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专题05 三角形中的倒角模型之双角平分线（三角形）模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模
型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
.........................................................................................................................................................................................2
模型1双角平分线模型（双内角）...............................................................................................................2
模型2.双角平分线模型（一内角一外角）...................................................................................................5
模型3.双角平分线模型（双外角）...............................................................................................................7
..................................................................................................................................................10
模型1双角平分线模型（双内角）双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。
1）两内角平分线的夹角模型
图1 图2 图3
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论： 。
证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴ ， 。
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A。
2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1
条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。
证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴ ， 。
∴ ∠ P=180°- （ ∠ PBC+∠ PCB ） =180°- （ ∠ ABC+∠ DCB ） =180°- （ 360°-∠ A-∠ D ） =
（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。
3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2
条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：
。
证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴ ， 。
∴ ∠ P=180°- （ ∠ PCD+∠ PDC ） =180°- （ ∠ BCD+∠ CDE ） =180°- （ 540°-∠ A-∠ D-∠ E ）
=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。例1．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在 中，点 是 内一点，且点 到 三
边的距离相等，若 ，则 ．
例2．（2023秋·山西太原·八年级校考期末）已知：如图， 是 内一点，连接 ， ．
(1)猜想： 与 、 、 存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若 ， 、
分别是 、 的三等分线，直接利用（1）中结论，可得 的度数为 ．
例3．（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）模型认识：我们学过三角形的内角和等于 ，又知道角平
分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动．
如图①，在 中， 、 分别是 和 的角平分线．
解决问题：(1)若 ， ，则 ______；（直接写出答案）
(2)若 ，求出 的度数；
拓展延伸：(3)如图②，在四边形 中， 、 分别是 和 的角平分线，直接写出
与 的数量关系．
例4．（23-24八年级·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1， 中， 平分 ， 平分
，探求 与 之间的数量关系；【基础探究2】（2）如图2， 中， 、 是 的三等分线， 、 是 的三等分线，
则 与 之间的数量关系是______；
【基础探究3】（3）如图3， 中， 、 、 是 的四等分线， 、 、 是
的四等分线，则 与 之间的数量关系是______；
【拓展与探究】（4）如图4， 中， 、 、……、 、 是 的 等分线， 、
、……、 、 是 的 等分线，请用一个等式表示 、 、 三者之间的
数量关系是______；
【探究与应用】（5） 中， 、 、……、 是 的2024等分线， 、 、……、
是 的2024等分线，若 与 的和是 的7倍，则 ______ ．模型2.双角平分线模型（一内角一外角）
双角平分线模型2：当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。
图1 图2
1）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：
．
证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴ ， 。
∴∠P=∠PCD-∠PBC= （∠ACD-∠ABC）= ∠A。
2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图2， ，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点 ， 的平分线相交于点 ，
， 的平分线相交于点 ……以此类推；结论： 的度数是．
证明：∵BP、CP 平分∠ABC、∠ACD，∴ ， 。
1 1
∴∠P
1
=∠P
1
CD-∠P
1
BC= （∠ACD-∠ABC）= ∠A= 。同理：∠P
2
= ∠P
1
= ，∠P
n
=
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图， 平分 ，点 是射线 ， 上的点，连接 ．
按以下步骤作图：①以点 为圆心，任意长为半径作弧，交 于点 ，交 于点 ；
②分别以点 和点 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点 ；
③作射线 ，交 于点 ．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·河北·九年级专题练习）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线
上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A
度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是
否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）∠ACD是 的外角， 的平分线与 的平分线交
△
于点 ， 的平分线与 的平分线交于点 ，…， 的平分线与 的平分线交于
点An． 设∠A＝ ．则 ＝ ，∠A ＝ ．
2021模型3.双角平分线模型（双外角）
双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差。
C
D
B A E
图1 图2 图3
1）两外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论： ．
证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴ ， 。
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°- （∠EBC+∠BCF）=180°- （∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）
=180°- （180°+∠A）=90°+ ∠A。
2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点 D；结论：AD平分
∠CAD。
证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。,例1．（2023.广东八年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交
于点E，则∠AEC＝ ．
例2．（2023·安徽宿州·八年级校联考期末）（1）如图（a）， 平分 ， 平分 .
①当 时，求 的度数.②猜想 与 有什么数量关系？并证明你的结论.
（2）如图（b）， 平分外角 ， 平分外角 ，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，
请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.
例3．（2023秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图（1）， ， 是 的外角， 的
平分线所在直线与 的平分线 交于点D，与 的平分线 交于点E．(1)若 ，则
度；(2)若 ，求∠E的度数；(3)在图（1）的条件下，沿 作射线 ，连接 ，如图
（2）．求证： 平分 ．例4．（2023·甘肃天水·七年级统考期末）已知在△ABC中，图1，图2，图3中的△ABC的内角平分线或
外角平分线交于点O，
（1）如图1，点O是△ABC的两个内角平分线的交点，猜想∠O与∠A之间的数量关系，并加以证明．
（2）请直接写出结果．如图2，若 ，△ABC的内角平分线与外角平分线交于点O，则∠O＝
________；
如图3，若 ，△ABC的两个外角平分线交于点O，则∠O＝_________．1．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图， 的外角 的平分线 与内角 的平分线
交与点P，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏·八年级统考期末） 中，点 是 内一点，且点 到 三边的距离相等；
，则
A． B． C． D．
3．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
4．（2023春·广东·七年级专题练习）如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将
∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（ ）
A．∠1+∠0=∠A+∠2 B．∠1+∠2+∠A+∠O=180° C．∠1+∠2+∠A+∠O=360° D．∠1+∠2+∠A=∠O
5.（2023.广东七年级期中）在四边形 中， 的平分线与 的平分线交于点 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在 中， 是角平分线， 是边
上的高，延长 与外角 的平分线交于点 ．以下四个结论：① ；②
；③ ；④ ．其中结论正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的
平分线交于点A，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A，…，∠A BC的平分线与∠A CD的
1 1 1 2 n﹣1 n﹣1
平分线交于点An．设∠A= ．则：（1）∠A= ；（2）∠A= ．
1 n
8．（2023春·成都市七年级课时练习）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，
CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记 ， ，则以下结论①
，② ，③ ，④ ，正确的是 ．（把所有正
确的结论的序号写在横线上）
9．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在 中，点 是 内一点，且点 到 三边
的距离相等，若 ，则 ．10．（2023秋·北京大兴·八年级统考期末）如图，在 中， ， 的平分线与外角
的平分线相交于点M，作 的延长线得到射线 ，作射线 ，有下面四个结论：
① ；② ；③射线 是 的角平分线；④ ．
所有正确结论的序号是 ．
11．（2023春·河南郑州·七年级校考期末）如图，已知在 中， ．
(1)分别作 ， 的平分线，它们交于点 （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)当 时， 的度数为 ．(3)当 时， 的度数为 ．
12．（2023·成都市·八年级专题练习）在 中， ，线段 、 分别平分 、
交于点G．(1)如图1，求 的度数；(2)如图2，求证： ；(3)如图3，过点C作 交
延长线于点D，连接 ，点N在 延长线上，连接 交 于点 ，使 ，若
， ，求线段 的长．13．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，在 中， ， 是 ， 平分线的交
点．(1) ；(2)若 是两条外角平分线的交点，则 ；(3)在（2）的条件下，
若 是内角 和外角 的平分线的交点，试探索 与 的数量关系，并说明理由．
14．（2022春·湖北十堰·七年级统考期末）在三角形中，由三角形的内角平分线所形成的角存在一定的规
律，理解并掌握其中的规律，有助于同学们巩固相关的数学知识．
如图1， 中， 分别平分 ，且相交于点 “勤奋小组”的同学发现:
．证明过程如下:
证明:如图2，连接 并延长，则 (依据1)
与 分别平分
又 ，(依据2)
．
依据1是 ___，依据2是 __； 如图3，在图1的基础上，作 的角平分线 交于
点 试探究 与 之间的数量关系．
15．（2023秋·山西朔州·八年级统考阶段练习）（1）【情境引入】如图1， ， 分别是 的内角
， 的平分线，说明 的理由．
（2）【深入探究】①如图2， ， 分别是 的两个外角 ， 的平分线， 与 之
间的等量关系是_________；
②如图3， ， 分别是 的一个内角 和一个外角 的平分线． ， 交于点D，探究 与 之间的等量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】请用以上结论解决下列问题：如图4，在 中， ， 分别平分 ， ．
M，N，Q分别在 ， ， 的延长线上， ， 分别平分 ， ， ， 分别平分
， ．若 ，则 的度数是________．
16．（2023·江苏镇江·七年级校考期中）（1）如图1，BO、CO分别是 中 和 的平分线，
则 与 的关系是______（直接写出结论）；
（2）如图2，BO、CO分别是 两个外角 和 的平分线，则 与 的关系是______，
请证明你的结论．（3）如图3，BO、CO分别是 一个内角和一个外角的平分线，则 与 的
关系是______，请证明你的结论．（4）利用以上结论完成以下问题：如图4，已知： ，点
A、B分别是射线OF、OD上的动点， 的外角 的平分线与内角 的平分线相交于点P，
猜想 的大小是否变化？请证明你的猜想．
17．（2023·天津河西·八年级期中）探究一：已知：如图1， 与 分别为 的两个外角．
试探究 与 的数量关系_____(即列出一个含有 ， ， 的等式，直接写出
答案即可)；
探究二：已知：如图2，在 中， 分别平分 和 ，求： 与 的数量关系；探究三：若将探究2中的 改为任意四边形 呢？
即：如图3，在四边形 中， 分别平分 和 ，试利用上述结论探究 与
的数量关系．
18．（2023·山东济南·校考模拟预测）如图1，在 ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交
△
于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋ ∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，
CD，AC之间的数量关系，并加以证明．
19．（2024·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在 中， 和 的平分线相交于点 ，过点
作 交 于 ，交 于 ，过点 作 于 .
（1）求证： （2）求证： （3）若 ， ，请用含 ，的代数式表示 的面积， ___________（直接写出结果）
20．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知 中， ， ， 分别平分
和 ．
(1)如图（1），求 的度数；(2)如图（2），延长 交 于 ，作 交 于 ，作
交 的延长线于 ，垂足为 ，求证： ；
(3)如图（3），若 ， 是边 所在直线上一点，分别关于 ， 作 的对称点 ， ，
它们到直线 的距离分别记作 和 ．①若点 在边 上，直接写出 的最大值；
②若点 在 的延长线上，取十个特殊的 点，使十个对应的 值依次为 ， ，…， 这
十个自然数，对应的 的值分别记作 ， ，…， ．直接写出 的和．
21．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）已知直线 与 互相垂直，垂足为O，点A在射线 上运动，点B在射线 上运动，点A，B均不与点O重合．
(1)如图1， 平分 ， 平分 ， 交 于I，则 ______°．
(2)如图2， 平分 交 于点I， 平分 ， 的反向延长线交 的延长线于点D．
①直接写出，则 ______°．②在点A，B的运动过程中， 的大小是否会发生变化？若不变，
求出 的度数；若变化，请说明理由．
