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猜想 01 三角形（五种解题模型专练）
题型一：A字型 题型二：8字型
题型三：燕尾型 题型四：双角平分线型
题型五：风筝型
题型一：A字型
1．（2022秋•渝北区校级期末）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则
∠1+∠2等于（ ）
A．315° B．270° C．180° D．135°
【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．
【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，
即∠1+∠2＝2∠C+（∠3+∠4），
∵∠3+∠4＝180°﹣∠C＝90°，
∴∠1+∠2＝2×90°+90°＝270°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．
2．（2022秋•济宁期末）如图，△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，将△ABC沿EF折叠，A点落在形内的
A′，则∠1+∠2的度数为 ．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，进而可得出∠A′EF+∠A′FE的度数，根据图形翻
折变换的性质得出∠AEF+∠AFE的度数，再由四边形的内角和为360°即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
∴∠A′＝30°，
∴∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝180°﹣30°＝150°，
∵△AFE由△A′FE翻折而成，
∴∠AEF+∠AFE＝∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝150°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C﹣（∠AEF+∠AFE）＝360°﹣80°﹣70°﹣150°＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
3．（2022秋•平桥区期末）探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝ 270 ° ．
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝ 220 ° ．
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 180°+ ∠ A ．
（4）如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．
【分析】（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；
（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；
（3）根据（1）（2）可以直接写出结果；
（4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解．
【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．
∴∠1+∠2等于270°．
故答案为：270°；
（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，
故答案为：220°；
（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A；
故答案为：180°+∠A；
（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF
∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF
∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）
又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．
【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
4．（2022秋•运城期末）一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．（点A′在△ABC的内
部）（1）如图1，若∠A＝45°，则∠1+∠2＝ 9 0 °．
（2）利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中得
出的结论求∠BA′C的度数．
【分析】（1）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式
整理即可得解；根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列
式整理即可得解；
（2）由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，据此得
∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，继而可得答案；
（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A知∠A＝54°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝
（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣ ∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．
【解答】解：（1）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，
∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∴∠ADE＝ （180°﹣∠1），∠AED＝ （180°﹣∠2），
在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，
∴45°+ （180°﹣∠1）+ （180°﹣∠2）＝180°，
整理得∠1+∠2＝90°；
故答案为：90；
（2）∠1+∠2＝2∠A，
理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，
∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，
∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，
即∠1+∠2＝2∠A；
（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝108°，
∴∠A＝54°，
∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴∠A'BC+∠A'CB＝ （∠ABC+∠ACB）
＝ （180°﹣∠A）＝90°﹣ ∠A．
∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），
＝180°﹣（90°﹣ ∠A）
＝90°+ ∠A
＝90°+ ×54°
＝117°．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内
角和等于180°，综合题，但难度不大，熟记性质准确识图是解题的关键．
5．（2022秋•香坊区期末）已知：四边形ABCD，连接AC，AD＝CD，∠DAC＝∠ABC，∠DCA＝∠BAC，
AD∥BC．
（1）如图1，求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点A作AM⊥BC于点M，点N为AM上一点（不与点A重合），∠FNG＝120°，∠FNG的边NF
交BA的延长线于点F，另一边NG交AC的延长线于点G，如图2，点N与点M重合时，求证：NF＝
NG；
（3）如图3，在（2）的条件下，点N不与点M重合，过点N作NE⊥AM，交AC于点E，EN：CM＝3：
4，AF＝3，CG＝4，点H为AD上一点，连接EH、GH，GH交CD于点R，EH＝EG，求DR的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠DCA＝∠DAC，再证∠ABC＝∠BAC，然后由平行线的性质得
∠DAC＝∠ACB，得∠ABC＝∠BAC＝∠ACB，即可得出结论；
（2）取AB的中点E，连接EM，证△MEF≌△MCG（ASA），得MF＝MG，即NF＝NG；
（3）延长EN交AB于点T，取AT的中点K，连接KN，则△AET为等边三角形，设EN＝3k，则CM＝
4k，得△AET的边长为6k，△ABC的边长为8k，则EC＝AC﹣AE＝2k，AK＝ AT＝3k，同（2）得
△NKF≌△NEG（ASA），则 KF＝EG，即3k+3＝2k+4，解得 k＝1，则AE＝6，EG＝EH＝6，再证
△AEH是等边三角形，得AH＝6，同（1）得△ACD是等边三角形，则AD＝AC＝8，∠D＝60°，然后由
含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DCA＝∠DAC，
∵∠DAC＝∠ABC，∠DCA＝∠BAC，
∴∠ABC＝∠BAC，
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB，
∴△ABC是等边三角形；
（2）证明：如图2，取AB的中点E，连接EM，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC，
∴∠MCG＝120°，
∵AM⊥BC，
∴∠BAM＝∠CAM＝30°，BM＝CM＝ BC，
∵E是AB的中点，
∴EM＝ AB，
∴EM＝BM＝CM，
∴△BME是等边三角形，
∴∠BEM＝∠BME＝60°，
∴∠MEF＝∠EMC＝120°，
∴∠MEF＝∠MCG＝120°，
∵∠FMG＝120°，
∴∠EMC﹣∠FMC＝∠FMG﹣∠FMC，
即∠EMF＝∠CMG，
∴△MEF≌△MCG（ASA），
∴MF＝MG，
即NF＝NG；
（3）解：如图3，延长EN交AB于点T，取AT的中点K，连接KN，
则△AET为等边三角形，
∵EN：CM＝3：4，∴设EN＝3k，则CM＝4k，
∴△AET的边长为6k，△ABC的边长为8k，
∴EC＝AC﹣AE＝2k，AK＝ AT＝3k，
同（2）得：△NKF≌△NEG（ASA），
∴KF＝EG，
即3k+3＝2k+4，
解得：k＝1，
∴AE＝6，EG＝EH＝6，
∴AE＝EH＝EG，
∴∠EAH＝∠EHA，∠EGH＝∠EHG，
∵∠EAH+∠EHA+∠EHG+∠EGH＝180°，
∴∠EHA+∠EHG＝∠AHG＝90°，
∴∠DHR＝90°，
∵∠CAD＝∠ACB＝60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴AH＝6，
同（1）得：△ACD是等边三角形，
∴AD＝AC＝8，∠D＝60°，
∴∠HRD＝90°﹣∠D＝30°，DH＝AD﹣AH＝8﹣6＝2，
∴DR＝2DH＝4．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的
判定与性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形
的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
题型二：8字型
1．（2023春•侯马市期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 360 °
【分析】根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【解答】解：如图，∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，
故答案为：360°．
【点评】此题考查三角形的内角和，角的和与差，掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键．
2．（2022秋•新乡期末）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 36 0 度．
【分析】根据三角形外角的性质得∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，则这几个角是一个四边形的四个内角，
故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
【解答】解：∵∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠D＝360°．
故答案为：360．
【点评】此题主要考查了三角形的外角以及四边形的内角和，正确掌握三角形外角的性质是解题关键．
3．（2021秋•正阳县期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为
“8”字型．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB
分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ∠ A + ∠ D ＝∠ C + ∠ B ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 6 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．
（直接写出结果，不必证明）．【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；
（3）先根据“8 字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝
∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P
＝∠D+∠B，进而求出∠P的度数；
（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．
【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个，
故答案为：6；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；
（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．
∠D+∠1＝∠P+∠3①
∠B+∠4＝∠P+∠2②
①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴2∠P＝∠D+∠B．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根
据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形
中辨认出“8字形”；（3）（4）直接运用“8字形”中的角的规律解题．
4．（2021秋•大兴区期末）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是直线AC上一动点，连接BD并延
长至点E，使ED＝BD．过点E作EF⊥AC于点F．
（1）如图1，当点D在线段AC上（点D不与点A和点C重合）时，此时DF与DC的数量关系是 DF
＝ DC ．
（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：2AD＝AF+EF．
（3）当点D在线段CA的延长线上时，直接用等式表示线段 AD，AF，EF之间的数量关系是 AF ＝
2 AD + EF ．
【分析】（1）由∠ACB＝90°、EF⊥AC得到∠EFD＝∠BCD，结合BD＝ED、∠EDF＝∠BDC得证
△EDF≌△BDC，然后得到DF＝DC；
（2）同（1）理得证△BDC≌△EDF，然后得到 CD＝FD、BC＝EF，然后由 AC＝BC 得到 2AD＝
AF+EF；
（3）同（1）理得证△DFE≌△DCB，然后得到EF＝BC、DF＝DC，再结合AC＝BC得到AF、AD、EF
的数量关系．
【解答】解：（1）∵EF⊥AC，
∴∠EFD＝∠BCD＝90°，
∵∠EDF＝∠BDC，ED＝BD，
∴△EDF≌△BDC（AAS），
∴DF＝DC．
（2）图形补充如图（1），证明如下，
同（1）理得，△BDC≌△EDF，
∴BC＝EF，DC＝DF，
∵AD＝AC+CD，AC＝BC，∴2AD＝AD+AC+CD＝AD+EF+DF＝AF+EF．
（3）根据题意作出图形如图（2），
由（1）得，△BDC≌△EDF，
∴DF＝DC，EF＝BC，
∵DC＝AD+CD，
∴DF＝AD+AC＝AD+EF，
∴AF＝DF+AD＝2AD+EF，
故答案为：AF＝2AD+EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟知 8字型全等
三角形模型．
5．（2022秋•江岸区期末）已知△ABC是等边三角形．
（1）如图1，点D是AB边的中点，点P为射线AC上一动点，当△CDP是轴对称图形时，∠APD的度
数为 15 ° ， 60 ° ， 105 ° ；
（2）如图2，AE∥BC，点D在AB边上，点F在射线AE上，且DC＝DF，作FG⊥AC于G，当点D在
AB边上移动时，请同学们探究线段AD，AC，CG之间有什么数量关系，并对结论加以证明；
（3）如图3，点R在BC延长线上，连接AR，S为AR上一点，AS＝BC，连接BS交AC于T，若AT＝
2n，SR＝n，直接写出线段 的值为 ．
【分析】（1）先根据题意得到△CDP是等腰三角形，再分三种情况进行讨论：CP＝DP，CD＝CP，CD
＝DP，分别画出图形进行计算即可；
（2）延长BA，过点F作FH⊥BH于H，连接CF；延长EA，过点D作DN⊥EN于点N，过点D作
DM⊥AC于M．证明Rt△FAH≌Rt△FAG，即可得到AH＝AG；证明Rt△NDF≌Rt△MDC，即可得到
∠NDF＝∠MDC；再根据∠FDC＝60°，即可证明△DCF是等边三角形，进而得到CF＝CD＝DF；最后
证明Rt△FHD≌Rt△FGC，即可得出CG＝DH；再根据线段的和差关系即可得出结论；
（3）过点R作DE∥AB交BS的延长线于点D，交AC的延长线于点E，在BC上截取BF＝CT，连接
AF，先证明△ABF≌△BCT，得到∠BAF＝∠CBT；再证明∠FAR＝∠AFR，得到AR＝FR；证明△ECR为
等边三角形，设CE＝ER＝CR＝m，AB＝AC＝BC＝a，求出a＝m+n，证明△ABT≌△EDT，即可得到AT＝ET＝2n，求出m＝ n，最后依据CT＝ n，AR＝ n，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵等腰三角形为轴对称图形，
∴当△CDP为轴对称图形时，△CDP为等腰三角形，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵点D是AB边的中点，
∴CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝ ∠ACB＝30°；
当CP＝DP时，如图所示：
∴∠PDC＝∠PCD＝30°，
∴∠APD＝∠PDC+∠PCD＝60°；
当CD＝CP，点P在线段AC上时，如图所示：
∴∠CDP＝∠CPD＝ （180°﹣30°）＝75°，
∴∠APD＝∠PDC+∠PCD＝105°；
点P在线段AC的延长线上时，如图所示：
∵∠ACD＝30°，
∴∠PCD＝180°﹣30°＝150°，
∵CD＝CP，
∴∠CDP＝∠CPD＝ （180°﹣150°）＝15°，即∠APD＝15°，
当CD＝DP时，点P在CA的延长线上，不在射线AC上；
综上所述，∠APD的度数为15°，60°，105°．
故答案为：15°，60°，105°．
（2）解：AC+AD＝2CG．理由：
延长BA，过F作FH⊥BH于H，连接CF，延长EA，过点D作DN⊥EN于N，过点D作DM⊥AC于M，
如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB＝60°，
∴∠FAH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠FAH＝∠EAC，
∵FH⊥AH，FG⊥AC，
∴FH＝FG，∵AF＝AF，
∴Rt△FAH≌Rt△FAG（HL），
∴AH＝AG，
∵∠NAD＝∠HAF＝60°，
∴∠NAD＝∠DAM＝60°，
∵DN⊥AN，DM⊥AM，
∴DN＝DM，
∵DF＝DC，
∴Rt△NDF≌Rt△MDC（HL），
∴∠NDF＝∠MDC，
∴∠NDF﹣∠MDF＝∠MDC﹣∠MDF，
∴∠NDM＝∠FDC，
∵∠ADN＝90°﹣∠NAD＝30°，∠ADM＝90°﹣∠DAM＝30°，
∴∠NDM＝30°+30°＝60°，
∴∠FDC＝60°，
∵DF＝DC，
∴△DCF是等边三角形，
∴CF＝CD＝DF，
∵FH＝FG，FD＝FC，
∴Rt△FHD≌Rt△FGC（HL），
∴CG＝DH，
∴CG＝DH＝AD+AH＝AD+AG，
∴AG＝CG﹣AD，
∴AC＝CG+AG＝CG+CG﹣AD＝2CG﹣AD，
即AC+AD＝2CG；
（3）过点R作DE∥AB交BS的延长线于点D，交AC的延长线于点E，在BC上截取BF＝CT，连接
AF，如图所示：
在△ABF和△BCT中，
，
∴△ABF≌△BCT（SAS），
∴∠BAF＝∠CBT，
设∠BAF＝∠CBT＝ ，则∠ABS＝60°﹣ ，
∵AS＝BC＝AB，
α α
∴∠ASB＝∠ABS＝60°﹣ ，
∴∠BAS＝180°﹣∠ABS﹣∠ASB＝60°+2 ，∠FAR＝∠BAS﹣∠BAF＝60°+ ，
α
∵∠AFR＝∠ABF+∠BAF＝60°+ ，
α α
∴∠FAR＝∠AFR，
α∵DE∥AB，
∴∠D＝∠ABS，
∵∠DSR＝∠ASB，∠ABS＝∠ASB，
∴∠D＝∠DSR，
∴DR＝SR＝n，
∵DE∥AB，
∴∠E＝∠BAC＝60°，
又∵∠ECR＝∠ACB＝60°，
∴△ECR是等边三角形，
设CE＝ER＝CR＝m，AB＝AC＝BC＝a，则AR＝AS+SR＝a+n，
∵BC＝AC，BF＝CT，
∴BC﹣BF＝AC﹣CT，
∴CF＝AT＝2n，
∴FR＝CF+CR＝2n+m，
∵AR＝FR，
∴a+n＝2n+m，
∴a＝m+n，
又∵DE＝DR+ER＝m+n，
∴DE＝AB，
在△ABT和△EDT中，
，
∴△ABT≌△EDT（AAS），
∴AT＝ET＝2n，
∵ET＝CT+CE，
∴CT＝ET﹣CE＝2n﹣m，
又∵CT＝AC﹣AT＝a﹣2n，
∴a﹣2n＝2n﹣m，
∵a＝m+n，
∴m+n﹣2n＝2n﹣m，
解得m＝ n，
∴CT＝2n﹣m＝2n﹣ n＝ n，
AR＝AS+SR＝a+n＝m+n+n＝m+2n＝ n+2n＝ n，
∴ ＝ ＝ ，故答案为： ．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质的
运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推
算，进而得出结论．
题型三：燕尾型
1．（2019秋•建平县期末）探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不
妨把这样图形叫做“规形图
（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若
∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ 5 0 °．
②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．
【分析】（1）作射线AF，根据三角形的外角的性质可得结论：∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；
（2）①先根据三角尺可知：∠X＝90°，根据（1）的结论可得：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，从而得
结论；
②先根据第 1 题的结论可得：∠ADE+∠AEB 的度数，由角平分线可得：∠ADC+∠AEC＝
＝45°，从而得结论．
【解答】解：（1）如图（1），∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：
过点A、D作射线AF，
∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，
∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，
即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；
（2）①如图（2），∵∠X＝90°，
由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠ABX+∠ACX＝50°，
故答案为：50；
②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，
∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC＝ ∠ADB，∠AEC＝ ∠AEB，
∴∠ADC+∠AEC＝ ＝45°，
∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关
键．
2．（2021秋•东源县校级期末）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形
叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若
∠A＝50°，直接写出∠ABX+∠ACX的结果；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G 、G 、…、G ，若∠BDC＝140°，∠BG C＝77°，求
1 2 9 1
∠A的度数．
【分析】（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它
不相邻的两个内角的和，则容易得到∠BDC＝∠BDF+∠CDF；
（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后把∠A＝50°，∠BXC＝90°代入上式即可
得到∠ABX+∠ACX的值．
②结合图形可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°即可得到
∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE＝ （∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．
③由（2）的方法，进而可得答案
【解答】解：（1）连接AD并延长至点F，
由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；
且∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD；相加可得∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
又∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°；
②由（1）的结论易得∠DBE＝∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB＝80°；
而∠DCE＝ （∠ADB+∠AEB）+∠A，
代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，易得∠DCE＝90°；
③∠BG C＝ （∠ABD+∠ACD）+∠A，
1
∵∠BG C＝77°，
1
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°
∴ （140﹣x）+x＝77，
14﹣ x+x＝77，
x＝70
∴∠A为70°．
【点评】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC＝∠A+∠B+∠C是解
答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
3．（2022秋•盐湖区期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把
这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A
＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ 5 0 °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G 、G …、G ，若∠BDC＝133°，∠BG C＝70°，求
1 2 9 1
∠A的度数．
【分析】（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根据∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出
∠ABX+∠ACX的值是多少即可．
②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根据∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出
∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根据∠DCE＝ （∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度数是多少
即可．
③根据∠BG C＝ （∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG C＝70°，设∠A为x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣
1 1
x°，解方程，求出x的值，即可判断出∠A的度数是多少．
【解答】解：（1）如图（1），连接AD并延长至点F，
，
根据外角的性质，可得
∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，
又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1），可得
∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50．
②由（1），可得
∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，
∴ （∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，
∴∠DCE＝ （∠ADB+∠AEB）+∠DAE
＝45°+40°
＝85°；
③∠BG C＝ （∠ABD+∠ACD）+∠A，
1
∵∠BG C＝70°，
1
∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°
∴ （133﹣x）+x＝70，
∴13.3﹣ x+x＝70，
解得x＝63，
即∠A的度数为63°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关
键．
4．（2018秋•兰州期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这
样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A
＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ 5 0 °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G 、G …、G ，若∠BDC＝133°，∠BG C＝70°，求
1 2 9 1
∠A的度数．
【分析】（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根据∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出
∠ABX+∠ACX的值是多少即可．
②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根据∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出
∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根据∠DCE＝ （∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度数是多少
即可．
③根据∠BG C＝ （∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG C＝70°，设∠A为x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣
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x°，解方程，求出x的值，即可判断出∠A的度数是多少．
【解答】解：（1）如图（1），连接AD并延长至点F，，
根据外角的性质，可得
∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，
又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
（2）①由（1），可得
∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°．
②由（1），可得
∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，
∴ （∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，
∴∠DCE＝ （∠ADB+∠AEB）+∠DAE
＝45°+40°
＝85°．
