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专题06 三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型
近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握
的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模
型(M型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，
这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
.........................................................................................................................................................................................2
模型1.猪蹄模型（M型与锯齿型）...............................................................................................................2
模型2.铅笔头模型...........................................................................................................................................3
模型3.牛角模型...............................................................................................................................................4
模型4.羊角模型...............................................................................................................................................4
模型5.蛇形模型（“5”字模型）...................................................................................................................5
....................................................................................................................................................6
模型1.猪蹄模型（M型与锯齿型）
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先说说这个名字的由来，为什么叫猪蹄模型呢？因为它长得像猪蹄，也有叫M模型或锯齿模型的，都是根
据外形来取的，只要你喜欢，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。。
①注意：拐角为左右依次排列；②若出现不是依次排列的，应进行拆分。
图1 图2 图3
条件：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②条件：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
证明：如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
条件：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P+∠P=∠A+∠B+∠P
1 3 2.
证明：根据图1中结论可得，∠A+∠B+∠P＝∠P+∠P，
2 1 3
条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P+∠P+...+∠P =∠A+∠B+∠P+...+∠P
1 3 2n+1 2 2n.
证明：由图2的规律得，∠A+∠B+∠P+…+P ＝∠P+∠P+∠P+…+∠P
2 2n 1 3 5 2n+1
例1．（2024·山西·二模）如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束 与 平行射入接收天
线，经反射聚集到焦点 处，若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
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例2．（2024九年级下·辽宁·学业考试）如图， ， ，则 的度
数为 ．
例3．（2023春·河南驻马店·九年级专题练习）已知 ， ， ，
若 ，则 为（ ）
A．23° B．33° C．44° D．46°
例4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们
青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进
滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺
直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示， ，当人脚与地面的夹角
时，求出此时上身 与水平线的夹角 的度数为（ ）
A． B． C． D．
例5．（23-24七年级下·广东云浮·期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识
后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线 ，直线 是直线 ， 的第三条截线，
， 分别是 ， 的平分线，并且相交于点K．
问题解决：（1） ， 的平分线 ， 所夹的 的度数为______；
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问题探究：（2）如图2， ， 的平分线相交于点 ，请写出 与 之间的等量关系，
并说明理由；
拓展延伸：（3）在图3中作 ， 的平分线相交于点K，作 ， 的平分线相交于
点 ，依此类推，作 ， 的平分线相交于点 ，求出 的度数．
例6．（2024·上海·八年级校考期中）已知，直线AB∥CD。（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，
联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
模型2.铅笔头模型（子弹模型）
因为它长得像铅笔头或，也有叫子弹模型的，都是根据外形来取的，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才
是关键。
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①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.
图1 图2 图3
条件：如图1，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；（该结论和条件互换结果任然成立）。
证明：在图2中，过P作AM的平行线PF，∵AB∥CD，∴PF∥CD，
∴∠1+∠APF＝180°，∠3+∠CPF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
条件：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
证明：在图2中，过P 作AM的平行线PE，过点P 作AM的平行线PF，
1 1 2 2
∵AB∥CD，∴PE∥BN∥PF，∴∠1+∠APE＝180°，∠PPE+∠PPF＝180°，∠FPB+∠4＝180°，
1 2 1 2 1 1 2 2
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
证明：在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
例1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于主光轴 的光线 和 经过凸透镜的折射后，折射光线
和折射光线 交主光轴于点P，若 ， ，则 °．
例2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
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例3．（2023下·江苏南通·七年级统考期末）如图，直线 ，点E，F分别是直线 上的两点，
点P在直线 和 之间，连接 和 的平分线交于点Q，下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023上·广东广州·八年级校考开学考试）如图①所示，四边形 为一张长方形纸片．如图②
所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（ 、 、 ），则
（度）；
（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（ 、 、 、 ），则
（度）；
（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（ 、 、 、 、 ），
则 （度）；
（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪 刀，剪出 个角，那么这 个角的和是
（度）．
例5．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，
探索问题的解．
(1)如图1， ，点E为 、 之间的一点．求证： ．
(2)如图2， ，点E、F、G、H为 、 之间的四点．则 ______．
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(3)如图3， ，则 ______．
模型3.牛角模型
因为它长得像犀牛角，故取名牛角模型。
图1 图2
条件：如图1，已知：AB∥CD，且∠E＝ ，∠ABE＝ ，∠CDE＝ ，结论： .
证明：如图，延长AB交DE于点F，∵AB∥CD，∴∠BFE＝∠CDF＝ ，
∵∠ABE＝∠BFE+∠E（外角定理），∴∠ABE＝∠CDF+∠E，∴ ；
条件：如图2，已知：AB∥CD，且∠E＝ ，∠ABE＝ ，∠CDE＝ ，结论： .
证明：如图，延长AB交DE于点F，
∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠CDF＝ ，∴∠BFE＝180°-∠BFD＝180°- ，
∵∠ABE＝∠E+∠BFE（外角定理），∴∠ABE＝∠E+180°-∠BFD，∴ ；
例1．（2024·山西·模拟预测）抖空竹是一种传统杂技节目，是国家级非物质文化遗产之一．如图1是某同
学“抖空竹”的一个瞬间，若将其抽象成图2的数学问题：在平面内，已知 ， ，
，则 的度数为（ ）
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A． B． C． D．
例2．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，
DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．
例4．（2023春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线 ，点 为直线 ， 所确定的平面内
的一点，(1)问题提出：如图1， ， ．求 的度数：
(2)问题迁移：如图2，写出 ， ， 之间的数量关系，并说明理由：
(3)问题应用：如图3， ， ， ，求 的值．
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例5．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图， ．
(1)如图 ，求证 ；(2)如图 ，点 在 上， 平分 ，交 于点 ，
探究 的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，如图 交 延长线于点
，求 的度数．
模型4.羊角模型
因长像酷似山羊角，故取名羊角模型。
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图1 图2
条件：如图1，已知：AB∥DE，且∠C＝ ，∠B＝ ，∠D＝ ，结论： .
证明：∵AB∥DE，∴∠AFC＝∠D＝ ，
∵∠AFC＝∠B+∠C（外角定理），∴∠D＝∠B+∠C，∴ ；
条件：如图2，已知：AB∥DE，且∠C＝ ，∠B＝ ，∠D＝ ，结论： .
证明：∵AB∥CD，∴∠BFD+∠D＝180°∴∠BFD＝180°-∠D＝180°- ，
∵∠BFD＝∠B+∠C（外角定理），∴180°-∠D＝∠B+∠C，∴ ；
例1．（2024·重庆江津·模拟预测）如图，已知 ，如果 ， ，那么 的度数
为 ．
例2．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知 ， 是等腰直角三角形， ，顶点
分别在 上，当 时， ．
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例3．（2023·河南·统考三模）如图，已知 ， ， ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
例4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图， 的角平分线 交 的角平分线的
反向延长线于点P，直线 交 于点N，若 ，则 °
例5．（2023七年级下·江苏·专题练习）已知 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)若F为直线 、 之间的一点， ， 平分 交 于点G， 交 于点C．
①如图2，若 ，且 ，求 的度数；②如图3，若点K在射线 上，且满足
，若 ， ，直接写出 的度数．
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模型5.蛇形模型（“5”字模型）
因模型像一条弯曲的水蛇，故取名蛇形模型。
图1 图2
条件：如图1，已知：AB∥DE，∠C＝ ，∠B＝ ，∠D＝ ，结论： .
证明：在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠BCF＝∠B，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCF+∠FCD+∠D＝∠B+180°，
∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴ .
条件：如图2，已知：AB∥DE，∠C＝ ，∠B＝ ，∠D＝ ，结论： .
证明：在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠B+∠BCF＝180°，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＝∠D，∴∠B+∠BCF+∠FCD＝∠D+180°，
∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴ .
例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，
如图，若 ，则 等于（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
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例2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图， ， 的角平分线 的反向延长线和
的角平分线 交于点F， ，则 ．
例3．（23-24七年级下·湖北鄂州·期中）如图，已知点 ， ， 不在同一条直线上， ．
(1)求证 ；(2)如图2， ， 分别为三等分 、 所在直线，
， ，试探究 与 的数量关系；(3)如图3，在（2）的前提下，
且有 ，直线 、 交于点 ， ，请直接写出 _________．
例4．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图 ， ， ．
(1) 如果 ，求 的度数； 设 ， ，直接写出 、 之间的数量
关系： ；(2)如图 ， 、 的角平分线交于点 ，当 的度数发生变化时，
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的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 的度数；
(3)在（2）的条件下，若 ，点 为射线 上的一个动点，过点 作 交直线 于点
，连接 ．已知 ，求 的度数．
1．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若 ， ， ，则 的度数是
（）
A．115° B．130° C．140° D．150°
2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行
若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线 ．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
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4．（2024·广东深圳·模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京
景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的
历史至少在 年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题： ，
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，若 ， ， ， ，那么 的度数
为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25九年级上·湖北·课后作业）①如图①， ，则 ；
②如图②， ，则 ；③如图③， ，则 ；
④如图④，直线 ，点 在直线 上，则 ．以上结论正确的是（ ）
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．②③④
7．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是某款婴儿车的几何示意图，若 ， ， ，
则 的度数是 °．
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8．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图， ， 的角平分线 的反向延长线和 的
角平分线 交于点 ， ，则 ．
9．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图， ， 为 上方一点， 、 分别为 、 上的
点， 、 的角平分线交于点 ， 的角平分线与 的延长线交于点 ，若 ，
，则 的度数等于 ．
10．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线 、 平行，则 ．
11．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中， AB CD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．
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解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯
碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．
12．（2023春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，
(1)求证： ：(2)如图②， 分别为 的平分线所在直线，试探究
与 的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有 ，直线 交于点P，
，直接写出 ．
13．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知： ，点 在 上，点 、 在 上，点
在 、 之间，连接 、 、 ， ， ，垂足为点 ．
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(1)如图1，求 的度数；(2)如图2， 平分 ， 平分 ， 、 交于点 ，求
的度数；(3)如图3，在（2）的条件下， 平分 交 于点 ，若 ，
与 所在直线交于点 ，若射线 从射线 的位置开始绕着点 逆时针以每秒 的速度进行旋转，
射线 交直线 于点 ，旋转时间为 秒，当 为何值时， 第一次与 平行？并求此时 的度
数．
14．（24-25八年级上·四川泸州·开学考试）（1）如图1，已知 ， ， ，则
求 的度数；（2）如图2，在（1）的条件下， 平分 ， 平分 ，则 的度
数．
（3）如图2，已知 ， 平分 ， 平分 ，．当点P、M在直线AC同侧时，直接
写出 与 的数量关系： ；
（4）如图3，已知 ， 平分 ， 平分 ．当点P、M在直线 异侧时，直接写
出 与 的数量关系： ．
15．（23-24七年级下·河北邯郸·期中）已知，直线 ，点 为平面上一点，连接 与 ．
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(1)如图1，点 在直线 之间，当 ， 时，求 的度数．
(2)如图2，点 在直线 之间， 与 的角平分线相交于点 ，写出 与 之间
的数量关系，并说明理由．(3)如图3，点 落在 下方， 与 的角平分线相交于点 ，请直
接写出 与 的数量关系．
16．（23-24七年级下·湖北武汉·期中） ，点E、F分别在 、 上；点O在直线 、 之
间，且 (1)如图1，①若 ，求 的度数；
②若 ，请你直接写出 ________；
(2)如图2，直线 分别交 、 的角平分线于点M、N，求 的值
(3)如图3， 在 内， ； 在 内， ，直线 分别交
、 分别于点M、N，且 ，直接写出m的值
17．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行
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线的作用．李老师给出如下问题： ，点 为 下方一点，连接 ，得到 ，试探究
与 的数量关系．（1）小红的做法是：如图2，过点 作 ．
（2）小明的做法是：如图3，设 交 于点 ，过点 作 ．
请你选择一名同学的做法，写出证明过程．
【归纳总结】（2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到
了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答．
如图4，直线 ，点 在 之间，点 在 下方，连 ．延长 至 和
的角平分线相交于点 ．探究 与 的数量关系；
【学以致用】（3）如图5， 和 的角平分线相交于点 ．作 平分 交
的延长线于点 ，若 ，求 的度数．
18．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】如图1， ，点P，Q位于 两侧，连
接 ， ， ， ，直接写出① ， ， 的数量关系为______；② ， ，
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的数量关系为______；
【尝试应用】如图2，在（1）的条件下，作 ， 的角平分线交于点M，若 与 互补，试
写出 与 的数量关系，并证明：（【问题背景】中相关结论可以直接使用）
【拓展创新】如图3， ，点M，N位于 左侧，作 ， 的角平分线交于点P，
；若 ，直接写出 的度数是______．
19．（23-24七年级下·重庆·期中）已知点A，B，C不在同一条直线上， ．
(1)如图①，求证： ；(2)如图②， 分别为 ， 的角平分线所在
的直线， ，求 的度数．(3)如图③， 分别为 ， 的角平分线所在的
直线，延长 交直线 于点P，且 ， ，直接写出 的值为 ．
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20．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）【问题原型】如图①和②， ，点M在如图所在位置，请分
别写出图①和②中 、 、 之间的关系并选择一个结论进行证明；
【推广应用】（1）如图， ， 邻补角的平分线 与 的角平分线相交于点N，试探
究 、 的数量关系并写出证明过程；
（2）如图， ， 和 的三等分角线交于点M， ， ， ，求
的度数．
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