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第3 讲 三角形与多边形角度转换模型——A型、8 字型、飞镖型（解析
版）
第一部分典例剖析+针对训练
类型一 A型
典例1（2022春•宿城区校级月考）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：
如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．
运用以上模型结论解决问题：
（1）如图（2），“五角星”形，求∠A +∠A +∠A +∠A +∠A ＝？
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分析：图中A A DA 是“A”型图，于是∠A DA ＝∠A +∠A +∠A ，所以∠A +∠A +∠A +∠A +∠A ＝
1 3 4 2 5 1 3 4 1 2 3 4 5
；
（2）如图（3），“七角星”形，求∠A +∠A +∠A +∠A +∠A +∠A +∠A 的度数．
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针对训练1
1．（2021秋•韶关期末）探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝ ．
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝ ．
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ．
（4）如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．类型二 8字型
典例2（2021春•江阴市校级月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如
这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间
存在的数量关系，并证明理由．针对训练2
2．（2021春•泗阳县校级期末）如图：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把这个图形称为“8
字型”．根据三角形内角和容易得到：∠A+∠D＝∠C+∠B．
（1）用“8字型”
如图（1）：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ．
（2）造“8字型”
如图（2）：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ．
（3）发现“8字型”
如图（3）：BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．
①图中共有 个“8字型”；
②若∠B：∠D：∠F＝4：6：x，求x的值．类型三 飞镖型
典例3（2021春•三明期末）探究与思考：
（1）如图①，∠BPC是△ABP的一个外角，则有结论：∠BPC＝∠A+∠B成立．若点P沿着线段PB
向点B运动（不与点B重合），连接PC形成图形②，我们称之为“飞镖”图形，那么请你猜想“飞
镖”图形中∠BPC与∠A、∠B、∠C之间存在的数量关系？并证明你的猜想；
（2）利用（1）的结论，请你求出五角星（如图③）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值，说明你的理由；
（3）若五角星中的点B向右运动，形成如图④⑤形状，（2）中的结论还成立吗？请从图④⑤中任
选一个图形说明理由．
针对训练3
3．在一次课外制作活动中，小虎制作了如图所示的燕尾飞镖，小虎觉得∠BCD一定大于∠BAD，他的想
法正确吗？请你简单说明理由．第二部分 专题提优训练
1．（2020春•沙坪坝区校级期中）如图，△ABC中，∠A＝30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点
E，∠D＝40°，则∠C为（ ）
A．20° B．15° C．30° D．25°
2．（2021•东昌府区一模）如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度数是（ ）
A．33° B．23° C．27° D．37°
3．（2021秋•磴口县校级期中）如图，∠A＝50°，∠ABO＝28°，∠ACO＝32°，则∠BDC＝ 度，
∠BOC＝ 度．
4．（2021•安县校级模拟）如图，已知∠CBE+∠BCD＝256°，求∠A的度数．
5．一天，爸爸带着小刚到建筑工地去玩，看见有如图所示的人字架，爸爸说“小刚，我考考你，这个人
字架的夹角∠1等于130°，你能求出∠3比∠2大多少吗？”小刚马上得到了正确答案，他的答案是多
少？请说明理由．6．（2021春•邗江区月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的
图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D．
利用以上结论解决下列问题：
（2）如图2所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
（3）如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N．
①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数．
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②若角平分线中角的关系改成“∠CAP= ∠CAB，∠CDP= ∠CDB”，试直接写出∠P与∠B，∠C
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之间存在的数量关系，并证明理由．
7（2021秋•陈仓区期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B＝50°，∠D＝30°，求∠BPD．
（2）如图2，将点P移到AB、CD外部，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论．
（3）如图3，写出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间的数量关系？（不需证明）
（4）如图4，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．8．（2018春•莘县期末）一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是20°和
30°．
（1）李叔叔量得∠BCD＝142°，根据李叔叔量得的结果，你能断定这个零件是否合格？请解释你的结
论；
（2）你知道∠B、∠D、∠BCD三角之间有何关系吗？请写出你的结论．（不需说明理由）．
9．（2021春•鼓楼区校级期中）我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，
三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间的数量关系．
初步应用：
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2﹣∠C＝ 45 ° ．
（3）解决问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关
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系？请利用上面的结论直接写出答案 ∠P=90°− ∠A ．
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（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P
与∠A、∠D的数量关系．10．（2022春•霞浦县期中）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容
一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三
个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下
面（1）中的证明补充完整：
（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作EF∥BC．
（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．
请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ∠ A + ∠ D ＝∠ C + ∠ B ；
（3）在图2：的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于
M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明理由．
11．（2022春•靖江市校级月考）已知，如图，线段 AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB和
∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由．12．（2021•香洲区校级模拟）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不
妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A
＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G 、G …、G ，若∠BDC＝133°，∠BG C＝70°，求
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∠A的度数．
