠2+∠CDC'=360°，
因为在四边形CEC'D中，∠C+∠CEC'+∠C'+∠CDC'=360°，
所以∠1+∠2=∠C+∠C'，
因为∠C=∠C'，
所以2∠C=∠1+∠2.
（2）① 由①得
∠1+∠2=2∠C，∠3+∠4=2∠B，∠5+∠6=2∠A，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2(∠A+∠B +∠C)=360°;
②∵∠1+∠2=2∠C，∠3+∠4=2∠B，∠5+∠6=2∠A，∠7+∠8=2∠D，
∴∠1+∠2+⋯+∠8= 2(∠A+∠B +∠C+∠D)=2×360°=720°;
③∵n边形内角和是180°×(n−2)，
∴∠1+∠2+⋯+∠2n=2×180°×(n−2)=360°×(n−2) ；
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（3）2∠C=∠2−∠1.
∵∠2=∠3+∠C，
∠3=∠1+∠C'=∠1+∠C，
∴∠2=∠1+∠C +∠C=∠1+2∠C，
∴2∠C=∠2−∠1.
【点睛】本题考查了折叠性质，三角形内角和定理，多边形的内角和定理，三角形外角的性质及图形类的
规律与探究.熟练掌握折叠的性质和三角形内角和定理是解（1）的关键，利用（1）中规律是解（2）的关
键，熟练掌握三角形外角的性质是解（3）的关键.
题型 05 双角平分线模型
已知 图示 结论（性质）
已知BD、DC分别平 1
∠D=90°+ ∠A
分∠ABC、∠ACB 2
已知BD、DC分别平 1
∠D=90°- ∠A
分∠EBC、∠FCB 2
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已知BE、EC分别平 1
∠E= ∠A
分∠ABC、∠ACD 2
32．（2023·青海·统考一模）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是∠ACM的平分线，BE
与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC的度数是 ．
【答案】30°
【分析】如图所示，BE是∠ABC的平分线，CE是∠ACM的平分线，∠1=∠2，∠4=∠5，∠ACM
是△ABC的外角，∠ECM是△BCE的外角，可算出∠A+2∠2=2∠5，∠E=∠5−∠2，由此即可求
解．
【详解】解：如图所示，
∵BE是∠ABC的平分线，CE是∠ACM的平分线，
∴∠1=∠2，∠4=∠5，
∵∠ACM是△ABC的外角，∠ECM是△BCE的外角，
∴∠A+∠1+∠2=∠4+∠5，∠2+∠E=∠5，
∴∠A+2∠2=2∠5，∠E=∠5−∠2，
1 1
∴∠A=2(∠2−∠5)，∠2−∠5= ∠A= ×60°=30°，
2 2
∴∠E=30°，
∴∠BEC的度数是30°．
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【点睛】本题主要考查三角形的外角、角平分线的性质，掌握角平分线的性质，三角形的外角的性质是解
题的关键．
33．（2023·山东青岛·统考一模）【阅读理解】
三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于180°．
如图②，在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=180°，点D是AB延长线上一点．由平角的定义可得
∠ABC+∠CBD=180°，所以∠CBD=∠A+∠C．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角
等于与它不相邻的两个内角的和．
【初步应用】
如图③，点D，E分别是△ABC的边AB，AC延长线上一点，
（1）若∠A=60°，∠CBD=110°，则∠ACB=______°；
（2）若∠A=60°，∠CBD=110°，则∠CBD+∠BCE=______°；
（3）若∠A=m°，则∠CBD+∠BCE=______°．
【拓展延伸】
如图④，点D，E分别是△ABC的边AB，AC延长线上一点，
（4）若∠A=60°，分别作∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，则∠BOC=______°；
1
（5）若∠A=60°，分别作∠CBD和∠BCE的三等分线交于点O，且∠CBO= ∠CBD，
3
1
∠BCO= ∠BCE，则∠BOC=______°；
3
1
（6）若∠A=m°，分别作∠CBD和∠BCE的n等分线交于点O，且∠CBO= ∠CBD，
n
1
∠BCO= ∠BCE，则∠BOC=______°．
n
【41淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
( m 180)
【答案】（1）50；（2）240；（3）(m+180)；（4）60；（5）100；（6） 180− − ．
n n
【分析】（1）根据三角形外角的性质求解即可；
（2）根据三角形外角的性质结合三角形内角和定理求解即可；
（3）由（2）同理求解即可；
1 1
（4）根据角平分线的定义可得出∠CBO= ∠CBD，∠BCO= ∠BCE，即可求出
2 2
1
∠CBO+∠BCO= (∠CBD+∠BCE)，再结合（2）即得出∠CBO+∠BCO=120°，最后由三角形内
2
角和定理求解即可；
1 1 1
（5）由∠CBO= ∠CBD，∠BCO= ∠BCE，即可求出∠CBO+∠BCO= (∠CBD+∠BCE)，
3 3 3
再结合（2）即得出∠CBO+∠BCO=80°，最后由三角形内角和定理求解即可；
1 1 1
（6）由∠CBO= ∠CBD，∠BCO= ∠BCE，即可求出∠CBO+∠BCO= (∠CBD+∠BCE)，
n n n
1
结合（3）可知∠CBO+∠BCO= (m+180)°，最后由三角形内角和定理求解即可．
n
【详解】（1）由三角形外角的性质可得出∠ACB=∠CBD−∠A=110°−60°=50°．
故答案为：50；
（2）∵∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∴∠CBD+∠BCE=∠A+∠ABC+∠A+∠ACB．
∵∠A=60°，∠ABC+∠A+∠ACB=180°，
∴∠CBD+∠BCE=240°．
故答案为：240；
（3）由（2）同理可得∠CBD+∠BCE=∠A+∠ABC+∠A+∠ACB．
∵∠A=m°，∠ABC+∠A+∠ACB=180°，
∴∠CBD+∠BCE=m°+180°=(m+180)°
故答案为：(m+180)；
（4）∵∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，
1 1
∴∠CBO= ∠CBD，∠BCO= ∠BCE，
2 2
1 1 1
∴∠CBO+∠BCO= ∠CBD+ ∠BCE= (∠CBD+∠BCE)．
2 2 2
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由（2）可知∠CBD+∠BCE=240°，
∴∠CBO+∠BCO=120°，
∴∠BOC=180°−(∠CBO+∠BCO)=60°．
故答案为：60；
1 1
（5）∵∠CBO= ∠CBD，∠BCO= ∠BCE，
3 3
1 1 1
∴∠CBO+∠BCO= ∠CBD+ ∠BCE= (∠CBD+∠BCE)．
3 3 3
由（2）可知∠CBD+∠BCE=240°，
∴∠CBO+∠BCO=80°，
∴∠BOC=180°−(∠CBO+∠BCO)=100°．
故答案为：100；
1 1
（6）∵∠CBO= ∠CBD，∠BCO= ∠BCE，
n n
1 1 1
∴∠CBO+∠BCO= ∠CBD+ ∠BCE= (∠CBD+∠BCE)．
n n n
由（3）可知∠CBD+∠BCE=(m+180)°，
1
∴∠CBO+∠BCO= (m+180)°，
n
1 ( m 180)
∴∠BOC=180°− (m+180)°= 180− − °．
n n n
( m 180)
故答案为： 180− − ．
n n
【点睛】本题考查三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，角平分线的定义和角的n等分点的定义．
利用数形结合的思想是解题关键．
34．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，
则∠AEC= ．
【答案】61°
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【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得
∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．
【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，
∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，
1 1
∴∠EAC= ∠DAC，∠ECA= ∠ACF，
2 2
1
∴∠EAC+∠ECA = （∠DAC+∠ACF）=119°，
2
∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，
故答案为：61°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角
平分线的定义是解答的关键．
35．（2021·全国·九年级专题练习）如图，BA 和C A 分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA 是
1 1 2
∠A BD的平分线，C A 是∠A CD的平分线，BA 是∠A BD的平分线，C A 是∠A CD的平分线，
1 2 1 3 2 3 2
……以此类推，若∠A=α，则∠A = ．
2020
α
【答案】
22020
1 1
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC= ∠ABC，∠ACD= ∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与
1 2 1 2
1
它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ACD=∠ABC+∠A，整理即可得解∠A = ∠A，
1 1 1 1 2
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1
同理求出∠A，∠A，可以发现后一个角等于前一个角的 ，根据此规律即可得解．
2 3 2
【详解】∵AB是∠ABC的平分线，AC是∠ACD的平分线，
1 1
1 1
∴∠ABC= ∠ABC，∠ACD= ∠ACD，
1 2 1 2
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠ACD=∠ABC+∠A，
1 1 1
1 1
∴ （∠A+∠ABC）= ∠ABC+∠A，
2 2 1
1
∴∠A= ∠A，
1 2
∵∠A=α．
1 1 1 1
∠A= ∠A= α，同理可得∠A= ∠A= α，
1 2 2 2 2 1 22
根据规律推导，
α
∴∠A = ，
2020 22020
α
故答案为 ．
22020
【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两
个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．
36．（2021·全国·九年级专题练习）（1）如图所示，在△ABC中，BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平
1
分线，证明：∠BOC=90°+ ∠A．
2
1
（2）如图所示，△ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，证明：∠BDC=90°− ∠A．
2
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1
（3）如图所示，△ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，证明：∠D= ∠A．
2
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【详解】（1）设∠ABO=∠OBC=x,∠ACO=∠BCO= y．
由△ABC的内角和为180°，得∠A+2x+2y=180°．①
由△BOC的内角和为180°，得∠BOC+x+ y=180°．②
由②得x+ y=180°−∠BOC．③
把③代入①，得∠A+2(180°−∠BOC)=180°，
即2∠BOC=180°+∠A，
1
即∠BOC=90°+ ∠A
2
（2）∵BD、CD为 ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，
1 △ 1
∴∠BCD= (∠A+∠ABC)、∠DBC= (∠A+∠ACB)，
2 2
由三角形内角和定理得，∠BDC=180°−∠BCD−∠DBC，
1
=180°- [∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
2
1
=180°- （∠A+180°），
2
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1
=90°- ∠A；
2
（3）如图：
∵BD为 ABC的角平分线，交AC与点E，CD为 ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D
△ 1 △
∴∠1=∠2，∠5= （∠A+2∠1），∠3=∠4，
2
在 ABE中，∠A=180°-∠1-∠3
∴△∠1+∠3=180°-∠A①
1
在 CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3- （∠A+2∠1），
2
△
即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，
1
把①代入②得∠D= ∠A．
2
【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．
37．（2020·全国·九年级专题练习）（1）如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB.
①当∠A=60∘时，求∠D的度数.
②猜想∠A与∠D有什么数量关系？并证明你的结论.
（2）如图（b），BD平分外角∠CBP，CD平分外角∠BCQ，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，
请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.
1 1
【答案】（1）①120°；②∠D=90°+ ∠A，证明见解析；（2）不正确，∠D=90°− ∠A
2 2
【分析】（1）①首先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，然后根据角平分线定义求出
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∠DBC+∠DCB的度数，然后再利用三角形内角和定理求解即可；
②首先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，然后根据角平分线定义求出
∠DBC+∠DCB的度数，然后再利用三角形内角和定理求出∠D 的度数，即可得出结论；
（2）首先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，然后根据补角的定义求出
∠PBC+∠QCB，然后根据角平分线定义求出∠DBC+∠DCB的度数，然后再利用三角形内角和定理
求出∠D的度数，即可得出结论．
【详解】（1）①∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−60°=120° ．
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
1 1
∴∠DBC+∠DCB= (∠ABC+∠ACB)= ×120°=60°，
2 2
∴∠D=180°−60°=120°；
（2）①∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A ．
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
1 1
∴∠DBC+∠DCB= (∠ABC+∠ACB)=90°− ∠A，
2 2
1
∴∠D=180°−(∠DBC+∠DCB)=90°+ ∠A ；
2
（2）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A ，
∴∠PBC+∠QCB=(180°−∠ABC)+(180°−∠ACB)=180°+∠A ．
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
1 1
∴∠DBC+∠DCB= (∠PBC+∠QCB)=90°+ ∠A，
2 2
1
∴∠D=180°−(∠DBC+∠DCB)=90°− ∠A ．
2
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是
解题的关键．
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题型 06 三角形折叠模型
已知 图示 结论（性质）
将三角形纸片ABC沿 ∠2=2∠C
EF边折叠，当点C落 A
在线段AC上时
C'
E
2
B F C
将三角形纸片ABC沿 1
2∠C=∠1+∠2或 ∠C= （∠1+∠2）
EF边折叠，当点C落 2
在四边形ABFE内部
时
将三角形纸片ABC沿 1
2∠C=∠2-∠1或 ∠C= （∠2-∠1）
EF边折叠，当点C落 2
在四边形ABFE外部
时
38．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）如图，在△ABC中，∠A=20°，D为AB
的中点，E为AC边上一点，将△ADE沿着DE翻折，得到△A'DE，连接A'B．当A'B=A'D时，则
∠A'EC的度数为 ．
【答案】20°/20度
【分析】结合题意，由翻折易证△A'DB为等边三角形得到∠A'DB=60°，然后利用三角形内角和定理和
外角进行角的加减计算和求解．
【详解】解：D为AB的中点，
∴AD=BD，
有翻折可知：AD=A'D，∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED，
∴BD=A'D，
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又∵A'B=A'D，
△A'DB为等边三角形，
∴∠A'DB=60°，
∴∠ADE=∠A'DE=60°，
∵∠A=20°，
∴∠AED=∠A'ED=100°，
又∵∠CED=∠A+∠ADE=80°，
∴∠A'EC=∠A'ED−∠CED=20°，
故答案为：20°．
【点睛】本题考查了翻折的性质，等边三角形的证明和性质的应用，三角形内角和定理以及三角形的一个
外角等于与它不相邻的两个内角之和，角的计算；解题的关键是证明△A'DB为等边三角形得到
∠A'DB=60°．
39．（2023·江西·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点P是边AB上一点，点D是
边AC上一点，将△ABC沿PD折叠，使点A落在边BC上的A'处，若A'P∥AC，则∠PDA'的度数为
．
【答案】60°/60度
【分析】根据△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，推出∠BAC=60°，根据折叠性质得到
∠PA'D=∠PAD=60°，根据A'P∥AC，得到∠A'DC=∠PA'D=60°，推出∠A'DA=120°，根
1
据折叠性质得到∠A'DP= ∠A'DA=60°．
2
【详解】∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
由折叠知，∠PA'D=∠PAD=60°，
∵A'P∥AC，
∴∠A'DC=∠PA'D=60°，
∴∠A'DA=120°，
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1
∴∠PDA'= ∠A'DA=60°．
2
故答案为：60°．
【点睛】本题主要考查了直角三角形，折叠，平行线，解决问题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余，
折叠图形全等的性质，两直线平行内错角相等的性质．
40．（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，有一个三角形纸片ABC，∠A=65°，∠B=75°，将纸片一
角折叠，使点C落在△ABC外．若∠2=20°，则∠1的大小为 ．
【答案】100°/100度
【分析】记AC,C'D的交点为K，证明∠1=∠DKC+∠C，∠DKC=∠C'+∠2，可得
∠1=∠C+∠C'+∠2，由折叠可得：∠C=∠C'，求解∠C'=∠C=180°−65°−75°=40°，而
∠2=20°，从而可得答案．
【详解】解：如图，记AC,C'D的交点为K，
∵∠1=∠DKC+∠C，∠DKC=∠C'+∠2，
∴∠1=∠C+∠C'+∠2，
由折叠可得：∠C=∠C'，
∵∠A=65°，∠B=75°，
∴∠C'=∠C=180°−65°−75°=40°，而∠2=20°，
∴∠1=∠C+∠C'+∠2=100°；
故答案为：100°
【点睛】本题主要是考查了三角形的内角和为180°，三角形的外角的性质；熟练掌握三角形的内角和定理
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与外角的性质是解题的关键．
41．（2020上·湖南常德·九年级校考期中）如图，在ΔABC中，∠C=90°，BC=6，D，E分别在AB、
AC上，将ΔADE沿DE折叠，使点A落在点A'处，若A'为CE的中点，则折痕DE的长为 ．
【答案】2
【分析】由折叠的特点可知AE=AE'，∠DEA=∠DEA'=90°，又∠C=90°，则由同位角相等两直线
1
平行易证DE∥BC，故ΔACB∼ΔAED，又A'为CE的中点可得AE=A'E=A'C= AC，由相似的性质
3
1
可得DE= BC．
3
【详解】解：∵ΔABC沿DE折叠，使点A落在点A'处，
∴∠DEA=∠DEA'=90°，AE=A'E，
∴ΔACB∽ΔAED，
又A'为CE的中点，AE=AE'
∴AE:AC=1:3
ED AE
∴ = ，
BC AC
ED 1
即 = ，
6 3
∴ED=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握“A”字形三角形相似的判定和性质为解题关键．
42．（2020·山西·校联考二模）综合与实践：直角三角形折叠中的数学。数学活动：在综合实践活动课上，
老师让同学们以“直角三角形纸片的折叠”为主题展开数学活动，探究折痕长度的有关问题．在
Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=3,BC=4．
（1）①如图1，勤学组将点A沿DE折叠，使得点A与点B重合，折痕交AB于点D,交AC于点E,则DE的
长为 ．
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②如图2，乐学组将点A沿BE折叠，使得点A的对应点A'落在AC边上，折痕交AC于点E,则BE的长为 ．
（2）①如图3，博学组将点C沿EF折叠，使得点C与点A重合，折痕交AC于点E,交BC于点F,求线段
EF的长度；
②如图4，善思组在博学组的基础上，将点B沿FC折叠，使得点B的对应点B'落在AF上，则GF的长度
为_ ．
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（3）①如图5，奋进组将点A沿BE折叠，使得点A的对应点A'落在BC边上，求BE的长度；
②如图6，创新组在奋进组的基础上，将点C沿A'F折叠，使得点C的对应点C'落在AC上，折痕交AC于
点F,再把△A'FC'展开，将点C沿FG折叠，使得点C的对应点C″落在FA'的延长线上，折痕交A'C于点
G,得到如图7所示的图形，请直接写出FG的长．
12 15 35 12 12
【答案】（1）①2；② ；（2）①EF= ；② ；（3）① √2；② √2
5 8 32 7 35
【分析】先根据勾股定理得出AC=5；
（1）①根据折叠的性质得出DE是△ABC的中位线即可
②根据折叠的性质得出BE⊥AC，再根据等积法即可得出BE的长
（2）①根据折叠的性质得出EF垂直平分AC，从而得出△CEF∼△CBA，根据相似三角形的性质得出
CE EF
= 即可得出EF的长
CB BA
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25 7 1 1
②由①和勾股定理得出FC= ,BF= ，再根据折叠的性质得出∠BFG= ∠BFA,∠EFC= ∠CFA，
8 8 2 2
GF BF
从而得出△GBF∼△ABC，得出比例式 = 即可
AC BC
（3）①过点E作EM⊥BC于M,先证出△CME∼△CBA,得出4EM=3CM，根据折叠的性质和勾股定理
即可得出BE的长
4
②根据折叠的性质结合①得出A'C=1,CF= ,再证明△CFG∼△CBE,根据相似三角形的性质即可
5
【详解】解：∵AB=3,BC=4,∠ABC=90°
∴AC=√AB3+BC2=√32+42=5
(1)①根据折叠的性质得：AD=BD，ED⊥AB；
∵ ∠ABC=90°，∴DE//BC
∴DE是△ABC的中位线
1
∴DE= BC=2
2
②由折叠的性质得BE⊥AC，
∵ ∠ABC=90°
1 1
∴S = AB•BC= AC•BE
△ABC 2 2
∴3×4=5BE
12
∴BE=
5
(2)① ∵将点C沿EF折叠与点A重合，
∴EF是AC的垂直平分线．
1 5
∴EC= AC= ,∠FEC=90°．
2 2
∵∠ABC=90°,
∴∠FEC=∠B,
又∵∠C=∠C,
∴△CEF∼△CBA．
CE EF
∴ =
CB BA
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5
2 EF
∴ =
4 3
15
∴EF=
8
15 5
②在Rt△EFC中，EF= ,EC= ，
8 2
25 7
由勾股定理得出FC= ，则BF= ；
8 8
1 1
根据折叠的性质得出∠BFG= ∠BFA,∠EFC= ∠CFA，
2 2
∴∠BFG+∠EFC=90°,
∵ ∠EFC+∠C=90°,
∴∠BFG=∠C,∴△GBF∼△ABC
7
GF BF
∴ = ,∴GF 8
AC BC =
5 4
35
∴GF=
32
(3)①过点E作EM⊥BC于M,如图．
∴∠EMB=∠EMC=90°,
∴∠EMC=∠ABC,
又∵∠C=∠C,
∴△CME∼△CBA,
EM CM EM CM
∴ = ,即 =
AB BC 3 4
设EM=3a,
则CM=4a,
∵将点A沿BE折叠，使得点A的对应点A'落在BC边上，
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1
∴∠EBC=∠EBA= ∠ABC=45∘
2
∴∠MEB=45°,
∴∠MEB=∠MBE,
∴BM=EM=3a,
∴BC=BM+CM=3a+4a=7a,
∵BC=4,
∴7a=4,
4
解得a=
7
12
∴BM=EM=
7
12
∴BE=√BM2+EM2= √2
7
②由折叠的性质可得
4
A'C=1,CF= ,△CFG∼△CBE,
5
FG CF
∴ =
BE CB
4
FG 5
即 =
12 4
√2
7
12
∴FG= √2
35
【点睛】此题考查了折叠的性质、相似三角形的性质和判定以及勾股定理．注意掌握折叠前后图形的对应
关系是解此题的关键．
43．（2021上·云南昆明·八年级统考期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的
一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．118° C．100° D．90°
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【答案】B
【分析】在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠C的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE＝∠C′DE，
∠CED＝∠C′ED，结合∠2的度数可求出∠CED的度数，在△CDE中利用三角形内角和定理可求出∠CDE
的度数，再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出结论．
【详解】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．
由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，
180°+∠2
∴∠CED＝ ＝99°，
2
∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°，
∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE
的度数是解题的关键．
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