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专题05 全等模型-对角互补模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互
补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋
转的构造，构造手拉手全等。
常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-（180°-2α）对角互补模型。
模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型）
1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，② .
2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）
条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
[来源:学科网ZXXK]
结论：①CD＝CE，② .
例1.（2022·绵阳市·八年级期中）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是AB，
BC上的点，连接EF．若AE＝4，CF＝3，OE⊥OF，求EF的长．例2. 如图， ， ， ， ，垂足为 ．
（1）求证： ；（2）求 的度数；（3）求证： ．
例3、在 中， ， ，将一块三角板的直角顶点放在斜边 的中点 处，将此三
角板绕点 旋转，三角板的两直角边分别交射线 、 于点 、点 ，图①，②，③是旋转得到的三
种图形．（1）观察线段 和 之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明；
（2）观察线段 、 和 之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明；例4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）如图1，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF、求证：△DEF是等腰直角三角形
经过分析已知条件AB＝AC，D为BC的中点．容易联想等腰三角形三线合一的性质，因此，连结AD（如
图2），以下是某同学由已知条件开始，逐步按层次推出结论的流程图．请帮助该同学补充完整流程图．
补全流程图：① ， ②∠EDF＝
（2）如果E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，试猜想△DEF是否仍为等
腰直角三角形？请在备用图中补全图形、先作出判断，然后给予证明．
模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型）
1）“等边三角形对120°模型”（1）条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC
2）“等边三角形对120°模型”（2）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，
结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，.
例1．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线
OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
例2．如图，已知∠DCE与∠AOB，OC平分∠AOB．（1）如图1，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点
D、E，∠AOB＝∠DCE＝90°，试判断线段CD与CE的数量关系，并说明理由．以下是小宇同学给出如下正确的解法：
解：CD＝CE．
理由如下：如图1，过点C作CF⊥OC，交OB于点F，则∠OCF＝90°，…
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
（3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°．
①如图3，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E时，（1）中的结论成立吗？为什么？线段OD、
OE、OC有什么数量关系？说明理由．②如图4，∠DCE的一边与AO的延长线相交时，请回答（1）中的
结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系；如图5，∠DCE的一边与BO的延长线
相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系．
例3．（2023·山东·九年级专题练习）如图， ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，
∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF△的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，
求证：BE=CF；
（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由例4．四边形 是由等边 和顶角为 的等腰 排成，将一个 角顶点放在 处，将
角绕 点旋转，该 交两边分别交直线 、 于 、 ，交直线 于 、 两点．
（1）当 、 都在线段 上时（如图1），请证明： ；
（2）当点 在边 的延长线上时（如图2），请你写出线段 ， 和 之间的数量关系，并证明你
的结论；（3）在（1）的条件下，若 ， ，请直接写出 的长为 ．
模型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型）
1）“2α对180°-2α模型”条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB
注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。
2）“蝴蝶型对角互补模型”
条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。
例1．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC
于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论： ∠MAP＝∠BCP； PA＝PC； AB+BC＝2BD；
四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结①论正确的个数有（ ② ） ③ ④
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
例2.（2023·浙江金华·校考三模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互
补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM
＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中
正确的序号为_____．例3.（2022·江苏常州·统考一模）如图，已知四边形 的对角互补，且 ， ，
．过顶点C作 于E，则 的值为（ ）
A． B．9 C．6 D．7．2
例4.如图，四边形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD．试说明：
（1）△CBE≌△CDF；（2）AB+DF＝AF．课后专项训练
1．如图， 为等边三角形，以 为边向外作 ，使 ，再以点C为旋转中心把
旋转到 ，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；② 平分 ；③ ；④
．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023·广东·八年级专题练习）如图所示， 为等边三角形，边长为4，点 为 边中点，
，其两边分别交 和 的延长线于 ， ，求 的值.
3．（2023·广西·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．
4．五边形ABCDE中， ， ， ，求证：AD平分∠CDE．
5．（2023•西城区校级期中）已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD
平分∠ABC，试说明AD＝DC．
6. 在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120º，射线DE与线段AB相交于点E，射线DF
与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.（1）如图1，若DF⊥AC，直接写出DE与AB的位置关系；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F，求证：DE
＝DF；（3）在∠EDF绕D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系.7. 如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点 B，直角顶点P
在射线AC上移动，另一边交DC于Q.
（1）如图1，当点Q在DC边上，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以说明；
（2）如图2，当点Q落在DC延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想.
8. 如图所示，一副三角板按如图放置，等腰直角三角形固定不动，另一个的直角顶点放在等腰三角形的
斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边与AB、CB的交点为点G、H.
（1）当三角板DEF旋转至图1所示时，探究BG与CH的大小关系，并说明理由；
（2）若在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上，AB＝BC＝4，在旋转过程中四边形
GBHD的面积是否不变，若不变，求出它的值，若改变，求出它的取值范围；（3）当三角板旋转至如图2
所示时，三角板DEF与AB、BC边所在的直线相交于点G、H时，（1）中的结论仍成立吗？并说明理由.9.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的点，点E在AB上，且PA＝PE．
（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件
不变，试探究∠CPE与∠ABC之间的数量关系，并说明理由．
10．（2022·湖北武汉·八年级校考期末）已知在四边形 中， ， .
(1)如图1．连接 ，若 ，求证： .
(2)如图2，点 分别在线段 上，满足 ，求证： ;
(3)若点 在 的延长线上，点 在 的延长线上，如图3所示，仍然满足 ，请写出
与 的数量关系，并给出证明过程．11．（2023·山东青岛·八年级统考期中）[问题]如图①，点 是 的角平分线 上一点，连接 ，
，若 与 互补，则线段 与 有什么数量关系？
[探究]探究一：如图②，若 ，则 ，即 ， ，又因为 平分
，所以 ，理由是：_______．
探究二：若 ，请借助图①，探究 与 的数量关系并说明理由．
[结论]点 是 的角平分线 上一点，连接 ， ，若 与 互补，则线段 与 的数量
关系是______．
[拓展]已知：如图③，在 中， ， ， 平分 ．求证： ．
12．问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之
间的数量关系．
【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上
述结论．【类比引申】如图(2)，四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,
则当∠EAF与∠BAD满足 关系时，仍有EF=BE+FD．
【探究应用】如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，
∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（ ﹣
1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据： =1.41，
=1.73）
13、在等边 中，点D为 的中点，点F在 延长线上，点E在射线 上， ．
（1）如图1，当点E与点B重合时，则 与 的数量关系是_________；
（2）当点E在线段 上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
（3）如图3，当点E在 的延长线上时， ，请直接写出 的长．
14、已知：如图，在等边△ABC中，点O是BC的中点，∠DOE＝120°，∠DOE绕着点O旋转，角的两边
与AB相交于点D，与AC相交于点E．(1)若OD，OE都在BC的上方，如图1，求证：OD＝OE．(2)在图1中，BD，CE与BC的数量关系是
．
(3)若点D在AB的延长线上，点E在线段AC上，如图2，直接写出BD，CE与BC的数量关系是 ．
15.如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B，C不重合，连接AD．作以
∠FAD为直角的等腰直角△ADF．(1)若AB＝AC，∠BAC＝90°
①当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；
(2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC．上，且CF⊥BD时，如图3，试求∠BCA的度数．
16．已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD， ．(1)【特例体验】如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为 ；
(2)【类比探究】如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展迁移】如图3，α＝60°，
∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出 的值（用k的代数式表示）．
17．（2022山西省吕梁市八年级期末）如图，已知 与 ， 平分 ．
(1)如图1， 与 的两边分别相交于点 、 ， ，试判断线段 与
的数量关系，并说明理由.
以下是小宇同学给出如下正确的解法：解： ．
理由如下：如图1，过点 作 ，交 于点 ，则 ，…
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
(3)若 ， ．
①如图3， 与 的两边分别相交于点 、 时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段 、 、
有什么数量关系？说明理由．②如图4， 的一边与 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 、
、 有什么数量关系；如图5， 的一边与 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，
并请直接写出线段 、 、 有什么数量关系．
