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专题20 全等与相似模型之手拉手模型
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。全等三角形、相似三角形与其它知
识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，
熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。
.........................................................................................................................................................................................2
模型1.手拉手模型（全等模型）...................................................................................................................2
模型2.手拉手模型（相似模型）.................................................................................................................12
..................................................................................................................................................26
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
模型1.手拉手模型（全等模型）将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，
也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为
“左手”，第二个顶点记为“右手”。
等线段，共顶点，旋转前后的图形大小，形状不发生变化，只是位置不同而已。解题是通过三角形全等进
行解决。SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
1）双等边三角形型
条件： ABC和 DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
△ △
证明： ∵ ABC和 DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠△ACE=∠△ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型条件： ABC和 DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：△①△ACD△≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
证明： ∵ ABC和 DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠△ACE=∠△ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
4）双正方形形型条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。
结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。
证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°，
过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
例1．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点A，B，C在同一条直线上， ， 均为等边三
角形，连接 和 ， 分别交 、 于点M，P， 交 于点Q，连接 ， ，下面结论：①
；② ；③ 为等边三角形；④ 平分 ；⑤ ．其中结论
正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰 中， ， ，点 ， 分别
在 ， 上， ，连接 ， ，取 中点 ，连接 ．
(1)求证： ， ；(2)将 绕点 顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出 与 的位置关系：___________________；②求证： ．例3．（2023·山东·九年级专题练习）已知， 为等边三角形，点 在边 上．
【基本图形】如图1，以 为一边作等边三角形 ，连结 ．可得 （不需证明）．
【迁移运用】如图2，点 是 边上一点，以 为一边作等边三角 ．求证： ．
【类比探究】如图3，点 是 边的延长线上一点，以 为一边作等边三角 ．试探究线段 ，
， 三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
例4．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，将 绕点A顺时针旋转得到 ，并使C点的对应
点D点落在直线 上．(1)如图1，证明： 平分 ；(2)如图2， 与 交于点F，若
，求 的度数；(3)如图3，连接 ，若 ，则 的
长为 ．例5．（2022·浙江湖州·统考中考真题）已知在Rt ABC中，∠ACB＝90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，
．记△ABC的面积为S． △
(1)如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为 ，正
方形BGFC的面积为 ．①若 ， ，求S的值；②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，
交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证： ．
(2)如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积
为 ，等边三角形CBE的面积为 ．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，
CF．若EF⊥CF，试探索 与S之间的等量关系，并说明理由．
例6．（2024·黑龙江·九年级期中）已知Rt ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F为AB边的中点，且
DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一个动点△．如图1，当D与C重合时，易证：CD2＋DB2＝2DF2；
（1）当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
（2）当D在BC的延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．模型2.手拉手模型（相似模型）
“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样
的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个
三角形可以重合；3）图形是任意三角形（只要这两个三角形是相似的）。
1）手拉手相似模型（任意三角形）
条件:如图，∠BAC=∠DAE= ， ；
结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE； ；∠BFC=∠BAC.
证明：∵ ，∴ ，∵∠BAC=∠DAE= ，∴△ADE∽△ABC，
∵∠BAC=∠DAE= ，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，
∵ ，∴△ABD∽△ACE，∴ ，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE= ，
2）手拉手相似模型（直角三角形）条件:如图， ， ；
结论：△AOC∽△BOD； ，AC⊥BD， .
证明：∵ ，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，
∵ ，∴△AOC∽△BOD，∴ ，∠OAB=∠OBD，
∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴ .
3）手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形）
M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF； .
条件:
证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴ ，∠BMC=∠EMF=90°，
∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴ ，
条件: ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°； .
△
证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴ ，∠BAC=∠DAE=45°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE，
∴ ，∠ACE=∠ABD=90°例1．（2023·江西·一模）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小亮对等腰只角形
的旋转变换进行研究．
(1)[观察猜想]如图1，△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，点D、点E分别在AB、AC上．且
DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转a（0°≤a≤360°）．请直接写出旋转后BD与CE的数量关系 ；
(2)[探究证明]如图2，△ACB是以∠C为直角顶点的等腰直角三角形，DE∥BC分别交AC与AB两边于点
E、点D．将△ADE绕点A逆时针旋转至图中所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立．若成立，请给出
证明；若不成立，请说明理由；
(3)[拓展延伸]如图3，BD是等边△ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC．将△ABE绕点B逆时针旋转
到△FBE，点A落在点F的位置，若等边三角形的边长为4，当AB⊥BE时，求出DF2的值．
例2．（2024·山东枣庄·二模）综合实践
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度
存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在 中， ， ，分别取， 的中点D，E，作 ．如图2所示，将 绕点A逆时针旋转，连接 ， ．
(1)探究发现：旋转过程中，线段 和 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
(2)性质应用：如图3，当 所在直线首次经过点B时，求 的长．
例3．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一
个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片 和 中，
， ， ．
【初步感知】（1）如图1，连接 ， ，在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 的值．
【深入探究】（2）如图2，在纸片 绕点 旋转过程中，当点 恰好落在 的中线 的延长线上
时，延长 交 于点 ，求 的长．
【拓展延伸】（3）在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 ， ， 三点能否构成直角三角形．若能，
直接写出所有直角三角形 的面积；若不能，请说明理由．
例4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知
识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在 和 中， ， ， ，连接 ， ，
延长 交 于点 ．则 与 的数量关系：______， ______ ；
(2)类比探究：如图2，在 和 中， ， ， ，连接 ，
，延长 ， 交于点 ．请猜想 与 的数量关系及 的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3， 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，且点
， ， 在一条直线上，过点 作 ，垂足为点 ．则 ， ， 之间的数量关系：
______；
(4)实践应用：正方形 中， ，若平面内存在点 满足 ， ，则 ______．
例5．（2024·山西·模拟预测）综合与实践
问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知 和 均为等边三角
形，O是 和 的中点，将 绕点O顺时针旋转．
猜想证明：(1)如图①，在 旋转的过程中，当点E恰好在 的延长线上时， 交 于点H，试判
断 的形状，并说明理由；(2)如图②，在 旋转的过程中，当点E恰好落在边 上时，连接
，试猜想线段 与线段 的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若 ，连接 ，设
所在直线与 所在直线交于点M，在 旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O
两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时 的长．例6．（2024·山东济南·模拟预测）
(1)问题发现：如图1，矩形 与矩形 相似，且矩形 的两边分别在矩形 的边 和
上， ，连接 ．线段 F与 的数量关系为 ；
(2)拓展探究：如图2，将矩形 绕点A逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论
是否仍然成立，请利用图2进行说理．
(3)解决问题：当矩形 的边 时，点E为直线 上异于D，C的一点，以 为边作正方形
，点H为正方形 的中心，连接 ，若 ， ，直接写出 的长．例7．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角 中， ，D为 上一点，E为 延长
线上一点，且 ， ，则 ．
1．（23-24九年级·辽宁盘锦·开学考试）如图，在 中， ，过点C作 于点D，过
点B作 于点M，连接 ，过点D作 ，交 于点N． 与 相交于点E，若点E是
的中点，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的有
（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2022·湖南·中考真题）如图，点 是等边三角形 内一点， ， ， ，则
与 的面积之和为（ ）A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，在 中， ，点D是边
上的一个动点，连接 ，过点C作 ，使 ，连接 ，点F是 的中点，连接 并延
长，交 边所在直线于点G，若 ，则 的长为 ．
4.（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，等腰直角 中， ， ，过点 作
， ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，则 长为 ．
5．（2024·河南周口·模拟预测）如图， 是等边三角形， ，点E是 的平分线 上的一
动点，连接 ，将点E绕点C顺时针旋转 得到点F，连接 ， ．若 是直角三角形，则线
段 的长为
6．（2024·山东泰安·三模）将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形 ，点A、C、D的对应点分别
为 、 、 ．如图，当 过点C时，若 ， ，则 的长为 ．7．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，将 绕点A逆时针旋转到 的位置，使点 落
在 上， 与 交于点E若 ，则 （从“ ”中选择
一个符合要求的填空）； ．
8．（2024·上海徐汇·九年级统考期末）如图，在Rt ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，点D为斜边BC上一
点，且BD=3CD，将△ABD沿直线AD翻折，点B的△对应点为B′，则sin∠CB′D= ．
9．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图
1， 和 是等边三角形，点B、C、E不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出
结论________________；（写出一对即可）
上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”．【类比分析】（2）如下图，已知四边形 中， ， ， 是 的
平分线，且 ．将线段 绕点E顺时针旋转 得到线段 ．当 时，连接 ，试判断线
段 和线段 的数量关系，并说明理由；①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段
和线段 的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题；
②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件 ，则 ，再通过“手拉手”
模型，合理添加辅助线，构造与 全等的三角形来解决问题．
请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由．
【拓展延伸】（3）如下图， 中，当 时，点D、E为 、 上的点， ，
，若 ， ，求线段 的长．
10．（23-24九年级下·四川达州·开学考试）已知， 与 都是等腰直角三角形，
， ，连接 ， ．
(1)如图 ，求证 ；(2)如图 ，点 在 内， ， ， 三点在同一直线上，过点 作
的高 ，证明： ；(3)如图 ，点 在 内， 平分 ， 的延长线与 交
于点 ，点 恰好为 中点，若 ，求线段 的长．11．（2023·河南新乡·模拟预测）问题发现：如图1，在△ABC中，AB＝AC， ，D为BC边
上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，则：
(1)①∠ACE的度数是 ；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是 ．
拓展探究：(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC， D为BC边上一点（不与点B，C重合），将
线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间得数量
关系，并说明理由；
解决问题：(3)如图3，在Rt DBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，∠BAC＝
90°，请直接写出线段AD的△长度．
12．（2024·河南新乡·模拟预测）问题发现：如图1，在△ABC中，AB＝AC， ，D为BC边
上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，则：
(1)①∠ACE的度数是 ；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是 ．
拓展探究：(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC， D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间得数量
关系，并说明理由；
解决问题：(3)如图3，在Rt DBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，∠BAC＝
90°，请直接写出线段AD的△长度．
13．（2024·浙江绍兴·校考一模）【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作
等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想
BD与CE的大小关系，不需要证明．
【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的
值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请
你准确的叙述辅助线的作法，再计算；
【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，
则CD＝ ．
14．（2024·江西·中考真题）综合与实践：如图，在 中，点D是斜边 上的动点（点D与点A
不重合），连接 ，以 为直角边在 的右侧构造 ， ，连接 ， ．
特例感知（1）如图1，当 时， 与 之间的位置关系是______，数量关系是______；
类比迁移（2）如图2，当 时，猜想 与 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．拓展应用（3）在（1）的条件下，点F与点C关于 对称，连接 ， ， ，如图3．已知 ，
设 ，四边形 的面积为y．①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；②当 时，请
直接写出 的长度．
15．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度
，再将旋转后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段
的比为k，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作 顺 ；若逆时针旋转，记作
逆 ．
例如：如图①，先将 绕点B逆时针旋转 ，得到 ，再将 以点B为位似中心缩小到
原来的 ，得到 ，这个变换记作 逆 ．
(1)如图②， 经过 顺 得到 ，用尺规作出 ．（保留作图痕迹）
(2)如图③， 经过 逆 得到 ， 经过 顺 得到 ，连接 ．
求证：四边形AFDE是平行四边形．(3)如图④，在 中， ， ， ．若 经
过（2）中的变换得到的四边形 是正方形，请直接写出 的长．16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探
究：
(1)问题发现：如图1， 在等边 中， 点P是边 上任意一点， 连接 ， 以 为边作等边
， 连接 ． 易证： (2)变式探究：如图2，在等腰 中， ，点P是边 上任
意一点， 以 为腰作等腰 ， 使 ，连接 ．判断 和 的数
量关系，并说明理由：(3)解决问题：如图3，在正方形 中，点P是边 上一点，以 边作正方形
，Q是正方形 的中心， 连接 ．若正方形 的边长为6， 则正方形
的边长为
17．（2024·湖北黄石·三模）（1）如图①， 和 为等腰直角三角形， ，
求证： ．（2）如图②， ， ，试探究线段 与
线段 的关系，并加以证明．（3）如图③， ， ，求 的最
大值．18．（2024·湖北武汉·模拟预测）在 中， ， ，且 ．
(1)如图1，若F、G分别是 、 的中点，求证： ．
(2)如图2，若 ， ，连接 ，求 的值．(3)如图3，若 ， ，F、G分别
是 和 上的动点，且始终满足 ，将 绕A点顺时针旋转一周，则 的最小值为
______．
19．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题发现：如图1，在菱形 中， ，点 是对角
线 上一动点，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ， ．求 的度数．
（2）问题探究：如图2，在正方形 中， ，点 是对角线 上一动点，连接 ，将 绕点
逆时针旋转 得到 ，连接 ，当 时，求 的长度；
（3）问题解决：某科技公司现有一块形如矩形 的研发基地，如图3，已知 米，
米，为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：点 是对角线 上一动点，
以 为边在 右侧作直角三角形 ，满足 ， ，其中将 修建成新能源研
发区， 为试验区，为保证研发效果，要使研发区（即 的面积最大，求此时试验区（即
的面积．
