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专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模
型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
.........................................................................................................................................1
模型趣事.............................................................................................................................................................1
真题现模型.........................................................................................................................................................1
提炼模型.............................................................................................................................................................3
模型拓展.............................................................................................................................................................4
模型运用.............................................................................................................................................................5
模型1双角平分线模型（双内角）......................................................................................................................5
模型2.双角平分线模型（一内角一外角）..........................................................................................................9
模型3.双角平分线模型（双外角）....................................................................................................................12
...............................................................................................................................................17
古希腊数学家毕达哥拉斯提出角平分线基本概念，欧几里得《几何原本》完善了单角平分线定理（平
分角且对边成比例），但未涉及双角组合模型；直到20-21世纪双角平分线按位置关系提炼为三类标准模
型。三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思
想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。
口诀化总结：“内内90°加一半，外外90°减一半，内外直接取一半”。
（2025·陕西榆林·模拟预测）（1）问题解决：如图 ， 中， 、 分别是 和 的平分线， 为 、 交点，若 ，求 的度数；（写出求解过程）
（2）拓展与探究：①如图1， 中， 、 分别是 和 的平分线， 为 、 交点，
则 与 的关系是______；（请直接写出你的结论）
②如图2， 、 分别是 和 的两个外角 和 的平分线， 为 、 交点，
则 与 的关系是______；（请直接写出你的结论）
③如图3， 、 分别是 的一个内角 和一个外角 的平分线， 为 、 交点，
则 与 的关系是______．（请直接写出你的结论）
1）两内角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论： 。
证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴ ， 。
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A。
图1 图2 图3
2）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；
结论： ．证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴ ， 。
∴∠P=∠PCD-∠PBC= （∠ACD-∠ABC）= ∠A。
3）两外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论： ．
证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴ ， 。
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°- （∠EBC+∠BCF）=180°- （∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）
=180°- （180°+∠A）=90°+ ∠A。
4）凸多边形双内角平分线的夹角模型1
条件：如图1，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。
证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴ ， 。
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- （∠ABC+∠DCB）=180°- （360°-∠A-∠D）= （∠A+∠D）。
即：2∠P=∠A+∠D。
图1 图2 图3 图4
5）凸多边形双内角平分线的夹角模型2
条件：如图2，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：
。
证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴ ， 。∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°- （∠BCD+∠CDE）=180°- （540°-∠A-∠D-∠E）
=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。
6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图3， ，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点 ， 的平分线相交于点 ，
， 的平分线相交于点 ……以此类推；结论： 的度数是．
证明：∵BP、CP 平分∠ABC、∠ACD，∴ ， 。
1 1
∴∠P
1
=∠P
1
CD-∠P
1
BC= （∠ACD-∠ABC）= ∠A= 。同理：∠P
2
= ∠P
1
= ，∠P
n
=
7）旁心模型
旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分
∠CAD。
证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，
∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。,
模型1双角平分线模型（双内角）
例1（24-25七年级下·成都·随堂练习）如图，在 中， ， 的平分线相交于点I．若
， ，则 的度数是 ．
例2（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图， 中， 分别平分 ， 并相交
于点 O， ， 则例3（24-25八年级上·广东韶关·期中）小亮学习了“多边形及其内角和”后，对几何学习产生了浓厚的兴
趣，三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系．
【探究发现】(1)如图①，在 中， 、 分别平分 和 ，试探究 与 的数量关
系．并说明理由．
【拓展延伸】(2)如图②，在四边形 中， 分别平分 和 ，请你探究 与
之间的数量关系，并说明理由．
【类比迁移】(3)若将（2）中的四边形 改为六边形 ，如图③，请你探究 与
之间的数量关系，并说明理由．
例4（23-24七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1， 中， 平分 ， 平分
，探求 与 之间的数量关系；
【基础探究2】（2）如图2， 中， 、 是 的三等分线， 、 是 的三等分
线，则 与 之间的数量关系是______；
【基础探究3】（3）如图3， 中， 、 、 是 的四等分线， 、 、 是
的四等分线，则 与 之间的数量关系是______；【拓展与探究】（4）如图4， 中， 、 、……、 、 是 的 等分线， 、
、……、 、 是 的 等分线，请用一个等式表示 、 、 三者之间的
数量关系是______；
【探究与应用】（5） 中， 、 、……、 是 的2024等分线， 、 、……、
是 的2024等分线，若 与 的和是 的7倍，则 ______ ．
模型2.双角平分线模型（一内角一外角）
例1（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，是一个缺角 的三角板模型，现要知道 的大小.数学活
动课上，小李没有采用先直接量得 和 的度数，再求得 的度数，而是分别画出 的
角平分线与 的外角平分线相交于点 ，测得 ，请告知 °.
例2（24-25八年级上·山东德州·期中）如图．在 中， ， 分别平分 ， ，且交于
点 ， 为外角 的平分线， 的延长线交 于点 ，则以下结论：① ；②
；③点 在 的角平分线上；④ ；⑤若点 到 的距离是2， 的周长是12，则 的面积是24．一定成立的是 ．
例3（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，已知 ， 是 的外角， 的平分线
与 的平分线相交于点 ，得 ；若 的平分线与 的平分线相交于点 ，得 ；…
的平分线与 的平分线相交于点 ，得 ．则 ．(用含α的式子表
示)
例4（24-25·河北·八年级专题练习）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，
BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A
度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是
否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．模型3.双角平分线模型（双外角）
例1（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图， 的两个外角的平分线交于点P．若 ，则
．
例2（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图， ， 分别平分 的内角
、外角 、外角 ．以下结论：① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ．其中正确的结论有 ．（填序号）
例3（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，在 中， ， ， 的平
分线与 的外角平分线交于点D，连接 ，则 的度数为 ．
例4（23-24七年级下·福建泉州·期末）小明完成了下面的探究过程，请你也探究一下，看看你的结论是否
跟他一样．(1)探究1：如图1， 是 的内角 与 的平分线 和 的交点，若 ，则
____________度：(2)探究2：如图2， 是 的外角 与外角 的平分线 和
的交点，求 与 的数量关系？并说明理由．
(3)拓展：如图3， 是四边形 的外角 与 的平分线 和 的交点，设 ．
①直接写出 与 的数量关系；②根据 的值的情况，判断 的形状（按角分类）．
例5（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）他阅读下面的材料，并解决问题
(1)在 中， ，图1， 是两内角平分线的夹角：图2， 是内角和外角角平分线的夹角；
图3， 是两外角平分线的夹角，请直接写出 的度数．
如图1， 如图2， ； 如图3， ；如图4， 和 的三等分线相交于点 ，则
．
(2)如图5所示，在 中， 的三等分线 、 和 的平分线 相交于点 和点 ，
， 度，求 的度数．1．（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，在 中， ， 的角平分线和
的外角平分线交于点 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25·云南大理·八年级校考期中）如图，在 中， 平分 ， 平分 ，连接 ，
若 ，则 的度数是（ ）．
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·山东·阶段练习）如图，在 中， ， 分别平分 ， ，且交于点
， 为外角 的平分线， 的延长线交 于点 ，则以下结论：① ；②
；③ ；④点 在 的角平分线上；⑤ 一定成立的有
（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．多于34．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图，在 中，已知 ， ， ， 分别平
分 的外角 、内角 、外角 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在 中， 的角平分线和
的外角平分线交于点P；若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在 中，点 是 内一点，且点 到 三边的
距离相等，若 ，则 ．
7．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，已知 ， 是 的外角， 的平分线
与 的平分线相交于点 ，得 ；若 的平分线与 的平分线相交于点 ，得 ；…
的平分线与 的平分线相交于点 ，得 ．则 ．（用含 的式子
表示）8．（24-25·成都市·八年级专题练习）如图，在 中， ，三角形两外角的角平分线交于点E，
则 ．
9．（23-24八年级上·绵阳·课后作业）如图， 是 中 的平分线， 是 的外角的平分
线，若 ， ．求 的度数．
10．（24-25七年级下·广东·课后作业）如图， 两个外角的平分线交于点P．
(1)若 ，求 的度数；(2)若 ，求 的度数．
11．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图， 为 角平分线，与 交于点F， 为
外角的平分线， 与 相交于点E．(1)若 ，求 的度数；(2)若 ， ，求
的度数．
12．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图， 的 外角的平分线 与 的外角的平分线
相交于点 .(1)若 ，求 的度数；(2)求证：点 到三边 ， ， 所在直线的距离相
等.13．（24-25八年级上·湖北黄石·期中）图形从特殊到一般
探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系．
如图1，在 中， 分别平分 和 ，试探究 与 的数量关系，并说明理由；
探究二：若将 改为任意四边形 呢？
如图2，在四边形 中， 分别平分 和 ，请你利用上述结论探究 与
的数量关系，并说明理由．
14．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在 中，点 是 与 平分线的交点，点
是 与 平分线的交点，点E是 与 平分线的交点．
(1)若 ，则 _______ ， _______ ．
(2)猜想 与 的数量关系，并说明理由．
(3)若 ，则当 等于_______度（用含 的代数式表示）时， ，说明理由．
(4)若 中存在一个内角等于另一个内角的三倍，则 _______．（直接写出答案）15．（24-25八年级上·四川广元·期中）【探究】如图①，在 中， 的平分线与 的平分
线相交于点 ．（1）若 ， ，则 _____度， _____度；
（2） 与 的数量关系为_____，并说明理由．
【应用】如图②，在 中， 的平分线与 的平分线相交于点 ， 的外角平分线与
的外角平分线相交于点 ，写出 与 的数量关系，并说明理由．
16．（24-25八年级上·河南许昌·期中）探究与发现：
（1）如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD．
①若 ，则 ．②若 ，用含有α的式子表示 为 ．
（2）如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量
关系，并说明理由．（3）如图（3），在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接
写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系： ．17．（24-25八年级上·重庆璧山·阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完
成所提出的问题．
(1)探究1：如图1，在 中，O是 与 的平分线 和 的交点， ，求 的
度数（用含α的式子表示）．(2)探究2：如图2中，O是 与外角 的平分线 和 的交点，
试分析 与 有怎样的关系？请说明理由．(3)探究3：如图3中，O是外角 与外角 的
平分线 和 的交点，则 与 又有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
18．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）【结论发现】小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形
的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．
【结论应用】（1）如图1，在 中， ，点E是 的内角 平分线与外角 平
分线的交点，则 的度数为 °；（2）如图2，在 中， ，延长 至点E，延长 至点D，已知 、 的角平分线与 的角平分线及其反向延长线交于P、F，求 的度数；
【拓展延伸】（3）如图3，四边形 的内角 与外角 的平分线形成如图所示形状．已知
， ，则 的度数为______ ．
19．（23-24八年级上·福建莆田·期中）阅读下面的材料，并解决问题．
(1)已知在 中， ，图 的 的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角
度的度数．如图1， ；如图2， ；如图3， ；
如图4， ， 的三等分线交于点 ， ，连接 ，则 ．
(2)如图5， 中， 的三等分线分别与 的平分线交于点 ， ，若 ， ，
求 的度数．
20．（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）在 中， ，E是两条内角平分线的交点，F是两
条外角平分线的交点， 是内角 外角 的平分线的交点．
(1)求 和 的度数；（直接写出结果）(2)探索 与 之间的数量关系，并说明理由；(3)若 ，在（2）的情况下，作 与 的平分线交于点 ，以此类推， 与
的平分线交于点 ，求 的度数．（直接写出结果）
