文档内容
专题05全等三角形常见七大必考模型专训
【模型目录】
模型一 平移模型
模型二 轴对称模型
模型三 旋转模型
模型四 一线三等角模型
模型五 垂直模型
模型六 手拉手模型
模型七 半角模型
【经典模型一 平移模型】
【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，
图②是常见的平移型全等三角线．
【常见模型】
【例1】（2023春·全国·八年级期中）如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC
方向平移得到△DEF．若 cm， cm， cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A．47cm2 B．48 cm2 C．49 cm2 D．50 cm2
【答案】B
【分析】先根据平移的性质得到 cm， ≌ ，则 ， cm，求出，然后根据梯形的面积公式计算即可．
【详解】解： 沿 方向平移得到 ，
cm， ≌ ，
， （cm），
∴ ，
（cm2），故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平
行 或共线 且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
【变式训练】
1．（2021春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，将 沿 方向平移得到 ，使点 的对应点
恰好落在边 的中点上，点 的对应点 在 的延长线上，连接 ， 、 交于点 ．下列结论
一定正确的是（ ）
A． B． C． D． 、 互相平分
【答案】D
【分析】根据平移的性质得到∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，由于只有当∠BAC=90°时，
AC⊥DE；只有当BC=2AC时，DF=AC=BE，则可对A、B、C选项的进行判断；AC交DE于O点，如图，
证明△AOD≌△COE得到OD=OE，OA=OC，则可对D选项进行判断．
【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上，
∴∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，
只有当∠BAC=90°时，AC⊥DE；
只有当BC=2AC时，DF=AC=BE，所以A、B、C选项的结论不一定正确；
∵AD∥BC，∴∠OAD=∠OCE，∠ODA=∠OEC，
而AD=CE，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴OD=OE，OA=OC
即AC、 DE互相平分，所以D选项的结论正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与
原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是
对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点 ， ， ， 在一条直线上，若将 的边 沿 方
向平移，平移过程中始终满足下列条件： ， 于点 ， 于点 ，且 ．
则当点 ， 不重合时， 与 的关系是______．
【答案】BD与EF互相平分
【分析】先根据DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求证△ABF≌△CDE，再求证△DEG≌△BFG，即可．
【详解】∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中， ，
∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），
∴ED=BF．
设EF与BD交于点G，由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，
∴∠EDG=∠GBF，
∵∠EGD=∠FGB，ED=BF，
∴△DEG≌△BFG，
∴EG=FG，DG=BG，
∴BD与EF互相平分．
【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，此题难度并不大，但是需要证明多
次全等，步骤繁琐，是一道综合性较强的中档题．
3．（2023秋·山东聊城·八年级校考期末）如图（1）， ， ，点C是 上一点，且
， ．
(1)试判断 与 的位置关系，并说明理由．
(2)如图（2），若把 沿直线 向左平移，使 的顶点C与B重合，此时第（1）问中 与
的位置关系还成立吗？说明理由．（注意字母的变化）．【答案】(1) ，理由见解析
(2) 成立，理由见解析
【分析】（1）根据条件证明 就得出 ，就可以得出 ；
（2）根据 可以得出 ，从而得出结论．
【详解】（1）解： ，理由如下，
理由：∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，平移的性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解
答时证明三角形全等是关键．
【经典模型二 轴对称模型】
【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对
称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等．
【常见模型】
【例2】（2023秋·八年级单元测试）如图，已知 ， ，增加下列条件：① ；②
；③ ；④ ．其中能使 的条件有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B
【详解】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【分析】解：① ， ， ，
和 不一定全等，
故①不符合题意；
② ， ， ，
，
故②符合题意；
③ ，
，
，
， ，
，
故③符合题意；
④ ， ， ，
，
故④符合题意；
所以，增加上列条件，其中能使 的条件有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，已知 ， 与 交于点 ， ，
分别与 ， 交于点 ， ，连接 ，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】先证明 ，推出 ，则 ，可判断选项A、C；再证明
，推出 ，则 ，利用 证明 ，即可判断选项
D，没有理由证明 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，则 ，故选项A、C正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，故选项D正确；
∴ 与 不一定相等，故选项B不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活利用全等三角形的判定是解题的关键．
2．（2023秋·八年级课时练习）在① ，② ，③ 这三个条件中选择一个，
补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在 中， ，点 在 边上，点 在 边上，连接 ， ， 与 相交
于点 ．若________________，求证： ．
【答案】见解析【分析】根据全等三角形的判定条件进行证明即可．
【详解】解：选择条件①的证明：
在 和 中，
，
，
；
选择条件②的证明：
在 和 中，
，
，
；
选择条件③的证明：连接 ，
，
在 和 ，
，
，
，
在 和 中，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角
相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
3．（2023春·广东佛山·七年级校联考阶段练习）如图所示， 、 分别为 ， 的角平分线，
两线交于点 ．
(1)若 ， ，则 ______ ；
(2)若 ，则 ______ ；
(3)若 ，用 表示的 ，写出详细的步骤（不用写理论依据）；
(4) ， ， ， 三条线段之间有怎样的数量关系？写出结果，并说明理由（不用写理论依
据）．
【答案】(1)130
(2)125
(3) ，步骤见解析
(4) ，理由见解析
【分析】（1）先根据角平分线的定义得出 与 的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结
论；
（2）先根据 求出 的度数，再由角平分线的定义得出 的度数，根据
三角形内角和定理即可得出结论；（3）根据 求出 的度数，再由角平分线的定义得出 的度数，根据三角
形内角和定理即可得出结论；
（4）在边 上截取 ，连接 ，只要证明 ，可得 即
可证明．
【详解】（1）∵ 分别为 角平分线， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ 分别为 角平分线，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（3）∵ 、 分别为 ， 的角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（4） .理由如下：在边 上截取 ，连接 ，
由（3）的结论得 ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ；
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ；
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，第（1）
至（2）有具体的数，不要求学生书写步骤，可以多角度下手解决问题，第（3）问思维的迁移，从（1）
（2）特殊到第（3）的一般化，字母具有代表性；第（4）问梯度增加上升难度，在寻找全等三角形全等
的条件，需要添加辅助线，属于中考常考题型．【经典模型三 旋转模型】
【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋
转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件．
【常见模型】
【例3】（2021秋·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）Rt 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E为△ABC
外一点，且∠CEA＝45°．求证：AE⊥BE．
【答案】见解析
【分析】首先过 点作 交 的延长线于 ，易证得 ，即可得
，继而证得 ．
【详解】证明：过 点作 交 的延长线于 ，
，
，
，，
，
在 和 中，
，
，
，
，
即 ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是准确
作出辅助线构造旋转全等模型．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）如图1，在四边形 中， ，
分别是边 上的点，且 ．求证： ；
（2）如图2，在四边形 中， ， 分别是边 上的点，且
；求证： ，
（3）如图3，在四边形 中， ， 分别是边 延长线上的点，
且 ，写出 之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） ；理由见解析
【分析】（1）延长 到G，使 ，连接 ．证明 ，可得 ，进而可
得结论；（2）延长 至M，使 ，连接 ．证明 ．可得 ．然
后根据 ，证明 ．可得 ．进而可以得到
结论；
（3）在 上截取 ，使 ，连接 ．证明 ．可得
．然后可得出 ，那么 ．
【详解】（1）证明：如图1中，延长 到G，使 ，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：如图2，延长 至M，使 ，连接 ．
∵ ，
∴ ，在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： ．
证明：如图3，在 上截取 ，使 ，连接 ．
∵ ，
∴ ．
在 与 中，，
∴ ．
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变
换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路
和方法是类似的，属于中考压轴题．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知，如图1，四边形 是正方形， ， 分别在边 、
上，且 ，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的
方法．
(1)在图1中，连接 ，为了证明结论“ ”，小亮将 绕点 顺时针旋转 后解答了
这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
(2)如图2，当 绕点 旋转到图2位置时，试探究 与 、 之间有怎样的数量关系？
【答案】(1)见解析
(2) ．【分析】（1）利用旋转的性质，证明 即可．
（2）把 绕点 逆时针旋转 ，使 与 重合，点 与点 对应到 ，证明
即可求得 ．
【详解】（1）证明：如图1，
由旋转可得 , ,
四边形 为正方形
、 、 三点在一条直线上
在 和 中
（2）结论： ．理由：如图2，把 绕点 逆时针旋转 ，使 与 重合，点 与点 对应，同（1）可
证得
,且
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利
用旋转法构造全等三角形．
3．（2023春·全国·七年级期末）（1）问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，
将 ADF绕点A顺时针旋转90°与 ABG重合（D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线
上），∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．
（2）知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F分别是边BC，CD延长
线上的点，连接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．
（3）实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，
CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的长．（用含a，b，c的式子表示）
【答案】（1）EF＝GE，理由见详解；（2）BE−DF＝EF，理由见详解；（3）BE＝ ，理由见详解
【分析】（1）根据SAS直接可证△GAE≌△FAE即得GE＝EF；（2）在BE上取BG＝DF，连接AG，由∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，得∠B＝∠ADF，从
而SAS证△ABG≌△ADF，再通过SAS证△GAE≌△FAE，得GE＝EF，从而解决问题；
（3）作CF⊥AD，交AD的延长线于F，取FG＝BE，连接CG，由（2）同理可两次全等证明出DE＝GD
即可．
【详解】解：（1）EF＝GE，理由如下：
∵△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合，
∴AG＝AF，
∵AE平分∠GAF，
∴∠GAE＝∠FAE，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE＝EF；
（2）BE−DF＝EF，理由如下：
如图2，在BE上取BG＝DF，连接AG，
∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ABG和△ADF中，
，∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠FAD，AG＝AF，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠GAF＝2∠EAF，
∴∠GAE＝∠EAF，
在△GAE和△FAE中
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE＝EF，
∴BE−DF＝EF；
（3）如图，作CF⊥AD，交AD的延长线于F，取FG＝BE，连接CG，
∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CB⊥AB，
∴CF＝CB，∠EBC＝∠GFC，
∵BE＝GF，
∴△CBE≌△CFG（SAS），
∴∠BCE＝∠FCG，CG＝CE，
∵∠DAB＝60°，
∴∠FCB＝120°，
∵∠DCE＝60°，
∴∠DCF＋∠BCE＝60°，∴∠DCG＝60°，
又∵CG＝CE，
∴△ECD≌△GCD（SAS），
∴GD＝DE，
∵Rt△ACF≌Rt△ACB（HL），
∴AF＝AB，
∴b＋a−BE＝c＋BE，
∴BE＝ ．
【点睛】本题主要考查了全等的判定与性质，结合问题引入，构造出全等三角形是解题的关键．
【经典模型四 一线三等角模型】
【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE．
【常见模型】
【例4】（2023·江苏·八年级假期作业）综合与实践
数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．
(1)操作发现：如图甲，在 中， ，且 ，直线l经过点A．小华分别过B、C两
点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证 ，此时，线段 、 、 的数量关系为：
；(2)拓展应用：
如图乙， 为等腰直角三角形， ，已知点C的坐标为 ，点B的坐标为 ．请利用
小华的发现直接写出点A的坐标： ；
(3)迁移探究：
①如图丙，小华又作了一个等腰 ， ，且 ，她在直线l上取两点D、E，使得
，请你帮助小华判断（1）中线段 、 、 的数量关系是否变化，若不变，
请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；
②如图丁， 中， ， ，点D、E在直线 上，且 ，请直接
写出线段 、 、 的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)① ，理由见解析；②
【分析】（1）由全等得到边长关系即可．
（2）分别按照（1）中情形过A、B做出 轴垂线，得到三角形全等后根据边长关系得到点A坐标．
（3）①将（1）中互余的角度变成计算关系，仍可得角度相等，从而得到全等的三角形，进而得到边长关
系．
②根据①可证全等，然后根据全等三角形的性质得到边长关系．
【详解】（1）由等腰直角 得 ， ，
又 ，又 ，
，
（2）
过A、B作出 轴垂线 ， ，由（1）可得 ， ，
又 得 ， ， ，
，
（3）①
又 ，
，
②与①中同理可得
分别取 ， 中点 ， 连接 ．
，
,
又
又
在 与 中
，
【点睛】本题考查一线三等角模型，注重模仿推理能力，结合一个示范作迁移应用，需要大胆参考示范进
行相同位置图像的关系论证．对知识点的充分理解和迁移是解题的关键．【变式训练】
1．（2023·江苏·八年级假期作业）在 中， ，直线 经过点C，且
于D， 于E．
(1)当直线 绕点C旋转到图1的位置时，求证：
① ；
② ．
(2)当直线 绕点C旋转到图2的位置时，求证： ；
(3)当直线 绕点C旋转到图3的位置时，试问 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
(3) ，证明见解析
【分析】（1）①由垂直关系可得 ，则由 即可证明 ；②由 的性质
及线段和的关系即可证得结论；
（2）由垂直可得 ，则由 可证明 ，由全等三角形的性质及线段差的关系即可
证得结论；
（3）由垂直可得 ，则由 可证得 ，由全等三角形的性质及线段的和差关
系即可得到三线段间的关系．
【详解】（1）如图①∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ．
②∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）当 旋转到图3的位置时， 所满足的等量关系是 （或
等）．
∵ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，互余的性质等知识，证明两个三角形全等是问题的关键．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）在 中， ， ，直线 经过点C，且
于D， 于E．
(1)当直线 绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：① ；② ；
(2)当直线 绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问 、 、 具有怎样的等量关系？请写出这个
等量关系，不必证明；
(3)当直线 绕点C旋转到如图的位置时，试问 、 、 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关
系，不必证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)(3)
【分析】（1）①用 证明 即可；
②根据全等三角形的性质，得出 ， ，进而得出 ；
（2）先证明 ，可得 ， ，进而得出 ；
（3）先证明 ，可得 ， ，进而得出 ．
【详解】（1）证明：①∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
（2）解： ．
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
（3）解： ．
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂线的定义，余角的性质．解题的关键熟练掌握三角
形全等的条件，证明 ．
3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在 中， ， ，点D在线段 上
运动（D不与B、C重合），连接 ，作 ， 交线段 于E．
(1)当 时， _______ ， _______ ， _______ ；点D从B向C运动时，
逐渐变_______（填“大”或“小”）；
(2)当DC等于多少时， ，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出 的度数，若不可
以，请说明理由．
【答案】(1)25，25，65，小(2)当 时， ，理由见解析；
(3)当 的度数为 或 时， 的形状是等腰三角形．
【分析】（1）先求出 的度数，即可求出 的度数，再利用三角形的外角性质即可求出
的度数，根据点D从B向C运动时， 逐渐增大，而 不变化， ，即可
得到答案；
（2）根据全等三角形的判定条件求解即可；
（3）先证明当 时等腰三角形，只存在 或 两种情况，然后分这两种情况讨论求解
即可；
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵点D从B向C运动时， 逐渐增大，而 不变化， ，
∴点D从B向C运动时， 逐渐变小，
故答案为：25，25，65，小；
（2）解：当 时， ，
理由：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（3）解：当 的度数为110°或80°时， 的形状是等腰三角形，
理由：∵ ， ，
∴ ，
∴当 时等腰三角形，只存在 或 两种情况，当 时，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
∴ ，
∴ ，
综上所述，当 的度数为 或 时， 的形状是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，
熟知相关知识是解题的关键．
【经典模型五 垂直模型】
【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直．
【常见模型】
【例5】（2023·浙江·八年级假期作业）如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点
E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（ ）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm
【答案】C
【分析】本题可通过全等三角形来求BE的长．△BEC和△CDA中，已知了一组直角，∠CBE和∠ACD
同为∠BCE的余角，AC=BC，可据此判定两三角形全等；那么可得出的条件为CE=AD，BE=CD，因此只
需求出CD的长即可．而CD的长可根据CE即AD的长和DE的长得出，由此可得解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，
∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°；
∴∠ACD=∠CBE，又AC=BC，
∴△ACD≌△CBE；
∴EC=AD，BE=DC；
∵DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是3cm．
故选C．
【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先
根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么
条件．
【变式训练】
1．（2023·全国·八年级假期作业）如图， ， ， 于点E， 于点D，
， ，则 的长是（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据已知条件，观察图形得 ， ，然后证
后求解．【详解】解： ， ， 于 ， 于 ，
，
，
又 ， ，
．
， ，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用
， ，是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在 中，以 为腰作等腰直角三角形 和等腰直
角三角形 ．连接 为 边上的高线，延长 交 于点N，下列结论：（1）
；（2） ；（3） ；（4） ，其中正确的结论有
____________(填序号)．
【答案】（1）（3）（4）
【分析】根据 ，利用同角的余角相等即可判断（1）；过E作
于点H，过F作 ，交 的延长线于点G，利用K字型全等，易证 ，从
而判断（2）；同理可证 ，可得 ，再证 ，即可判断（4）；最
后根据 ，结合全等三角形即可判断（3）．
【详解】解：∵ 为 边上的高， ，∴ ，
∴ ，
故(1)正确；
如图所示，过E作 于点H，过F作 ，交 的延长线于点G，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ 与 不全等，
故（2）错误；
同理可证 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，∵ ，
∴ ，
∴ ，
故（4）正确；
∵ ，
∴
．
故（3）正确；
综上：正确的有（1）（3）（4）．
故答案为：（1）（3）（4）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质，掌握K字型全等，
作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．（2023·全国·八年级假期作业）已知， 中， ， ，直线m过点A，且
于D， 于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现 ．
(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问： 与 、 的关系如何？请予证明；
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中， 、 、 存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证
明）【答案】(1) ，证明见解析；
(2) ， ， ．
【分析】（1）利用条件证明 ， 再结合线段的和差可得出结论；
（2）根据图，可得 、 、 存在3种不同的数量关系；
【详解】（1）证明：如图2，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ （AAS），
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中， 、 、 存在3种不同的数量关系： ，
， ．
如图1时， ，
如图2时， ，
如图3时， ，（证明同理）
【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质．【经典模型六 手拉手模型】
【模型分析】
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫
旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等．
【模型图示】
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记
为“右手”．对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得 ．
【常见模型】
（等腰）
（等边）
（等腰直角）
【例6】（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同
一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．(1)求证：BD=CE；
(2)求证：△ABM≌△ACN；
(3)求证：△AMN是等边三角形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证
∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．
（2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证
△ABM≌△ACN(ASA)．
（3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形．
【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE．
（2）由(1)知△ABD≌△ACE，
∴∠ABM=∠ACN．
∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠CAN=60°=∠BAC．
在△ABM和△ACN中，∴△ABM≌△ACN(ASA)．
（3）由(2)知△ABM≌△ACN，
∴AM=AN，
∵∠CAN=60°，
∴△AMN是等边三角形．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相
等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021春·广东深圳·八年级深圳市福田区上步中学校考期中）在 中， ，点 是直线
上一点（不与 、 重合），把线路 绕着点 逆时针旋转至 （即 ），使得 ，
连接 、 ．
(1)如图1，点 在线段 上，如果 ，则 __________度．
(2)如图2，当点 在线段 上，如果 ，则 __________度．
(3)如图3，设 ， ，当点 在线段 上移动时， ， 的数量关系是什么？请说明理
由．(4)设 ， ，当点 在直线 上移动时，请直接写出 ， 的数量关系，不用证明．
【答案】(1)90
(2)120
(3)
(4) 或
【分析】（1）由“ ”可证 ，得 ，可求 的度数；
（2）由“ ”可证 ，得 ，可求 的度数；
（3）由“ ”可证 得出 ，再用三角形的内角和即可得出结论；
（4）由“ ”可证 得出 ，再用三角形的内角和即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：90；（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：120；
（3） ，
理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；（4）如图4，当点D在 的延长线上时， ，
证明方法同（3）；
如图5，当点D在 的延长线上时， ，
理由如下：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
综上， 或 ．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明 是解
题的关键．
2．（2023·内蒙古包头·模拟预测）在 中， ， 为 延长线上一点，点 为线段 ，
的垂直平分线的交点，连接 ， ， ．
(1)如图1，当 时，则 ______°；
(2)当 时，
①如图2，连接 ，判断 的形状，并证明；
②如图3，直线 与 交于点 ，满足 ． 为直线 上一动点．当 的值最大
时，用等式表示 ， 与 之间的数量关系为______，并证明．
【答案】(1)100；
(2)① 时等边三角形，证明见解析；
② ．证明见解析．
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；
（2）① 时等边三角形，证明 ， 即可；②结论： ．如图，作点
关于直线 的对称点 ，连接 ， ， ．当点 在 的延长线上时， 的值最大，此
时 ，利用全等三角形的性质证明 ，可得结论．
【详解】（1）解：∵点 为线段 ， 的垂直平分线的交点，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故答案为：100．
（2）解：①结论： 时等边三角形．
理由：∵点 是线段 ， 的垂直平分线的交点，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 时等边三角形；
②结论： ．
理由：如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， ， ．
∵
则，点 在 的延长线上时， 的值最大，此时 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 时等边三角形，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ （SAS），
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的
性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考
题型．
3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在 中， ， ，点O是 中点，
，将 绕点O旋转， 的两边分别与射线 、 交于点D、E．
(1)当 转动至如图一所示的位置时，连接 ，求证： ；
(2)当 转动至如图二所示的位置时，线段 、 、 之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)CE﹣CD＝AC．理由见解析
【分析】（1）结论： ．连接 ．证明 ；
（2）结论： ，证明方法类似（1）．
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ．
（2）解： ．
理由：连接 ．
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等
三角形解决问题．【经典模型七 半角模型】
【模型分析】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为
半角模型．
【常见模型】
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一
边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线
段之间的数量关系．半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论．
【例7】（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量
关系为 ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若
∠MBN＝ ∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝ ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 ．
【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由见解析；（3）MN=CN-AM，理由见解析
【分析】（1）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，
∠ABM=∠M'BC，可得到点M'、C、N三点共线，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，从而证得
△NBM≌△NBM'，即可求解；
（2）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，
∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得点M'、C、N三点共线，再由∠MBN＝ ∠ABC，可得到
∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解；
（3）在NC上截取C M'=AM，连接B M'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可
证得△ABM≌△CB M'，从而得到AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，进而得到∠MA M'=∠ABC，再
由∠MBN＝ ∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，从而得到△NBM≌△NBM'，即可求解．
【详解】解：（1）如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，
∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，
在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC ，
∴∠BCM'+∠BCD=180°，
∴点M'、C、N三点共线，
∵∠MBN=45°，
∴∠ABM+∠CBN=45°，
∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，
即∠M'BN=∠MBN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N，
∵M'N= M'C+CN，
∴MN= M'C+CN=AM+CN；
（2）MN=AM+CN；理由如下：
如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，
∠ABM=∠M'BC，
∵∠A+∠C＝180°，
∴∠BCM'+∠BCD=180°，
∴点M'、C、N三点共线，
∵∠MBN＝ ∠ABC，
∴∠ABM+∠CBN= ∠ABC＝∠MBN，
∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，
∴MN= M'N，
∵M'N= M'C+CN，
∴MN= M'C+CN=AM+CN；
（3）MN=CN-AM，理由如下：
如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'，∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠C+∠BAD=180°，
∵∠BAM+∠BAD=180°，
∴∠BAM=∠C，
∵AB＝BC，
∴△ABM≌△CB M'，
∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，
∴∠MA M'=∠ABC，
∵∠MBN＝ ∠ABC，
∴∠MBN＝ ∠MA M'=∠M'BN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，
∴MN= M'N，
∵M'N=CN-C M'，
∴MN=CN-AM．
故答案是：MN=CN-AM．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，图形的旋转，根据题意做适当辅助线，
得到全等三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·上海·七年级专题练习）（1）如图1，在四边形ABCD中， ， ，E、F
分别是边BC、CD上的点，且 ．求证： ；
（2）如图2，在四边形ABCD中， ， ，E、F分别是边BC、CD上的点，且
，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系；
（3）如图3，在四边形ABCD中， ， ，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，
且 ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关
系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）EF=BE+FD；（3）不成立，理由见解析．
【分析】（1）可通过构建全等三角形实现线段间的转换，延长EB到G，使BG=DF，连接AG，目的就是
要证明三角形AGE和三角形AEF全等，将EF转换为GE，证得EF=BE+DF，
（2）思路和辅助线方法与（1）一样，证明三角形ABG和三角形ADF全等，
（3）在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG，用（1）中方法，可证得DF=BG，GE=EF，则EF=GE=BE-
BG=BE-DF
【详解】解：（1）如图，延长EB到G，使BG=DF，连接AG，
在 与 中，；
（2）（1）中结论EF=BE+FD仍成立，理由如下，
证明：如图，延长CB到M，使BM=DF，
在 与 中
即
在 与 中
即
；（3）结论EF=BE+FD不成立，理由如下，
证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG，
在 与 中
．
【点睛】本题考查四边形综合题，三角形全等的判定与性质，本题中通过全等三角形来实现线段的转换是
解题关键，没有明确全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线
CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．思路分析：
(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把 ABE绕点A逆时针旋转90°至 ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
∠E'A△F＝ 度，…… △
根据定理，可证： AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF． △
类比探究：
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；
拓展应用：
(3)如图3，在 ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S ABC＝14，S ADE＝6，求线段
△ △
BD、DE、EC△围成的三角形的面积．
【答案】(1)45
(2)DF＝BE+EF，证明见解析
(3)2
【分析】（1）把 绕点 逆时针旋转 至 ，则 、 、 在一条直线上， ，再
证 △ ，得 ，进而得出结论；
（2）将 绕点 逆时针旋转 得到 ，由旋转的性质得 ，再证 △ ，
得 ，进而得出结论；
（3）将 绕点 逆时针旋转得到 ，连接 ，则 ，得 ，因此
，同（2）得 △ ，则 ， ，得 、 、 围成
的三角形面积 ，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把 ABE绕点A逆时针旋转90°至 ，
△
则F、D、 在一条直线上， ≌△ABE，
∴ ＝BE，∠ ＝∠BAE， ＝AE，
∴∠ ＝∠EAD+∠ ＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，
则∠ ＝∠ ﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠ ，
∴△AEF≌△ （SAS），
∴ ，
∵ ，
∴EF＝BE+DF．
故答案为：45；
（2）解：DF＝BE+EF 理由如下：
将 ABE绕点A逆时针旋转90°得到 ，
△ △
∴△ ≌△ABE，
∴AE＝ ，BE＝ ，∠ ＝∠BAE，
∴∠ ＝∠BAE+∠ ＝∠ +∠ ＝∠BAD＝90°，
则∠ ＝∠ ﹣∠EAF＝45°，
∴∠ ＝∠EAF＝45°，在 AEF和 中，
△ △
，
∴△AEF≌△ （SAS），
∴ ，
∵ ，
∴DF＝BE+EF；
（3）解：将 ABD绕点A逆时针旋转得到 ，连接 ，
△ △
则 ≌△ABD，
∴C△D'＝BD，
∴ ，
同（2）得： ADE≌△ （SAS），
△
∴ ， ，
∴BD、DE、EC围成的三角形面积为 、 、EC围成的三角形面积 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形
和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，
属于中考常考题型．
3．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市南坪中学校校考阶段练习）（1）如图1，在四边形 中，
， ，E、F分别是边 、 上的点，若 ，可求得 、 、 之
间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）
（2）如图2，在四边形 中， ， ，E、F分别是边 、 延长线上的点，若 ，判断 、 、 之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请
说明理由．
【答案】（1） ；（2） ．理由见解析．
【分析】（1）线段 、 、 之间的数量关系是 ．如图，延长 至 ，使 ，
连接 ，利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）结论： ．如图中，在 上截取 ，连接 ，证明 ，推
出 ， ，再证明 ，可得结论．
【详解】（1）解：线段 、 、 之间的数量关系是 ．
如图，延长 至 ，使 ，连接 ，
∵ ， ，即： ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
{
AM=AF
在 和 中， ∠MAE=∠FAE，
AE=AE
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
（2）结论： ．
理由：在 上截取 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中， ，
∴ ，
∴ ， ，则 ，
∴∵ ， ，
∴ ，
在 与 中， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问
题，属于中考常考题型．
【重难点训练】
1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在 中， 为 边上的中线．
(1)按要求作图：延长 到点E，使 ；连接 ．
(2)求证： ．
(3)求证： ．
(4)若 ， ，求 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】（1）根据题目中语言描述画出图形即可；（2）直接利用 证明 即可；
（3）根据 ，得 ，从而得出 ，再根据三角形三边关系即可得出
，即可得出结论；
（4）根据三角形三边关系得 ，又由 ， ， ， ，代
入即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）证明：如图，
∵ 为 边上的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
（3）证明：如图，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
（4）在 中，
，
由（3）得 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及
三角形三边的关系是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如
图1，在 中， ， ，求 边上的中线 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），
①延长 到M，使得
②连接 ，通过三角形全等把 、 、 转化在 中；
③利用三角形的三边关系可得 的取值范围为 ，从而得到 的取值范围是；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关
系．
（2）请你写出图2中 与 的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3， 是 的中线， ， ， ，请直接利用
（2）的结论，试判断线段 与 的数量关系，并加以证明．
【答案】（1） ；（2） 且 ，证明见解析；（3） ，证明见解析
【分析】（1）延长 到点M，使 ，连接 ，证明 得到 ，由三角
形三边的关系得到 ，即可求出 ；
（2）由全等三角形的性质得到 ， ，进而证明 ；
（3）如图2，延长 到M，使得 ，连接 ，同理证明 ，得到 ，
则 ，再证明 ，进一步证明 ，得到 ，由此即可证明
．
【详解】解：（1）延长 到点M，使 ，连接 ，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，即 ，∴ ，
故答案为： ；
（2） ，且 ，证明如下：
由（1）知， ，
∴ ， ，
∴ ；
（3） ，证明如下：
如图3，延长 到M，使得 ，连接 ，
由（1）知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（2）知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，利用倍长中线法，构造全等三角形
是解本题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN
于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．
【答案】(1)90°
(2)见解析
(3)CD= BE + DE，证明见解析
【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到 90°；
（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证 DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．
（3）同（△2）易证 DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE +
DE． △
【详解】（1）∵∠BAC=90°
∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°
故答案为：90°．
（2）证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在 DCA和 EAB中
△ △
∴ DCA≌△EAB (AAS)
∴△ AD=BE且EA=DC
由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．
（3）∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在 DCA和 EAB中
△ △
∴ DCA≌△EAB (AAS)
∴△ AD=BE且AE=CD
由图可知：AE = AD +DE
∴ CD= BE + DE．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中
心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．4．（2022秋·陕西延安·八年级统考期末）【问题提出】
（1）如图①，在四边形 中， ， ，E、F分别是边BC、CD上的点，且
.求证： ；
【问题探究】
（2）如图②，在四边形 中， ， ，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，
且 ，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数
量关系，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）结论 不成立，应当是 理由见解析
【分析】（1）延长 到点 ，使 ，连接 ，由全等三角形的判定和性质得出
， ， ，继续利用全等三角形的判定得出 ，
结合图形及题意即可证明；
（2）在 上截取 ，使 ，连接 ，结合图形利用全等三角形的判定得出
，再次使用全等三角形的判定得出 ，利用全等三角形的性质
即可证明．
【详解】（1）证明：如图①，延长 到点 ，使 ，连接 .
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：结论 不成立，应当是 ，
理由：如图②，在 上截取 ，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
5．（2022秋·江苏·八年级专题练习）（1）问题发现：
如图1， 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，点 、 、 在
同一条直线上，则 的度数为__________，线段 、 之间的数量关系__________；
（2）拓展探究：
如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，点 、 、 不
在一条直线上，请判断线段 、 之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）解决问题：
如图3， 和 均为等腰三角形， ，则直线 和 的夹角为__________．
（请用含 的式子表示）
【答案】（1）90°，AD=BE；（2）AD=BE，AD⊥BE；（3）
【分析】（1）由已知条件可得 ， ，进而根据∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB，可得
∠ACD＝∠BCE，证明△ACD≌△BCE（SAS），即可求得AD=BE；∠BEC=∠CDA=135°；
（2）延长 交 于点F，同理可得△ACD≌△BCE，设∠FAB=α，则∠CAD=∠CBE=45°-α，根据
∠ABE=45°+45°-α=90°-α，进而根据∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°，即可求解；
（3）延长BE交AD于点G，方法同（2）证明△ACD≌△BCE，进而根据三角形的内角和定理即可求得直线
和 的夹角．
【详解】（1）∵ 和 均为等腰直角三角形， ，
∴ ， ，∠CDE=45°
∴∠CDA=135°∵∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC=∠ADC＝135°，AD＝BE
∴∠AEB=90°
故答案为：90°，AD＝BE
（2）AD=BE，AD⊥BE，理由如下，
同理可得△ACD≌△BCE，
则AD=BE，
延长 交 于点F，
设∠FAB=α，则∠CAD=∠CBE=45°-α
∴∠ABE=45°+45°-α=90°-α
∴∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°
∴AD⊥BE
（3）如图，延长BE交AD于点G，∵ 和 均为等腰三角形，
∴ ， ，
∵∠ACB=∠DCE=α，
∵∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠CAD
∵
∴∠CBA=∠CAB =
∴∠GAB+∠GBA= ，
，
∴∠AGB=180°-(∠GAB+∠GBA) ，
即直线 和 的夹角为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，掌握旋转模型证
明三角形全等是解题的关键．
6．（2023·全国·八年级假期作业）（1）如图1，已知 中， 90°， ，直线 经过点
直线 ， 直线 ，垂足分别为点 ．求证： ．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在 中， 三点都在直线 上，并且有
．请写出 三条线段的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2） ，证明见解析
【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；
（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出
△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；
【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下：
∵BD⊥ ，CE⊥ ，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在 ABD和 CAE中，
△ △
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2） ，理由如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，在 ADB和 CEA中，
△ △
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有
“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图 ，已知 中， ， ， 是过 的一条
直线，且 ， 在 ， 的同侧， 于 ， 于 ．
（1）证明： ；
（2）试说明： ；
（3）若直线 绕 点旋转到图 位置（此时 ， 在 ， 的异侧）时，其余条件不变，问 与 ，
的关系如何？请证明；
（4）若直线 绕 点旋转到图 位置（此时 ， 在 ， 的同侧）时 其余条件不变，问
与 ， 的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） BD=DE+CE ；证明见解析；（4）BD=DE−CE
【分析】（1）根据题意可得 ，结合 ， 直接用AAS证明三角形全等
即可；
（2）根据（1）的结论 ，进而可得 ；
（3）方法同（1）证明 ，进而可得
（4）方法同（1）结论同（2）证明 ，进而可得 ．【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
（2） 解：∵ ，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ．
（3） 解：∵ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ， ， ，
∴
（4） 解： ．理由如下：
∵ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
又∵ ，∴ ．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是
解题的关键．
8．（2020秋·福建三明·八年级统考期中）如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点
D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直
线CE于点F．
（Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC；
（Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD；
（Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD
的数量关系 ．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）AF＝AD+BD
【分析】（Ⅰ）先判断出∠ACF＝∠AEG，再用同角的余角相等判断出∠CAF＝∠EAG，即可得出结论；
（Ⅱ）先用ASA判断出△ACM≌△ABD，得出AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，得出
∠AGE＝∠AFC，再判断出CM∥AB，得出∠MCF＝∠AGC，进而判断出MF＝CM，即可得出结论；
（Ⅲ）同（Ⅱ）的方法，即可得出结论．
【详解】解：（Ⅰ）∵AC＝AE，
∴∠ACF＝∠AEG，
∵AF⊥AD，
∴∠DAF＝90°＝∠CAB，
∴∠DAF﹣∠FAG＝∠CAB﹣∠FAG，
∴∠CAF＝∠EAG，
在△AGE和△AFC中，，
∴△AGE≌△AFC（ASA）；
（Ⅱ）如图1，过点C作CM⊥AC，交AF延长线于点M，
∴∠ACM＝90°＝∠ABD，
由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB，
在△ACM和△ABD中，
，
∴△ACM≌△ABD（ASA），
∴AM＝AD，CM＝BD，
由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，
∴∠AGE＝∠AFC，
∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠AFC，
∴∠AGC＝∠AFG，
∵∠CFM＝∠AFG，
∴∠AGC＝∠CFM，
∵∠BAC＝90°＝∠ACM，
∴∠BAC+∠ACM＝180°，
∴CM∥AB，
∴∠MCF＝∠AGC，∴∠CFM＝∠MCF，
∴MF＝CM，
∴AM＝AF+CM，
∴AD＝AF+BD；
（Ⅲ）AD＝AF﹣BD；
过点C作CM⊥AC，交AF于点M，
∴∠ACM＝90°＝∠ABD，
由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB，
在△ACM和△ABD中，
，
∴△ACM≌△ABD（ASA），
∴AM＝AD，CM＝BD，
由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，
∴∠G＝∠F，
∵∠BAC＝90°＝∠ACM，
∴CM∥AB，
∴∠MCF＝∠G，
∴∠F＝∠MCF，
∴MF＝CM，
∴AF＝AM+CM＝AD+BD，
故答案为：AF＝AD+BD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合平行线的判定与性质证明是解题的关键．
9．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，
∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．①如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD＝CD，这个性质是 ；
②在图2中，求证：AD＝CD；
（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰 ABC中，∠BAC＝100°，BD
平分∠ABC，求证BD+AD＝BC． △
【答案】（1）①角平分线上的点到角的两边距离相等；②见解析；（2）见解析．
【分析】（1）①根据角平分线的性质定理即可解决问题；
②如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．只要证明△DEA≌△DFC即可解决问题；
（2）如图3中，在BC时截取BK=BD，BT=BA，连接DK．首先证明DK=CK，再证明△DBA≌△DBT，推
出AD=DT，∠A=∠BTD=100°，推出∠DTK=∠DKT=80°，推出DT=DK=CK，由此即可解决问题；
【详解】（1）①根据角平分线的性质定理可知AD＝CD．
所以这个性质是角平分线上的点到角的两边距离相等．
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等．
②如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
∵∠E＝∠DFC＝90°，
∴△DEA≌△DFC，
∴DA＝DC．（2）如图3中，在BC上截取BK＝BD，BT＝BA，连接DK．
∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBK＝ ∠ABC＝20°，
∵BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝80°，
∵∠BKD＝∠C+∠KDC，
∴∠KDC＝∠C＝40°，
∴DK＝CK，
∵BD＝BD，BA＝BT，∠DBA＝∠DBT，
∴△DBA≌△DBT，
∴AD＝DT，∠A＝∠BTD＝100°，
∴∠DTK＝∠DKT＝80°，
∴DT＝DK＝CK，
∴BD+AD＝BK+CK＝BC．
【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，具体的关
键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
10．（2021秋·山东德州·八年级统考期中）某中学八年级学生在学习等腰三角形的相关知识时时，经历了
以下学习过程：
（1）【探究发现】如图1，在 中，若 平分 ， 时，可以得出 ， 为
中点，请用所学知识证明此结论．
（2）【学以致用】如果 和等腰 有一个公共的顶点 ，如图2，若顶点 与顶点 也重合，且 ，试探究线段 和 的数量关系，并证明．
（3）【拓展应用】如图3，在（2）的前提下，若顶点 与顶点 不重合， ，（2）中的
结论还成立吗？证明你的结论
【答案】（1）详见详解；（2）DF＝2BE，证明详见详解；（3）DF＝2BE，证明详见详解
【分析】（1）只要证明 ADB≌△ADC（ASA）即可；
（2）如图2中，延长BE△交CA的延长线于K，只要证明 BAK≌△CAD（ASA）即可；
（3）作FK∥CA交BE的延长线于K，交AB于J，利用（△2）中的结论证明即可．
【详解】解：（1）如图1中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵DA平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，
∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADC（ASA），
∴AB＝AC，BD＝DC．
（2）结论：DF＝2BE．
理由：如图2中，延长BE交CA的延长线于K．∵CE平分∠BCK，CE⊥BK，
∴由（1）中结论可知：CB＝CK，BE＝KE，
∵∠BAK＝∠CAD＝∠CEK＝90°，
∴∠ABK+∠K＝90°，∠ACE+∠K＝90°，
∴∠ABK＝∠ACD，∵AB＝AC，
∴△BAK≌△CAD（ASA），CD＝BK，
∴CD＝2BE，
即DF＝2BE．
（3）如图3中，结论不变：DF＝2BE．
理由：作FK∥CA交BE的延长线于K，交AB于J．
∵FK∥AC，∴∠FJB＝∠A＝90°，∠BFK＝∠BCA，
由（2）可知Rt△ABC为等腰三角形
∵∠JBF＝45°，
∴△BJF是等腰直角三角形，
∵∠BFE＝ ∠ACB，∴∠BFE＝ ∠BFJ，
由（2）可知：DF＝2BE．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质；等腰三角形的判定和性质性质及直角三角形的性质等知识
点，在做题时正确的添加辅助线是解决问题的关键．
11．（2020秋·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形 （四边都相等，四个角都是直角）的顶点 作
一条直线 ．（1）当 不与正方形任何一边相交时，过点 作 于点 ，过点 作 于点 如图
（1），请写出 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）若改变直线 的位置，使 与 边相交如图（2），其它条件不变， ， ， 的关系会
发生变化，请直接写出 ， ， 的数量关系，不必证明；
（3）若继续改变直线 的位置，使 与 边相交如图（3），其它条件不变， ， ， 的关
系又会发生变化，请直接写出 ， ， 的数量关系，不必证明．
【答案】(1) ，证明见解析；(2) ；(3)
【分析】（1）根据同角的余角相等可证 ，再证 ，根据全等三角形的对应边
相等进行代换即可；
（2）根据同角的余角相等可证 ，再证 ，根据全等三角形的对应边相等进行
代换即可；
（3）根据同角的余角相等可证 ，再证 ，根据全等三角形的对应边相等进行
代换即可．
【详解】（1） ，证明：
四边形 是正方形
，
又 ，
∴
在 和 中，
（2） ，理由是：
四边形 是正方形
，
又 ，
∴
在 和 中
，
∴EF=AF-AE=BE-DF
（3） ，理由是：
四边形 是正方形
，
又 ，
∴
在 和 中，
EF=AE-AF=DF-BE
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握三角形的判定方法及能利用同角的余角相等证明
是关键．
12．（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在 中， ， ，直线 经过点
， 于点 ， 于点 ，求证： ．
应用：如图②，在 中， ， 三点都在直线 上，并且有 ．求
出 和 的关系．
拓展：如图①中，若 ，梯形 的面积______．
【答案】探究：证明过程见详解；应用： ，理由见详解；拓展：
【分析】探究： ， ，可知 是等腰直角三角形， ， ，可知
，可求出 ，根据角角边即可求证；应用： ， 三点都在
直线 上， ，可求出 ，可证 ，可得
，由此即可求解；拓展：由 ，可知 ，设 ，
则 ，根据梯形面积公式即可求解．
【详解】探究：证明：∵ ，直线 经过点 ， 于点 ， 于点 ，
∴点 三点都在直线 上，
∴ ， ，
∴ ，
在 ， 中，，
∴ ；
应用：∵ ， 三点都在直线 上， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 ， 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
拓展：由探究可知， ， ，
∴ ，设 ，则 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，全等三角形，梯形的综合，掌握等腰直角三角形的性质，全等三
角形的判定和性质，梯形的面积计算方法是解题的关键．
13．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在 中， ．（1）如图①所示，直线 过点 ， 于点 ， 于点 ，且 ．求证：
．
（2）如图②所示，直线 过点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，且 ，
则 是否成立？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） 仍然成立，理由见解析
【分析】（1）首先根据同角的余角相等得到 ，然后证明 ，然后根
据全等三角形对应边相等得到 ， ，然后通过线段之间的转化即可证明 ；
（2）首先根据三角形内角和定理得到 ，然后证明 ，根据全等三角
形对应边相等得到 ，最后通过线段之间的转化即可证明 ．
【详解】证明：（1）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ；
（2） 仍然成立，理由如下：
∵ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，同角的与相等，三角形内角和定理等知识，解题的关键是
根据同角的余角相等或三角形内角和定理得到 ．
14．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在 ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使
BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
【答案】（1）见解析；（2） ，见解析
【分析】（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可；
（2）延长 至点 ，使得 ，连接 ，可证得 ，则 ，再通过证明
，可得到 ，从而得到 即可．
【详解】（1）如图所示：（2）如图，
判断：
证明如下：
延长 至点 ，使得 ，连接
在 和 中，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵AD平分∠BAC
∴
在 和 中，
∵
∴
∴
又∵∴
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键．
15．（2023·江苏·八年级假期作业）阅读理解：
（1）如图1，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．解决此问题可以用如
下方法：延长 到点 ，使得 ，再连接 ，把 ， ， 集中在 中，利用三角形
三边关系即可判断中线 的取值范围是______．
（2）解决问题：如图2，在 中， 是 边上的中点， ， 交 于点 ， 交 于
点 ，连接 ，求证： ．
（3）问题拓展：如图3，在 中， 是 边上的中点，延长 至 ，使得 ，求证：
．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】（1）如图1延长 到点 ，使得 ，再连接 ，由AD为中线，推出BD=CD，可证
△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在 中，由三边关系 即可，
（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG由D为BC中点，BD=CD可证 FCD≌△GBD
（SAS）得FC=GB，由 ，DF=DG得EF=EG，在 BEG中 由三边关系， △
（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由 是△ 边上的中点，得BD=CD，可证
ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，
△【详解】（1）如图1延长 到点 ，使得 ，再连接 ，
∵AD为中线，
∴BD=CD，
在 ADC和 EDB中，
∵C△D=BD，△
∠ADC=∠EDB，
AD=ED，
∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC=EB=6，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG，
由D为BC中点，BD=CD，
在 FDC和 GDB中，
∵C△D=BD，△
∠FDC=∠GDB，
FD=GD，
∴△FCD≌△GBD（SAS），
∴FC=GB，
∵ ，DF=DG，
∴EF=EG，
在 BEG中EG
