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01 卷 第六章 数 列《过关检测卷》
－2022 年高考一轮数学单元复习（新高考专用）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知数列 满足： ，则下列选项正确的是（ ）
A． 时， B． 时，
C． 时， D． 时，
【答案】D
【分析】
由函数 的单调性，可判定A、B不正确； 由 ，得到
，得到 ，可判定C错误，D正确.
【详解】
对于A中，由于 ，则 ，
又由函数 ，当 时为单调递减函数，
可得 ，所以 ，所以A错误.
对于B中，由于 ，且 ，
由 在 上单调递增，可得 ，所以B错误
对于C、D中，由于 ，可得 ，
当 ， 时，可得 ，所以C不正确；
又由当 ，可得 ，从而 ，
利用叠加法，可得 ，
故当 时， ，所以D正确.
故选：D.
【点睛】
方法点拨：构造函数 ，结合函数的单调性，是判定 与 的大小关系的关键；
同时化简 ，得到 是解答的关键.
2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯
函数”：设 用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，也称取整函数．在数列
中，记 为不超过 的最大整数，则称数列 为 的取整数列，设数列 满足 ，
，记数列 的前 项和为 ，则数列 的前 项和为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由 ，则 ，同理可得 ，得到 ，得到
，结合裂项法，即可求解.
【详解】
由题意，数列 满足 ，则 ，同理可得 ，
所以 ，所以 ，
则 ，
则数列 的前 项和为
.
故选：C.
3．已知数列 ，满足 .若 ， 的值是
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据 可知数列 为等比数列，将 代入 后将其变形可知数列 为
等差数列，即可解得 ；将 ， 代入 即可解出答案.
【详解】
因为 .
所以数列 为以1为首项，2为公比的等比数列.
所以 .
， ,
所以数列 为以3为首项， 为公差的等差数列.
所以 .
.
故选：C.
【点睛】
本题考查一阶线性递推公式的通项公式.属于难题.掌握常见的一阶线性递推公式的变形是解本题的关键.
.
4．数列 的前 项和为 ， ，且对任意的 都有 ，则下列三个命题中，
所有真命题的序号是（ ）
①存在实数 ，使得 为等差数列；②存在实数 ，使得 为等比数列；
③若存在 使得 ，则实数 唯一.
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】
假设 为等差数列，根据 ，求得 ，得到 ，使得
恒成立，可判定①正确；假设 为等比数列，求得 ，可判定②不是真命
题；由 ，可得 ， ， ， ，各式相
加得到 ，进而得到 ，可判定③不是真命题.
【详解】
①中，假设 为等差数列，则 ，
则 ，
可得 ，显然当 时，可得 ，
使得 恒成立，所以存在 使得数列 为等差数列，所以①正确；
②中，假设数列 为等比数列，则
则 ，可得 ，
即 ，即 ，该式中有 为定值， 是变量，所以这样的实数 不存在，所以②不是真命题；
③中，由 ，可得 ， ， ，
，
将上述各式相加，可得
，
即 ，即 ，
若存在这样的实数 ，则有 ，
从而 ，可知满足该式的 不唯一，所以③不是真命题.
故选：A.
【点睛】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求
在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的
目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办
事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
5．已知 是等差数列 的前 项和， ，设 ，则数列 的前 项
和为 ，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． D． 时， 取得最大值
【答案】D【分析】
由 ，可得 ，得到 ，且 ，
进而得到 ，根据 ，得到 ，结合题意得到
，得到当 时， 取得最小值.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，
因为 ，
可得 ， ， ，
即 ， ，即 ，
所以 ，且 ，
即数列 递减，且 ， ，…， ， ，
又由 ，可得 ，
当 时，可得 ，
当 时，可得 ，
当 时，可得 ，当 时，可得 ，
又由 ，
因为 ，且 ，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值.综上可得，不正确的选项为D.
故选：D.
【点睛】
数列与函数、不等式综合问题的求解策略：
1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前 项和公式，求和方法
等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题
时要注意这一特殊性；
2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合
法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
6．已知数列 ， ，其中 为最接近 的整数，若 的前 项和为20，则 （
）
A．15 B．30 C．60 D．110
【答案】D
【分析】
由题意知，函数 为最接近 的整数，得到 中有2个1，4个2，6个3，8个4， ，进而得
到 ，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由题意知，函数 为最接近 的整数，
又由 ，
，
，
，
由此可得 在最接近 的整数中，有2个1，4个2，6个3，8个4， ，
又由数列 满足 ，
可得 ，
则 ，
因为 的前 项和为20，即 ，
可得数列 构成首项为 ，公差为 的对称数列的前10项和，
所以 .
故选：D.
7．已知数列 的通项公式为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
观察得到 的周期为 ，再求出 的表达式，进而求解结论，得到答案.【详解】
由题意，数列 的通项公式为 ，且函数 的周期为 ，
所以
，
又因为 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】
方法点拨：由函数 的周期为 ，根据三角函数的周期性和数列的表达式，求出
的值，结合周期性求解.
8．已知数列 的通项公式为 ( )，其前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据数列的通项公式，设 ，结合 ，即可求解.
【详解】
由题意，数列 的通项公式为 ( )，设 ，且
，
则 .
故选：A.
9．设数列 满足 ， ， ，（ ）
A．存在 ， B．存在 ，使得 是等差数列
C．存在 ， D．存在 ，使得 是等比数列
【答案】D
【分析】
由 ，得到 ，递推作差求得 ，进而得到
，结合选项和等差、等比数列的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
由 ，即 ，则 ，
两式相减，可得 ，可得 ，
即 恒成立，所以数列 为常数列，因为又由 ， ，可得 ，则 ，
所以 ，即 ，
因为 ，可得 ，可判定A、C不正确；
由 ， ，可得 ，
假设B成立，则 成等差数列，
则 ，此时无解，所以B不正确；
对于D中，假设 ，所以 ，
由 ，解得 ，
所以存在 使得 是等比数列.
故选：D.
【点睛】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求
在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的
目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办
事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
10．已知正项数列 的前 项和为 ，若 ，且 ， ，
则 ( )
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】B
【分析】
由给定递推公式将数列 裂项，利用裂项相消法求出S 得解.
2020
【详解】
由已知a≠0，又 ，所以 ，
n
，即 ，
所以 ，
所以 ，得 ，结合 ，解
得 或 ，
又 ，所以 .
故选：B
【点睛】
含递推公式的数列问题，将给定递推公式变形成能明确反应项间关系并具有可操作性的式子是解题关键．
11．若数列 的通项公式是 ，则 等于（ ）
A． B．30 C． D．20
【答案】B
【分析】
根据题意得到 ，结合并项求和，即可求解.
【详解】由题意，数列 的通项公式是 ，
则 ，
所以 ．
故选：B.
12．已知数列 的前n项和为 ， ，当 时， ，，则S 的值为（ ）
2019
A．1008 B．1009 C．1010 D．1011
【答案】C
【分析】
由 时， ，得到 ，两式相减，整理得 ，结合并项
求和，即可求解.
【详解】
当 时， ，①
可得 ，②
由②－①得， ，整理得 ，
又由
所以 .
故选：C.
13．若数列 的前 项和为 ， ，则称数列 是数列 的“均值数列”.已知数列 是
数列 的“均值数列”且通项公式为 ，设数列 的前 项和为 ，若 对
一切 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，求得 ，进而求得数列的通项公式为 ，结合裂项法求得数列的前 和 ，得
出不等式 ，即可求得实数 的取值范围.
【详解】
由题意，数列 的前 项和为 ，由“均值数列”的定义可得 ，所以 ，
当 时， ；
当 时， ，
也满足 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 对一切 恒成立，
所以 ，整理得 ，解得 或 .
即实数 的取值范围为 .
故选：D.
【点睛】
数列与函数、不等式综合问题的求解策略：1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前 项和公式，求和方法
等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题
时要注意这一特殊性；
2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合
法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
二、多选题
14．在数列{a}中，若 为常数），则{a}称为“等方差数列”，下列对“等
n n
方差数列”的判断，其中正确的为（ ）
A．若{a}是等方差数列，则{a2}是等差数列
n n
B．若{a}是等方差数列，则{a2}是等方差数列
n n
C．{（﹣1）n}是等方差数列
D．若{a}是等方差数列，则{a }（k∈N*，k为常数）也是等方差数列
n kn
【答案】ACD
【分析】
利用等方差的定义和等差数列的定义逐个进行演算，能够推出B不正确，其余的都正确．
【详解】
对于A中，数列{a}是等方差数列，可得 为常数），
n
即有 是首项为 ，公差为d的等差数列，故A正确；
对于B中，例如：数列 是等方差数列，但是数列 不是等方差数列，所以B不正确；
对于C中，数列 中， ，
所以数列 是等方差数列，故C正确；
对于D中，数列{a}中的项列举出来是： ，
n
数列 中的项列举出来是 ，
因为（a 2﹣a2）＝（a 2﹣a 2）＝…＝a 2﹣a 2＝p
k+1 k k+2 k+1 2k 2k﹣1
所以（a 2﹣a2）+（a 2﹣a 2）+…+（a 2﹣a 2）＝kp
k+1 k k+2 k+1 2k 2k﹣1所以a 2﹣a 2＝kp，所以，数列{a }是等方差数列，故D正确．
kn+1 kn kn
故选：ACD．
【点睛】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求
在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的
目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办
事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
15．已知数列 满足： ，设 ，数列 的前 项和为 ，则
下列选项正确的是 （ ）
A．数列 单调递增，数列 单调递减 B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
由给定条件可得 ，由此构造函数 ，利用导数研究其单调性而判断选项A，利用
不等式性质探求出 可判断选项B，由 的范围探求出 的范围而判断选项C，取特值说
明而判断选项D.
【详解】
因 ， ，则 ，即 ，
令 ，则 ， 在 上单调递增，点 与 是函数 图象上的两点，于是有 ，则 ，
都单调，
又 ，则 ，即 ， ，所以 单调递增， 单调递减，A正
确；
显然 ， ，而 ，即 ，则 ， ，
于是 ，则有 ，所以 ，B正确；
，而 ，
，
所以 ，C正确；
若 ，则 ，而 ，即 对
和 都不成立，D不正确.
故选：ABC
【点睛】
关键点睛：涉及单调性的某些数列问题，数列是一类特殊的函数，准确构造相应的函数，借助函数导数研
究其单调性是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.
16．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则下列结论正确的是（
）A．若 ，则 是等差数列
B．若 ，则数列 的前 项和为
C．若 ，则 是等比数列
D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】
当 时，化简得 ，得到 ，求得 ，进而求得 ，得到A正确，
B不正确；当 时，得到 ，求得 ，求得 ，可判定C正确，D正确.
【详解】
因为数列 的前 项和为 ，且满足 ，
当 时，可得 ，
即 ，所以 ，
可得 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
则 ，可得 ，
故A正确，B不正确.当 时，由已知得 ，
即 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故C正确，D正确.
故选：ACD.
【点睛】
利用数列的递推公式求解数列的通项公式的策略：
1、对于递推关系转化为 （常数）或 （常数）可利用等差、等比数列的通项公式求解；
2、对于递推关系式可转化为 的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；
3、对于递推关系式可转化为 的数列，并且容易求数列 前 项积时，通常采用累乘法求
其通项公式；
4、对于递推关系式形如 的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.
17．已知 是等差数列 的前 项和， ，设 ，则数列 的前
项和为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D． 时， 取得最大值
【答案】ABC
【分析】
根据题设条件，得到 ，进而求得 ，，再结合“裂项法”求得 ，结合 ，即可求解.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，
因为 ，可得 ， ，
，
即 ， ，即 ，
所以 ， ，即数列 递减，
且 ， ，…， ， ，
又由 ，可得 ，
则 ，由 ，要
使 取最大值，则 取得最小值，
显然 ，而 ，
所以当 时， 取得最小值.
综上可得，正确的选项为ABC.
故选：ABC.
【点睛】
本题主要考查了数列的综合应用，其中解答中熟练应用通项 和 的关系式，数列的“裂项法”求和，
以及数列的单调性进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．设{a}(n∈N*)是各项为正数的等比数列，q是其公比，K 是其前n项的积，且K <K ，K =K >K ，则下
n n 5 6 6 7 8
列选项中成立的（ ）
A．0<q<1 B．a=1
7
C．K >K D．K 与K 均为K 的最大值
9 5 6 7 n
【答案】ABD
【分析】
根据题意，结合等比数列的性质分析选项，综合即可得答案.
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：对于B，若K =K ，则a= =1，故B正确；
6 7 7
对于A，由K <K 可得a= >1，则q= ∈(0，1)，故A正确；
5 6 6
对于C，由q∈(0，1)，所以{a}是单调递减，因为a=1，所以 ，
n 7
则 ，则有K <K ，故C错误；
9 5
对于D，结合K <K ，K =K >K ，可得D正确.
5 6 6 7 8
故选：ABD.
【点睛】
本题考查等比数列的性质以及应用，注意等比数列的基本性质，属于基础题.
19．已知数列{a}是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
n
A．数列{a2}是等比数列
n
B．若a=2，a=32，则a=±8
3 7 5
C．若a<a<a，则数列{a}是递增数列
1 2 3 n
D．若数列{a}的前n和 ，则r=﹣1
n
【答案】AC
【分析】
在A中，数列{a2}是等比数列；在B中，a=8；在C中，若a<a<a，则q>1，数列{a}是递增数列；在D
n 5 1 2 3 n中，写出 ，由等比中项可求出r=﹣ .
【详解】
解：由数列{a}是等比数列，设公比为 ，知：在A中，∵ ，
n
∴ 是常数，∴数列{a2}是等比数列，故A正确；
n
在B中，若a=2，a=32，则a= ，故B错误；
3 7 5
在C中，若a<a<a，则 ，当 时，可得 ，解得 ，
1 2 3
且 中各项为正数，所以 ，此时数列{a}是递增数列；
n
当 时，可得 ，解得 ，此时 中各项为负数，
所以 ，此时数列{a}是递增数列，综上所述，C正确；
n
在D中，若数列{a}的前n和S=3n﹣1+r，则a=S=1+r，a=S﹣S=(3+r)﹣(1+r)=2，
n n 1 1 2 2 1
a=S﹣S=(9+r)﹣(3+r)=6，∵a，a，a 成等比数列，∴ ，∴4=6(1+r)，
3 3 2 1 2 3
解得r=﹣ ，故D错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，
是基础题.
20．设等差数列{a}的前n项和为S，且满足S ＞0，S ＜0，则下列说法正确的是（ ）
n n 2018 2019
A．S 最大 B．|a |＞|a |
1009 1009 1010
C．a ＞0 D．S +S ＜0
1010 2018 2019
【答案】AB
【分析】
利用等差数列的性质推导出 ， ，应用特殊值法令 可确定，即可知正确选项
【详解】
∵S ＞0，S ＜0
2018 2019
∴ ，
∴ ， ，可得： ， ，
故A，B都正确，C错误；
特殊值法：若 ，有
即 ，即可排除D选项
故选：AB
【点睛】
本题考查应用等差数列的性质判断命题真假，考查运算求解能力，是基础题．
21．已知等比数列 的各项均为正数，公比为 ，且 ， ，记 的前 项
积为 ，则下列选项中正确的选项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
等比数列 的各项均为正数，且 ， ，可得 ，因此 ，
， ．进而判断出结论．
【详解】
解：∵等比数列 的各项均为正数，且 ， ，
∴ ，由题意得 ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
，
，
∴满足 的最大正整数 的值为 ．
故选：ABC．
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．下列关于等差数列的命题中正确的有（ ）
A．若 、 、 成等差数列，则 、 、 一定成等差数列
B．若 、 、 成等差数列，则 、 、 可能成等差数列
C．若 、 、 成等差数列，则 、 、 一定成等差数列
D．若 、 、 成等差数列，则 、 、 可能成等差数列
【答案】BCD
【分析】
利用特殊值法可判断A选项的正误；取 可判断B选项的正误；利用等差数列的定义可判断C选
项的正误；取 可判断D选项的正误.
【详解】
对于A，取 ， ， ，可得 ， ， ，显然， 、 、 不成等差数列，故A错；
对于B，取 ，可得 ，此时， 、 、 成等差数列，故B正确；
对于C， 、 、 成等差数列， ．
，
即 、 、 成等差数列，故C正确；
对于D， ，则 ，此时， 、 、 成等差数列，故D正确．
综上可知，B、C、D正确.
故选：BCD.
【点评】
本题主要考查等差数列的定义和性质，属于基础题．
23．设 是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意 ，均有 ，则称 是间隔递增数
列，k是 的间隔数，下列说法正确的是（ ）
A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B．已知 ，则 是间隔递增数列
C．已知 ，则 是间隔递增数列且最小间隔数是2
D．已知 ，若 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则
【答案】BCD
【分析】
根据间隔递增数列的定义求解.
【详解】
A. ，因为 ，所以当 时， ，故错误；B. ，令 ，t在
单调递增，则 ，解得 ，故正确；
C. ，当 为奇数时，
，存在 成立，当 为偶数时， ，存在 成立，综上：
是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；
D. 若 是间隔递增数列且最小间隔数是3，
则 ， 成立，
则 ，对于 成立，且 ，对于 成立
即 ，对于 成立，且 ，对于 成立
所以 ，且
解得 ，故正确.
故选：BCD
【点睛】
本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
24．等差数列{a}的前n项和为S，若a＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是（ ）
n n 1
A．若S＝S，则必有S ＝0
5 9 14
B．若S＝S，则必有S 是S 中最大的项
5 9 7 n
C．若S＞S，则必有S＞S
6 7 7 8
D．若S＞S，则必有S＞S
6 7 5 6
【答案】ABC
【分析】
对于A，转化S﹣S＝a+a+a+a，可得a+a＝0，利用前n项和公式，即可判断；
9 5 6 7 8 9 7 8
对于B，S﹣S＝2（a+a）＝0，结合a＞0，分析即可判断；
9 5 7 8 1对于C，由a＝S﹣S＜0，a＝S﹣S＜0，即可判断；
7 7 6 8 8 7
对于C，由a＝S﹣S＜0，a 的符号无法确定，即可判断.
7 7 6 6
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A，若S＝S，必有S﹣S＝a+a+a+a＝2（a+a）＝0，则a+a＝0，S
5 9 9 5 6 7 8 9 7 8 7 8 14
0，A正确；
对于B，若S＝S，必有S﹣S＝a+a+a+a＝2（a+a）＝0，又由a＞0，则必有S 是S 中最大的项，B
5 9 9 5 6 7 8 9 7 8 1 7 n
正确；
对于C，若S＞S，则a＝S﹣S＜0，又由a＞0，必有d＜0，则a＝S﹣S＜0，必有S＞S，C正确；
6 7 7 7 6 1 8 8 7 7 8
对于D，若S＞S，则a＝S﹣S＜0，而a 的符号无法确定，故S＞S 不一定正确，D错误；
6 7 7 7 6 6 5 6
故选：ABC
【点睛】
本题考查了等差数列的性质综合，考查了学生概念理解，转化划归，综合分析，数学运算能力，属于中档
题.
第II卷（非选择题）
三、填空题
25．记等比数列 的前 项和为 ，若 ，则
___________.
【答案】
【分析】
由 求得 ，得出数列 的通项公式，进而得到 的表达式，进而计算可得
答案.
【详解】由题意，等比数列 中， ，当 时， ，
两式相减可得： ，可得 ，即 ，
令 ，可得 ，解得 ，所以 ，
则有
则
，
故答案为：
26．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 ，接下来的两项
是 ， ，再接下来的三项是 ， ， ，依此类推，若该数列的前n项和为2的整数幂，如 ，
， ，则称 ， ， 中的 为“一对佳数”，当 时，首次出
现的“一对佳数”是________.
【答案】
【分析】
由 ，且前n组共有 个数，令 ，求得
，根据题意 为2的整数幂，只需将 消去即可，分类讨论，即可求解.【详解】
由已知得
，
又由 ，即前n组共有 个数，
令 ，解得 （当 时有105个数），
由题意可知： 为2的整数幂，只需将 消去即可，
则① 时，解得 ，总共有 项，不满足 ；
② 时，解得 ，总共有 项，不满足 ；
③ 时，解得 ，总共有 项，
不满足 ；
④ 时，解得 ；总共有 项，
满足 ，所以n的最小值为441
所以首次出现的“一对佳数”是 .
故答案为 .
【点睛】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求
在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办
事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
27．若数列 满足 ，且对于任意的 ，都有 ，则数列 的前 项和
_____．
【答案】
【分析】
由 ， ，利用叠加法，求得 ，求得 ，结合裂项法求
和，即可求解.
【详解】
由 ，且对于任意的 ，都有 ，
可得 ，
则 ，
所以 ．
故答案为： ．
28．已知 表示不超过 的最大整数，例如： ， .在数列 中， ，
.记 为数列 的前 项和，则 ___________.
【答案】【分析】
先对 分类讨论，求出每一段的数列的和，再求 .
【详解】
当 时， ；
当 时， ，此区间所有项的和为 .
当 时， ，此区间所有项的和为 .
当 时， ，此区间所有项的和为 .
所以 .
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：
解答本题的关键有两点，其一是对 分类讨论，其二是计算每一段内的所有项的和，弄准项数，不能计算
出错.
29．已知数列 满足 ， ， ， ，令
，则满足 的 的最小值为_____．
【答案】
【分析】
根据关系式，即可判断数列 为等比数列，根据等比数列通项公式即可求得 的最小值.
【详解】
由 ，又由 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ，则 ，即 ，
当 时， ；当 时， ，
显然当 时， 成立，所以 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】
数列与函数、不等式综合问题的求解策略：
1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前 项和公式，求和方法
等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题
时要注意这一特殊性；
2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合
法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
30．黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷
级数 ，我们经常从无穷级数的部分和 入手.已知正项数
列 的前 项和为 ，且满足 ，则 ______（其中 表示不
超过 的最大整数）.
【答案】18
【分析】
结合题意和 和 的关系，得到数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，求得 ，又由当时，得到 ，进而求得 ，即可求解.
【详解】
当 时， ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
当 时，由 ，所以 ，
所以 ，即 ，
可得数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以 .
又当 时， 符合上式，所以 （ ）.
因为 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，即 ，
所以 .
令 ，
则 ，
，
即 ，从而 .
故答案为： .31．已知数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，则 的取值集
合是__________.
【答案】
【分析】
由数列 和 的关系，推得 ，得到数列 是首项为 、公比为 的等比数列，进而得到
，结合 ，即可求解.
【详解】
由题意，数列 的前 项和为S，且 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， 和 ，
两式相减得 ，即
则数列 是首项为 、公比为 的等比数列，即各项依次为
所以
结合 ，得 的取值集合是 .
故答案为： .
【点睛】
有关数列中 和 的关系问题的求解策略：
根据所求结果不同额要求，将问题向不同的两个方向转化；（1）利用 转化为的关系，再求解；（2）利用 转化为 的关系，再求解.
32．已知数列 满足 （ ），设 ，数列 的
前 项和为 ，则 _______．
【答案】
【分析】
根据题设条件，推得 ，利用 ，结合消项法，即可求解.
【详解】
因为 ，
当 时，可得 ，
两式相减，可得 ，即 ，
则
.
故答案为： .
四、双空题
33．已知等差数列 的首项为2，等比数列 的公比为2， 是数列 的前 项和，且
，则 __， __．
【答案】8 62【分析】
由已知条件，令 可得 ，可得 ， ，令 可得 ，再由等比数列的求和公式，计算可得所求
和．
【详解】
等差数列 的首项为2，公差设为 ，等比数列 的公比 为2，
由 ，可得 ，
则 ，即 ，可得 ，
则 ， ．
故答案为：8，62．
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
34．已知 ，集合 ，集合 所有的非空子集的最小元素之和为 ，则
________，使 的最小正整数 的值为________．
【答案】4 19
【分析】
先由题意，得到 ，进而可求出其非空子集中最小元素之和；再由题意，求出 ，
；令 ，判定其单调性，得出当 时，都有 ，按元素从小到大的顺序，
依次写出含该元素的子集个数，再求和，得出 ，解不等式，即可得出结果.
【详解】由题意， ，
所以其非空子集中最小元素是 的集合有 个，
其非空子集中最小元素是 的集合有 个，
其非空子集中最小元素是 的集合有 个，
所以 ；
又由题意易得 ， ；
令 ，则 ，
当 时， ，即 ，此时 单调递减；
又 ，所以当 时，都有 ；
因此对于集合 ，
其非空子集中最小元素是 的集合有 个；
其非空子集中最小元素是 的集合有 个；
其非空子集中最小元素是 的集合有 个；
……其非空子集中最小元素是 的集合有 个；
其非空子集中最小元素是 的集合有 个；
其非空子集中最小元素是 的集合有 个，
其非空子集中最小元素是 的集合有 个，
所以 时，
，
由 得 ，即 ，所以 ，
即使 的最小正整数 的值为 .
故答案为：4； .
【点睛】
本题主要考查集合的非空子集，考查数列的求和，涉及一元二次不等式的解法，属于跨章节综合题，是中
档题.
35．在数列 中， ， ，则 ______，
对所有 恒成立，则 的取值范围是______.
【答案】 .
【分析】在已知等式中用 替换 得另一等式（ ），两式相减得 ，然后用累乘法求得通项公式 ，
不等式 变形为 ，求出 的最大值即可．可有作商法求数列的最
大值．
【详解】
解：由于 ，
所以当 时，有 ，
两式相减可得 ，即当 时， ，当 时，求得 ，即
也符合该递推关系，所以 .
由于 ，令 ，
由于 ，当 时， ，当 单调递增，当
单调递减，所以 ，故数列最大项为 ，即 .
故答案为： ； .
【点睛】
本题考查已知递推关系式求数列的通项公式，累乘法求通项公式，考查数列不等式恒成立问题，求数列的最大项，综合性较强，必须熟练掌握每个知识点对应的方法，属于中档题．
36．在数列 中， 为它的前 项和，已知 ， ，且数列 是等比数列，则
______ ， =_______.
【答案】
【分析】
设 ，由等比数列的性质先求得 ，进而求得 ；再利用分组求和法即可求得
.
【详解】
设 ，数列 的公比为 ，
则由题意 ， ，
， ， ，
，
.
故答案为： ， .
【点睛】
本题考查了构造新数列求数列通项和利用分组求和法求数列前n项和，考查了计算能力，属于中档题.
37．已知数列 的各项均为正整数，S 为其前n项和，对于n＝1，2，3，…，有
n，其中 为使 为奇数的正整数，当 时， 的最小值为__________；当
时， ___________.
【答案】5 910
【分析】
由题设可知当 时， 解得 或 ，因为 的各项均为正整数，
为正整数，所以当 时， 有最小值 .当 时，可求出 ，
得到数列 是周期为2的周期数列，可求出结果.
【详解】
数列 的各项均为正整数
,其中 为使 为奇数的正整数.
当 时, 或 .
即 或 ，则 或 （舍）
所以 或 .
则 或 ，因为 的各项均为正整数， 为正整数.显然当 时， 有最小值 .
当 时， ，
，其中 为使 为奇数的正整数，所以 ，
所以 ,
，其中 为使 为奇数的正整数，所以 ，
……………………
所以数列 是周期为2的周期数列，奇数项为1，偶数项为8.
故答案为（1） 5 （2）910
【点睛】
本题考查数列的递推公式的性质和应用，考查周期数列求和问题,属于难题.
38．数列 中， ， ，则 __________； __________.
【答案】120
【分析】
由递推公式归纳出通项公式 ，用裂项相消法求数列 的和．
【详解】
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为120； ．
【点睛】
本题考查由递推公式求数列的通项公式，考查裂项相消法求．解题时由递推式进行迭代后可得数列通项形
式，从而由等差数列前 和公式求得 ．
39．设数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式 __________，数列
的前 项和为__________.
【答案】
【分析】
先利用累乘法求出数列的通项，再利用裂项相消法求数列 的前 项和.
【详解】
因为 ，所以 ，（n≥2）把它们左右两边全部相乘得 ，适合n=1,所以 .
所以 = ，
所以数列 的前 项和= .
故答案为(1). (2).
【点睛】
本题主要考查累乘法求数列的通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分
析推理能力.
40．已知数列 中， ， ，则数列 的通项公式为______；若
，则n的最大值______．
【答案】 119
【分析】
， ，可得 ，根据等差数列的通项公式可得 ，进而得到
利用 ，即可得出 的和 可得n的最
大值．
【详解】
解： ， ， ，
数列 为等差数列，首项为1，公差为1， ．
．则数列 的通项公式为 ；
又 ．
，
，解得 ，则n的最大值为119．
故答案为 ；119．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
41．设公比不为1的等比数列 满足 ，且 成等差数列，则公比
___________，数列 的前4项的和为___________．
【答案】
【分析】
(1)由 成等差数列以及公比不为1可解得
(2)由 可解得 ，再通过公比一次计算出 的值，最后求和得出结果．
【详解】
(1)因为数列 是等比数列,
所以有 即 ，计算得
因为 成等差数列，所以有 ，即
因为公比不为1，
所以解得
(2) ，解得
，解得
，解得
．
【点睛】
本题考察的是等比中项和等差中项的使用，等比中项有 ，等差中项有
42．（1）在等差数列 中， ，则 的值_________；
（2）在等比数列 中， ，则 ____．
【答案】（1）15； （2）12.
【分析】
（1）利用等差数列的性质，即 即可得出；（2）根据等比数列的性质可知 ，
， 也成等比数列，进而根据等比中项的性质可求得答案．
【详解】
（1）∵
∴根据等差数列的性质可得
∴（2）∵数列 为等比数列，
∴ ， ， 也成等比数列
∴
故答案为（1）15；（2）12.
【点睛】
本题主要考查了等差数列及等比数列的性质．经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法，性
质是两种数列基本规律的深刻提现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用，
但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.
43．(2017·萧山中学仿真考试)设等比数列{an}的首项a＝1，且4a，2a，a 成等差数列，则公比q＝
1 1 2 3
________；数列{an}的前n项和Sn＝________.
【答案】2 2n－1
【解析】
因为a＝1，且4a，2a，a 成等差数列，所以4q＝4＋q2，解得q＝2，所以S＝ ＝2n－1.
1 1 2 3 n
44．已知数列 中， ， ， ，若数列 单调递增，则实数 的取值范围
为__________， __________．
【答案】
【解析】
数列 满足 即为，奇数项成公差为2的等差数列，偶数项成公差为2的等差数列，公差相
等，所以若使得数列 单调递增，只需 ,即 ，解得 ..
五、解答题
45．已知数列 满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由 ，化简得到 ，结合等比数列的通项公式，即可求解；
（2）由（1）知 ，单调 ，结合等差数列的求和公式和乘公比错位相减
法，即可求解.
【详解】
（1）由题意，数列 满足 ，
可得 ，即 ，
又因为 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
即数列 的通项公式 .
（2）由（1）知 ，可得 ，
则.
令 ，
则 ，
所以 ，
所以 .
所以 .
46．已知数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由 ，根据 ，求得 ，得到 ，进而求得数列 的通项
公式；
（2）由（1）得到 ，利用累加法，求得 ，进而求得
，利用裂项法求和，即可求解.
【详解】（1）由题意，数列 的前 项和为 ，
可得 ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ， ，
因为当 时， ，
所以 .
当 时，符合上式，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 ，可得 ，
所以 ，
，
，
……，
，
所以 ，
又由 ，可得 ，
当 时， ，满足上式，
所以 .所以 ，
所以 .
47．已知数列 的前 项和 满足 .
（1）证明：对任意的正整数 ，集合 中的三个元素可以排成一个递增的等差数列；
（2）设（1）中等差数列的公差为 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）由 ，利用等比数列的定义与通项公式，求得 ，进而求得 ，
， ，结合等差中项的性质，即可求解.
（2）由（1）知 ，得到 ，结合乘公比错位相减法，即可求解.
【详解】
（1）由题意，数列 的前 项和 满足 ，
当 时， ，
两式相减，可得 ，即 ，即 ，
令 ，可得 ，解得 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，
所以 ， ， ，
又由 ，所以 ， ， 构成一个递增的等差数列.
（2）由（1）知 ，可得 ，
则 ，
，
两式相减，可得 ，
所以 .
48．设非常数数列 满足 ， ，其中常数 ， 均为非零实数，且 .
（1）证明：数列 为等差数列的充要条件是 ；
（2）已知 ， ， ， ，求证：数列 与数列
中没有相同数值的项.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据得出数列的等差中项公式和等差数列的通项公式，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可
求解；
（2）由（1）和求得 ，得到数列 为等比数列，求得数列的
通项公式 ，结合指数函数的单调性得到 中项均小于等于 ，进而得
到结论.
【详解】
（1）由题意，数列 满足 ，
①充分性：若 ，则有 ，
可得 ，所以 为等差数列.
②必要性：若 为非常数等差数列，可令 ，
代入 ，可得 ，
化简得 ，即 .
因此，数列 为等差数列的充要条件是 .
（2）由 ， ， ， ，可得 ，
又因为 ，可知数列 为等比数列，
所以 ，从而有 时， ， ，
由上述两式，可得 ，
由指数函数的单调性可知，对于任意 ， ，
所以数列 中项均小于等于 ，
而对于任意的 时， ，所以数列 中项均大于 ，
因此数列 与数列 中没有相同数值的项.
【点睛】
数列与函数、不等式综合问题的求解策略：
1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前 项和公式，求和方法
等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题
时要注意这一特殊性；
2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合
法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
49．已知等差数列 的前n项和为 ， ，且 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 是单调递增数列，求证： ．
【答案】(1) 或 ；(2)证明见解析.
【分析】
(1)由给定条件求出等差数列 的的公差即可得解；(2)用所证不等式右端减去左端构造新数列，再讨论该数列单调性即可得解.
【详解】
(1)设等差数列 的公差为d，则 ，由 得 ，
解得 或 ，
或 ，
所以数列 的通项公式是 或 ；
(2)因 是单调递增数列，则 ，
，令 ，
则
于是有 ，即数列 是递增数列，
时 ，即 ，
所以有 .
【点睛】
关键点睛：某些数列不等式证明，通过作差构造新数列，再判断数列单调性是解决问题的关键.50．在数列 中， ， 是1与 的等差中项
（1）求证：数列 是等差数列，并求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析， ；（2） .
【分析】
（1）根据题意得到 ，化简得到 ，结合等差数列的定义和通项公式，即
可求解.
（2）由（1）可得 ，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】
（1）由题意知 是1与 的等差中项，可得 ，
可得 ，则 ，可得 ，
又由 ，可得 ，
所以数列 是首项和公差均为1的等差数列，
可得 ，解得 ，
即 的通项公式 .（2）由（1）可得 ，
所以 .
51．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，______
请在① ；② ，③ 这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问
题．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】选择见解析；（1） ；（2） ．
【分析】
（1）由 ，得到 ，分别选择①②③，列出方程组求得 的值，即可求得数列的通
项公式；
（2）由（1）可得 ，利用乘公比错位相减法，即可求解.
【详解】
（1）设等差数列 的公差为 ，由 ，可得 ，即 ，
选①：由 ，可得 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 ．
选②：由 ，可得 ，即 ，所以 ，解得 ，
所以 ．
选③：由 ，因为 ，可得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
所以 ，
两式相减得
所以 ．
【点睛】
错位相减法求解数列的前 项和的分法：
（1）适用条件：若数列 为等差数列，数列 为等比数列，求解数列 的前 项和 ；
（2）注意事项：
①在写出 和 的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出 ；②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；
③作差后，作差部分应用为 的等比数列求和.
52．已知数列 的前 项和为 .
（1）求 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ；
（3）若数列 满足 ，求证： .
【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析.
【分析】
(1)利用 消去 ，得到关于 的递推关系而得解；
(2)求出数列 通项，再用错位相减法即可得解；
(3)原等式化为 ，再通过放缩裂项，利用裂项相消法即可得解.
【详解】
(1) 时， ，则 ，两式相减得 ，
而 ，则 ，又 ，所以 ，故
所以 是首项和公差都为1的等差数列，故 ；
(2)由(1)知 ，
，，
，
；
(3)因为 ，
所以当 时， ，
时， ，
所以 时， ， ，即有 ，而
从而 .
【点睛】
思路点睛：给出S 与a 的递推关系，求a，常用思路是：一是利用 转化为a 的递推关系，
n n n n
再求其通项公式；二是转化为S 的递推关系，先求出S 与n之间的关系，再求a.
n n n
53．已知数列 的前 项和为 ．
（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）由 ，结合 ，即可求得数列 的通项公式；
（2）由（1）得到 ，利用乘公比错位相减，即可求解.
【详解】
（1）由题意，数列 的前 项和为 ，
当 时， ，
当 时， ，
经验证 满足 ，
所以数列 的通项公式 ．
（2）由（1）可得 ，
则 ，
，
两式相减可得： ，所以 ．
【点睛】
错位相减法求解数列的前 项和的分法：
（1）适用条件：若数列 为等差数列，数列 为等比数列，求解数列 的前 项和 ；
（2）注意事项：
①在写出 和 的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出 ；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；
③作差后，作差部分应用为 的等比数列求和.
54．已知数列 满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证：
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】
(1)从给定的递推公式出发，即可探讨出数列 的通项公式；
(2)先求出数列 的通项，再求它的前n项和 ，最后用裂项相消法求数列 的前n项即可得解.
【详解】
数列 中， ， 时， ，
两式相除得 ，n=1时，a=4满足上式，
1
所以数列 的通项公式是 ；
(2)由(1)知 ，而有 ，即数列 是等差数列， ，
，
所以
，
即 成立.
【点睛】
思路点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去
的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
55．已知数列 的前 项和 满足 ，且 .
（1）求证：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）求证： .
【答案】（1）证明见解析， ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由 ，得到 时， ，两式相减得
，化简得到 ，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）可得 ，得到 ， ，当 时，结合二项式展开式，得
到 ，进而得到 ，根据乘公比错位法求和，即可求解.
【详解】
（1）由题意，数列 的前 项和 满足 ，
当 时， ②，
两式相减得 ，
当 时， ，可得 ，
此时 ，符合 ，
所以 ，
则 .
又由 ，
所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 ，所以 .（2）由（1）可得 ，则 ， ，
当 时， ，
则 ，因此 .
又由 ，
记 ，
则 ，
两式相减得 ，
可得 ，
所以 .
【点睛】
（1）中，结合数列的递推关系式 ，推得 ，结合
，利用等比数列的通项公式求解；
（2）中，当 时，结合二项展开式，得到 ，进而得出 ，利用乘公比错位相减法，求得 时解答的关键.
56．已知数列 的前 项和为 ，且满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由 ，得到 ，
两式相减，求得 ，进而求得数列 的通项公式；
（2）由（1）得到 ，结合“裂项求和”，即可求解.
【详解】
（1）由题意，数列 满足 ，
所以当 时， ，
两式相减可得 ，
因为 ，符合上式，
所以 ，故 ，当 时， ，
当 时， ，符合上式，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）得 ，
所以
.
57．已知各项均为正数的数列 的前n项和为 ， ， .
（1）求证；数列 是等差数列，并求 的通项公式；
（2）若 表示不超过 的最大整数，如 ， ，求证： .
【答案】（1）证明见解析， ；（2）证明见解析.
【分析】
(1)用 替换给定关系式中 ，求出 的关系，由此求出 ，进而求得 ；
(2)对 进行适当放大为 ，再利用裂项相消法求其前n项和，再确定这个和所在区间即可得解.
【详解】
（1）因为 ，所以当 时， ，
即 ，而 ，有 ，
所以 ，所以数列 是以 为首项，公差为1的等差数列；
，则 ，
当 时， ，又 满足上式，
所以 的通项公式为 ；
（2） ，
当 时， ，
故 ，
当 时， ，所以对任意的 ，都有 ，
又 ，所以 .
所以 .
【点睛】
思路点睛：给出S 与a 的递推关系，求a，常用思路是：一是利用 转化为a 的递推关系，
n n n n
再求其通项公式；二是转化为S 的递推关系，先求出S 与n之间的关系，再求a.
n n n
58．已知正项等差数列 满足： ， ， 是数列 的前 项和．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，数列 的前 项和为 ，求 ．【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）根据题意，当 和 时，求得 的值，求得公差，进而得到通项公式；
（2）由（1）得到 ，利用裂项法，即可求解.
【详解】
（1）正项等差数列 满足： ，
当 时，解得 ，
当 时， ，解得 ，
故数列的公差 ，所以 ．
（2）由（1）可得 ，
所以 ．
【点睛】
错位相减法求解数列的前 项和的分法：
（1）适用条件：若数列 为等差数列，数列 为等比数列，求解数列 的前 项和 ；
（2）注意事项：
①在写出 和 的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出 ；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；
③作差后，作差部分应用为 的等比数列求和.
