文档内容
专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型
线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出
发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部
分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。
.........................................................................................................................................................................................2
模型1.线段的双中点模型...............................................................................................................................2
模型2.线段的多中点模型...............................................................................................................................7
模型3.双角平分线模型与角n等分线模型.................................................................................................11
..................................................................................................................................................20模型1.线段的双中点模型
线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为
线段的双中点模型。
条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论： .
证明：①当点B在线段AC上，如图1，
图1
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴ （中点定义）； （中点定义）；
∵MN=BM+BN，∴ ；
②当点B在线段AC的延长线上，如图2，
图2
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴ （中点定义）； （中点定义）；
∵MN=BM-BN，∴ ；
③当点B在线段CA的延长线上
图3
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴ （中点定义）； （中点定义）；
∵MN=BN-BM，∴ ；例1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，点C在线段 上，点M、N分别是 的中点．
(1)若 ，求 的长；(2)若 ，求 的长；
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义．
（1）因为点 、 分别是 、 的中点，所以 ， ，已知 ，
可得 的长， ，可得 的长；（2）因为点 、 分别是 、 的中点，所以
， ，已知 ，可得 的长．
【详解】（1）解： 点 、 分别是 、 的中点， ， ，
， ， ， ， ；
（2）解： 点 、 分别是 、 的中点， ， ，
， ．
例2．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，点C在线段 上，点M，N分别是线段 的中点．
(1)若 ，求线段 的长；(2)若 ，求线段 的长度．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据线段中点的性质，可得 ，再根据线段的和以及线段的差，可得答案；
（2）根据线段中点的性质，可得 ，再根据线段的和以及线段的差，可得答案．
本题考查了线段的长度问题，掌握线段中点的性质是解题的关键．
【详解】（1）∵点 分别是线段 的中点∴
∵ ， ∴ ∴（2）∵点 分别是线段 的中点∴
∵ ，∴ ．
例3．（23-24七年级·山东淄博·期末）已知点 是线段 的中点，点 是线段 的三等分点．若线段
，则线段 的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】本题主要考查线段的和差，根据题意作图，分情况讨论，由线段之间的关系即可求解．
【详解】如图，∵点C是线段AB的中点，∴ ，
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；故选C．
例4．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）如图，C，D是线段 上两点（点D在点C右侧），E，F分别
是线段 的中点．下列结论：
① ； ②若 ，则 ；③ ； ④ ．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是掌握中点的定义，根据图形，分析线段之间的和
差关系．结合图形，根据线段中点的定义与线段之间的和差关系逐一进行分析，即可进行解答．
【详解】解：∵E，F分别是线段 的中点．，∴ ，
∴ ，故①不符合题意；
∵ ，∴ ，即 ，∴ ，∴ ，故②符合题意；
∵ ，∴ ，故③符合题意；
④∵ ，
∴ ，
∴ ，∴
∴ ，故④不符合题意；故选：B．
例5．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）已知线段 ，点C为线段 的中点，点D为线段 上的
三等分点，则线段 的长的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．15 D．20
【答案】D
【分析】本题考查线段和差．根据题意先求出 ，再根据题干分情况讨论点D所在位置，继而
得到本题答案．
【详解】解：∵线段 ，点C为线段 的中点，∴ ，
∵点D为线段 上的三等分点，∴①当点D靠近点 时： ，此时 ；
②当点D靠近点 时： ，此时 ；
∵ ，∴线段 的长的最大值为：20，故选：D．
例6．（23-24七年级上·辽宁阜新·期末）点 、 在数轴上所表示的数如图所示， 是数轴上一点：
(1)将点 在数轴上向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，得到点 ，求出 、 两点间的距
离是多少个单位长度．
(2)若点 在数轴上移动了 个单位长度到点 ，且 、 两点间的距离是4，求 的值．
(3)若点 为 的中点，点 为 的中点，点 在运动过程中，线段 的长度是否发生变化？若发生
变化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段 的长度．
【答案】(1) 、 两点间的距离是 个单位长度(2) 的值为 或 (3)线段 的长度不发生变化，
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、与线段中点有关的计算、线段的和差，采用数形结合与分类
讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据数轴上的点向右移动用加法，向左移动用减法求出 点表示的数为，即可得解；
（2）分两种情况：当 点在 点左边时；当 点在 点右边时；分别求解即可得出答案；（3）分三种情
况：当 在 、 之间时；当 在 的左侧时；当 在 的右侧时；分别画出图形，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由数轴可得： 点表示的数为 ， 点表示的数为 ，
∴ 点表示的数为 ，
∵ ，∴ 、 两点间的距离是 个单位长度；
（2）解：∵ 、 两点间的距离是4，∴当 点在 点左边时， 点表示的数为 ，
∵点 在数轴上移动了 个单位长度到点 ， 点表示的数为 ，∴此时 ；
当 点在 点右边时， 点表示的数为 ，
∵点 在数轴上移动了 个单位长度到点 ， 点表示的数为 ，
∴此时 ；综上所述， 的值为 或 ；
（3）解：线段 的长度不发生变化， ，
由数轴可得： 点表示的数为 ， 点表示的数为 ，∴ ，
∵点 为 的中点，点 为 的中点，∴ ， ，
如图，当 在 、 之间时，此时 ；
如图，当 在 的左侧时，此时 ；
如图，当 在 的右侧时，此时 ；综上所述，点 在运动过程中，线段 的长度不会发生变化， ．
模型2.线段的多中点模型
条件：如图，点M在线段 的延长线上，且线段 ，第1次操作：分别取线段 和 的中点
、 ﹔第2次操作：分别取线段 和 的中点 ， ﹔第3次操作：分别取线段 和 的
中点 ， ；…连续这样操作n次，结论： ．
证明：∵ 、 是 和 的中点，∴ ， ，
∴ ，∵ 、 是 和 的中点，
∴ ， ，∴ ，
∵ ， 是 和 的中点，∴ ， ，
∴ ，……发现规律： ，
例1．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，数轴上的点 为原点，点 表示的数为 ，动点 从点出发，按以下规律跳动：第1次从点 跳动到 的中点 处，第2次从点 跳动到 的中点 处，
第3次从点 跳动到 的中点 处，…，第 次从点 跳动到 的中点 处，按照这样的规律继
续跳动到点 ， ， ，…， 处，那么点 所表示的数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段中点的定义，两点间的距离，探究图形的规律，找到图形变化中线段 的变化
规律是解题的关键
根据题意，得第一次跳动到 的中点 处，即在离 点的长度为 ，第二次从 点跳动到 处，即在
离 点的长度为 ，则跳动n次后，即跳到了离 点的长度为 ，再根据线段的和差关系可得
线段 的长度，最后确定点 的表示的数即可．
【详解】解：由题可知： ，此第一次跳动到 的中点 处时， ，
同理，第二次从 点跳动到 处， ，
同理，第三次从 点跳动到 处， 同理，跳动 次后， ，
故线段 的长度为： ，当 时， ，
∵点 在负半轴，∴点 表示的数是 ，故答案为： ．例2．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，点M在线段 的延长线上，且线段 ，第
一次操作：分别取线段 和 的中点 ， ； 第二次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；
第三次操作：分别取线段 和 的中点 ， ，连续这样操作4 次，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算及根据题意找出问题的
规律进行求解是解决本题的关键．根据题意可得 ，根据线段的差可得 ，
， 的长度表示，根据规律进行推理即可得出 ，即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，∵ ，∴ ，
∵线段 和 的中点 ，∴ ，
同理： ，∴ ，……
依次类推， ，∴ ，故答案为：4．
例3．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段 的延长线上，且线段 ，第一次操
作：分别取线段 和 的中点 、 ﹔第二次操作：分别取线段 和 的中点 ， ﹔第三
次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的
所有线段之和 ．【答案】
【分析】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．根据线段
中点定义先求出 的长度，再由 的长度求出 的长度，从而找到 的规律，即可求出结果．
【详解】解：∵ 、 是 和 的中点，∴ ， ，
∴ ，∵ 、 是 和 的中点，
∴ ， ，∴ ，
∵ ， 是 和 的中点，∴ ， ，
∴ ，……发现规律： ，
∴
∴
两式相减，得 ，故答案为： ．
例4．（23-24七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件 做了n次取线段
中点实验：如图，设线段 ，第1次，取 的中点 ；第2次，取 的中点 ；第3次，取
的中点 ，第4次，取 的中点 ；…
(1)请完成下列表格数据．
次数 线段 的长第1次
第2次
第3次
第4次
第5次 ①______ ②________
… … …
(2)小明对线段 的表达式进行了如下化简：
因为 ，所以 ，
两式相加，得 ，所以 ．
请你参考小明的化简方法，化简 的表达式．
(3)类比猜想： _____， =_____，随着取中点次数n的不断增大， 的长最终接近的值是____．
【答案】(1)① ；② (2) (3)
【分析】本题考查规律型：数字的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键．
（1）根据表中的规律可求出 ，根据 可得出答案；
（2）参照小明对线段 的表达式的化简可得 的表达式；（3）根据类比猜想可得答案．
【详解】（1）解： ， ；
故答案为： ， ；
（2）因为 ，所以 ．两式相加，得 ．所以 ；
（3） ，随着取中点次数 的不断增大 的长最终接近的值是 ．
故答案为： ．
模型3.双角平分线模型与角n等分线模型
双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平
分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们
自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。
图1 图2 图3 图4
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论： 。
证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴ ， ，
∴ ，∴ 。
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论： 。
证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴ ， ，
∴ ，∴ 。
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP 平分∠AOC、OP 平分∠BOC；
1 2
结论： 。
证明：∵OP 平分∠AOC、OP 平分∠BOC，∴ ， ，
1 2
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB，
∴ 。
4）角n等分线模型
条件：如图4， 分别是 和 的平分线， 分别是 和
的平分线， 分别是 和 的平分线…， 分别是 和
的平分线；结论： ．
证明： ， 、 分别是 和 的平分线，
， ，
、 分别是 和 的平分线， ，
，
、 分别是 和 的平分线， ，
，…，
由此规律得： 。
例1．（2023·河南周口·校联考一模）如图，点O为直线 上一点， 平分 ， 平分 ，
若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据 平分 ， 平分 ，求出 ，再根据 ，求
出 ，即可得出答案．
【详解】解：∵点O为直线 上一点， 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是理解角平分线的定义，求出 ．
例2．（2023春·辽宁辽阳·七年级统考期末）如图，射线 平分 ，射线 平分 ，则下列
等式中成立的有（ ）
① ；② ；③ ；④
．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】利用角平分线的性质计算角之间的数量关系即可．
【详解】解： 平分 ， 平分 ，
故①正确；故②错误；
故③正确；
故④错误；故选B．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质以及熟练运用角的和差表示角的关系是
解决本题的关键．
例3．（2023春·黑龙江·七年级校考阶段练习）如图，射线 是 的角平分线，射线 是
的角半分线，射线 是 的角平分线，则下列结论成立的有（ ）个．
① ；② ；③ ；④
；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义以及角的和与差，计算即可求解．
【详解】解：由题意得： ， ，
，
① ，故①正确；
② ，
即 ，故②正确；③ ，
即 ，故③正确；④由①得 ，故④错误；
综上，①②③正确，共3个；故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系．
例4．（2023·河南·七年级校联考期末）如图， 分别是 和 的平分线，
分别是 和 的平分线， 分别是 和 的平分线，…，
分别是 和 的平分线，则 的度数是 ．
【答案】
【分析】由角平分线性质推理得 ， ， ，据此规律可解答．
【详解】解： ， 、 分别是 和 的平分线，
， ，
、 分别是 和 的平分线， ，
，
、 分别是 和 的平分线， ，
，…，由此规律得： ．故答案为： ．
【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
例5．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在
∠BOD的内部，OE是∠AOB的一条三等分线．请从A，B两题中任选一题作答．
A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为 ．
B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为 （用含α的代数式表示）．
【答案】 110°或130° 或
【分析】A、根据角的和差得到∠AOB=90°-30°=60°，根据OE是∠AOB的一条三等分线，分类讨论，当
∠AOE= ∠AOB=20°，②当∠BOE′= ∠AOB=20°，根据角的和差即可得到结论；
B、根据角的和差得到∠AOB，根据OE是∠AOB的一条三等分线，分类讨论，当∠AOE= ∠AOB，②当
∠BOE′= ∠AOB，根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：A、如图，∵∠AOC=90°，∠BOC=30°，∴∠AOB=90°-30°=60°，
∵OE是∠AOB的一条三等分线，∴①当∠AOE= ∠AOB=20°，∴∠BOE=40°，
∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=130°，
②当∠BOE′= ∠AOB=20°，∴∠DOE′=90°+20°=110°，
综上所述，∠EOD的度数为130°或110°，故答案为：130°或110°；
B、∵∠AOC=90°，∠BOC=α°，∴∠AOB=90°-α°，∵OE是∠AOB的一条三等分线，∴①当∠AOE= ∠AOB=30°- α°，∴∠BOE=90°-α-（30- α）°=60°-
α°，
∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=150°- α°，
②当∠BOE′= ∠AOB=30°- α°，∴∠DOE′=90°+30°- α°=120°- α°，
综上所述，∠EOD的度数为150°- α°或120°- α°，故答案为：150°- α°或120°- α°；
【点睛】本题考查了余角和补角的定义，角的倍分，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键．
例6．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，点 ， ， 在同一条直线上， ， 分别平分
和 ．(1)求 的度数；(2)如果 ．①求 的度数；②若 ，
直接写出 的度数．
【答案】(1) ；(2)① ；② 或 ．
【分析】（1）由角平分线定义可知 ， ，再根据
和 可得结果；（2）①利用角之间的和差关系求解即可；②分当 在 上方时，当
在 下方时，利用角之间的和差关系求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， 分别平分 和 ，∴ ， ，
则 ，
∵ ，∴ ；
（2）①∵ ， ，∴ ，
由（1）可知， ，则 ，
∴ ，②由①可知， ，∵ 平分 ，∴ ，
当 在 上方时， ；
当 在 下方时， ；综上， 为 或 ．
【点睛】本题考查角平分线的定义，利用角的和差关系求解的度数，解决问题的关键在于结合图形，找角
之间的和差关系．
例7．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若 ， ， 、
分别平分 、 ，求 的度数；
(2)若 ， 是平面内两个角， ， ， 、 分别平分
、 ，求 的度数．（用含 、 的代数式表示）
【答案】(1) (2)所以当射线 在 的内部时， ；当射线 在 的外部
时， ．
【分析】（1）根据角平分线定义求出 和 度数，即可得出答案；（2）由于无法确定射线
的位置，所以需要分类讨论：若射线 在 的内部时，根据角平分线定义得出 ，
，求出 ；若射线 在 的外部时，根据角平分线定义得出 ， ，求出 ，代入求出即可．
【详解】（1）∵ ， 平分 ，∴
∵ 分别平分 ， ．∴
∴ ．
（2）若射线 在 的内部，如图2
∵ ， ， 、 分别平分 、 ．
∴ ∴ ．
所以当射线 在 的内部时， ．
若射线 在 外部时，如图3
∵ ， ， 、 分别平分 、 ．
∴ ∴ ．
所以当射线 在 的外部时， ．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键．
例8．（2023春·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题
如图1，射线 在 的内部，图中共有3个角： 和 ，若其中有一个角的度数
是另一个角度数的两倍，则称射线 是 的“巧分线”．(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，
（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若 ，且射线 是 的“巧分线”，则
（表示出所有可能的结果探索新知）．(3)如图3，若 ，且射线 是 的“巧分线”，则
（用含α的代数式表示出所有可能的结果）．【答案】(1)是(2)30°，20°或40°(3) 或 或
【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍
即可解答；(2)根据“巧分线”定义，分 、 、 三
种情况求解即可；(3) 根据“巧分线”定义，分 、 、
三种情况求解即可．
【详解】（1）解：如图1：∵ 平分 ，∴ ,
∴根据巧分线定义可得 是这个角的“巧分线”．故答案为：是．
（2）解：如图3：①当 时，则 ；
②当 ，则 ，解得： ；
③当 ，则 ，解得： ．
综上， 可以为 ．
（3）解：如图3：①当 时，则 ；
②当 ，则 ，解得： ；
③当 ，则 ，解得： ．综上， 可以为 ．
【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义
是解题的关键．
1．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取 ，再截取 ，则
的中点 与 的中点 之间的距离为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】分两种情况B， 在点A同侧时，B， 在点A两侧时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：①B， 在点A同侧时，如图所示：
是 的中点， 是 的中点， ， ，
．
②B， 在点A两侧时，如图，是 的中点， 是 的中点， ， ，
．
综上： 与 之间距离为 或 ，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段中点的计算，解题的关键是分类讨论，画出图形，数形结合．
2．（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D是线段 上两点，M、N分别是线段 的中
点，下列结论：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③ ；
④ ．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形逐一进行分析即可．
【详解】解：如图， ∵M、N分别是线段 的中点，∴ ， ，
∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，
∴ ，即 ，故①符合题意；
∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故②符合题意；
∵ ，
∴ ，故③符合题意；
∵ ， ， ∴ ，
∵ ， ， ∴
，故④不符合题意， 故选：A．【点睛】本题考查了线段的和差运算，能够利用中点的性质及线段的和差关系求解一些线段之间的关系是
解本题的关键．
3．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段 ，第一次操
作：分别取线段 和 的中点 、 ；第二次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；第三
次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的
所有线段之和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 ， 分别为 的中点，求出 的长度，再由 的长度求出
的长度，找到 的规律即可求出 的值．
【详解】解：∵ ， 分别为 的中点，
∴ ，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，……由此可得：
，∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键．
4．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知 ，以点 为顶点作直角 ，以点
为端点作一条射线 ．通过折叠的方法，使 与 重合，点 落在点 处， 所在的直线为折痕，
若 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用角平分线的定义求出 即可解决问题．
【详解】解： 平分 ， ，
， ， ，
， ，故选：C．
【点睛】本题考查角的和差定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常
考题型．
5．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在 的内部作射线 ，射线 把 分成两个角，
分别为 和 ，若 或 ，则称射线 为 的三等分线．
若 ，射线 为 的三等分线，则 的度数为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据题意得出 或 ，再根据角之间的数量关系，得出 ，综合
即可得出答案．
【详解】解：∵ ，射线 为 的三等分线．∴ 或 ，
∴ ，∴ 的度数为 或 ．故选：C．
【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．
6．（2023春·山东青岛·七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根 长为 ，另一根 长为
，在它们的中点处各有一个小圆孔 （圆孔直径忽略不计， 抽象成两个点），将它们的
一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离 是 ．
【答案】 或
【分析】分两种情况画出图形求解即可．
【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时，
（厘米）；
（2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时，
（厘米）．
所以两根木条的小圆孔之间的距离 是 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的
严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
7．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，已知 是线段 上的一个点， 是 的
中点， 为 中点，且满足 ，求 ．【答案】
【分析】本题考查了两点间的距离和中点的性质等知识点，由 和 推出 ，由
M为 的中点可得出 的长，进而可得 的长度，由 N为 的中点可得出 的长度，进而
即可求出 的值．根据各线段之间的关系求出 的长度是解题的关键．
【详解】∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵M为 的中点，∴ ，∴ ，∴ ，
∵N为 的中点，∴ ,∴ ，∴ ，故答案为： ．
8．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段 和线段 在同一直线上，线段 （A在左，B在
右）的长为a，长度小于 的线段 （D在左，C在右）在直线 上移动，M为 的中点，N为
的中点，线段 的长为b，则线段 的长为 （用a，b的式子表示）．
【答案】 /
【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段 的长度即可．
【详解】解：∵M为 的中点，N为 的中点，∴ ， ．
∵线段 和线段 在同一直线上，线段 （A在左，B在右）的长为a，
长度小于 的线段 （D在左，C在右）在直线 上移动，∴分以下5种情况说明：
①当 在 左侧时，如图1，
即 ， ，
， ；
②当点D与点A重合时，如图2，即
， ；
③当 在 内部时，如图3，
即
， ；
④当点C在点B右侧时，同理可得： ；
⑤当 在 右侧时，同理可得： ；
综上所述：线段 的长为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．
9．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D在线段 上，P，Q分别是 的中点，若
，则 ．
【答案】1
【分析】先由线段 中点定义得出 ， ，又因为 ，利用线段和差即可求得
，
，代入 即可求解．【详解】解∶∵，P，Q分别是 ， 的中点，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
，∴ ，故答案为∶1．
【点睛】本题考查线段和差倍分，熟练掌握线段和差倍分的运算是解题的关键．
10．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知 ，由定点 引一条射线，使得 ，
、 分别是 和 的平分线，则 度．
【答案】 或
【分析】分两种情况讨论，当射线 在 的内部时，当射线 在 的外部时，根据角平分线
的定义得出 ，结合图形即可求解．
【详解】解：分两种情况讨论，当射线 在 的内部时，如图所示，
∵ ， ， 、 分别是 和 的平分线，
∴ ∴ ；
当射线 在 的外部时，如图所示，
∵ ， ， 、 分别是 和 的平分线，
∴ ∴ ；
综上所述， 或 ，故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合，分类讨论是解题的关键．11．（2024·山东·七年级专题练习）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，
∠BOE＝ ∠BOC，∠BOD＝ ∠AOB，则∠DOE＝ °．（用含n的代数式表示）
【答案】
【分析】根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：∵∠BOE= ∠BOC，∴∠BOC=n∠BOE，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，∴∠BOD= ∠AOB= +∠BOE，
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE= ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了角的计算，正确的识别图形是解题的关键．
12．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足： ．如图，在数轴上，
点O是原点，点A所对应的数是a，线段 在直线 上运动（点B在点C的左侧）， ．
下列结论：① ；②当点B与点O重合时， ；
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则 ；
④在线段 运动过程中，若M为线段 的中点，N为线段 的中点，则线段 的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】①根据非负数的性质可得a和b的值，可判断；②如图1，根据数轴可直观得出；③如图2，分别计算 ， 的值可判断；④分四种情况，根据图形分别计算 的长即可可判断．
【详解】解：①∵ ，
∵ ，∴ ，∴ ；故①正确；
②如图1，当点B与点O重合时， ；
故②不正确；
③如图2，当点C与点A重合时，若点P是线段 延长线上的点，
∴ ，∴ ；故③正确；
④∵M为线段 的中点，N为线段 的中点，
∴
分四种情况：1）当C在O的左侧时，如图3，
；
2）当B，C在O的两侧时，如图4，
；
3）当B，C在线段 上时，如图5，；
4）当B和C都在A的右边时，如图6，
；
∴在线段 运动过程中，若M为线段 的中点，N为线段 的中点，线段 的长度不变．故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴和线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义
是解题的关键．
13．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图， 为直线 上一点， ， 平分 ，
平分 ， 平分 ，下列结论： ； 与 互补；
； ．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．
【答案】
【分析】设 ，则 ， ，由角平分线的定义得出
， ，
，然后再逐项分析即可得到答案．
【详解】解：设 ， ， ，， ，
平分 ， 平分 ， 平分 ，
， ，
，
，故 正确，符合题意；
，
度数未知， 与 不一定互补，故 错误，不符合题意；
，故 正确，符合题意；
， ，
，故 正确，符合题意；综上所述，正确的有： ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查的是补角和余角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
14．（2023春·安徽合肥·七年级校考开学考试）平面内， ， 为 内部一点，射线 平
分 ，射线 平分 ，射线 平分 ，当 时， 的度数是
．
【答案】
【分析】首先根据角平分线的定义可得 ，再设 ，用含 的代数式表示出 和
，根据题意列出方程可得答案．
【详解】解：当 在 外部时，
射线 平分 ，射找 平分 ， ， ，
，射线 平分 ， ，设 ，则 ， ，
，解得 ， ∴ ；
当 在 内部时， 射线 平分 ，射找 平分 ，
， ， ，
射线 平分 ， ，设 ，则 ， ，
，解得： ，不合题意；综上， ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，主要考查学生计算能力和推理能力，注意要分
类讨论．
15．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴
趣：
如图1，点 在线段 上， ， 分别是 ， 的中点．若 ， ，求 的长．
(1)根据题意，小明求得 ______．
(2)小明在求解（1）的过程中，发现 的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开
始深入探究．设 ， 是线段 上任意一点（不与点 ， 重合），小明提出了如下三个问题，请
你帮助小明解答．①如图1， ， 分别是 ， 的中点，则 ______．
②如图2， ， 分别是 ， 的三等分点，即 ， ，求 的长．
③若 ， 分别是 ， 的 等分点，即 ， ，则 ______．
【答案】(1)3(2)① ；② ；③
【分析】（1）由 ， ，得 ，根据 ， 分别是 ， 的中点，即得
， ，故 ；
（2）①由 ， 分别是 ， 的中点，知 ， ，即得，故 ；②由 ， ，知 ， ，即得
，故 ；③由 ， ，知
， ，即得 ，故 ．
【详解】（1）解： ， ， ，
， 分别是 ， 的中点， ， ，
；故答案为： ；
（2）解：① ， 分别是 ， 的中点，
， ， ，
， ；故答案为： ；
② ， ， ， ，
， ， ；
③ ， ， ， ，
，
， ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
16．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】
当点C在线段AB上， 时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作 ．
例如，点C是AB的中点时，即 ，则 ；反之，当 时，则有 ．
因此，我们可以这样理解：“ ”与“ ”具有相同的含义．(1)【理解与应用】如图，点C在线段AB上．若 ， ，则 ________；若 ，
则 ________．
(2)【拓展与延伸】已知线段 ，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以
3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点
先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时， 的值是个定值，求m的值；
②t为何值时， ．
【答案】(1) ， (2)① ；②1或8
【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案；（2）①设运动时间为 ，再根据 的值
是个定值即可求出 的值；②分点 从点 向点 方向运动时和点 从点 向点 方向运动两种情况分析
即可．
【详解】（1）解： ， ， ， ，
， ，∴ ，∴ 故答案为： ， ；
（2）①设运动时间为 ，则 ， ，根据“点值”的定义得： ， ，
的值是个定值， 的值是个定值， ；
②当点 从点 向点 方向运动时， ， ， ；
当点 从点 向点 方向运动时， ， ， ， 的值为1或8．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键．
17．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知 ， 平分 ， 平分 ．
(1)如图1，当 ， 重合时，求 的度数；(2)如图2，当 在 内部时，若 ，
求 的度数；(3)当 和 的位置如图3时，求 的度数．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）求解 ， ，可得答案；
（2）先求解 ， ，再证明 ，
，结合角的和差运算可得答案；（3）设 ，可得 ，
证明 ， ，再利用角的和差关系可得答案．
【详解】（1）解：∵ ， ， 重合， 平分 ， 平分 ．
∴ ， ，∴ ；
（2）∵ 在 内部， ， ，
∴ ， ，∵ 平分 ， 平分 ．
∴ ， ，∴ ．
（3）设 ， ，∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ．，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，熟练利用角的和差运算进行计算是解本题的关键．
18．（2024·广东广州·七年级校考期末）如图①，已知线段 ， ，线段 在线段
上运动，E，F分别是 ， 的中点．(1)若 ，则 ___________cm；(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知 在
内部转动， ， 分别平分 和 ，若 ， ，则
___________．直接写出 ， 和 的数量关系：___________．
【答案】(1) (2) ，
【分析】（1）先求出 的长度，再根据线段中点的定义，分别求出 ， 的长度，即可求解；
（2）先求出 和 的和，再根据角平分线的定义，求出 和 的和，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，∴ ，
∵ ， 分别是 的中点，∴ ， ，
∴ ．
（2）∵ ， ，∴ ，
∵ 分别平分 和 ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
由图可知： ， ，
∵ 分别平分 和 ，∴ ，
∴ ，整理得： ．
【点睛】本题主要考查了中点和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握中点和角平分线的定义，根据线
段和角度的和差关系进行求解．
19．（2023秋·湖南永州·七年级统考期末）点 为直线 上一点，在直线 同侧任作射线 ，使
得 ．(1)如图一，过点 作射线 ，使 为 的角平分线，若 时，则________ ， ________ ；(2)如图二，过点O作射线 ，当 恰好为 的角平分
线时，另作射线 ，使得 平分 ．①若 ，求 的度数（写出推理过程）；
②若 ，则 的度数是________（直接填空）．
(3)过点 作射线 ，当 恰好为 的角平分线时，另作射线 ，使得 平分 ，当
时，则 的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空）
【答案】(1)65°，40°(2)①135°，②135°(3)35°或55°
【分析】（1）根据 求出 ，利用角平分线的定义得到 ，再根据
进行求解即可；（2）①由平角的定义，角平分线的定义求出 ，根
据 进行求解即可；②同①法，进行计算即可；（3）分 在 内部
和 在 外部两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，∴ ，
∵ 为 的角平分线，∴ ，∴ ；故答案为： ；
（2）①解：∵ ， ，∴ ，
又∵ 为 的角平分线， 为 的角平分线，
∴ ， ，∴ ，
②∵ ， ，∴ ，
又∵ 为 的角平分线， 为 的角平分线，
∴ ， ，
∴ ；故答案为： ；
（3）①当 在 内部时，如图：∵ ， 平分 ，∴ ，∵ ，∴ ，∵ 平分 ，∴ ，
②当 在 外部时，如图：∵ ， 平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ 平分 ，∴ ；
综上： 的度数是 或 ；故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．解题的关键是正确的识图，理清角之间
的和差关系．
20．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：射线 在 内部， 平分 ．
(1)如图1，求证： ；(2)如图2，作 平分 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，当 时，作射线 的反向延长线 ， 在 的下方，且
，反向延长射线 得到射线 ，射线 在 内部， 是 的平分线，若
， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）通过角平分线的定义计算即可证明；（2）通过角平分线的定义计算即可证明；
（3）设 ， ，通过角平分线的定义以及垂直的定义求得 ，
，计算得出 ， 等，再求得 ，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，∴ ，∴
；（2）证明：∵ 平分 ，∴ ，∴
= ；
（3）解：设 ， ，∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，即 ， ， ，
∵ ， 平分 ，∴ ， ，∵ ，∴
，
∵ 是 的平分线，∴ ，
∵反向延长射线 得到射线 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ， ∴ ．
【点睛】本题考查的是角平分线的含义，垂直的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用，理解题意，
利用方程思想解决问题是解本题的关键．
