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专题02 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、
风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
.........................................................................................................................................................................................1
模型1.飞镖模型（燕尾）模型.......................................................................................................................1
模型2.风筝（鹰爪）模型...............................................................................................................................5
模型3.角内（外）翻模型...............................................................................................................................7
....................................................................................................................................................9
模型1.飞镖模型（燕尾）模型
飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖
（回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。图1 图2 图3
基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：① ；② 。
证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D；
又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。
延长BC交AD于点P；在△ABQ中， ；在△CDQ中， 。
即： ，故 。
拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O= （∠A+∠C）。
证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO= ∠ABC；∠ADO= ∠ADC；
根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A= ∠ABC+ ∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；
∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O= （∠A+∠C）。
拓展模型2：条件：如图3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O= （∠D-∠B）。
证明：根据飞镖模型： = + + ，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B，
∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO= ∠DCB，∠DAO= ∠DAB，
∴∠DCO-∠DAO= （∠DCB-∠DAB）= （∠D+∠B），
∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO，
∴∠D-∠O= （∠D+∠B）,即∠O= （∠D-∠B）
例1．（2023·福建南平·八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹
四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是
一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．
（即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下：
方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，
即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，
又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，
∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．
方法二：如图3，连结CD并延长至F，
∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，．．．．．．．．．．
大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论．
任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________；
(2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．
例2．（2023·湖北·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如
果 ， ，那么 的度数是（ ）．A． B． C． D．
例3．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这
样图形叫做“箭头四角形”．
探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究 与 、 、 之间的关系，并说明理由；
应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 、 恰好经过点 、 ，若
，则 ；②如图 3， 、 的2等分线（即角平分线） 、
相交于点 ，若 ， ，求 的度数；
拓展：（3）如图4， ， 分别是 、 的2020等分线（ ），它们的
交点从上到下依次为 、 、 、…、 ．已知 ， ，则 度．
例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中， ，为三角形内任意一点，连结
AP，并延长交BC于点D. 求证：（1） ；（2） .模型2.风筝（鹰爪）模型
图1 图2
1）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；
证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA；
∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。
2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。
证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA；
∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA）
=∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。
例1．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中， 、 、 分别为 、 、
的外角 判断下列大小关系何者正确？（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】已知 ，在 的两边上分别取点B、
C，在 的内部取一点O，连接 、 ．设 ， ，探索 与 、 、
之间的数量关系．【初步感知】如图1，当点O在 的边 上时， ，此时 ，则
与 、 、 之间的数量关系是 ．
【问题再探】（1）如图2，当点O在 的内部时，请写出 与 、 、 之间的数量关系
并说明理由；（2）如图3，当点O在 的外部时， 与 、 、 之间的数量关系是
________；
【拓展延伸】（1）如图4， 、 的外角平分线相交于点P．
①若 ， ，则 ________°；②若 且 ，则 ________°；
③直接写出 与 、 之间的数量关系；
（2）如图5， 的平分线与 的外角平分线相交于点Q，则 ________（用 、 表示）．
例3．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图，在 中， ，点 、 是 边 、 上
的点，点 是平面内一动点．令 ， ， ．
(1)若点 在线段 上，如图1所示， ，求 的值；
(2)若点 在边 上运动，如图2所示，则 、 、 之间的关系________；
(3)若点 运动到边 的延长线上，如图3所示，则 、 、 之间有何关系？猜想并说明理由；
(4)若点 运动到 外，如图4所示，则请表示 、 、 之间的关系，并说明理由．模型3.角内（外）翻模型
图3 图4
条件：如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，
结论：2∠C=∠1+∠2；
证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；
∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C
。
条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，
结论：2∠C=∠2-∠1。
证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；
∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C）
=∠EC’F+∠FCE=2∠C。
例1．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张 的纸片，点 ，
分别在边AB， 上，将 沿着DE折叠压平， 与 重合，若 ，则 ．
例2．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）如图，把 纸片沿 折叠，当点 落在四边形的外面时，此时测得 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）（1）如图1，将 纸片沿 折叠，使点 落在四边形
内点 的位置．则 之间的数量关系为：_______；
（2）如图2，若将（1）中“点 落在四边形 内点 的位置”变为“点 落在四边形 外点
的位置”，则此时 之间的数量关系为：_________；
（3）如图3，将四边形纸片 （ ， 与 不平行）沿 折叠成图3的形状，若
， ，求 的度数；
（4）在图3中作出 的平分线 ，试判断射线 的位置关系，当点 在 边
上向点 移动时（不与点 重合）， 的大小随之改变（其它条件不变），上述 ，
的位置关系改变吗？为什么？1．（2024.山东七年级期中）如图，把 ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与
∠1+∠2之间有始终不变的关系是（ △ ）
A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）
2．（2023·河南·八年级假期作业）如图，在 中， ， 与 的角平分线交于 ，
与 的角平分线交于点 ，依此类推， 与 的角平分线交于点 ，则 的度数
是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广东广州·八年级统考期中）如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（ ）
A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3 C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠34．（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）如图，在五边形 中，若去掉一个 的角后得到一个六边
形 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江苏·模拟预测）如图，将四边形纸片 沿 折叠，使点 落在四边形 外点 的
位置，点 落在四边形 内点 的位置，若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠A的
度数是 度．
7．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）在 中， ， ，将 、 按照如图所示
折叠，若 ，则 °
8．（2023·河北保定·统考模拟预测）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将
∠BCD （填“增大”或“减小”） °．
9．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，BE是ABD的平分线，CF是ACD的平分线，BE与CF交
于G，若BDC 140，BGC 110，则A ．
10．（2023·重庆·八年级统考期末）已知，如图，P，Q为三角形ABC内两点，B，P，Q，C构成凸四边形．
求证： ．
A
Q
P
B C
11．（2023春·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形 形似圆规，这样的四边形称为“规
形”，
(1)如图①，在规形 中，若 ， ， ，则 ______°；
(2)如图②，将 沿 ， 翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若 ，则
______°；
(3)如图③，在规形 中， 、 的角平分线 、 交于点E，且 ，试探究 ，
， 之间的数量关系，并说明理由．12．（2023·北京·一模）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质．
定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四
边形（如图1）．
（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ；
① ② ③
定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）．
特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形．
小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究.
下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形
性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）．
13．（2023春·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形 形似圆规，这样的四边形称为“规
形”，
(1)如图①，在规形 中，若 ， ， ，则 ______°；
(2)如图②，将 沿 ， 翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若 ，则
______°；
(3)如图③，在规形 中， 、 的角平分线 、 交于点E，且 ，试探究 ，
， 之间的数量关系，并说明理由．
14．（2023·河北·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做
“飞镖模型”．
（1）求证： ；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于
点D，若 ，求 的度数．15．（2023春·江苏连云港·七年级校联考阶段练习）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于 ”．
在三角形纸片中，点D，E分别在边 上，将 沿 折叠，点C落在点 的位置．
(1)如图1，当点C落在边 上时，若 ，则 ＝ ，可以发现 与 的数量关系
是 ；(2)如图2，当点C落在 内部时，且 ， ，求 的度数；(3)如图
3，当点C落在 外部时，若设 的度数为x， 的度数为y，请求出 与x，y之间的数
量关系．
16．（2024·江苏扬州·七年级校考期末）如图①，把 纸片沿 折叠，使点A落在四边形 内部
点 的位置，通过计算我们知道： .请你继续探索：
(1)如果把 纸片沿 折叠，使点A落在四边形 的外部点 的位置，如图②，此时 与
之间存在什么样的关系？(2)如果把四边形 沿时折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部
、 的位置，如图③，你能求出 、 、 与 之间的关系吗？（直接写出关系式即可）17．（2024·江苏·七年级统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于180且小于360的角称为优角，
如果两个角相加等于360，那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若1、2互为组角，且1135，则2________；
【理解运用】习惯上，我们把有一个内角大于180的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形ABCD中，优角BCD与钝角BCD互为组角，试探索内角A、B、D与钝
角BCD之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图②，ABCDEF ________；（用含的代数式表示）
ABCD AD BC Q AB DC P APD AQB
（4）如图③，已知四边形 中，延长 、 交于点 ，延长 、 交于 ， 、
M AQCP180
的平分线交于点 ， ；①写出图中一对互组的角________（两个平角除外）；
PM QM
②直接运用（2）中的结论，试说明： ；
BO CO ABO ACO i1,2,3,,2017,2018
（5）如图④， i、 i分别为 ， 的2019等分线（ ）．它们的交点从
上到下依次为 O 1， O 2 ， O 3，…， O 2018．已知 BOC m ， BAC n ，则 BO 1000 C _______ ．（用
含m、n的代数式表示）
18．（2023·云南保山·八年级校考期中）已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．
（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分
∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在 （2）的条件下，将
点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．19．（2023春·江苏泰州·七年级校联考期中）已知，在 中， ，点 在 上，过点
的一条直线与直线 、 分别交于点 、 ．(1)如图1， ，则 ______°．
(2)如图2，猜想 、 、 之间的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，直接写出 、 、 之间的数量关系______．
20．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）（1）如图1，已知 为直角三角形， ，若沿图中虚
线剪去 ，则 ____；
（2）如图2，已知 中， ，剪去 后成四边形，则 ____；
（3）如图3，当 时，将 折成如图3形状，试求 的度数（用含α的式子表示）．
