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抢分专练 02 立体几何
一、单选题
1．（2024·江西南昌·二模）校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱
长为6的正三棱锥 的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面 ，使得平面
均与平面ABC垂直，再将球 放到上面使得 三个点在球 的表面上，若奖杯的总
高度为 ，且 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）在长方体 中， ，过顶点 作平面 ，使
得 平面 ，若 平面 ，则直线l和直线 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知 中，C为直角，若分别以边CA，CB，AB所在的直线为轴旋转一周，
得到几何体的体积为 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．4．（2024·河北·二模）已知一个底面内口直径为 的圆柱体玻璃杯中盛有高为 的水，向该杯中
放入一个半径为 的实心冰球和一个半径为 的实心钢球，待实心冰球融化后实心钢球恰
好淹没在水中（实心钢球与杯中水面、杯底均相切），若实心冰球融化为水前后的体积变化忽略不计，则
实心钢球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西安康·模拟预测）随着古代瓷器工艺的高速发展，在著名的宋代五大名窑之后，又增加了三
种瓷器，与五大名窑并称为中国八大名瓷，其中最受欢迎的是景德镇窑．如图，景德镇产的青花玲珑瓷(无
盖)的形状可视为一个球被两个平行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可视为球冠(截
得的圆面是底，垂直于圆面的直径被截得的部分是高，其面积公式为 ，其中 为球的半径， 为球
冠的高)．已知瓷器的高为 ，在高为 处有最大直径(外径)为 ，则该瓷器的外表面积约为(
取3.14) （ ）
A． B． C． D．
6．（2024·青海·模拟预测）如图，在正方体 中， ， ， ， ， ， 分别为棱 ，
， ， ， ， 的中点， 为 的中点，连接 ， ．对于空间任意两点 ， ，若线
段 上不存在也在线段 ， 上的点，则称 ， 两点“可视”，则与点 “可视”的点为（ ）A． B． C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ，P为线段 的
中点，Q为线段 （包括端点）上一点，则 的面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
8．（2024·北京·模拟预测）在棱长为1的正方体 中，点 是棱 的中点， 是正方体表
面上的一点，若 ，则线段 长度的最大值是（ ）A． B．
C． D．
9．（2024·甘肃定西·一模）在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面
与底面 所成的角分别为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2024·河南信阳·模拟预测）棱长为1的正方体 中，点P为 上的动点，O为底面
ABCD的中心，则OP的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·北京东城·一模）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书
中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的
木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为 ，高为 .首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为 的
粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.
每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数
据： ）（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角为 的扇形，则该圆
锥的表面积为（ ）A． B． C． D．
13．（2024·山东枣庄·一模）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的
侧面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
14．（2024·河北·二模）一般地，如果一个四面体存在由同一点出发的三条棱两两垂直，我们把这种四面
体叫做直角四面体，记该点为直角四面体的直角顶点，两两垂直的三条棱叫直角四面体的直角棱，任意两
条直角棱确定的面叫直角四面体的直角面，除三个直角面外的一个面叫斜面．若一个直角四面体的三条直
角棱长分别为 ， ， ，直角顶点到斜面的距离为 ，其内切球的半径为 ，三个直角面的面积分别为 ，
， ，三个直角面与斜面所成的角分别为 ， ， ，斜面的面积为 ，则（ ）
A．直角顶点在斜面上的射影是斜面的内心 B．
C． D．
15．（2024·全国·模拟预测）已知正方体 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线 与 所成的角为
B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成角为
D．直线 与平面 所成角为
16．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点， 是线段 上的动点，则下列说法中正确的是（ ）A．存在点 ，使 四点共面
B．存在点 ，使 平面
C．三棱锥 的体积为
D．经过 四点的球的表面积为
17．（2024·全国·模拟预测）已知球O是正三棱锥 的外接球， ，点E在线段
上，且 ．过点E作球的截面，则所得截面圆的面积可能是（ ）
A．π B． C． D． ．
18．（2024·贵州贵阳·一模）如图，在正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上
的动点．则下列结论正确的是（ ）
A．存在点 ．使得
B．存在点 ，使得 平面
C．三棱锥 的体积不是定值D．存在点 ．使得
三、填空题
19．（2024·辽宁·二模）如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将
这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是 ．
20．（2024·河北邢台·二模）如图，四边形 和 是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影
部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿 ， ， ， 折起，得到一个无盖长方体，则该
长方体体积的最大值为 ．
21．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，已知 分别是棱
的中点，则平面 截正方体所得的截面面积为 ，若 为平面 上的动点，且
直线 与直线 的夹角为 ，则点 的轨迹长度为 ．22．（2024·全国·模拟预测）已知A，B，C，D分别为球O的球面上的四点，记 的中点为E，且
，四棱锥 体积的最大值为 ，则球O的表面积为 ，此时
．
23．（2024·广东·二模）将一个直角三角板放置在桌面上方，如图，记直角三角板为 ，其中
，记桌面为平面 .若 ，且 与平面 所成的角为 ，则点 到平面 的距
离的最大值为 .
四、解答题
24．（2024·全国·模拟预测）如图，将 绕边 旋转得到 ，其中
平面 ，连结 分别是 的中点， 平面 ．(1)求证： ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值．
25．（2024·宁夏石嘴山·三模）在直三棱柱 中， ， ， 分别是 ，
的中点， ， 为棱 上的点．
(1)证明： ；
(2)是否存在一点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，说明点 的位置，若不存
在，说明理由．
26．（2024·山东济南·二模）如图，在四棱锥 中，四边形ABCD 为直角梯形，AB∥CD，
，平面 平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段
PF上一点.
(1)证明： ；
(2)当EF为何值时，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为 .
27．（2024·河北·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形且 ， 是边长
为 的等边三角形， ， ， 分别为 ， ， 的中点， 与 交于点 ．(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
28．（2024·山东枣庄·一模）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面
与底面所成的角为 ， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 为 的内心，求直线 与平面 所成角的正弦值．
29．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在三棱柱 中，所有棱长均为1，
．
(1)证明： 平面 ．
(2)求三棱柱 的体积．
30．（2024·全国·模拟预测）如图，在 中， ．D，E分别为边 上的中点，现将 以 为折痕折起，使点A到达点 的位置．
(1)连接 ，证明： ;
(2)若平面 与平面 所成二面角的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
