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专题 06 三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型
近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握
的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模
型(M型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，
这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：猪蹄模型（M型）
【模型解读】
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P+∠P=∠A+∠B+∠P
1 3 2.
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P+∠P+...+∠P =∠A+∠B+∠P+...+∠P
1 3 2n+1 2 2n.
例1．（2022·河南洛阳·统考二模）如图， ， ， ，则 的度数为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点 作 ，从而可得 ，则有 ， ，即可求
的度数．
【详解】解：过点 作 ，如图，
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， ， ， ，
．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
例2．（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物
线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线 ， 反射后沿着与 平行的方向射出，已知图中
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平行线的性质即可得出 ， ，再根据 即可求解．
【详解】由题意知 ∴ ，
∴ 故选：C．
【点睛】题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，牢记性质是解决问题的关键．
例3．（2023春·四川泸州·七年级校考期末）如图所示，若AB∥EF，用含 、 、 的式子表示 ，应为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出 +∠BCD=180°，
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∠DCM=∠CMN，∠NMF= ，求出∠BCD=180°- ，∠DCM=∠CMN= - ，即可得出答案．
【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，
∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴ +∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF= ，
∴∠BCD=180°- ，∠DCM=∠CMN= - ，∴ =∠BCD+∠DCM= ，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．
例4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们
青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进
滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺
直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示， ，当人脚与地面的夹角
时，求出此时上身 与水平线的夹角 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长 交直线 于点 ，利用平行线的性质得出 ，再由两直线平行，内
错角相等即可得出结果．
【详解】解：延长 交直线 于点 ， ， ，
根据题意得 ， ，故选：A．
【点睛】题目考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．
例5．（2023春·河南驻马店·九年级专题练习）已知 ， ， ，
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若 ，则 为（ ）
A．23° B．33° C．44° D．46°
【答案】C
【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得 ，同样的方
法可得 ，再根据角的倍分可得 ，由此即可得出答
案．
【详解】如图，过点E作 ，则 ，
∴ ， ，
同理可得： ， ，
∴ ，
，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
例6．（2022·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的
断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口
问题”．（1）如图（2）所示，已知 ，请问 ， ， 有何关系并说明理由；
（2）如图（3）所示，已知 ，请问 ， ， 又有何关系并说明理由；
（3）如图（4）所示，已知 ，请问 与 有何关系并说明理由．
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【答案】见解析.
【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：
过点E作直线a∥AB，则a∥AB∥CD，则∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D .
（2）∠E+∠B+∠D =360°，理由如下：过点E作直线b∥AB，则b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，
∠4+∠D=180°
∴∠B+∠3+∠4+∠D =360°即∠E+∠B+∠D =360°.
（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：
过点E，F，G作直线c∥AB，d∥AB，e∥AB，则c∥AB∥d∥e∥CD，
则∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D
∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.
模型2：铅笔头模型
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图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
例1．（2023·广东·统考二模）如图所示，已知 ，那么 （ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质得出 ，进而可得出结论．
【详解】过点C作 ，
， ，∴
由 得， ，
即 ．故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
例 2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台
平行 若 ， ，则 的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点 作 工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】解：如图，过点 作 工作篮底部， ，
工作篮底部与支撑平台平行， 工作篮底部 支撑平台， ，
， ， ， ，故选： ．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”
是解题的关键．
例3．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2
所示的数学图形．已知 垂直地面上的直线 于点 ，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的 段将
绕点 缓慢向上抬高， 段则一直保持水平状态上升（即 始终平行于 ）．在该运动过程中，当
时， 的度数是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点C作 ，利用平行线的性质得到
，进而求出 ，则
．
【详解】解：如图所示，过点C作 ，∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ， 即 ，∴ ，
∴ ，故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
例4．（2023春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果AB CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °．
【答案】540
【分析】过点E作 ，过点F作 ，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答．
【详解】过点E作 ，过点F作 ，如图，
∵ ， ， ，∴ ， ，
∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，
∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，
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∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案为：540．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线 ，
是解答本题的关键．
例5．（2022春·河北保定·七年级校考期中）如图，已知 ，则 ，则
等于 （用含 的式子表示）．
【答案】 /360度
【分析】过点 向右作 ，过点 向右作 ，得到 ，根据两
直线平行同旁内角互补即可得出答案．
【详解】解：如图，过点 向右作 ，过点 向右作 ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
当 时， 故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，根据题意作合适的辅助线是解题的关键．
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模型3：牛角模型
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论： .
如图2，已知：AB∥DE，结论： .
例1．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图所示，过点E作 ，则 ，由平行线的性质得到
，进一步推出 ．
【详解】解：如图所示，过点E作 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
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例2．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，若 ，则∠1+∠3-∠2的度数为
【答案】180°
【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据 可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及
等量代换可求解．
【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示：
， ∠1=∠EFD， ∠2+∠EFC=∠3， ，
， ；故答案为180°．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是
解题的关键
例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平
分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．
【答案】∠P＝360°﹣2a
【分析】根据角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行线的性质得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝
2∠3，进而根据三角形内角和得出∠5、∠FED，再得到∠P和a的关系，然后即可用 a表示∠P．
【详解】解：延长AB交PD于点G，延长FE交CD于点H，
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∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AB∥CD，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，
∵∠PBG＝180°﹣2∠1，∴∠PBG＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣ ∠PBG，
∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°，
∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3，
∴∠FED＝180°﹣（90°﹣ ∠PBG）＋ ∠6＝90°＋ （∠PBG＋∠6）＝90°＋ （180°﹣∠P）＝180°﹣
∠P，∵∠FED＝a，∴a＝180°﹣ ∠P∴∠P＝360°﹣2a．故答案为：∠P＝360°﹣2a．
【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关
系是关键．
例4．（2023春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线 ，点 为直线 ， 所确定的平面内
的一点，(1)问题提出：如图1， ， ．求 的度数：
(2)问题迁移：如图2，写出 ， ， 之间的数量关系，并说明理由：
(3)问题应用：如图3， ， ， ，求 的值．
【答案】(1) (2) ，理由见解析 (3)
【分析】（1）过点 作 ，易得 ，由平行线的性质可得 ， ，
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即可求出 ；（2）过点 作 ，易得 ，根据平行线的性质可得
；
（3）过点 作 ，过点 作 ，易得 ， ，根据平行线的性质可得
， ，再由已知等量代换，即可求得 的值．
【详解】（1）解：如图1所示，过点 作 ， ，
， ， ， ， ．
， ， ；
（2）解： ，理由如下：
如图2，过点 作 ， ， ， ， ，
， ；
（3）解：如图3，过点 作 ，过点 作 ，
， ， ，
，
，
， ， ，
， ，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
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例5．（2023·余干县八年级期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量
关系为 ；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间
的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM= ∠MBE，∠CDN= ∠NDE，直线MB、ND交于点
F，则 = ．
【答案】(1) ∠E=∠END﹣∠BME (2) ∠E+2∠NPM=180°（3）
【分析】（1）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.（2）根据平行线的性质，三角形外角定理，
角平分线的性质即可解答.（3）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.
【详解】（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠END=∠EFB，
∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，
（2）如图2，∵AB∥CD，∴∠CNP=∠NGB，
∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，
∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，
∵AB∥CD，∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，∴∠E+2∠NPM=180°；
（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于 H，
∵AB∥CD，∴∠CDG=∠AGE，∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE，①
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∵∠ABM= ∠MBE，∠CDN= ∠NDE，∴∠ABM= ∠ABE=∠CHB，∠CDN= ∠CDE=∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F=∠CHB﹣∠FDH= ∠ABE﹣ ∠CDE= （∠ABE﹣∠CDE），②
由①代入②，可得∠F= ∠E，即 .
点睛：本题考查了三角形外角定理，平行线的性质，角平分线的定义.
模型4：羊角模型
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论： .
如图2，已知：AB∥DE，结论： .
例1．（2023春·上海·七年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为
．
【答案】57°
【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如
果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可．
【详解】解：设AE、CD交于点F，
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∵∠E＝37°，∠C＝ 20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°，
∵AB∥CD，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案为：57°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．
例2．（2022·江苏七年级期中）如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】根据AB∥CD，∠A=50°，所以∠A=∠AOC．又因为∠C=∠E，∠AOC是外角，所以可求得∠C．
【详解】解：∵AB∥CD，∠A=50°，∴∠A=∠AOC（内错角相等），
又∵∠C=∠E，∠AOC是外角，∴∠C=50°÷2=25°．故选B．
例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D
【答案】见解析
【分析】过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出
∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论．
【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图
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∵AB∥CD， ∴∠B=∠BOD，∵EF∥CD（辅助线），
∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）；
∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换），
∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角．
例4．（2023·河南·统考三模）如图，已知 ， ， ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点 作 ，则 ，根据平行线的性质可得到 ，
，即可求得 ．
【详解】如图，过点 作 ，
∵ ， ，∴ ．
∴ ，．
∵ ，∴ ．
∴ ．故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键．
例5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图， ， ， ， ，点 是
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上一点． （1） 的度数为 ；（2）若 ．则 与 （填“平行”或
“不平行”）．
【答案】 / 度 平行
【分析】（1）根据平分线的判定可得 ，根据平行线的性质可得 的度数；
（2）根据对顶角相等可得 的度数，根据平分线的判定可得 ．
【详解】解：（1）∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ；故答案为： ．
（2）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．故答案为：平行．
【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
模型5：蛇形模型（“5”字模型）
基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论： .
如图2，已知：AB∥DE，结论： .
例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，
如图，若 ，则 等于（ ）
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A．50° B．40° C．30° D．20°
【答案】D
【分析】过点C作 ，根据平行线的性质即可求出 的度数．
【详解】解：过点C作 ，∴ ，
∵ ∴ ；
∵ ，∴ ；
由题意 ，∴ ，∴ ．故选：D
【点睛】本题考查平行线的判断和性质，作出辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
例2．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若 ， ， ，则 的度数是
（）
A．115° B．130° C．140° D．150°
【答案】C
【分析】利用平行线的传递性作出辅助线 ，再通过平行线的性质即可解决问题．
【详解】解：过 作 的平行线 ，如图所示；
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， ∴
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的基本性质与平行的传递性，两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，根据
传递性做出辅助线是解决问题的关键．
例3．（2023·河南周口·校联考三模）如图， ， ， ，则 的度数是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作 ，则 ，根据平行线的性质分别求出 和 ，则
．
【详解】解：如图，作 ，则 ，
， ， ， ，
，
故选D．
【点睛】本题考查根据平行线的性质求角的度数，解题的关键是正确添加辅助线．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， ， ， 平分 ，若 ，则
的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平行线的性质可知 ， ．再由角平分线的定义即可求
解．
【详解】∵ ，∴ ．∵ 平分 ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义．利用数形结合的思想是解题关键．
例5．（2023·江西·九年级校考阶段练习）如图 于点D，将 绕点A
逆时针旋转 ，使 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /25度
【分析】过点C作 ，过点A作 ，利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点C作 ，则 ，
∴ ．过点A作 ，则 ．
∴ ，故 的最小值为 ．故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的
关键．
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课后专项训练
1．（2023·山东临沂·统考二模）如图， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质可得 ，再根据邻补角的定义即可得．
【详解】解：如图， ， ，
，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，已知： ， ，求证： ．在证明该结
论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（ ）
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A．延长 交 的延长线于点
B．连接
C．分别作 ， 的平分线 ，
D．过点 作 （点 在点 左侧），过点 作 （点 在点 左侧）
【答案】C
【分析】根据平行线的性质与判定逐一判断即可．
【详解】解：A、如图，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，故此选项不符合题意；
B、如图，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，故此选项不符合题意；
C、如图，由 平分 ， 平分 ，
没有条件说明 与 相等，也没有条件说明 与 平行，
∴此辅助线的作法不能说明 与 平行，故此选项符合题意；
D、如图，延长 交 于点 ，∵ ， ， ，
∴ ，∴ ， ，
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∵ ，∴ ，∴ ，故此选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论．掌握平行线的判定和性质是
解题的关键．
3．（2023·浙江台州·统考一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若
， ，则 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过 顶点作直线l 支撑平台，直线l将 分成两个角即 、 ，
根据平行线的性质即可求解．
【详解】如图所示，过 顶点作直线l 支撑平台，直线l将 分成两个角即 、
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l 支撑平台
∴直线l 支撑平台 工作篮底部∴ 、
∵ ∴ ∴ 故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
4．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线 、 平行，则 （ ）．
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A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB
观察图形可知，图中有5组同旁内角，
则 故选D
【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键
5．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，若 ， ，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质分别求出 的度数即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
6．（2022·安徽芜湖·七年级期中）如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与
∠ABE 互补，则∠F 的度数为
A．30° B．35° C．36° D．45°
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【答案】C
【分析】延长BG交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.
【详解】解：如图延长BG交CD于G
∵BF∥ED∴∠F=∠EDF又∵DF 平分∠CDE，∴∠CDE=2∠F，
∵BF∥ED∴∠CGF=∠EDF=2∠F，∵AB∥CD∴∠ABF=∠CGF=2∠F，
∵BF平分∠ABE∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，
又∵∠F 与∠ABE 互补∴∠F +∠ABE =180°即5∠F=180°，解得∠F=36°故答案选C.
【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.
7．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中 ， ，
，则 的度数为（ ）
A．56 B．66 C．98 D．104
【答案】A
【分析】如图，在 处作 ，根据平行线的性质可得 ， ，由
对顶角相等可得 ，根据 计算求解即可．
【详解】解：如图，在 处作 ，
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∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，故选：A．
【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
8．（2023春·重庆江津·七年级校联考期中）如图，AB CD，∠ABE＝ ∠EBF，∠DCE＝ ∠ECF，设
∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（ ）
A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360° C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°
【答案】A
【分析】过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，根据已知条件得出∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，求出
AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝
180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，求出α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，再求出答案即可．
【详解】解：过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，
∵∠ABE＝ ∠EBF，∠DCE＝ ∠ECF，∠ABE＝α，∴∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，
∵AB∥CD，∴AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，
∴∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠BEN+∠CEN＝∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF＝180°+180°＝360°，
即α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，∴∠ECD＝β﹣α，
∴3α+γ+4（β﹣α）＝360°，即4β﹣α+γ＝360°，故选A．
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【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．
9．（2022·江苏七年级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠3－∠2的度数等于 __________．
【答案】180°.
【解析】解：∵AB∥CD∴∠1=∠EFD
∵∠2+∠EFC=∠3，∠EFD=180°－∠EFC∴∠1+∠3－∠2=180°故答案为：180°.
10．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图所示， ， ， ，则 度．
【答案】86
【分析】过点 作 的平行线 ，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，过点 作 的平行线 ，
， ， ， ， ，
， ， ， ，
，故答案为：86．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，解题关键是在点 处构造出一条平行线．
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11．（2022·四川成都·七年级期末）已知直线 ，射线 、 分别平分 ， ，两射
线反向延长线交于点 ，请写出 ， 之间的数量关系：________．
【答案】
【分析】分别过点 ， 作 ， ，根据 ，可得 ，根据平行
线性质可得 ， ，根据角平分线定义可得 ，进而证出
，同理 ，根据平角定义可得 ，
，由此证出 ，进而证出结论．
【详解】分别过点 ， 作 ，
∵ ，∴ ∵射线 平分 ∴
∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
∵射线 平分 ∴
∵ ， ，∴ ∴ ∴
∴ ∴
∵ ∴
同理： ∴
∴ 故答案为：
【点睛】本题考查平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识点，能熟记平行线的性质是解本题的关键．
12．（2022·黑龙江·七年级月考）如图， ，E是 上的点，过点E作 ，若
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， 平分 ， ， ，则 _______．
【答案】
【分析】延长AB交HP于点M；根据 平分 ，得 ；根据 ，得
，从而推导得 ；结合 ，得 ；再根
据 以及 ，结合三角形内角和性质，即可完成求解．
【详解】如图，延长AB交HP于点M
∵ 平分 ∴ ∴
∵ ∴ ∵ ∴
∴
∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形内角和、平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握了三角形内角和、
平行线、角平分线的性质，从而完成求解．
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13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知 ， ，求 的度数．
【答案】72°
【分析】如图所示，过点C作 ，则 ，根据平行线的性质求出 ，进而求出
，再由 ，即可得到 ．
【详解】解：如图所示，过点C作 ．∵ ，∴ ．
∴ ．∴ ．
又∵ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
14．（2023春·重庆南岸·九年级校考期中）在数学课上老师提出了如下问题：
如图， ，当 与 满足什么关系时， ?
小明认为 时 ，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作
图与填空：
解：用直尺和圆规，在 的右侧找一点M，使 （只保留作图痕迹）．
∵ ，
∴①_____________
∵
∴ ②_________ ，
∵ ，
∴ ③__________ ，
∴④_____________
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∴ ．
所以满足的关系为：当 时， ．
【答案】① ，② ，③ ，④
【分析】首先根据作一个角等于已知角进行尺规作图，然后再题目步骤的引导下，将空白处补充完整即可．
【详解】解：如图，通过尺规作图得： ，
∵ ，∴① ，
∵ ，∴ ② ，
∵ ，∴ ③ ，
∴④ ，∴ ．
所以满足的关系为：当 时， ．
故答案为：① ，② ，③ ，④ ．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法、尺规作图（作一个角等于已知角）等知识点，平行线判定方法的
熟练掌握是解题关键．
15．（2023春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）（1）如图（1） ，猜想 与 的关系，
说出理由．（2）观察图（2），已知 ，猜想图中的 与 的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知 ，猜想图中的 与 的关系，不需要说明理由．
【答案】（1） ，理由见解析；（2） ，理由见解析；（3）图
（3） ，图（4）
【分析】（1）过点P作 ，得到 ，由 ， ，得到 ，得
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到 ，由此得到 ；
（2）过点P作 ，由 ，得到 ，从而得到结论
；（3）由 ，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即
可求得 与 的关系．
【详解】（1）解：猜想 ．
理由：过点P作 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ；
（2） ．理由：如图，过点P作 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ；
（3）如图（3）： ．
理由：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ；
如图（4）： ．理由：∵ ，∴ ，
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∵ ，∴ ，即 ．
【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解
题的关键．
16．（2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习）（1）如图①，如果 ，求证： ．
（2）如图②， ，根据上面的推理方法，直接写出 ___________．
（3）如图③， ，若 ，则 ___________（用x、
y、z表示）．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）过P作 ，利用平行线的判定与性质证明即可；
（2）过点P作 ，过点Q作 ，根据平行线的性质即可求解；
（3）过点P作 ，过点Q作 ，根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：过P作 ，如图，
∴ ，∵ （已知），
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ；
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（2）如图，过点P作 ，过点Q作 ，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，故答案为： ；
（3）过点P作 ，过点Q作 ，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键．
17．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）如图， ，点E为两直线之间的一点．
(1)如图1，若 ， ，则 ；
如图1，若 ， ，则 ；
(2)如图2，试说明， ；(3)如图3，若 的平分线与 的平分线相交
于点F，判断 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)55°，α+β(2)见解析(3) ，理由见解析
【分析】（1）过点E作直线 ，利用平行线的性质证明 ， ，即可
得到 ；
（2）过点E作 ，利用平行线的性质证明 ， ，即可证明
，即 ；
（3）由（1）可得 ，再证明 ，由（2）可知，
，即可证明 ．
【详解】（1）解：如图1，过点E作 ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，
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∵ ，
当 ， 时，∴ ；
当 ， 时，∴ ．故答案为：55°，α+β；
（2）解：如图2，过点E作 ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，
∴ ，即 ；
（3）解： ，
理由如下：由（1）可得 ，
∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ，
∴ ，由（2）可知， ，
∴ ．
【点睛】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间
的关系．
18．（2022·湖南株洲市八年级期末）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分
别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，
∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
（1）如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；（提示：过点P作PM∥a）
（2）当点P在线段EF外运动时有两种情况，①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明．
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
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【答案】（1）见解析；（2）①∠2＝∠3-∠1；②∠2＝∠3-∠1.
【解析】解：（1）证明：作PM∥a，则∠1＝∠APM，
∵PM∥a，a∥b，∴PM∥b，∴∠MPB＝∠3，∴∠APB＝∠APM＋∠MPB＝∠1＋∠3，即∠1+∠3=∠2；
（2）①结论：∠2＝∠3−∠1．理由：作PM∥a，则∠1＝∠APM，
∵PM∥a，a∥b，∴PM∥b，∴∠MPB＝∠3，∴∠APB＝∠MPB−∠MPA＝∠3−∠1，即∠2＝∠3-∠1；
②结论：∠2＝∠3−∠1.
19．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：
如下面四个图形中， AB CD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．
解决问题：
（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平
行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．
【答案】(1) 图1：∠1+∠2＝∠3； 图2：∠1+∠2+∠3＝ ； 图3：∠1＝∠2+∠3； 图4：∠1+∠3＝
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∠2；(2)见解析；(3)
【分析】(1) 图1：首先过点P作PE AB，由AB CD，即可得AB PE CD，然后根据两直线平行，内
错角相等，即可求得答案；
图2：首先过点P作PE AB，由AB CD，即可得AB PE CD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，
即可求得答案；图3：由AB CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答
案；图4：由AB CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案．
（2）选图1，过点P作PE AB，由AB CD，即可得AB PE CD，然后根据两直线平行，内错角相等，
即可求得答案；（3）利用图1结论进行求解
【详解】(1)图1：∠1+∠2＝∠3； 图2：∠1+∠2+∠3＝
图3：∠1＝∠2+∠3；图4：∠1+∠3＝∠2；
(2)选择图1，如图所示：过点P作EP//AB
∵AB CD，EP AB∴AB EP CD∴∠1=∠APE，∠2=∠EPC
又∵∠3＝∠APE+∠EPC∴∠1+∠2＝∠3；
(3)由图1可得：∠BOC＝∠ABO+∠DCO，
又∵∠ABO=57°，∠DCO=44°，∴∠BOC=57°+44°＝101°
【点睛】考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直
线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法．
20．（2023春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，
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(1)求证： ：
(2)如图②， 分别为 的平分线所在直线，试探究 与 的数量关系；
(3)如图③，在（2）的前提下，且有 ，直线 交于点P， ，直接写出
．
【答案】(1)见解析(2) ，理由见解析(3)
【分析】（1）过点C作 ，则 ，根据平行线的性质可得出 、
，据此可得；（2）过点Q作 ，则 ，根据平行线的性质、角平分线
的定义可得出 ，结合（1）的结论可得出 ；（3）由（2）的
结论可得出 ①，由 可得出 ②，联立①②可求出
的度数，再结合（ 1）的结论可得出 的度数，将其代入 中可
求出结论．
【详解】（1）在图①中，过点C作 ，则 ．
∵ ，∴ ，
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∴ ．
（2）在图2中，过点Q作 ，则 ．
∵ ，∴ ．
∵ 平分 ， 平分 ，∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
（3）∵ ，∴ ，
∴ ．∵ ，∴ ．
又∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线的的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线．
21．（2023春·广东·七年级专题练习）（1）如图1， ， ， ，直接写出
的度数．（2）如图2， ，点 为直线 间的一点， 平分 ， 平分 ，
写出 与 之间的关系并说明理由．（3）如图3， 与 相交于点 ，点 为 内一点，
平分 ， 平分 ，若 ， ，直接写出 的度数．
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3）
【分析】（1）过点 作 ，可得 ， ，根据
即可求解；（2）过点 作 ，可求出 ，
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过点 作 ，可求出 ，由此即可求解；（3）延长 交 于点 ，可得
， ，
平分 ， 平分 ，可得 ，由此即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点 作 ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ．
（2） ，理由如下：过点 作 ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，
∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ，
∴ ，同理，过点 作 ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，即 ．
（3）如图，延长 交 于点 ，
∴ ，
，
∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
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【点睛】本题主要考查平行线的性质，理解平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．
22．（2023春·福建三明·七年级校考期中）探索：小明在研究数学问题：已知 ，AB和CD都不经
过点P，探索 与 、 的数量关系．
发现：在图1中， ；如图5
小明是这样证明的：过点Р作
∴ ___________
∵ ， ．
∴ __________
∴
∴
即
（1）为小明的证明填上推理的依据；
（2）理解：①在图2中， 与 、 的数量关系为_____________________；
②在图3中，若 ， ，则 的度数为_________________；
（3）拓展：在图4中，探究 与 、 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）① ；
②40°；（3） ，理由见解析．
【分析】（1）过点 作 ，根据平行线的性质得出 ， ，即可得出答案；
（2）①过点 作 ，根据平行线的性质得出 ， ，即可得出答
案；②根据平行线的性质得出 ，根据三角形外角性质得出即可；
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（3）根据平行线的性质得出 ，求出 ，根据 得出
，即可得出答案．
【详解】（1）证明：过点 作 ，
∴ （两直线平行，内错角相等）
， ． （平行于同一直线的两直线平行）
即
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；
（2）①
解：过点 作 ，所以 ，
， ． ， ，
， ，即 ，
故答案为： ；
②
解： ， ， ，
， ，故答案为： ；
（3）解： ．
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理由是：如图4，过点 作 ，
， ，
， ， （平行于同一直线的两直线平行）
， ，
．
【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键．
23．（2023春·山东·七年级专题练习）如图1，直线AB CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F
在CD上，连接PE，PF．
（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）
（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说
明理由，请直接写出答案）
（3）如图3，在图1的基础上，作PE平分∠PEB，PF平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则
1 1
∠P= （用含x，y的式子表示）．若PE平分∠PEB，PF平分∠PFD，可得∠P；PE平分∠PEB，PF
1 2 1 2 1 2 3 2 3
平分∠PFD，可得∠P…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y的式子表示）
2 3
【答案】（1）110°；（2）80°；（3）
【分析】（1）过点P作PH∥AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；
（2）同理依据两直线平行，内错角相等即可证得∠1+∠4=∠2+∠3，求得∠4=80°；
（3）利用（1）的结论和角平分线的性质即可写出结论．
【44淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解：（1）如图1，
过点P作PH∥AB∥CD，∴∠1=∠EPH，∠2=∠FPH，
而∠EPF=∠EPH+∠FPH，∴∠EPF=∠1+∠2=110°；
（2）过点P作 , ，
， ， ， ，
， ，
， ，∴∠1+∠4=∠2+∠3，
∵∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，∴∠4=80°，故答案为：80°；
（3）过点P作 ，
平分 ， ，同理 ，
∴ ，
同理 ，故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了平行线性质的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会
探究规律，利用规律解决问题．
【45淘宝店铺：向阳百分百】
