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专题06 三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型
近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握
的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模
型(M型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，
这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
.........................................................................................................................................................................................2
模型1.猪蹄模型（M型与锯齿型）...............................................................................................................2
模型2.铅笔头模型...........................................................................................................................................3
模型3.牛角模型...............................................................................................................................................4
模型4.羊角模型...............................................................................................................................................4
模型5.蛇形模型（“5”字模型）...................................................................................................................5
....................................................................................................................................................6
模型1.猪蹄模型（M型与锯齿型）
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先说说这个名字的由来，为什么叫猪蹄模型呢？因为它长得像猪蹄，也有叫M模型或锯齿模型的，都是根
据外形来取的，只要你喜欢，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。。
①注意：拐角为左右依次排列；②若出现不是依次排列的，应进行拆分。
图1 图2 图3
条件：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②条件：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
证明：如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
条件：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P+∠P=∠A+∠B+∠P
1 3 2.
证明：根据图1中结论可得，∠A+∠B+∠P＝∠P+∠P，
2 1 3
条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P+∠P+...+∠P =∠A+∠B+∠P+...+∠P
1 3 2n+1 2 2n.
证明：由图2的规律得，∠A+∠B+∠P+…+P ＝∠P+∠P+∠P+…+∠P
2 2n 1 3 5 2n+1
例1．（2024·山西·二模）如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束 与 平行射入接收天
线，经反射聚集到焦点 处，若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
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【答案】B
【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，作 ，则 ，结合得出
，推出 ，最后由 ，即可得解．
【详解】解：如图，作 ，则 ，
， ， ，
，故选：B．
例2．（2024九年级下·辽宁·学业考试）如图， ， ，则 的度
数为 ．
【答案】 /80度
【分析】本题考查了平行线的性质、等边对等角等知识点，作 可得 ；根据
即可求解.
【详解】解：作 ，如图所示：∵ ，∴
∵ ∴ ∴
∵ ∴ 故答案为：
例3．（2023春·河南驻马店·九年级专题练习）已知 ， ， ，
若 ，则 为（ ）
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A．23° B．33° C．44° D．46°
【答案】C
【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得 ，同样的方
法可得 ，再根据角的倍分可得 ，由此即可得出答
案．
【详解】如图，过点E作 ，则 ，
∴ ， ，
同理可得： ， ，
∴ ，
，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
例4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们
青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进
滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺
直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示， ，当人脚与地面的夹角
时，求出此时上身 与水平线的夹角 的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长 交直线 于点 ，利用平行线的性质得出 ，再由两直线平行，内
错角相等即可得出结果．
【详解】解：延长 交直线 于点 ， ， ，
根据题意得 ， ，故选：A．
【点睛】题目考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．
例5．（23-24七年级下·广东云浮·期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识
后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线 ，直线 是直线 ， 的第三条截线，
， 分别是 ， 的平分线，并且相交于点K．
问题解决：
（1） ， 的平分线 ， 所夹的 的度数为______；
问题探究：（2）如图2， ， 的平分线相交于点 ，请写出 与 之间的等量关系，
并说明理由；
拓展延伸：（3）在图3中作 ， 的平分线相交于点K，作 ， 的平分线相交于
点 ，依此类推，作 ， 的平分线相交于点 ，求出 的度数．
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【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3）
【分析】本题考查利用平行线的性质和平行公理的推论探究角的关系(拐点问题)，角平分线的相关计算等
知识，掌握平行线的性质是解题的关键．（1）证明过点K作 ，则 ，利用平行线的
性质推出 ，继而推出 ，
从而得到 ；（2）与（1）同理可得：
，继而得解；（3）由（2）得 ，同理得
， ，继而总结规律得 ，从而得解．
【详解】解：（1）如图，过点K作 ，则 ，
∴ ，
∵ ， 分别是 ， 的平分线，并且相交于点K，∴ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
（2） ．理由：如图，过点 作 ．
， ， ， ， ．
， 的平分线相交于点 ， ， ，
．
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由（1），知 ， ．
（3）由（2），可知 ．同理，可得 ，
，…… ．
当 时， ．
例6．（2024·上海·八年级校考期中）已知，直线AB∥CD。（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，
联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．
【分析】（1）过点G作GE∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．（2）过点G作GF∥AB，利用
平行线的性质即可进行转化求解．（3）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，利用
平行线的性质即可进行转化找到角的关系．
【详解】解：（1）如图，过点G作GE∥AB，
∵AB∥GE，∴∠A+∠AGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠A=140°，∴∠AGE=40°．∵AB∥GE，AB∥CD，∴GE∥CD．
∴∠C+∠CGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠C=150°，∴∠CGE=30°．∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°．
（2）如图，过点G作GF∥AB
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∵AB∥GF，∴∠A=AGF（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥GF，AB∥CD，∴GF∥CD．∴∠C=∠CGF．
∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C ．∵∠A=x°，∠C=y°，∴∠AGC=（x+y）°．
（3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，
∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．
∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（两直线平行，内错角相等）．
∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD．
∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，本题构造辅助线利用平行线的传递性结合平行线性质是解题关键．
模型2.铅笔头模型（子弹模型）
因为它长得像铅笔头或，也有叫子弹模型的，都是根据外形来取的，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才
是关键。
①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.
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图1 图2 图3
条件：如图1，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；（该结论和条件互换结果任然成立）。
证明：在图2中，过P作AM的平行线PF，∵AB∥CD，∴PF∥CD，
∴∠1+∠APF＝180°，∠3+∠CPF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
条件：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
证明：在图2中，过P 作AM的平行线PE，过点P 作AM的平行线PF，
1 1 2 2
∵AB∥CD，∴PE∥BN∥PF，∴∠1+∠APE＝180°，∠PPE+∠PPF＝180°，∠FPB+∠4＝180°，
1 2 1 2 1 1 2 2
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
证明：在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
例1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于主光轴 的光线 和 经过凸透镜的折射后，折射光线
和折射光线 交主光轴于点P，若 ， ，则 °．
【答案】45
【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质即可得到结论．此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟
练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
【详解】解： ， ， ，
又 ， ，
， ，
， ．故答案为：45．
例2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线 ，则 的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，根据 ，得出 ，
结合 ，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：如图：∵
∴ 则
∵ ∴ 故选：D
例3．（2023下·江苏南通·七年级统考期末）如图，直线 ，点E，F分别是直线 上的两点，
点P在直线 和 之间，连接 和 的平分线交于点Q，下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点P作 ，过点Q作 ，可得 ，从而得到
， ， ，
进而得到 ，再由角平分线的定义可得 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点P作 ，过点Q作 ，
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∵ ，∴ ，
∴ ， ，
，∴ ，
∵ 和 的平分线交于点Q，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
例4．（2023上·广东广州·八年级校考开学考试）如图①所示，四边形 为一张长方形纸片．如图②
所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（ 、 、 ），则
（度）；
（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（ 、 、 、 ），则
（度）；
（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（ 、 、 、 、 ），
则 （度）；
（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪 刀，剪出 个角，那么这 个角的和是
（度）．
【答案】 360 540 720 180n
【分析】过点 作 ，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于 的 倍；
（1）分别过 、 分别作 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于 的
三倍；（2）分别过 、 、 分别作 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和
等于 的四倍；（3）根据前三问个的剪法，剪 刀，剪出 个角，那么这 个角的和是 度．
【详解】过 作 （如图②）．
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∵原四边形是长方形，∴ ，
又∵ ，∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵ ，∴ （两直线平行，同旁内角互补）．
∵ ，∴ （两直线平行，同旁内角互补）．
∴ ，
又∵ ，∴ ；
（ ）分别过 、 分别作 的平行线，如图③所示，
用上面的方法可得 ；
（ ）分别过 、 、 分别作 的平行线，如图④所示，
用上面的方法可得 ；
（ ）由此可得一般规律：剪 刀，剪出 个角，那么这 个角的和是 度．
故答案为： ； ； ； ．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，
总结规律求解是本题的难点．
例5．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，
探索问题的解．
(1)如图1， ，点E为 、 之间的一点．求证： ．
(2)如图2， ，点E、F、G、H为 、 之间的四点．则 ______．
(3)如图3， ，则 ______．
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【答案】(1)证明见详解；(2) ；(3) ；
【分析】（1）过点 作 ，可得 ，根据平行线的性质可得 ，
，再计算角度和即可证明；（2）分别过点E、F、G、H作 的平行线，在两相邻平行
线间利用两直线平行同旁内角互补求得两角度和后，再将所有角度相加即可解答；（3）由（2）解答可知
在 、 之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，结合图3找出n和线段条数的关系便可解答；
【详解】（1）证明：如下图，过点 作 ，
∵ ， ，∴ ，
根据两直线平行同旁内角互补可得： ， ，
∴ ，∴ ；
（2）解：如下图，分别过点E、F、G、H作 ， ， ， ，
结合（1）解答在两相邻平行线间可得： ，
， ， ，
，将所有角度相加可得： ；
（3）解：由（2）解答可知在 、 之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，
由图3可知：当 、 之间有2条线段时， ，当 、 之间有3条线段时， ，
当 、 之间有4条线段时， ，当 、 之间有5条线段时， ，…，
当 、 之间有 条线段时， ，∴ ；
【点睛】本题考查了平行线公理的推论，平行线的性质，归纳总结的解题思路，通过作辅助线将角度按组
计算是解题关键．
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模型3.牛角模型
因为它长得像犀牛角，故取名牛角模型。
图1 图2
条件：如图1，已知：AB∥CD，且∠E＝ ，∠ABE＝ ，∠CDE＝ ，结论： .
证明：如图，延长AB交DE于点F，∵AB∥CD，∴∠BFE＝∠CDF＝ ，
∵∠ABE＝∠BFE+∠E（外角定理），∴∠ABE＝∠CDF+∠E，∴ ；
条件：如图2，已知：AB∥CD，且∠E＝ ，∠ABE＝ ，∠CDE＝ ，结论： .
证明：如图，延长AB交DE于点F，
∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠CDF＝ ，∴∠BFE＝180°-∠BFD＝180°- ，
∵∠ABE＝∠E+∠BFE（外角定理），∴∠ABE＝∠E+180°-∠BFD，∴ ；
例1．（2024·山西·模拟预测）抖空竹是一种传统杂技节目，是国家级非物质文化遗产之一．如图1是某同
学“抖空竹”的一个瞬间，若将其抽象成图2的数学问题：在平面内，已知 ， ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
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【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，延长 交 于F，根据两直线平行，同位
角相等得到 ，再由三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长 交 于F，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
例2．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图所示，过点E作 ，则 ，由平行线的性质得到
，进一步推出 ．
【详解】解：如图所示，过点E作 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，故选A．
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【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，
DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．
【答案】∠P＝360°﹣2a
【分析】根据角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行线的性质得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝
2∠3，进而根据三角形内角和得出∠5、∠FED，再得到∠P和a的关系，然后即可用 a表示∠P．
【详解】解：延长AB交PD于点G，延长FE交CD于点H，
∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AB∥CD，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，
∵∠PBG＝180°﹣2∠1，∴∠PBG＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣ ∠PBG，
∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°，
∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3，
∴∠FED＝180°﹣（90°﹣ ∠PBG）＋ ∠6＝90°＋ （∠PBG＋∠6）＝90°＋ （180°﹣∠P）＝180°﹣
∠P，∵∠FED＝a，∴a＝180°﹣ ∠P∴∠P＝360°﹣2a．故答案为：∠P＝360°﹣2a．
【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关
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系是关键．
例4．（2023春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线 ，点 为直线 ， 所确定的平面内
的一点，(1)问题提出：如图1， ， ．求 的度数：
(2)问题迁移：如图2，写出 ， ， 之间的数量关系，并说明理由：
(3)问题应用：如图3， ， ， ，求 的值．
【答案】(1) (2) ，理由见解析 (3)
【分析】（1）过点 作 ，易得 ，由平行线的性质可得 ，
，即可求出 ；（2）过点 作 ，易得 ，根据平行线的性质可得
；
（3）过点 作 ，过点 作 ，易得 ， ，根据平行线的性质可得
， ，再由已知等量代换，即可求得 的值．
【详解】（1）解：如图1所示，过点 作 ， ，
， ， ， ， ．
， ， ；
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（2）解： ，理由如下：
如图2，过点 作 ， ， ， ， ，
， ；
（3）解：如图3，过点 作 ，过点 作 ，
， ， ，
，
，
， ， ，
， ，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
例5．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图， ．
(1)如图 ，求证 ；(2)如图 ，点 在 上， 平分 ，交 于点 ，
探究 的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，如图 交 延长线于点
，求 的度数．
【答案】(1)见解析(2) ，见解析(3)
【分析】（1）证明：延长 交 于点 ，则 ，结合已知即可得出 ，
据此即可得出结论；（2）设 ， ，由角平分线的定义得 ， ，
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由（1）可知 ∥ ，则 ， ，然后由 得
，再四边形的内角和等于 得 ，即
，据此可得出 ， 的数量关系；
（3）设 ，则 ， ，由 ∥ 得 ，而
，然后根据 得 ，据此可求出 ，则
，最后根据周角的定义可求出 的度数．
【详解】（1）证明：延长 交 于点 ， ，
， ， ∥ ．
（2）解： ， 的数量关系是： ，理由如下：
设 ， ， 平分 ， ，
， ， ，
由（1）可知： ∥ ， ， ，
， ， ，
由四边形的内角和等于 得： ，
即： ， ， ．
（3）解：设 ， ，
，由（1）可知： ∥ ，
， ，
， ，
， ，解得： ，
， ，根据周角的定义得： ，
．
【点睛】此题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行
线的判定及性质：两直线平行 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补．
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模型4.羊角模型
因长像酷似山羊角，故取名羊角模型。
图1 图2
条件：如图1，已知：AB∥DE，且∠C＝ ，∠B＝ ，∠D＝ ，结论： .
证明：∵AB∥DE，∴∠AFC＝∠D＝ ，
∵∠AFC＝∠B+∠C（外角定理），∴∠D＝∠B+∠C，∴ ；
条件：如图2，已知：AB∥DE，且∠C＝ ，∠B＝ ，∠D＝ ，结论： .
证明：∵AB∥CD，∴∠BFD+∠D＝180°∴∠BFD＝180°-∠D＝180°- ，
∵∠BFD＝∠B+∠C（外角定理），∴180°-∠D＝∠B+∠C，∴ ；
例1．（2024·重庆江津·模拟预测）如图，已知 ，如果 ， ，那么 的度数
为 ．
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【答案】 /35度
【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据平行线的性质得到 ，再根据等边对等角以及外角定理即可求解．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，故答案为： ．
例2．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知 ， 是等腰直角三角形， ，顶点
分别在 上，当 时， ．
【答案】 /65度
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到 ，等边对等角，
得到 ，再根据角的和差关系求出 的度数即可．
【详解】解：∵ 是等腰直角三角形， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ；故答案为： ．
例3．（2023·河南·统考三模）如图，已知 ， ， ，则 的度数为
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（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点 作 ，则 ，根据平行线的性质可得到 ，
，即可求得 ．
【详解】如图，过点 作 ，
∵ ， ，∴ ．
∴ ，．
∵ ，∴ ．
∴ ．故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键．
例4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图， 的角平分线 交 的角平分线的
反向延长线于点P，直线 交 于点N，若 ，则 °
【答案】36
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的
性质定理，
根据角平分线的性质和 可得 ，再根据三角形的外角定理分别求
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出 ， ，进而可求解
【详解】解：如图所示： 交 于点E，
由题意可知： 平分 ， 平分 ，
，
， ，即 ，
， ，
是 的一个外角，
是 的一个外角，
,故答案为：36
例5．（2023七年级下·江苏·专题练习）已知 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)若F为直线 、 之间的一点， ， 平分 交 于点G， 交 于点C．
①如图2，若 ，且 ，求 的度数；②如图3，若点K在射线 上，且满足
，若 ， ，直接写出 的度数．
【答案】(1)见解析(2)① ；② 或
【分析】（1）过E作 ，然后根据两直线平行，内错角相等进行解答即可；（2）①过F作
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，交 于H点，过点 作 ，则 ， ,根据平行线的性质
可得 ，根据角平分线的性质结合 ，从而得出
，进而得出答案；②过点F作 ，设 ，则 ，
，所以 ， ，然后分当K在 上；当K在 延长线上两种情况进行
解答即可．
【详解】（1）解：如图，过E作 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，即 ；
（2）①如图，过F作 ，交 于H点，过点 作 ，则 ，
,
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，即 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
即 ，∴ ；
②如图，过点F作 ，设 ，则 ， ，
∴ ，∴ ， ，
当K在 上， ，∴ ，
∴ ，∴ ；
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当K在 延长线上时， ， ，
∴ ，∴ ，综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质、作出正确
辅助线、运用分类讨论的思想解题是关键．
模型5.蛇形模型（“5”字模型）
因模型像一条弯曲的水蛇，故取名蛇形模型。
图1 图2
条件：如图1，已知：AB∥DE，∠C＝ ，∠B＝ ，∠D＝ ，结论： .
证明：在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠BCF＝∠B，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCF+∠FCD+∠D＝∠B+180°，
∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴ .
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条件：如图2，已知：AB∥DE，∠C＝ ，∠B＝ ，∠D＝ ，结论： .
证明：在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠B+∠BCF＝180°，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＝∠D，∴∠B+∠BCF+∠FCD＝∠D+180°，
∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴ .
例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，
如图，若 ，则 等于（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【答案】D
【分析】过点C作 ，根据平行线的性质即可求出 的度数．
【详解】解：过点C作 ，∴ ，
∵ ∴ ；
∵ ，∴ ；
由题意 ，∴ ，∴ ．故选：D
【点睛】本题考查平行线的判断和性质，作出辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
例2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图， ， 的角平分线 的反向延长线和
的角平分线 交于点F， ，则 ．
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【答案】 /104度
【分析】本题考查了角平分线的意义，平行线的性质，平角的意义，四边形内角和，先根据角平分线的意
义设 ，继而根据平角的意义得出 ，再由平行线的性质及四边
形内角和得出 ，结合 ，求解即可．
【详解】∵ 的角平分线 的反向延长线和 的角平分线 交于点F，
∴设 ，
∴ ，过点F作 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
即 ，∵ ，∴ ，故答案为： ．
例3．（23-24七年级下·湖北鄂州·期中）如图，已知点 ， ， 不在同一条直线上， ．
(1)求证 ；(2)如图2， ， 分别为三等分 、 所在直线，
， ，试探究 与 的数量关系；(3)如图3，在（2）的前提下，
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且有 ，直线 、 交于点 ， ，请直接写出 _________．
【答案】(1)见解析(2) ，见解析(3)
【分析】（1）过点 作 ，则 ，可得 ， ，
，即可求解；（2）过点 作 ，则 ，可得 ，
，再由 ， ，可得 ， ，
可得 ，再由（1）中结论，即可求解；（3）根据 ，可得
∠ACP=3∠AQB，再由AC∥BQ，可得∠PAC=∠AQB，∠PBQ=∠ACP，从而得到∠PAC=30°，进而得到
∠QBP=∠ACP=90°，再由 ， ，可得∠CAD=45°，∠EBC=135°，即可求
解．
【详解】（1）解：过点 作 ，则 ，
∵ ，∴ ， ， ，
，
（2）解：过点 作 ，则 ，
∵ ， ，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
即 ，由（1）得： ，∴
．
（3）解：∵ ，∠ACB+∠ACP=180°，∴∠ACP=3∠AQB，
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∵AC∥BQ，∴∠PAC=∠AQB，∠PBQ=∠ACP，∴∠ACP=3∠CAP，
∵ ，∴∠PAC+∠ACP=120°，即∠PAC+3∠PAC=120°，解得：∠PAC=30°，
∴∠QBP=∠ACP=90°，∴∠ACB=90°，∵ ，∴∠PAC=2∠DAH，∴∠DAH=15°，即
∠CAD=45°，
∵ ，∴∠EBQ=45°，∴∠EBC=135°，
∴ ．故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
例4．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图 ， ， ．
(1) 如果 ，求 的度数； 设 ， ，直接写出 、 之间的数量
关系： ；(2)如图 ， 、 的角平分线交于点 ，当 的度数发生变化时，
的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 的度数；
(3)在（2）的条件下，若 ，点 为射线 上的一个动点，过点 作 交直线 于点
，连接 ．已知 ，求 的度数．
【答案】(1) (2)不发生变化； ，理由见详解(3) 或
【分析】（1） 过点 作 ，则有 ，然后得到 ，
，然后计算解题； 过点 作 ，则有 ，
，再根据直角得到结论；（2）由 可得 ， ，
然后根据角平分线的定义得到 ， ，然后利
用同 的推导过程得到结论；（3）由（2）可得 ， ，
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，然后分点 在点 的左侧和点 在点 的右侧两种情况进行解题．
【详解】（1）解：过点 作 ，
， ， ， ，
又 ， ， ；
过点 作 ， ， ，
， ，
又 ， ， ，故答案为： ；
（2）解：不发生变化； ，理由为：由 可得 ， ，
、 的角平分线交于点 ， ， ，
，
过 作 ， ， ；
（3）由（2）得 ， ， ，
， ，
过点 作 ， ， ，
， ， ，
当点 在点 的左侧时，如图，则 ，
， ；
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当点 在点 的右侧时，如图，则 ，
， ．
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角的计算、角平分线的性质等知识点．
1．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若 ， ， ，则 的度数是
（）
A．115° B．130° C．140° D．150°
【答案】C
【分析】利用平行线的传递性作出辅助线 ，再通过平行线的性质即可解决问题．
【详解】解：过 作 的平行线 ，如图所示；
， ∴
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的基本性质与平行的传递性，两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，根据
传递性做出辅助线是解决问题的关键．
2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行
若 ， ，则 的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点 作 工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】解：如图，过点 作 工作篮底部， ，
工作篮底部与支撑平台平行， 工作篮底部 支撑平台， ，
， ， ， ，故选： ．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”
是解题的关键．
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线 ．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形外角性质，平行的性质，解题关键是熟练掌握并运用相关知识．根据 可
得， ，根据三角形外角性质结合 可得 ，即可求得 的
度数．
【详解】解：∵ ， ．
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又∵ ， ， ．故选：C．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京
景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的
历史至少在 年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题： ，
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，延长 交 于点 ，先利用平行线的性质可得 ，
然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解
题的关键．
【详解】解：延长 交 于点 ，∵ ，∴ ，
∵ 是 的一个外角，∴ ，故选： ．
5．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，若 ， ， ， ，那么 的度数
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
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【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，由平行线的性质得出 ，
，再结合 计算即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，故选：D．
6．（24-25九年级上·湖北·课后作业）①如图①， ，则 ；
②如图②， ，则 ；③如图③， ，则 ；
④如图④，直线 ，点 在直线 上，则 ．以上结论正确的是（ ）
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键．
对于“拐点”类问题，一般是过“拐点”作平行线，根据平行线的性质和三角形的外角定理即可求解判断
出角度之间的数量关系．
【详解】解：①，如解图①，过点 作 ， ，
， ， ， ，故①正确；
②，如解图②，设 与 交于点 ，
， ， 是 的一个外角， ，
， ，故②正确；③，由①可得： ，
， ， ，故③不正确；
④ ， ， ， ，
， ，故④正确；
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所以结论正确的是①②④，故选：C．
7．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是某款婴儿车的几何示意图，若 ， ， ，
则 的度数是 °．
【答案】
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，先证明 ，
，再利用三角形的外角的性质解答即可．
【详解】∵ ， ， ，∴ ， ，
∴ ．故答案为：
8．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图， ， 的角平分线 的反向延长线和 的
角平分线 交于点 ， ，则 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，四边形内角和定理等．过 作 ，则
，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得 ，
，进而可得 ， ，利用四边形内角和
为 度，可得 ，再结合 即可求出 的度
数．
【详解】解：如图，过 作 ，
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∵ ，∴ ，
∵ 的角平分线 的反向延长线和 的角平分线 交于点 ，
∴可设 ， ，
∴ ， ，
∴四边形 中，
，即 ，①
又∵ ，∴ ，②
∴ ，解得 ，故答案为： ．
9．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图， ， 为 上方一点， 、 分别为 、 上的
点， 、 的角平分线交于点 ， 的角平分线与 的延长线交于点 ，若 ，
，则 的度数等于 ．
【答案】 /164度
【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的概念，三角形内角和定理和外角的性质，
首先根据角平分线的概念结合平角得到 ，进而利用三角形内角和定理求出 ，然后由
平行线的性质得到 ，然后根据三角形外角的性质得到
，进而求解即可．
【详解】如图所示，
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∵ 平分 ， 平分 ∴ ，
∴
∵ ∴
∵ ∴ ∴
∵ 平分 ∴ ∴ ．故答案为： ．
10．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线 、 平行，则 ．
【答案】900°
【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB
观察图形可知，图中有5组同旁内角，
则 故答案900°
【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键。
11．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中， AB CD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．
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解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯
碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．
【答案】(1) 图1：∠1+∠2＝∠3； 图2：∠1+∠2+∠3＝ ； 图3：∠1＝∠2+∠3； 图4：∠1+∠3
＝∠2；(2)见解析；(3)
【分析】(1) 图1：首先过点P作PE AB，由AB CD，即可得AB PE CD，然后根据两直线平行，内
错角相等，即可求得答案；
图2：首先过点P作PE AB，由AB CD，即可得AB PE CD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，
即可求得答案；图3：由AB CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答
案；图4：由AB CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案．
（2）选图1，过点P作PE AB，由AB CD，即可得AB PE CD，然后根据两直线平行，内错角相等，
即可求得答案；（3）利用图1结论进行求解
【详解】(1)图1：∠1+∠2＝∠3； 图2：∠1+∠2+∠3＝
图3：∠1＝∠2+∠3；图4：∠1+∠3＝∠2；
(2)选择图1，如图所示：过点P作EP//AB
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∵AB CD，EP AB∴AB EP CD∴∠1=∠APE，∠2=∠EPC
又∵∠3＝∠APE+∠EPC∴∠1+∠2＝∠3；
(3)由图1可得：∠BOC＝∠ABO+∠DCO，
又∵∠ABO=57°，∠DCO=44°，∴∠BOC=57°+44°＝101°
【点睛】考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直
线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法．
12．（2023春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，
(1)求证： ：(2)如图②， 分别为 的平分线所在直线，试探究
与 的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有 ，直线 交于点P，
，直接写出 ．
【答案】(1)见解析(2) ，理由见解析(3)
【分析】（1）过点C作 ，则 ，根据平行线的性质可得出 、
，据此可得；（2）过点Q作 ，则 ，根据平行线的性质、角平分线
的定义可得出 ，结合（1）的结论可得出 ；（3）由（2）的
结论可得出 ①，由 可得出 ②，联立①②可求出
的度数，再结合（ 1）的结论可得出 的度数，将其代入 中可
求出结论．
【详解】（1）在图①中，过点C作 ，则 ．
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∵ ，∴ ，
∴ ．
（2）在图2中，过点Q作 ，则 ．
∵ ，∴ ．
∵ 平分 ， 平分 ，∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
（3）∵ ，∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
又∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线的的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线．
13．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知： ，点 在 上，点 、 在 上，点
在 、 之间，连接 、 、 ， ， ，垂足为点 ．
(1)如图1，求 的度数；(2)如图2， 平分 ， 平分 ， 、 交于点 ，求
的度数；(3)如图3，在（2）的条件下， 平分 交 于点 ，若 ，
与 所在直线交于点 ，若射线 从射线 的位置开始绕着点 逆时针以每秒 的速度进行旋转，
射线 交直线 于点 ，旋转时间为 秒，当 为何值时， 第一次与 平行？并求此时 的度
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数．
【答案】(1) (2) (3) ，
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角分线的性质．解题的关键是掌握拐点问题中的辅助线作法．
（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点 作 ，过点 作 ，根据平行线的判定和性质解答即可；
（3）过点 作 ，先利用 ，设 ， ，结合平行线的
性质求出 ，利用 ，结合平行线的判定与性质求出 ，利用 ， ，结合平行
线的判定与性质求出 ，即可求出 ，即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
， ， ，
， ， ；
（2）解：如图，过点 作 ，过点 作 ，
， ， ，
， ， ， ，
，
平分 ， ，
平分 ， ，
；
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（3）解：如图，过点 作 ，
∵ ，∴设 ， ，
∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ，解得： ，
∴ ， ，
由（2）得 ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∵点 逆时针以每秒 的速度进行旋转，∴ ，
综上， 时， 第一次与 平行，此时 ．
14．（24-25八年级上·四川泸州·开学考试）（1）如图1，已知 ， ， ，则
求 的度数；（2）如图2，在（1）的条件下， 平分 ， 平分 ，则 的度
数．
（3）如图2，已知 ， 平分 ， 平分 ，．当点P、M在直线AC同侧时，直接
写出 与 的数量关系： ；
（4）如图3，已知 ， 平分 ， 平分 ．当点P、M在直线 异侧时，直接写
出 与 的数量关系： ．
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【答案】（1）70度；（2）35度；（3） ；（4）
【分析】本题主要考查了平行线的性质探究角的关系， 角平分线的计算，以及三角形外角的定义以及性
质等知识，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）过P作 ，由平行线的性质可得出 ， ，最后根据
即可得出答案．
（2）延长 交 于点Q，则可得到 ，由（1）可得出
，连接 并延长到点R，由三角形外角的定义可得
， ，相加可得出 ，等量代换可得
出 ，代入即可求出 ．（3）由（2）可得： ．
（4）过P作 于Q， 于N，由平行线的性质可得出 ，
， ， ，由角平分线的定义可得出 ，
，最后根据 ，等量代换可得出
【详解】解：（1）如图1，过P作 ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ；
（2）如图2，延长 交 于点Q，则可得到 ，
则 ，
连接 并延长到点R，则可得 ， ，
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∴ ，∴ ，∴ ；
（3）由（2）可得： ，故答案为： ；
（4）如图，过P作 于Q， 于N，则 ，
∴ ， ， ， ，
∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ，
∴ ，
即 ，故答案为： ．
15．（23-24七年级下·河北邯郸·期中）已知，直线 ，点 为平面上一点，连接 与 ．
(1)如图1，点 在直线 之间，当 ， 时，求 的度数．
(2)如图2，点 在直线 之间， 与 的角平分线相交于点 ，写出 与 之间
的数量关系，并说明理由．(3)如图3，点 落在 下方， 与 的角平分线相交于点 ，请直
接写出 与 的数量关系．
【答案】(1) (2) ，见解析(3)
【分析】（1）先过 作 ，根据平行线的性质即可得到 ， ，再根据
进行计算即可；
（2）过 作 ，根据 ，可得 ， ，进而得到
，同理可得， ，再根据角平分线的定义，
得出 ，进而得到 ；
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（3）过 作 ，根据 ，可得 ， ，进而得到
，同理可得， ，再根据角平分线的定义，
得出 ，进而得到 ．
【详解】（1）解：如图1，过 作 ，
， ， ， ，
；
（2）解： ，理由如下：
如图2，过 作 ，
， ， ， ，
，过 作 ，
， ， ， ，
， ，
与 的角平分线相交于点 ，
， ；
（3） ．理由如下：如图3，过 作 ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，
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∴ ，
过 作 ， ， ， ， ，
， ，
∵ 与 的角平分线相交于点K，∴ ， ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错
角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．
16．（23-24七年级下·湖北武汉·期中） ，点E、F分别在 、 上；点O在直线 、 之
间，且 (1)如图1，①若 ，求 的度数；
②若 ，请你直接写出 ________；
(2)如图2，直线 分别交 、 的角平分线于点M、N，求 的值
(3)如图3， 在 内， ； 在 内， ，直线 分别交
、 分别于点M、N，且 ，直接写出m的值
【答案】(1)① ② (2) (3)
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质、角平
分线的性质及三角形的外角性质并正确作出辅助线是解题关键．
（1）如图1，过点 作 ，利用两直线平行，内错角相等的性质分别求得 ，
，再根据 ，即可求出①②结论；
（2）如图2，过点 作 ，过点 作 ，利用两直线平行，内错角相等的性质，得到
，再根据角平分线的性质，得到 ，
，进而可求出 的值；
（3）如图3，设直线 交 于点 ， 与 相交于点 ，由 得到 ，根据
三角形外角与内角关系得到 ，进而得到 ，
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再由三角形外角与内角关系求得 ，即可得到 与 的关系，即 ，
再由题意可求得 ， ，然后由
，化简可得方程 ，求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过点 作 ，
， ， ，
① ， ，
， ， ；
② ， ，
， ， ，
；故答案为： ；
（2）解：如图2，过点 作 ，过点 作 ，
， ， ， ， ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
又由（1）得 ， ，
．
（3）解：如图3，设直线 交 于点 ， 与 相交于点 ，
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， ， ，
，
， ，即 ，
， 在 内， ，
，
，
，
，
，
即 ，
，
解得 ．
17．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行
线的作用．李老师给出如下问题： ，点 为 下方一点，连接 ，得到 ，试探究
与 的数量关系．（1）小红的做法是：如图2，过点 作 ．
（2）小明的做法是：如图3，设 交 于点 ，过点 作 ．
请你选择一名同学的做法，写出证明过程．
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【归纳总结】（2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到
了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答．
如图4，直线 ，点 在 之间，点 在 下方，连 ．延长 至 和
的角平分线相交于点 ．探究 与 的数量关系；
【学以致用】（3）如图5， 和 的角平分线相交于点 ．作 平分 交
的延长线于点 ，若 ，求 的度数．
【答案】（1）① ；② ；（2）
；（3）
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键．；
（1）①过点 作 ，根据平行线的性质得出 ；
②设 交 于点 ，过点 作 ．根据平行线的性质可得 ， ，
进而可得 ；
（2）根据角平分线的定义可得 ，根据平行线的性质
可得 由（1）可得 ，即可求解．
（3）过点H作 ，利用（1）中结论 ，利用平行线的性质、角平分线定义、
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邻补角和为 ，角与角之间的基本运算、等量代换等得出 ，
进而用等量代换得出 ．过点H作 ，由①的结论得
．利用平行线性质得 ，由
角平分线定义及邻补角可得 ．继续使用等量代换可得
度数．
【详解】解：（1）①小红的做法是：如图2，过点 作 ．
∵
∴
∴
∵ ；
②小明的做法是：如图3，设 交 于点 ，过点 作 ．
∴ ，
∵
∴
∴
（2）如图所示，过点 作
∵ 和 的角平分线相交于点 ．
∴
∵
∴
∴
由（1）可得
∴
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（3）过点H作 ，如图，
由（1）可得 ，
由图可知 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
即 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
过点H作 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ．
∴ ．
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
18．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】如图1， ，点P，Q位于 两侧，连
接 ， ， ， ，直接写出① ， ， 的数量关系为______；② ， ，
的数量关系为______；
【尝试应用】如图2，在（1）的条件下，作 ， 的角平分线交于点M，若 与 互补，试
写出 与 的数量关系，并证明：（【问题背景】中相关结论可以直接使用）
【拓展创新】如图3， ，点M，N位于 左侧，作 ， 的角平分线交于点P，
；若 ，直接写出 的度数是______．
【答案】问题背景：① ；② ；尝试应用：
；拓展创新：
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角度的和差计算，准确作出平行线利用平行线性质
证明即可．
问题背景：过点P作 ，根据两直线平行内错角相等求解，过点Q作 同旁内角互补进行求
解即可；
尝试应用：利用（1）中求出的角度间关系进行求解即可；
拓展创新：过点P作 ，过点M作 ，过点N作 ，利用平行线性质，结合角平分线
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定义进行角度间的换算即可．
【详解】解：（1）问题背景：①如图，过点P作 ，
，
，
， ，
，
故答案为： ；
②如图，过点Q作 ，
，
，
， ，
，
，
故答案为： ；
尝试应用：由（1）可知： ， ,
是 ， 的角平分线，
，
整理得： ，
由（1）可得： ，
，
，
，
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，
又 ，
；
拓展创新：如图，过点P作 ，过点M作 ，过点N作 ，
，
，
，
又 平分 ，
，
，
， ，
，
，
整理得： ，即 ．
19．（23-24七年级下·重庆·期中）已知点A，B，C不在同一条直线上， ．
(1)如图①，求证： ；(2)如图②， 分别为 ， 的角平分线所在
的直线， ，求 的度数．(3)如图③， 分别为 ， 的角平分线所在的
直线，延长 交直线 于点P，且 ， ，直接写出 的值为 ．
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【答案】(1)见解析(2) (3)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义：
（1）过点C作 ，则 ，根据平行线的性质可得出 、 ，据
此可得；
（2）过点Q作 ，则 ，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出
，结合（1）的结论可得出 ，据此可得答案；
（3）由（2）的结论可得出 ①，由 可得出 ②，联立①②可
求出 的度数，再结合（ 1）的结论可得出 的度数，据此可求出结论．
【详解】（1）证明：如图所示，，过点C作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图所示，过点Q作 ，
∵
∵ ，
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∴ ．
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
由（2）可知 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4．
20．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）【问题原型】如图①和②， ，点M在如图所在位置，请分
别写出图①和②中 、 、 之间的关系并选择一个结论进行证明；
【推广应用】（1）如图， ， 邻补角的平分线 与 的角平分线相交于点N，试探
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究 、 的数量关系并写出证明过程；
（2）如图， ， 和 的三等分角线交于点M， ， ， ，求
的度数．
【答案】[问题原型] 图①： ，证明过程见详解；图②： ，证明过程见详解；
（1） ，证明过程见详解；（2）
【分析】本题考查了角平分线的性质以及平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
[问题原型]图①先过点M作 ，根据两直线平行，同旁内角互补，列式化简即可作答．图②过点M
作 ，根据两直线平行，内错角相等，即可作答．
（1）过点M作 ，过点N作 ，与[问题原型]同理，因为 邻补角的平分线 与
的角平分线相交于点N， ，再结合
，代入化简即可作答．（2）分别过点M作 ，点G作 ，点F作
，点E作 ，根据平行线的性质以及角平分线的定义，列式化简，即可作答．
【详解】解：（1）图①，过点M作 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
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∴ ；
图②，过点M作 ，如图所示：
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；
（1） ，证明过程如下：
过点M作 ，过点N作 ，如图：
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ；
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ 邻补角的平分线 与 的角平分线相交于点N，
∴
∴ ；则 ；
（2）如图：分别过点M作 ，点G作 ，点F作 ，点E作 ，
∵ ∴
∴ ∴
∴
∵ ， ， ，∴
∴
即 ∴ ．
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