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01 卷 第六章 数 列《过关检测卷》
－2022 年高考一轮数学单元复习（新高考专用）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知数列 满足： ，则下列选项正确的是（ ）
A． 时， B． 时，
C． 时， D． 时，
【答案】D
【分析】
由函数 的单调性，可判定A、B不正确； 由 ，得到
，得到 ，可判定C错误，D正确.
【详解】
对于A中，由于 ，则 ，
又由函数 ，当 时为单调递减函数，
可得 ，所以 ，所以A错误.
对于B中，由于 ，且 ，
由 在 上单调递增，可得 ，所以B错误
对于C、D中，由于 ，可得 ，
当 ， 时，可得 ，所以C不正确；
又由当 ，可得 ，从而 ，
利用叠加法，可得 ，
故当 时， ，所以D正确.
故选：D.
【点睛】
方法点拨：构造函数 ，结合函数的单调性，是判定 与 的大小关系的关键；
同时化简 ，得到 是解答的关键.
2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯
函数”：设 用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，也称取整函数．在数列
中，记 为不超过 的最大整数，则称数列 为 的取整数列，设数列 满足 ，
，记数列 的前 项和为 ，则数列 的前 项和为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由 ，则 ，同理可得 ，得到 ，得到
，结合裂项法，即可求解.
【详解】
由题意，数列 满足 ，则 ，同理可得 ，
所以 ，所以 ，
则 ，
则数列 的前 项和为
.
故选：C.
3．已知数列 ，满足 .若 ， 的值是
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据 可知数列 为等比数列，将 代入 后将其变形可知数列 为
等差数列，即可解得 ；将 ， 代入 即可解出答案.
【详解】
因为 .
所以数列 为以1为首项，2为公比的等比数列.
所以 .
， ,
所以数列 为以3为首项， 为公差的等差数列.
所以 .
.
故选：C.
【点睛】
本题考查一阶线性递推公式的通项公式.属于难题.掌握常见的一阶线性递推公式的变形是解本题的关键.
.
4．数列 的前 项和为 ， ，且对任意的 都有 ，则下列三个命题中，
所有真命题的序号是（ ）
①存在实数 ，使得 为等差数列；②存在实数 ，使得 为等比数列；
③若存在 使得 ，则实数 唯一.
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】
假设 为等差数列，根据 ，求得 ，得到 ，使得
恒成立，可判定①正确；假设 为等比数列，求得 ，可判定②不是真命
题；由 ，可得 ， ， ， ，各式相
加得到 ，进而得到 ，可判定③不是真命题.
【详解】
①中，假设 为等差数列，则 ，
则 ，
可得 ，显然当 时，可得 ，
使得 恒成立，所以存在 使得数列 为等差数列，所以①正确；
②中，假设数列 为等比数列，则
则 ，可得 ，
即 ，即 ，该式中有 为定值， 是变量，所以这样的实数 不存在，所以②不是真命题；
③中，由 ，可得 ， ， ，
，
将上述各式相加，可得
，
即 ，即 ，
若存在这样的实数 ，则有 ，
从而 ，可知满足该式的 不唯一，所以③不是真命题.
故选：A.
【点睛】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求
在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的
目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办
事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
5．已知 是等差数列 的前 项和， ，设 ，则数列 的前 项
和为 ，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． D． 时， 取得最大值
【答案】D【分析】
由 ，可得 ，得到 ，且 ，
进而得到 ，根据 ，得到 ，结合题意得到
，得到当 时， 取得最小值.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，
因为 ，
可得 ， ， ，
即 ， ，即 ，
所以 ，且 ，
即数列 递减，且 ， ，…， ， ，
又由 ，可得 ，
当 时，可得 ，
当 时，可得 ，
当 时，可得 ，当 时，可得 ，
又由 ，
因为 ，且 ，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值.综上可得，不正确的选项为D.
故选：D.
【点睛】
数列与函数、不等式综合问题的求解策略：
1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前 项和公式，求和方法
等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题
时要注意这一特殊性；
2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合
法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
6．已知数列 ， ，其中 为最接近 的整数，若 的前 项和为20，则 （
）
A．15 B．30 C．60 D．110
【答案】D
【分析】
由题意知，函数 为最接近 的整数，得到 中有2个1，4个2，6个3，8个4， ，进而得
到 ，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由题意知，函数 为最接近 的整数，
又由 ，
，
，
，
由此可得 在最接近 的整数中，有2个1，4个2，6个3，8个4， ，
又由数列 满足 ，
可得 ，
则 ，
因为 的前 项和为20，即 ，
可得数列 构成首项为 ，公差为 的对称数列的前10项和，
所以 .
故选：D.
7．已知数列 的通项公式为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
观察得到 的周期为 ，再求出 的表达式，进而求解结论，得到答案.【详解】
由题意，数列 的通项公式为 ，且函数 的周期为 ，
所以
，
又因为 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】
方法点拨：由函数 的周期为 ，根据三角函数的周期性和数列的表达式，求出
的值，结合周期性求解.
8．已知数列 的通项公式为 ( )，其前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据数列的通项公式，设 ，结合 ，即可求解.
【详解】
由题意，数列 的通项公式为 ( )，设 ，且
，
则 .
故选：A.
9．设数列 满足 ， ， ，（ ）
A．存在 ， B．存在 ，使得 是等差数列
C．存在 ， D．存在 ，使得 是等比数列
【答案】D
【分析】
由 ，得到 ，递推作差求得 ，进而得到
，结合选项和等差、等比数列的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
由 ，即 ，则 ，
两式相减，可得 ，可得 ，
即 恒成立，所以数列 为常数列，因为又由 ， ，可得 ，则 ，
所以 ，即 ，
因为 ，可得 ，可判定A、C不正确；
由 ， ，可得 ，
假设B成立，则 成等差数列，
则 ，此时无解，所以B不正确；
对于D中，假设 ，所以 ，
由 ，解得 ，
所以存在 使得 是等比数列.
故选：D.
【点睛】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求
在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的
目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办
事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
10．已知正项数列 的前 项和为 ，若 ，且 ， ，
则 ( )
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】B
【分析】
由给定递推公式将数列 裂项，利用裂项相消法求出S 得解.
2020
【详解】
由已知a≠0，又 ，所以 ，
n
，即 ，
所以 ，
所以 ，得 ，结合 ，解
得 或 ，
又 ，所以 .
故选：B
【点睛】
含递推公式的数列问题，将给定递推公式变形成能明确反应项间关系并具有可操作性的式子是解题关键．
11．若数列 的通项公式是 ，则 等于（ ）
A． B．30 C． D．20
【答案】B
【分析】
根据题意得到 ，结合并项求和，即可求解.
【详解】由题意，数列 的通项公式是 ，
则 ，
所以 ．
故选：B.
12．已知数列 的前n项和为 ， ，当 时， ，，则S 的值为（ ）
2019
A．1008 B．1009 C．1010 D．1011
【答案】C
【分析】
由 时， ，得到 ，两式相减，整理得 ，结合并项
求和，即可求解.
【详解】
当 时， ，①
可得 ，②
由②－①得， ，整理得 ，
又由
所以 .
故选：C.
13．若数列 的前 项和为 ， ，则称数列 是数列 的“均值数列”.已知数列 是
数列 的“均值数列”且通项公式为 ，设数列 的前 项和为 ，若 对
一切 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，求得 ，进而求得数列的通项公式为 ，结合裂项法求得数列的前 和 ，得
出不等式 ，即可求得实数 的取值范围.
【详解】
由题意，数列 的前 项和为 ，由“均值数列”的定义可得 ，所以 ，
当 时， ；
当 时， ，
也满足 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 对一切 恒成立，
所以 ，整理得 ，解得 或 .
即实数 的取值范围为 .
故选：D.
【点睛】
数列与函数、不等式综合问题的求解策略：1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前 项和公式，求和方法
等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题
时要注意这一特殊性；
2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合
法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
二、多选题
14．在数列{a}中，若 为常数），则{a}称为“等方差数列”，下列对“等
n n
方差数列”的判断，其中正确的为（ ）
A．若{a}是等方差数列，则{a2}是等差数列
n n
B．若{a}是等方差数列，则{a2}是等方差数列
n n
C．{（﹣1）n}是等方差数列
D．若{a}是等方差数列，则{a }（k∈N*，k为常数）也是等方差数列
n kn
【答案】ACD
【分析】
利用等方差的定义和等差数列的定义逐个进行演算，能够推出B不正确，其余的都正确．
【详解】
对于A中，数列{a}是等方差数列，可得 为常数），
n
即有 是首项为 ，公差为d的等差数列，故A正确；
对于B中，例如：数列 是等方差数列，但是数列 不是等方差数列，所以B不正确；
对于C中，数列 中， ，
所以数列 是等方差数列，故C正确；
对于D中，数列{a}中的项列举出来是： ，
n
数列 中的项列举出来是 ，
因为（a 2﹣a2）＝（a 2﹣a 2）＝…＝a 2﹣a 2＝p
k+1 k k+2 k+1 2k 2k﹣1
所以（a 2﹣a2）+（a 2﹣a 2）+…+（a 2﹣a 2）＝kp
k+1 k k+2 k+1 2k 2k﹣1所以a 2﹣a 2＝kp，所以，数列{a }是等方差数列，故D正确．
kn+1 kn kn
故选：ACD．
【点睛】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求
在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的
目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办
事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
15．已知数列 满足： ，设 ，数列 的前 项和为 ，则
下列选项正确的是 （ ）
A．数列 单调递增，数列 单调递减 B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
由给定条件可得 ，由此构造函数 ，利用导数研究其单调性而判断选项A，利用
不等式性质探求出 可判断选项B，由 的范围探求出 的范围而判断选项C，取特值说
明而判断选项D.
【详解】
因 ， ，则 ，即 ，
令 ，则 ， 在 上单调递增，点 与 是函数 图象上的两点，于是有 ，则 ，
都单调，
又 ，则 ，即 ， ，所以 单调递增， 单调递减，A正
确；
显然 ， ，而 ，即 ，则 ， ，
于是 ，则有 ，所以 ，B正确；
，而 ，
，
所以 ，C正确；
若 ，则 ，而 ，即 对
和 都不成立，D不正确.
故选：ABC
【点睛】
关键点睛：涉及单调性的某些数列问题，数列是一类特殊的函数，准确构造相应的函数，借助函数导数研
究其单调性是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.
16．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则下列结论正确的是（
）A．若 ，则 是等差数列
B．若 ，则数列 的前 项和为
C．若 ，则 是等比数列
D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】
当 时，化简得 ，得到 ，求得 ，进而求得 ，得到A正确，
B不正确；当 时，得到 ，求得 ，求得 ，可判定C正确，D正确.
【详解】
因为数列 的前 项和为 ，且满足 ，
当 时，可得 ，
即 ，所以 ，
可得 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
则 ，可得 ，
故A正确，B不正确.当 时，由已知得 ，
即 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故C正确，D正确.
故选：ACD.
【点睛】
利用数列的递推公式求解数列的通项公式的策略：
1、对于递推关系转化为 （常数）或 （常数）可利用等差、等比数列的通项公式求解；
2、对于递推关系式可转化为 的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；
3、对于递推关系式可转化为 的数列，并且容易求数列 前 项积时，通常采用累乘法求
其通项公式；
4、对于递推关系式形如 的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.
17．已知 是等差数列 的前 项和， ，设 ，则数列 的前
项和为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D． 时， 取得最大值
【答案】ABC
【分析】
根据题设条件，得到 ，进而求得 ，，再结合“裂项法”求得 ，结合 ，即可求解.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，
因为 ，可得 ， ，
，
即 ， ，即 ，
所以 ， ，即数列 递减，
且 ， ，…， ， ，
又由 ，可得 ，
则 ，由 ，要
使 取最大值，则 取得最小值，
显然 ，而 ，
所以当 时， 取得最小值.
综上可得，正确的选项为ABC.
故选：ABC.
【点睛】
本题主要考查了数列的综合应用，其中解答中熟练应用通项 和 的关系式，数列的“裂项法”求和，
以及数列的单调性进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．设{a}(n∈N*)是各项为正数的等比数列，q是其公比，K 是其前n项的积，且K K ，则下
n n 5 6 6 7 8
列选项中成立的（ ）
A．0K D．K 与K 均为K 的最大值
9 5 6 7 n
【答案】ABD
【分析】
根据题意，结合等比数列的性质分析选项，综合即可得答案.
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：对于B，若K =K ，则a= =1，故B正确；
6 7 7
对于A，由K 1，则q= ∈(0，1)，故A正确；
5 6 6
对于C，由q∈(0，1)，所以{a}是单调递减，因为a=1，所以 ，
n 7
则 ，则有K K ，可得D正确.
5 6 6 7 8
故选：ABD.
【点睛】
本题考查等比数列的性质以及应用，注意等比数列的基本性质，属于基础题.
19．已知数列{a}是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
n
A．数列{a2}是等比数列
n
B．若a=2，a=32，则a=±8
3 7 5
C．若a1，数列{a}是递增数列；在D
n 5 1 2 3 n中，写出 ，由等比中项可求出r=﹣ .
【详解】
解：由数列{a}是等比数列，设公比为 ，知：在A中，∵ ，
n
∴ 是常数，∴数列{a2}是等比数列，故A正确；
n
在B中，若a=2，a=32，则a= ，故B错误；
3 7 5
在C中，若a
